I VETTORI.

Presentazione sul tema: "I VETTORI."— Transcript della presentazione:

1 I VETTORI

2 con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non “cifre”)
Se ti chiedo: “Che età hai?” con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non “cifre”)

3 con quanti numeri rispondi?
E se ti chiedo: “Che temperatura c’è nell’aula?” con quanti numeri rispondi?

4 In tutti i casi è sufficiente 1 numero

5 In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni

6 In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni Ci sono 22 gradi

7 E se ti ordino: “Spostati di 5 metri” tu che cosa fai?

8

9 vai qui?

10 vai qui?

11 vai qui?

12 vai qui?

13 vai qui?

14 vai qui?

15 vai qui?

16 vai qui? 5 metri

17 SBAGLIATO!

18

19 Allora vai qui?

20 Allora vai qui?

21 Allora vai qui?

22 Allora vai qui?

23 Allora vai qui?

24 Allora vai qui?

25 Allora vai qui?

26 Allora vai qui? 5 metri

27 SBAGLIATO!

28 Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?

29 Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?

30 Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?

31 Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?

32 Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?

33 Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?

34 Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?

35

36 Evidentemente un solo numero non è sufficiente per darti tutte le informazioni che voglio!

37 Proviamo così:

38 40° 55° 82°

39 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X

40 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 82° X

41 vai qui? 82° X

42 vai qui? 82° X

43 vai qui? 82° X

44 vai qui? 82° X

45 vai qui? 82° X

46 vai qui? 82° X

47 vai qui? 82° X

48 vai qui? 82° X

49 5 metri vai qui? 82° X

50 5 metri SBAGLIATO! vai qui? 82° X

51 5 metri Sì: ancora sbagliato! Evidentemente nemmeno 2 numeri sono sufficienti a darti l’informazione giusta. 82° X

52 5 metri Proviamo con una terza informazione 82° X

53 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X

54 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 40° 55° 82° X

55 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

56 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

57 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

58 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

59 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

60 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

61 Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X X

62 Proprio lì, dovevi andare!
Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X

63 Proprio lì, dovevi andare!
Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X

64 Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento.

65 Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento. Più una quarta informazione, per dirti da dove devi partire.

66 I matematici hanno inventato uno strumento
proprio adatto a questo scopo: il VETTORE

67 I matematici hanno inventato uno strumento
proprio adatto a questo scopo: il VETTORE

68 Esso ha una intensità

69 Esso ha una intensità (corrisponde alla sua lunghezza)

70 Esso ha una intensità una direzione

71 Esso ha una intensità una direzione
(corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento)

72 Esso ha una intensità una direzione un verso

73 Esso ha una intensità una direzione un verso
(corrisponde all’orientamento della freccia)

74 ed un punto di applicazione
Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione

75 ed un punto di applicazione
Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione (corrisponde all’origine della freccia)

76

77

78 I VETTORI SI SOMMANO

79 Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? + Y X + A

80 Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? + Y X + A 2 metri B

81 Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? C + Y 3 metri X + A 2 metri B

82 Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C C + Y 3 metri X + A 2 metri B

83 Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y 3 metri X + A 2 metri B

84 Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y 3 metri X + A 2 metri B

85 Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y In altre parole possiamo dire che il vettore S è la somma dei vettori S1 ed S2 . S S2 S = S1 + S2 S1 X + A B

86 E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? + Y X + A

87 E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B + Y 3 metri X + A

88 E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri X + A

89 E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri X + A

90 S1 + S2 = S2 + S1 Questo è lo stesso risultato
E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Questo è lo stesso risultato dell’operazione precedente! quindi: Y 2 metri 3 metri S1 + S2 = S2 + S1 che è la proprietà commutativa rispetto alla somma. X + A

91 + Y X + A

92 + Y X + A

93 C + Y X + A

94 C + Y X + A

95 C + Y X + A

96 C + Y X + A

97 Questo procedimento va sotto il nome di
REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA in quanto la risultante della somma di due vettori corrisponde alla diagonale di un parallelogrammo i cui lati sono gli stessi vettori C + Y X + A

98 Vediamo un esempio

99 Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P

100 Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V P

101 Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede V P

102 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

103 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

104 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

105 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P

106 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P

107 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P

108 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma V P

109 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma V S P

110 Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma Il vettore S così ottenuto è la somma dei vettori V e P V S P

111 Si può procedere anche in un altro modo
V P

112 Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P

113 Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P

114 Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P

115 Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S

116 Si può procedere anche in un altro modo
Come si vede il risultato è identico al precedente Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S

117 Si può procedere anche in un altro modo
Come si vede il risultato è identico al precedente Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S V P S

118 Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S

119 Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

120 Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

121 Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

122 Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

123 Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo S

124 I VETTORI SI SOTTRAGGONO

125 Basta considerare che:

126 Basta considerare che:
+V

127 Basta considerare che:
+V -V

128 Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A - B B A

129 Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) B A

130 Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A

131 Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A

132 Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A

133 Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A S

134 I VETTORI SI SCOMPONGONO

135 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

136 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +

137 50 + QUANTE SOLUZIONI CI SONO? PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + QUANTE SOLUZIONI CI SONO?

138 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +

139 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 30 20

140 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 12 38

141 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 100 -50

142 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 50

143 50 + CI SONO INFINITE SOLUZIONI PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + CI SONO INFINITE SOLUZIONI

144 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 +

145 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 + 40 10

146 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 + 40 10 1 SOLA SOLUZIONE!

147 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA
PROBLEMA 3 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA

148 a

149 a

150 a

151 a

152 ANCHE QUI CI SONO INFINITE SOLUZIONI

153 TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA
PROBLEMA 4 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA E CHE LE LORO DIREZIONI SIANO NOTE

154 [2] a [1]

155 IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE
[2] a [1]

156 IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE VEDIAMO COME SI PROCEDE
[2] a [1]

157 a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]

158 a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]

159 b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]

160 b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]

161 In questo modo si costruisce un parallelogramma
i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]

162 In questo modo si costruisce un parallelogramma
i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]

163 Per cui questi sono i vettori componenti [2] a [1]

164 Per cui questi sono i vettori componenti a2 [2] a1 a [1]

165 ESERCIZIO

166 NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD A

167 NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD B 30 Km A

168 B A UN SUO AMICO, PARTENDO SEMPRE DA A, SI MUOVE PRIMA IN DIREZIONE
NORD-EST, POI ,ESSENDOSI ACCORTO DI AVER SBAGLIATO STRADA, IN DIREZIONE NORD-OVEST B 30 Km N O S E NE NO A

169 QUANDO I DUE SI INCONTRANO, IN B, QUANTA STRADA HA PERCORSO L’AMICO?
30 Km N O S E NE NO A

170 SOLUZIONE

171 30 Km N O S E NE NO A

172 NE 30 Km N O S E NE NO A

173 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

174 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

175 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

176 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

177 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

178 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

179 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

180 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

181 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

182 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

183 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

184 NO NE 30 Km N O S E NE NO A

185 NO NE l 30 Km N O S E NE NO A

186 questa è la metà di un quadrato
NO NE l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

187 Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

188 Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

189 Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

190 Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l ~ 21,21 Km l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

191 L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km A
NO L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l ~ 21,21 Km l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A fine