Datalog S. Costantini.

Datalog S. Costantini

Datalog base: notazione, esempi, semantica
S. Costantini / Datalog e ASP

S. Costantini / Datalog e ASP
A language for Deductive Databases Extensional part: tables Intensional part: rules S. Costantini / Datalog e ASP

Logic: Intuition S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog Terminology: Atoms
An atom is a predicate, or relation name with variables or constants as arguments. E.g., in(alan,r123) part_of(r123,cs_building) p(X,a) S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog Terminology: Atoms
Conventions: Databases: Predicates begin with a capital, variables begin with lower-case. Example: P(x,’a’) where ‘a’ is a constant, i.e., a data item. Logic Programming: Variables begin with a capital, predicates and constants begin with lower-case. Example: p(X,a). S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog Terminology: Rules
The head of a rule is an atom; the body of a rule is the AND of one or more atoms. E.g., in(X,Y):- part_of(Z,Y), in(X,Z). where “:-” stands for “” S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog Terminology: Rules
Rules without body: E.g., in(alan,r123). S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog and Transitivity
Rule in(X,Y):- part_of(X,Z),in(Z,Y) defines in as the transitive closure of part_of S. Costantini / Datalog e ASP

Arithmetic Subgoals In addition to relations as predicates, a predicate of the body can be an arithmetic comparison. We write such atoms in the usual way, e.g.: x < y. S. Costantini / Datalog e ASP

Example: Arithmetic A beer is “cheap” if there are at least two bars that sell it for under $2. cheap(Beer) :- sells(Bar1,Beer,P1), sells(Bar2,Beer,P2), P1 < 2.00, P2 < 2.00, Bar1 <> Bar2. S. Costantini / Datalog e ASP

Terminology: p  q, not r. or p :- q, not r. is a rule, where p is the head, or conclusion, or consequent, and q, not r is the body, or the conditions, or the antecedent. p, q and r are atoms. A rule without body, indicated as p . or p. Is called a unit rule, or a fact. This kind of rules ale also called Horn Clauses. S. Costantini / Datalog e ASP

Terminology: p  q, not r Atoms in the body can be called subgoals. Atoms which occur positively in the body are positive literals, and the negations are negative literals. S. Costantini / Datalog e ASP

Terminology: p  q, not r We say that p depends on q and not r. The same atom can occur in a rule both as a positive literal, and inside a negative literal (e.g. rule p  not p). S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog Programs A Datalog theory, or “program”, is a collection of rules. In a program, predicates can be either EDB = Extensional Database = facts. IDB = Intensional Database = relation defined by rules. S. Costantini / Datalog e ASP

Expressive Power of Datalog
Without recursion, Datalog can express all and only the queries of core relational algebra. But with recursion, Datalog can express more than these languages. Yet still not Turing-complete. S. Costantini / Datalog e ASP

Example p(X) r(X),q(X). r(Z)  s(Z). s(a). s(b). q(b). In every rule, each variable stands for the same value. Thus, variables can be considered as “placeholders” for values. Possible values are those that occur as constants in some rule/fact of the program itself. S. Costantini / Datalog e ASP

Its grounding can be obtained by: considering the constants, here a,b. substituting variables with constants in any possible (coherent) way) E. g., the atom r(Z) is transformed by grounding over constants a, b into the two ground atoms r(a), r(b). S. Costantini / Datalog e ASP

Grounding E. g., the atom r(Z) is transformed by grounding over constants a, b into the two ground atoms r(a), r(b). Rule r(Z)  s(Z). is transformed into the two rules r(a)  s(a). r(b)  s(b). S. Costantini / Datalog e ASP

Grounding of the program p(a)  r(a),q(a). p(b)  r(b),q(b). r(a)  s(a). r(b)  s(b). s(a). s(b). q(b). Semantics: Least Herbrand Model M = {s(a),s(b),q(b),r(a),r(b),p(b)} S. Costantini / Datalog e ASP

A shortcut of the grounded program p1  r1,q1. p2  r2,q2. r1  s1. r2  s2. s1. s2. q2. M = {s1,s2,q2,r1,r2,p2} S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog semantics Without negation (no negative literal in the body of rules): Least Herbrand Model The head of a rule is in the Least Herbrand Model only if the body is in the Least Herbrand Model. S. Costantini / Datalog e ASP

Least Herbrand Model: Intuition

Least Herbrand Model: Intuition
In the example: Least Herbrand Model M0 = {in(alan,r123), part_of(r123,cs_building)} M1= {in(alan,r123), part_of(r123,cs_building), in(alan,cs_building)} S. Costantini / Datalog e ASP

Least Herbrand Model: How to find it
p g,h. g  r,s. m  p,q. r  f. s. f. h. Step 1: facts M0 = {s,f,h} Step 2: M1 = M0 plus what I can derive from facts M1 = {s,f,h,r} Step 3: M2 = M1 plus what I can derive from M1 M2 = {s,f,h,r,g} Step 4: M3 = M2 plus what I can derive from M2 M3 = {s,f,h,r,g,p} If you try to go on, no more added conclusions: fixpoint S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog con Negazione S. Costantini / Datalog e ASP

Negated Subgoals We may put NOT in front of an atom, to negate its meaning. Example: at_home(alan):- not at_work(alan). S. Costantini / Datalog e ASP

Negated Subgoals: Intuition
Given atom A, not A holds if A cannot be proved Negation as finite failure S. Costantini / Datalog e ASP

Minimal Models When there is no negation, a Datalog program has a unique minimal model (one that does not contain any other model). But with negation, there can be several minimal models. S. Costantini / Datalog e ASP

Cos’è un modello minimo: è un insieme di atomi
Data una regola A:- B1,...,Bn,not C1,...,not Cm Un modello è un insieme di atomi che se NON contiene C1,...,Cm e contiene B1,...,Bn allora deve contenere A Un modello minimo non è sovrainsieme di un altro modello S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog semantics With negation: several proposals, in deductive databases Answer Set Semantics. Based on Answer Set Semantics: Answer Set Programming, new logic programming paradigm S. Costantini / Datalog e ASP

Safe Rules A rule is safe if: Each variable in the head Each variable in an arithmetic subgoal, Each variable in a negated subgoal, also appears in a nonnegated, subgoal in the body. We allow only safe rules. S. Costantini / Datalog e ASP

Example: Unsafe Rules Each of the following is unsafe and not allowed: s(X) :- r(Y). s(X) :- r(Y), not r(X). s(X) :- r(Y), X < Y. In each case, an infinity of X ’s can satisfy the rule, even if R is a finite relation. S. Costantini / Datalog e ASP

Non-Monotonicità Aggiungere nuove conoscenze può portare a ritrarre precedenti conclusioni. Vi possono essere conclusioni alternative tramite cicli sulla negazione. S. Costantini / Datalog e ASP

Non-Monotonicità = Problema?
No, se gestita con opportuni strumenti semantici Non-Monotonic Reasoning (NMR) = campo di ricerca in Intelligenza Artificiale Database deduttivi si propone di sfruttare la non-monotonicità S. Costantini / Datalog e ASP

DATALOG senza Negazione
Semantica del Least Herbrand Model Paradigma procedurale della ricerca per tentativi ripetuti Linguaggio Prolog (numerosi interpreti fra i quali SICSTUS-Prolog, SWI-Prolog) S. Costantini / Datalog e ASP

DATALOG + Negazione Semantica degli Answer Sets Paradigma dell’Answer Set Programming (ASP) Negazione, insiemi-risposta alternativi Numerosi solver S. Costantini / Datalog e ASP

Esempio NMR persona(anna). persona(carlo). persona(giorgio). malato(giorgio). a_casa(X):- persona(X), not in_ufficio(X). in_ufficio(X):- persona(X), not a_casa(X). :- in_ufficio(X),malato(X). % constraint S. Costantini / Datalog e ASP

Risultato atteso Anna e Carlo sono o a casa oppure in ufficio. Giorgio non può essere in ufficio perchè è malato e quindi sarà a casa. S. Costantini / Datalog e ASP

NMR in pratica Vi sono vari linguaggi logici che consentono non-monotonicità. Sono dotati di motori inferenziali (inference engines, o solvers) in grado di gestirla. Possibili soluzioni inesistenti o altrernative. Uno di essi: smodels S. Costantini / Datalog e ASP

Risultato di smodels (inference engine per NMR)
Answer: 1 malato(giorgio) a_casa(giorgio) a_casa(carlo) in_ufficio(anna) Answer: 2 malato(giorgio) a_casa(giorgio) in_ufficio(carlo) in_ufficio(anna) S. Costantini / Datalog e ASP

Risultato di smodels (inference engine per NMR)
Answer: 3 malato(giorgio) a_casa(giorgio) in_ufficio(carlo) a_casa(anna) Answer: 4 malato(giorgio) a_casa(giorgio) a_casa(carlo) a_casa(anna) S. Costantini / Datalog e ASP

Datalog con negazione: nuovo Paradigma di Programmazione Logica Answer Set Programming (ASP) basato su Answer Set Semantics S. Costantini / Datalog e ASP

Uno sguardo sull’Answer Set Programming (ASP)

Example: 3-coloring in ASP
Assigning colors red/blue/green to vertices of a graph, so as no adjacent vertices have the same color. node(0..3). col(red). col(blue). col(green). edge(0,1). edge(1,2). edge(2,0). edge(1,3). edge(2,3). S. Costantini / Datalog e ASP

3-coloring in Answer Set Programming
color(X,red) | color(X,blue) | color(X,green) :- node(X). :- edge(X,Y), col(C), color(X,C), color(Y,C). % I constraint (regole con conclusione vuota) % specificano cosa *non può* essere vero S. Costantini / Datalog e ASP

Come “eseguire” il programma?
Si usa un “Motore Inferenziale”, ad esempio SMODELS (ma ce ne sono diversi) Esso fornisce le soluzioni al problema dato come “insiemi risposta, appunto “Answer Set” … S. Costantini / Datalog e ASP

Come “eseguire” il programma?
Sintassi: lparse < 3col.txt | smodels 0 lparse effettua il parsing del programma dato e ne produce il grounding smodels calcola le risposte (smodels 0 le chiede tutte) … S. Costantini / Datalog e ASP

Cosa si ottiene nell’esempio?
Answer1 color(0,red), color(1,blue), color(green), color(3,red) Answer2 color(0,red), color(1,green), color(blue), color(3,red) … % e tutte le altre colorazioni, ognuna come % “Answer Set” S. Costantini / Datalog e ASP

Answer Set Semantics: su cosa si basano gli Answer Set e come si ottengono S. Costantini / Datalog e ASP

Cos’è un modello minimo: è un insieme di atomi
Data una regola A:- B1,...,Bn,not C1,...,not Cm Un modello è un insieme di atomi che se NON contiene C1,...,Cm e contiene B1,...,Bn allora deve contenere A Un modello minimo non è sovrainsieme di un altro modello S. Costantini / Datalog e ASP

Modelli minimi Datalog
I fatti fanno parte di tutti i modelli minimi Tutto ciò che si deriva in modo aciclico dai fatti fa parte di tutti i modelli minimi not A vale solo se non vale A S. Costantini / Datalog e ASP

Esempio a:- not b. b:- e, not c. c. e. M = {c, e, a} S. Costantini / Datalog e ASP

Esempio a:- not b. b:- not a. d:- c. c M1 = {c, d, a} M2 = {c, d, b} Cicli: vari modelli (diversi Answer Sets) S. Costantini / Datalog e ASP

Cos’è un Answer Set E’ un modello minimo dove però dati due qualunque atomi che ne fanno parte, nessuno di essi può dipendere (direttamente o indirettamente) dalla negazione dell’altro (negazione coerente) S. Costantini / Datalog e ASP

Esempio a:- not b. b:- not a. p:- not p, not a. {b,p} modello minimo, NO answer set {a} modello minimo, answer set S. Costantini / Datalog e ASP

Come si trovano gli Answer Set
Cicli pari (dipendenze cicliche che coinvolgono un numero pari di atomi) a:- not b. b:- not a. M1 = {a} M2 = {b} S. Costantini / Datalog e ASP

Cicli pari a:- not b. b:- not c. c:- not d. d:- not a. M1 = {a,c} M2 = {b,d} S. Costantini / Datalog e ASP

Ogni ciclo pari ha due Answer Set, uno costituito dagli atomi “pari” del ciclo, l’altro da quelli “dispari”. Se vi sono diversi cicli pari, gli answer set si combinano S. Costantini / Datalog e ASP

a:- not b. e:- not f. b:- not c. f:- not e. c:- not d. d:- not a. M11 = {a,c,e} M12 = {a,c,f} M21 = {b,d,e} M22 = {b,d,f} S. Costantini / Datalog e ASP

Cicli dispari (dipendenze cicliche che coinvolgono un numero dispari di atomi) p:- not p. No Answer Set: contraddizione sulla negazione {p} S. Costantini / Datalog e ASP

Cicli dispari (dipendenze cicliche che coinvolgono un numero dispari di atomi) a:- not b. b:- not c. c:- not a. No Answer Set: contraddizione sulla negazione Es. {a,c} {a,b} {b,c} S. Costantini / Datalog e ASP

Programmi con cicli dispari: possono avere Answer Set solo se: vi sono anche cicli pari vi sono connessioni fra cicli pari e dispari che “rimuovono” le contraddizioni Chiamiamo queste speciali connessioni “Handle” S. Costantini / Datalog e ASP

Come si trovano gli Answer Set: OR Handle
OR Handle: legata a regola alternativa per uno degli atomi del ciclo dispari a:- not b. p:- not p. b:- not a. p:- a. OR handle M = {a,p} S. Costantini / Datalog e ASP

OR Handle: legata a regola alternativa per uno degli atomi del ciclo dispari a:- not b. p:- not q. b:- not a. q:- not r. r:- not p. q:- not b. OR handle M = {a,q,r} S. Costantini / Datalog e ASP

OR handle: regola alternativa per un qualche atomo che fa parte del ciclo dispari. Il corpo deve essere VERO per “supportare” l’atomo S. Costantini / Datalog e ASP

AND Handle: letterale aggiuntivo in una delle regole del ciclo dispari: a:- not b. p:- not p, not a. AND b:- not a handle M = {a} S. Costantini / Datalog e ASP

Cicli dispari: Answer set se Handle da cicli pari a:- not b. p:- not p, a. AND b:- not a handle M = {b} S. Costantini / Datalog e ASP

Cicli dispari: Answer set se Handle da cicli pari AND handle: letterale L (A oppure not A) nel corpo di una regola del ciclo dispari, dove A fa parte di un ciclo pari. L deve essere FALSO per “aprire” il ciclo dispari rendendo falso uno dei suoi atomi S. Costantini / Datalog e ASP

Si cercano gli Answer Set della parte aciclica “di base” del programma Si cercano gli Answer Set dei cicli pari Si combinano le due componenti Si estendono alla parte aciclica “intermedia” (se c’è) Fra gli Answer Set risultanti si selezionano quelli (se vi sono) che forniscono handle ai cicli dispari Si riconsidera la parte aciclica “top” rimanente (se c’è) S. Costantini / Datalog e ASP

c. p:- not p. d:- c. p:- e. a:- not b. g:- p. b:- not a. e:- b. h:- b,p. S. Costantini / Datalog e ASP

Come si trovano gli Answer Set: parte aciclica di base
d:- c. M1 = {c,d} S. Costantini / Datalog e ASP

Come si trovano gli Answer Set: ciclo pari e parte aciclica intermedia
a:- not b. b:- not a. e:- b. M1 = {c,d} M11 = {a,c,d} M12 = {b,c,d,e} S. Costantini / Datalog e ASP

Come si trovano gli Answer Set: ciclo dispari e parte aciclica”top”
p:- not p. p:- e. g:- p. Si seleziona M12 per dare la OR handle all’atomo p. M = {b,c,d,e,p,g} S. Costantini / Datalog e ASP

Caso problematico p:- not p, not a. q:- not q, not b. a:- not b. b:- not a. Per ciclo pari M1 = {a} M2 = {b} ma non abbiamo le due AND handle per i cicli dispari (richiesta contraddittoria): no Answer Set S. Costantini / Datalog e ASP

Caso problematico Risolto
p:- not p, not a. p:- e. q:- not q, not b. a:- not b. e:- not f. b:- not a. f:- not e. Per cicli pari M11 = {a,e} M12 = {a,f} M21 = {b,e} M12 = {b,f} Con M21 otteniamo M1 = {b,p,e} S. Costantini / Datalog e ASP

ASP più in dettaglio S. Costantini / Datalog e ASP

Answer Set Programming
Constraints :- v,w,z. rephrased as p :- not p, v,w,z. S. Costantini / Datalog e ASP

Disjunction v | w |z. rephrased as v :- not w, not z. w :- not v, not z. z :- not v, not w. S. Costantini / Datalog e ASP

Choice (XOR) v+w+z. rephrased as v | w | z. :- w, z. :- v, z. :- v, w. S. Costantini / Datalog e ASP

Classical Negation ¬p - p :- q,r. rephrased as p' :- q,r. :- p,p‘ S. Costantini / Datalog e ASP

A party: guests that hate each other cannot seat together, guests that love each other should sit together table(1..3). guest(1..5). hates(1,3). hates(2,4). hates(1,4). hates(2,3). hates(4,5). hates(1,5). likes(2,5). S. Costantini / Datalog e ASP

% Choice rules 1{at_table(P,T) : table(T)}1 :- guest(P). 0{at_table(P,T) : guest(P)}3 :- table(T). S. Costantini / Datalog e ASP

% Choice rules n { p(X,Y) : d1(X) } m :- d2(Y). Meaning: forall Y which is a d2 we admit only answer sets with at least n atoms and at most m atoms of the form p(X,Y), where X is a d1 S. Costantini / Datalog e ASP

% hard constraint :- hates(P1,P2),at_table(P1,T),at_table(P2,T), guest(P1),guest(P2),table(T). S. Costantini / Datalog e ASP

% should be a soft constraint! :- likes(P1,P2), at_table(P1,T1), at_table(P2,T2), T1 != T2, guest(P1), guest(P2),table(T1),table(T2). S. Costantini / Datalog e ASP

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