la somma degli angoli interni di un poligono convesso?

Presentazione sul tema: "la somma degli angoli interni di un poligono convesso?"— Transcript della presentazione:

1 la somma degli angoli interni di un poligono convesso?
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso?

2 la somma degli angoli interni di un poligono convesso?
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo

3 la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180°

4 la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo

5 la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2

6 la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono

7 la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3

8 la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono

9 la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono S = 180° x 4

10 Se il poligono ha M vertici?
fine E in generale? Se il poligono ha M vertici? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono S = 180° x 4

11 fine Congettura: In un poligono convesso con M vertici la somma degli angoli interni è S = 180° x (M - 2) triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono S = 180° x 4

12 la somma degli angoli interni di un poligono convesso?
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Un’altra strategia per generare la stessa congettura

13 la somma degli angoli interni di un poligono convesso?
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Triangolo S = 180°

14 la somma degli angoli interni di un poligono convesso?
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 4 - 180° x 2

15 la somma degli angoli interni di un poligono convesso?
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 4 - 180° x 2 pentagono S = 180° x 5 - 180° x 2

16 la somma degli angoli interni di un poligono convesso?
fine Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? E quindi: M-gono S = 180° x M - 180° x 2 = 180° x (M-2) Triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 4 - 180° x 2 pentagono S = 180° x 5 - 180° x 2

17 Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?
fine Congettura: In un poligono convesso con M vertici la somma degli angoli interni è S = 180° x (M - 2) Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?

18 uso asimmetrico dei vertici
fine COMMENTO C’è differenza tra le due strategie? (in vista della dimostrazione) “vertice” uso asimmetrico dei vertici il ‘nuovo’ vertice deve essere ‘ben’ collocato l’esempio ‘generico’ è dinamico su M (suggerisce il passaggio da M a M+1 vertici) “punto interno” uso simmetrico dei vertici il ‘nuovo’ vertice può essere ‘ovunque’ l’esempio ‘generico’ è statico su M

19 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione)
fine Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

20 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica
fine Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella) nel triangolo la somma degli angoli interni è S = 180° x (3 - 2) = 180° OK E ora, il secondo passo!

21 Questo è un poligono con m vertici.
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m vertici. La somma S degli angoli interni è: S = 180° x (m - 2) (per ipotesi)

22 Questo è un poligono con m vertici.
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m vertici. La somma S degli angoli interni è: S = 180° x (m - 2) (per ipotesi) Aggiungo un vertice (m + 1). S = 180° x (m - 2)

23 Questo è un poligono con m+1 vertici.
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. S = 180° x (m - 2)

24 Questo è un poligono con m+1 vertici.
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. Posso ritagliare un triangolo. S = 180° x (m - 2)

25 Questo è un poligono con m+1 vertici.
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. Posso ritagliare un triangolo. S = 180° x (m - 2)

26 Questo è un poligono con m+1 vertici.
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. 180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2] S = 180° x (m - 2)

27 Questo è un poligono con m+1 vertici.
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. 180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2] S = 180° x (m - 2) E’ fatto anche il secondo passo!

28 vale per un poligono con un numero M qualsiasi di vertici
fine Allora l’assioma garantisce che la formula per la somma degli angoli interni S = 180° x (M - 2) vale per un poligono con un numero M qualsiasi di vertici ………………... 180° x (M - 2)