GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Presentazione sul tema: "GEOMETRIE NON EUCLIDEE"— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Gennaio 2009

2 Gli elementi di Euclide
Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

3 Coerenza logica e modellizzazione
Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite”

4 Il modello di Klein - K2

5 Posizione relativa di due rette in K2
Secanti = le rette che intersecano r in un punto interno di Ω Parallele = le rette che intersecano r in un punto di ∂Ω Iperparallele = le rette che non intersecano r né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

6 Difetti del modello di Klein
Modello non conforme D C

7 Indipendenza del V postulato

8 Il modello del disco: l’omino geometra e il suo mondo di gas

9 Che cos’è una retta?

10 Formalizzando: il modello del disco - D2

11 Il modello del disco - segue

12 Posizione relativa di due rette in D2
Secanti = due rette che si intersecano in un punto interno di Ω Parallele = due rette che si intersecano in un punto di ∂Ω Iperparallele = due rette che non si intersecano né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

13 Triangoli sgonfi

14 Circonferenze

15 Arte iperbolica: Escher

16 Il modello del semipiano - Π2

17 Il modello del semipiano - segue

18 Triangoli

19 Il modello dell’iperboloide

20 Equivalenza e comodità

21 Gli elementi di Euclide
Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

22 Curvatura di una linea

23 Curvatura di una linea in un suo punto definizione rigorosa

24 Curvatura di una superficie: intuitivamente…

25 … e rigorosamente n P

26 Classificazione dei punti di una superficie

27 Classificazione dei punti di una superficie

28 Superfici curve … di curvatura nulla!

29 Superfici di curvatura costante e geometrie
Superfici omogenee

30 Pari dignità!

31 Gauss e la geometria intrinseca
Estrinseco Intrinseco

32 Flatlandia

33 Gauss e la geometria intrinseca
Theorema egregium: La curvatura è una grandezza intrinseca!

34 Isometrie e grandezze intrinseche
La curvatura è una grandezza intrinseca La curvatura è una grandezza invariante per isometrie

35 Superfici curve … di curvatura nulla! (bis)

36 Aree di triangoli

37 Carte geografiche e deformazioni prevedibili

38 Buckminster Fuller, Dymaxion Map e cupole geodesiche

39 A spasso su Marte

40 Pavimenti e tassellazioni
Tassellazione regolare {N,K}

41 Il paradiso del piastrellista

42 Il paradiso del piastrellista

43 Klein e la nuova definizione di geometria
cosa vuol dire fare geometria? Gruppo di trasformazioni Proprietà invarianti Geometria = lo studio degli enti le cui proprietà sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo dato

44 Gli elementi di Euclide
Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

45 La forma dell’universo

46 Perché il problema è così difficile?
n dimensioni obbligatorietà del punto di vista intrinseco

47 Generalizzazione del concetto di curvatura alle dimensioni superiori
esiste e funge da “spartitraffico” 3 geometrie: ellittica (K > 0), euclidea (K = 0), iperbolica (K < 0) si può edificare una geometria globalmente valida solo su oggetti di curvatura costante e il segno della curvatura stabilisce il tipo di geometria. 3 modelli: Sn (K ≡ 1), En (K ≡ 0), Hn (K ≡ -1), la curvatura è sempre una grandezza intrinseca

48 Einstein: la gravità è geometria
la presenza di massa ed energia curva lo spazio

49 Lenti gravitazionali e croci di Einstein

50 Forma dell’universo a grande scala: possibili soluzioni delle equazioni della relatività generale
Principio cosmologico: l’universo a grande scala è omogeneo e isotropo tensore energia - impulso = funzioni del tensore di Ricci l’universo non è statico ma si evolve, cambiando le sue dimensioni nel tempo (contraendosi o dilatandosi); la geometria dell’universo a grande scala è curva e l’usuale geometria euclidea è solo un caso particolare tra le ∞ geometrie non euclidee che si ottengono come soluzioni delle equazioni.

51 Hubble: l’universo in espansione e il più grande errore di Einstein

52 Poincaré ed Einstein

53 Espansione e Big Bang

54 Letteratura: un poetico grande botto

55 Densità critica, forma e destino dell’universo
curvatura geometria prototipo destino Ω<1 negativa iperbolica espansione infinita Ω=1 nulla euclidea espansione che rallenta e termina dopo un tempo infinito (cioè mai) Ω>1 positiva ellittica fine dell’espansione e collasso (big crunch)

56 Calcolare Ω: il problema dell’inventario
Materia oscura Energia oscura

57 Telescopio o macchina del tempo?

58 BOOMERANG, MAP e gli altri: l’universo è piatto?

59 È piatto … ma che forma ha???

60 Conseguenze cosmologiche di BOOMERANG

61 Bibliografia GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Ed. Alpha test
                                      Bibliografia GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Ed. Alpha test Coll. Gli Spilli Grazie per l’attenzione!