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114 La misura e la statistica (1)

115 La misura e la statistica (1)
Ricapitoliamo la situazione dal ‘700 in poi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

116 La misura e la statistica (1)
Gauss verso la fine del 1700 scopre un fatto nuovo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

117 La misura e la statistica (1)
La posizione angolare di una stella non viene mai riprodotta esattamente Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

118 La misura e la statistica (1)
Nasce una nuova visione della misura I dati sperimentali non sono certi, ma approssimati Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per le previsioni teoriche Sia per imprecisioni di calcolo Sia per imprecisioni di metodo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

119 La misura e la statistica (1)
Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa del metodo Scarsa conoscenza dello strumento Ed impossibilità di andare oltre a certi limiti Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa della Natura Impossibilità fisica di misurare certe zone della Natura (energia-tempo, momento-posizione, etc.) Impossibilità pratica di prevedere fenomeni iterati Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

120 La misura e la statistica (1)
Ciò che riusciamo a dominare (entro certi limiti) sono L’imprecisione casuale ERRORI CASUALI L’imprecisione strumentale ERRORI SISTEMATICI L’imprecisione teorica ERRORI DI FORMALISMO E DI CALCOLO NUMERICO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

121 La misura e la statistica (1)
Con Gauss il caso entra nella Scienza ... è la fine dell’epoca della Dea Ragione? Oggi senza la statistica non esiste metodo sperimentale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

122 La probabilità e le sue leggi
Gli inizi

123 La probabilità e le sue leggi
La definizione astratta di probabilità è praticamente inutile Petizione di principio Rapporto fra i casi favorevoli ad un evento ed i casi possibili, quando questi siano equiprobabili È la probabilità a priori Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

124 La probabilità e le sue leggi
La difficoltà concettuale è solo apparente Si tratta di una sistemazione di fatti empirici Il dado ed i suoi rimbalzi I fenomeni complessi ed iterati La statistica è al confine fra Empiria (= Natura) ed Astrazione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

125 La probabilità e le sue leggi
Definizione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

126 La probabilità e le sue leggi
In generale, per un evento ripetuto volte, definiremo Frequenza assoluta: numero di casi favorevoli Frequenza relativa: di solito semplicemente frequenza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

127 La probabilità e le sue leggi
LEGGE DEI GRANDI NUMERI Per la frequenza tende alla probabilità (a priori) Attenzione: in senso statistico o stocastico Non è la solita tendenza al limite Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

128 La probabilità e le sue leggi
Tendenza al limite stocastica Diverse sequenze danno diversi percorsi Non si può stabilire un “N talmente grande che...” Sono sempre possibili scostamenti molto grandi ...solo che divengono sempre più rari Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

129 La probabilità e le sue leggi
Facciamo l’esempio del solito dado Uscita di una faccia Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

130 La probabilità e le sue leggi
Legge della somma Due eventi mutuamente esclusivi A e B Uscita del 2 o del 4 Si considera evento favorevole il verificarsi del primo o del secondo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

131 La probabilità e le sue leggi
I casi favorevoli si sommano Quindi si sommano le probabilità Per un or (  +) di eventi mutuamente esclusivi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

132 La probabilità e le sue leggi
Legge del prodotto Due eventi indipendenti A e B Uscita del 2 su un dado e del 4 sull’altro Si considera evento favorevole il verificarsi del primo e del secondo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

133 La probabilità e le sue leggi
I casi favorevoli e possibili si combinano, e quindi si moltiplicano Quindi si moltiplicano le probabilità Per un and ( ) di eventi indipendenti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

134 La probabilità e le sue leggi
Se A a B non sono indipendenti definiremo le probabilità condizionali Probabilità che avvenga A dopo che si è verificato B, etc. Evidentemente... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

135 La probabilità e le sue leggi
La formula di Bayes: Partiamo da una serie di eventi mutuamente esclusivi La scelta di un cassetto in cui siano contenuti diversi miscugli di palle bianche e nere Un evento E può accadere solo se è accaduto un evento B Estrazione di una palla bianca o nera Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

136 La probabilità e le sue leggi
Probabilità che avendo estratto una palla nera il cassetto da cui è stata estratta sia il secondo Praticamente mai usata in fisica, e difatti... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

137 La probabilità e le sue leggi
ATTENZIONE Siamo sicuri che siano rispettate teoricamente le ipotesi? La scelta dei cassetti è veramente equiprobabile? Siamo sicuri che siano rispettate in pratica le ipotesi? La scelta dei cassetti è stata fatta effettivamente in modo equiprobabile? Non ci sono bias? Non ci sono errori sistematici? Questioni molto sottili e molto difficili da controllare... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

138 La probabilità e le sue leggi
Se A e B non sono mutuamente esclusivi otteniamo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

139 La probabilità e le sue leggi
Se la probabilità di un evento è p, la probabilità che esso avvenga k volte in n tentativi vale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

140 La probabilità e le sue leggi
Il calcolo delle probabilità è essenzialmente un gioco di calcolo combinatorio Il calcolo può divenire anche molto complicato Esempio: il terno al Lotto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

141 La probabilità e le sue leggi
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

142 La probabilità e le sue leggi
Quindi se io gioco tutti i terni ad 1€ per terno spendo € Uno esce Per la vincita mi pagano 5000 € Ed i rimanenti 6748 €? ...... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

143 La probabilità e le sue leggi
Attenzione alle leggende metropolitane I numeri che ritardano ...e che quindi scientificamente debbono uscire (Se no che figura ci farebbero?) In realtà l’evento raro è già accaduto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

144 La probabilità e le sue leggi
Importante il calcolo dei fattoriali Formula di Stirling Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

145 Elementi di statistica

146 Elementi di statistica
La statistica è un’estensione del calcolo delle probabilità Si parte dai concetti fondamentali Si estende la definizione di probabilità Si introducono delle nuove variabili Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

147 Estensione del concetto di probabilità

148 Estensione del concetto di probabilità
La probabilità viene fatta passare da un numero razionale ... ... ad un numero reale La probabilità può essere infinitesima Anche se poi si darà significato sempre all probabilità finita Tramite integrazioni Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

149 Estensione del concetto di probabilità
Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite Non si può più definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

150 Le variate

151 Le variate Una variata è una variabile... ... reale
... discreta o continua ... associata ad una probabilità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

152 Le variate Una variata discreta Assume i valori ...
... con probabilità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

153 Le variate Esempio classico: il dado Variata: un numero da 1 a 6
Probabilità associata: 1/6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

154 Le variate Si definisce Valore atteso Speranza matematica Valore medio
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

155 Le variate La variata discreta può essere definita da una tabella
Esempio: I numeri riportati sulle facce di un dado Attenzione: i numeri potrebbero essere diversi Anche le probabilità se il dado fosse truccato... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

156 Le variate 1 0.167 2 3 4 5 6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

157 Le variate Ed ecco una rappresentazione grafica Distribuzione Spettro
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

158 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

159 Le variate Se si conoscono solo valori proporzionali alle probabilità occorrerà normalizzarli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

160 Le variate Una variata continua
Assume valori reali in un dominio D con probabilità infinitesima La è la funzione di distribuzione (spettro) Funzione densità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

161 Le variate Il dominio D sarà per noi, praticamente sempre, uno dei seguenti insiemi Tutto l’asse reale Il semiasse reale positivo Un intervallo (e di solito chiuso) Indicheremo in ogni caso l’estremo inferiore con low e quello superiore con high Ecco degli esempi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

162 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

163 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

164 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

165 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

166 Le variate In ogni caso vale la condizione di normalizzazione
...ed in generale un valore atteso (“speranza matematica”) vale... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

167 Le variate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

168 Le variate Una distribuzione si può descrivere
Con la funzione di distribuzione stessa Con la distribuzione cumulativa Con la trasformata di Fourier della Funzione caratteristica Funzione generatrice dei momenti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

169 Le variate Attenzione alle funzioni cumulative Solo un paio di esempi
Sono più simili delle funzioni di distribuzione! Solo un paio di esempi Hanno molta importanza quando si simulano dei dati MonteCarli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

170 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

171 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

172 Le variate ...è sempre il solito passaggio dalle derivate agli integrali e viceversa... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

173 Le distribuzioni in generale

174 Le distribuzioni in generale
Sono funzioni per cui è sempre Per un insieme di definizione infinito dev’essere Per evitare la divergenza logaritmica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

175 Le distribuzioni in generale
Di solito hanno quindi dei picchi Il picco più alto si chiama moda della distribuzione Un picco: unimodale Poi bimodale, multimodale... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

176 Le distribuzioni in generale
Si definisce la mediana È definita con un’equazione integrale Non gode di proprietà di linearità Molto utile e potente soprattutto nell’analisi delle serie temporali Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

177 Le distribuzioni in generale
Poi ci sono i quartili Mediane della mediana Poi i percentili ... NON USATELI MAI Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

178 Le distribuzioni in generale
Quasi sempre di una distribuzione si fornisce La media La standard deviation La moda A volte anche il momento secondo (o la sua radice) Valore quadratico medio È il caso delle velocità in un gas Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

179 Le distribuzioni in generale
Attenzione a non confondere Facili a confondere se si usa il simbolo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

180 Distribuzioni discrete e continue

181 Distribuzioni discrete e continue
In molti testi sono trattate assieme Per usare sommatorie + integrali occorre usare gli integrali di Stjeltjes Ma ne vale la pena?... Noi separeremo i due casi Non capita mai di avere variate miste (discrete + continue) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

182 Le principali distribuzioni discrete

183 Le principali distribuzioni discrete
Veramente importanti solamente due Distribuzione di Bernoulli e binomiale Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

184 La distribuzione di Bernoulli

185 La distribuzione di Bernoulli
Il caso più semplice Variata che può assumere due valori SCHEMA X Prob. 1 successo p insuccesso q=1-p Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

186 La distribuzione di Bernoulli
Valor medio Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

187 La distribuzione binomiale
Estensione della distribuzione di Bernoulli Caso tipico: Estraiamo da un’urna una palla Bianca: probabilità p Nera: probabilità q=1-p Probabilità di estrarre k palle bianche su n estrazioni, rimpiazzando ogni volta la palla Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

188 La distribuzione binomiale
Legge della distribuzione Introduciamo una variata che valga 1 per successo e 0 per insuccesso Quindi Su n prove Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

189 La distribuzione binomiale
Si può calcolare anche con la funzione caratteristica Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

190 La distribuzione binomiale
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

191 La distribuzione binomiale
All’aumentare della probabilità (da 0.1 a 0.3) la distribuzione diviene più simmetrica Assomiglia ad una distribuzione gaussiana ...che vedremo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

192 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

193 La distribuzione di Poisson

194 La distribuzione di Poisson
È la distribuzione di eventi rari È ciò che diviene la binomiale quando Legge della distribuzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

195 La distribuzione di Poisson
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

196 La distribuzione di Poisson
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

197 La distribuzione di Poisson
Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

198 La distribuzione di Poisson
Ed infine un grafico per e Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

199 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

200 Le principali distribuzioni continue

201 Le principali distribuzioni continue
Molte hanno interesse limitato Qui studiamo solo quelle di maggiore interesse per la misura Definite In un intervallo (solo la uniforme) Semiasse reale positivo Tutto l’asse reale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

202 La distribuzione uniforme

203 La distribuzione uniforme
Definita fra –1/2 e 1/2 Di solito però fra 0 e 1 Il calcolatore estrae “numeri a caso” in questo intervallo In realtà i numeri sono pseudocasuali Estratti con un formalismo causale si verifica a posteriori che rispettino la casualità Il caso di p Sono la base per simulazioni statistiche Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

204 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

205 La distribuzione uniforme
Definizione della distribuzione In generale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

206 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

207 La distribuzione uniforme
Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

208 UN PROBLEMA INTERESSANTE

209 Un problema interessante
Visto che il calcolatore mi dà solo numeri (pseudo)casuali fra 0 ed 1, posso (e se sì come) ottenere dei numeri distribuiti fra A e B con una distribuzione f(x) ? La risposta è affermativa Metodo di reiezione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

210 Un problema interessante
Uno schizzo grafico... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

211 Un problema interessante
Ricetta Calcoliamo anzitutto il massimo della funzione nel nostro intervallo Poi calcoliamo Estraiamo un numero fra 0 ed 1 Calcoliamo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

212 Un problema interessante
Ora estraiamo un secondo numero fra 0 ed 1, e moltiplichiamolo per M: Quindi una distribuzione uniforme fra 0 ed M Siamo ora in possesso di due numeri (pseudo)casuali X fra a e b Y fra 0 ed M Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

213 Un problema interessante
Calcoliamo la Terremo per buono il valore X se è Rigetteremo il valore X Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

214 Un problema interessante
Il metodo è usatissimo e garantito Funziona a spese di estrazioni a vuoto In pratica Si riempie uniformemente il rettangolo verde di punti Si tengono per buoni solo quelli sotto la curva Funziona anche per più dimensioni ...e si allungano i tempi... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

215 La distribuzione gaussiana

216 La distribuzione gaussiana
Se sommiamo variabili distribuite uniformemente otteniamo Numero di variabili: 1, 2, 3, 4, 10 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

217 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

218 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

219 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

220 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

221 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

222 La distribuzione gaussiana
Si dimostra che si tende ad una distribuzione tipica, “a campana” La distribuzione normale In generale La distribuzione gaussiana Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

223 La distribuzione gaussiana
Dimostrazione non immediata Bisogna lavorare sulle funzioni caratteristiche Passare al limite (e si tratta di dipendenze funzionali... Si vede anche che il limite è lo stesso anche se le distribuzioni NON sono uniformi ...e difatti è MOLTO IMPORTANTE il Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

224 La distribuzione gaussiana
Teorema del limite centrale Se una variata ha una ha una distribuzione la media di un campione su osservazioni tende ad essere distribuita normalmente al crescere di Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

225 La distribuzione gaussiana
Quindi le al crescere di tendono ad essere distribuite normalmente anche se non lo sono le singole variate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

226 La distribuzione gaussiana
Noi ci limiteremo alle variate normali Sono le più utili Coprono l’assoluta maggioranza dei casi pratici Quando occorre qualcosa di più si è nei guai In questo caso bastano due momenti Media e SD Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

227 La distribuzione gaussiana
Caso importante “fuori dal coro” i conteggi Seguono la statistica di Poisson Però Regola a spanne Quando usate pure Gauss con Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

228 La distribuzione gaussiana
Sotto a questo limite bisogna stare attenti perchè... La distribuzione è asimmetrica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

229 La distribuzione gaussiana
Insomma... TUTTO FINISCE PER ESSERE GAUSSIANO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

230 La distribuzione gaussiana
La funzione di distribuzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

231 La distribuzione gaussiana
Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

232 La distribuzione gaussiana
Definiremo a partire da una variata normale x La variata centrata (detta anche scarto) La variata ridotta (detta anche scarto ridotto) Vediamo degli esempi grafici Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

233 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

234 La distribuzione gaussiana
Una proprietà importante: Le probabilità di stare dentro un certo numero N di SD sono sempre le stesse Attenzione: la funzione d’errore è (storicamente) definita per una gaussiana non normalizzata... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

235 La distribuzione gaussiana
Definizione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

236 La distribuzione gaussiana
In realtà a noi serve Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

237 La distribuzione gaussiana
1 2 3 4 5 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

238 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

239 La distribuzione maxwelliana

240 La distribuzione maxwelliana
Importante per la distribuzione dei moduli delle velocità delle molecole in un gas Funzione di distribuzione Stavolta non conviene usare la funzione caratteristica... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

241 La distribuzione maxwelliana
Moda Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

242 La distribuzione maxwelliana
Standard deviation Velocità quadratica media Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

243 La distribuzione maxwelliana
Skewness Kurtosis Quasi una gaussiana Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

244 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

245 La distribuzione del 2

246 La distribuzione del 2 La funzione di distribuzione è temibile...
Funzione caratteristica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

247 La distribuzione del 2 Media Varianza
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

248 La distribuzione del 2 Una rappresentazione grafica per
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

249 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

250 Perché il 2?

251 Perché il 2? Prendiamo variate La somma si distribuisce come
Distribuite normalmente Indipendenti La somma si distribuisce come Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

252 Perché il 2? La somma dei quadrati degli scarti ridotti ci dice quanto può essere buona una previsione rispetto ai dati osservati Dobbiamo osservare (sempre in senso stocastico!) Con una varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

253 Perché il 2? Che probabilità c’è di osservare un valore di 2 superiore ad un valore trovato? Si chiama livello di confidenza Un grande 2 ha un basso CL È improbabile osservarlo -> qualcosa sta andando male... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

254 Perché il 2? Ecco cosa succede per N=10 Funzione CL
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

255 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

256 Perché il 2? C’è solo il 10% di probabilità di trovare un 2 maggiore o uguale a 15 Se lo si trova si è di fronte ad un evento improbabile ...se questo deriva da un’ipotesi teorica che abbiamo fatto... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

257 Test di ipotesi Perché il 2? Insomma abbiamo un
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

258 Perché il 2? ...ma anche se troviamo un 2 troppo piccolo qualcosa potrebbe non andar bene Non è che abbiamo sbagliato a calcolare le varianze? ...magari stimandole troppo elevate? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

259 Le distribuzioni bivariate

260 Le distribuzioni bivariate
Sono definite per due variate La situazione adesso è molto più complessa Il grafico è una superficie Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

261 Le distribuzioni bivariate
Si definiscono le distribuzioni marginali... ...e quelle condizionali Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

262 Le distribuzioni bivariate
Se la non dipende da x allora ...e le variabili si dicono indipendenti Tutto simmetrico per la y Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

263 Le distribuzioni bivariate
Per ogni valore di x avremo una media Plottando questo verso x si ottiene la curva di regressione di y su x Regressione: da studi di biometria (Galton): la statura dei figli di genitori con statura superiore alla media tende a regredire verso la statura media della razza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

264 Le distribuzioni bivariate
Il caso delle distribuzioni di variate normali indipendenti: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

265 Le distribuzioni bivariate
Se le variate non sono indipendenti È sempre possibile riportarsi ad una forma del tipo La curva di regressione di y su x è una retta Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

266 Le distribuzioni bivariate
Abbiamo una serie di osservazioni Calcoliamo la somma dei quadrati degli scarti Questa è minima per Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

267 Le distribuzioni bivariate
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

268 Le distribuzioni bivariate
Questo è il coefficiente di correlazione fra le variate La stima teorica è Per variabili non ridotte Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

269 Le distribuzioni bivariate
La varianza di Y su X è data quindi da Le variabili indipendenti sono Leggi: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

270 Le distribuzioni bivariate
Quindi la legge generale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

271 Le distribuzioni bivariate
Due esempi di distribuzioni con variate indipendenti e due con variate dipendenti Nel caso di quelle indipendenti: Una stella fotografata da un telescopio Tremolio attorno ad una posizione media La SD misurata in secondi d’arco, prende il nome di seeing Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

272 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

273 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

274 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

275 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

276 Le distribuzioni bivariate
In generale... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

277 La somma delle varianze

278 La somma delle varianze
Supponiamo di avere delle variabili indipendenti Ora prendiamo le variate centrate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

279 La somma delle varianze
Ora abbiamo E quindi la legge della somma delle varianze per variate indipendenti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

280 La somma delle varianze
Per somme di variate indipendenti le varianze si sommano quadraticamente Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

281 La somma delle varianze
Quindi sommare direttamente le standard deviation porta ad una sovrastima della varianza finale A volte può essere perfino conveniente... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

282 La misura come variata

283 La misura come variata Una qualunque misura è affetta da una serie di incertezze Se ripetuta non dà gli stessi risultati Molte (ed in numero sempre maggiore) di previsioni teoriche non possono essere fatte con mezzi formali Vengono fatte con mezzi o numerici o statistici MonteCarli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

284 La misura come variata In definitiva il confronto fra teoria ed esperimento è sempre probabilistico Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

285 La misura come variata Il primo passo è che una misura è sempre pensata come una variata E di solito normale Questo vale sia per misure “tipiche” Il diametro di un chiodo ... sia per misure di tipo statistico Il peso medio di un pollo di un allevamento ...sia per misure complesse Densitometria ossea Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

286 Di norma si suppone che La misura come variata
La misura di una quantità singola sia una variata normale Con valore atteso Con SD I momenti superiori sono (evidentemente) noti La SD sia piccola rispetto al valore atteso Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

287 La misura come variata SE QUESTE IPOTESI NON FUNZIONANO OCCORRE AGIRE DI CONSEGUENZA E CAMBIARE IL FORMALISMO DI QUANTO DIREMO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

288 Medie ed errori

289 Medie ed errori Risultato di una misura: una variata normale Momenti:
Primo: -> la media Secondo: -> la varianza Si fornisce la deviazione standard Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

290 Medie ed errori Nell’ipotesi normale è sufficiente fornire i primi due momenti In realtà si fornisce per convenzione media e SD Il risultato di una misura viene espresso in generale come Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

291 Medie ed errori Due tipi di errore Di solito misurato in % o in ppm
Assoluto Relativo Di solito misurato in % o in ppm Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

292 Medie ed errori Quasi sempre è espresso con una o al massimo due cifre significative Non si ritiene utile andare più in là Esempio: Numero di Avogadro Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

293 Medie ed errori La SD ha sempre il significato statistico visto nella distribuzione normale Fuori di 1 SD ->  33 % Fuori di 2 SD ->  4 % Fuori di 3 SD ->  0,3 % = 3000 ppm Cosiddetto errore massimo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

294 La misura diretta

295 La misura diretta Il caso più semplice
Misuriamo il lato di un cubo con un calibro O stimiamo l’errore in base alla lettura O ripetiamo N volte la misura Otteniamo un vettore Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

296 La misura diretta Stima del valore più probabile
Questo è il valore che si fornisce come risultato della misura MA: anche questa è una variata! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

297 La misura diretta Le medie hanno dispersione minore
Attenzione: ridurre la SD costa caro! Per ridurre la SD di un fattore 10 occorre aumentare il campione di un fattore 100! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

298 La misura diretta ...e le fluttuazioni?
Si fa l’ipotesi (ragionevole) che la caduta in un bin rappresenti un evento raro Statistica di Poisson Quindi in un bin abbiamo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

299 La misura diretta Errore relativo...
...ancora la dipendenza dalla radice! A spanne: aumentare di 10 volte la statistica riduce l’errore di un fattore 3 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

300 La misura diretta Un esempio pratico:
Prendiamo un campione casuale di 1000 casi, da cui traiamo una certa conclusione. Che fluttuazioni ci possiamo aspettare? ...e con 100 casi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

301 Dovremmo salire a 100 000 casi! La misura diretta
...e se volessimo ottenere fluttuazioni del 3 per mille? Dovremmo salire a casi! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

302 ed ai risultati di medicamenti miracolosi provati su
La misura diretta Insomma: attenti ai sondaggi ed ai risultati di medicamenti miracolosi provati su ben 127 casi... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

303 CONVENZIONI ACCETTATE
La misura diretta E se non abbiamo a disposizione molte misure? Si stima l’errore. CONVENZIONI ACCETTATE Per strumenti a indicatore: metà della divisione più piccola Per strumenti digitali: metà dell’ultima cifra significativa Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

304 La misura di grandezze funzioni di altre

305 La misura di grandezze funzioni di altre
Caso tipico Misuriamo il diametro di una sfera Determiniamo l’errore di misura Calcoliamo il volume della sfera Come facciamo a calcolare l’errore sul volume? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

306 La propagazione degli errori

307 La propagazione degli errori
Riprendiamo la formula Nell’ipotesi normale e di errori piccoli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

308 La propagazione degli errori
Errore relativo Più in generale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

309 La propagazione degli errori
E se le variabili sono in numero maggiore? Dovremo tener conto Del teorema del differenziale totale Dell’additività quadratica delle varianze Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

310 La propagazione degli errori
In totale... E l’errore relativo diviene Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

311 La derivata logaritmica

312 La derivata logaritmica
Nel caso di una variabile... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

313 La derivata logaritmica
Una comoda scorciatoia Usabile per errori piccoli Utile se le funzioni sono di tipo algebrico Facile da memorizzare … se uno non ha molte pretese … Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

314 La derivata logaritmica
Ecco un esempio strambo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

315 La derivata logaritmica
Attenzione: Non è rispettata l’additività quadratica delle varianze Si ottiene una sovrastima dell’errore complessivo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

316 La misura statistica

317 La misura statistica Un problema: come misuriamo l’energia (o il momento) di un fascio ad es. Di elettroni? Non c’è un’energia unica Possiamo far passare gli elettroni in campo magnetico e poi misurare l’intensità alle varie deflessioni Possiamo usare campi magnetici ed elettrici incrociati ... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

318 La misura statistica Cosa succede se gli elettroni sono pochi?
Dobbiamo accumulare statistica Misurare l’energia di uno alla volta Accumulare i dati Riportare le misure in un istogramma delle frequenze A questo punto abbiamo dei conteggi ad intervalli fissati In conteggi sono interi (numeri esatti...) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

319 La misura statistica Prenderemo
Come valori della x i centri degli intervalli Come valori della y i conteggi Come errori la loro radice quadrata Statistica di Poisson Abbiamo l’approssimazione di una funzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

320 Attenzione a pensare che il numero dei casi sia “esatto”
La misura statistica Da questo momento in poi le misure statistiche si trattano come le altre Attenzione a pensare che il numero dei casi sia “esatto” Cosa comune in economia e medicina... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

321 La misura statistica Aver osservato 100 casi vuol dire
Altroché valore esatto... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

322 IL problema

323 IL problema Abbiamo dei dati sperimentali
DOBBIAMO avere almeno un modello teorico Il(-i) modell0(-i) dipende(-ono) da alcuni parametri incogniti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

324 Come facciamo a determinare dei parametri in questione?
IL problema Come facciamo a determinare le migliori stime dei parametri in questione? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

325 Come facciamo a determinare dei suddetti parametri?
IL problema Come facciamo a determinare gli errori sulle stime dei suddetti parametri? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

326 Come facciamo a decidere se un modello è accettabile?
IL problema Come facciamo a decidere se un modello è accettabile? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

327 Come facciamo a decidere qual’è il modello
IL problema Come facciamo a decidere qual’è il modello “migliore”? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

328 Come facciamo ad escludere
IL problema Come facciamo ad escludere un modello? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

329 La stima parametrica

330 La stima parametrica Un esempio: A vari si misurano dei valori
Come possiamo determinare la migliore stima dei coefficienti della retta che meglio approssima i dati? Come possiamo determinare gli errori sui coefficienti della retta? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

331 La stima parametrica Scegliamo ora per l’approssimazione una parabola, e ripetiamo il processo Come possiamo decidere quale è il modello migliore (retta o parabola)? È possibile determinare la probabilità che sia verificato il modello? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

332 stima parametrica test di ipotesi La stima parametrica
Il primo problema si chiama stima parametrica Il secondo problema si chiama test di ipotesi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

333 La stima parametrica Supponiamo ora di misurare distanze ed angoli fra tre vette di montagne. Come possiamo determinare le migliori stime di distanze ed angoli in modo che il triangolo chiuda? La somma degli angoli interni dev’essere 180° Vera la geometria euclidea Come possiamo decidere se vale o no la geometria euclidea? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

334 stima parametrica vincolata
La stima parametrica Il problema si chiama stima parametrica vincolata Il secondo problema è un’estensione del test di ipotesi ed è il test di una teoria Nessuna differenza concettuale, solo una maggiore “importanza” Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

335 La Maximum Likelihood

336 La Maximum Likelihood Esempio della retta
Se conosciamo la legge di distribuzione intorno a y, calcoliamo la probabilità di ottenere le y osservate attorno al valore previsto Se sono indipendenti è solo il prodotto Otteniamo una funzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

337 La Maximum Likelihood Che di solito è complicatissima
Esprime la probabilità di trovare i valori osservati nell’ipotesi del nostro modello Funzione delle osservazioni e dei parametri incogniti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

338 La Maximum Likelihood Cercheremo i parametri in modo da renderla massima Siccome è un prodotto si semplifica prendendo il suo ln Le derivate di un prodotto... ...ed i prodotti divengono somme! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

339 La Maximum Likelihood Di questa funzione si deve cercare il massimo
Se poi ci sono correlazioni, apriti Cielo... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

340 Questo è l’unico metodo statistico di stima parametrica
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

341 USATE ALMENO DUE PACKAGES DIVERSI!
La Maximum Likelihood Il calcolo delle condizioni di massimo va fatto con metodi numerici In giro ci sono ottimi packages Un consiglio USATE ALMENO DUE PACKAGES DIVERSI! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

342 Il minimo del c2

343 Il minimo del c2 Supponiamo che le osservazioni siano indipendenti e normali La probabilità diviene il prodotto di tante gaussiane Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

344 Il minimo del c2 Ed il logaritmo della funzione di likelihood diviene una somma... ...che dev’essere massima Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

345 Il minimo del c2 ...e quindi dovrà essere minimo
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

346 Il minimo del c2 La stima dei parametri va in cerca dei valori dei parametri che rendono minima la somma dei quadrati degli scarti ridotti rispetto ai valori previsti dal modello scelto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

347 Il minimo del c2 Come si scrive una funzione di c2?
Anzitutto occorre scrivere la funzione Questa è il nostro modello teorico Dipende dalle variabili che osserviamo da alcuni parametri che vogliamo determinare Poi occorre determinare gli errori sulle Problema non facile Da esso dipende non tanto la bontà della risposta, quanto il valore del minimo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

348 Il minimo del c2 Un caso eclatante
Il fit geometrico di tracce di camere a bolle in campo magnetico (anni ’60 al CERN ed altrove) Supposto un modello con archi di cerchio In realtà erano archi di spirale che si stringeva Ne derivava una sovrastima degli errori sui parametri Si traduceva in fit eccessivamente ottimistici Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

349 Il minimo del c2 In generale la previsione è funzione di certi parametri Quindi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

350 Il minimo del c2 Per trovare il minimo si possono seguire due strade
Derivare rispetto ai parametri Si ottiene un sistema di equazioni Sistema normale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

351 Il minimo del c2 Se il sistema è lineare si risolve nei parametri
Il problema è semplice ed è trattato in tutti i testi di statistica Peccato che tutto ciò accada raramente: Regressione lineare o quadratica: retta, parabola,... In genere con funzioni lineari nei parametri incogniti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

352 Il minimo del c2 Un esempio:
Dato un set di coppie nel piano qual’è la parabola che le approssima meglio? Problema lineare Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

353 Il minimo del c2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

354 Il minimo del c2 Ed analoghe per gli altri due coefficienti della parabola Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

355 Il minimo del c2 E se volessimo un cerchio? Siamo nei guai:
Problema comune: particelle in campi magnetici disegnano cerchi, e non parabole... Siamo nei guai: Dobbiamo determinare coordinate del centro e raggio Di nuovo tre parametri Solo che... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

356 Il minimo del c2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

357 Il minimo del c2 ...ed ora... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

358 Il minimo del c2 Anche ora potete calcolare le derivate...
Auguri... ...ma come si risolve poi il sistema normale NON lo trovate sui testi di statistica... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

359 Il minimo del c2 Se il sistema non è lineare si può provare a linearizzarlo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

360 Il minimo del c2 Quindi Si calcolano le correzioni e si pone
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

361 Il minimo del c2 Non si tratta di un problema facile
Le derivate possono diventare facilmente formalmente molto complesse Si tratta di programmi non semplici da scrivere e da gestire Occorre scrivere dei programmi diversi per ogni problema che si affronta Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

362 Il minimo del c2 Molti problemi pratici:
Abbiamo dei ragionevoli valori di prima approssimazione? Il metodo converge ? Dopo quante iterazioni? Con quale precisione? Quando lo fermiamo? Cosa facciamo se diverge? Se le correzioni aumentano invece di diminuire Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

363 Il minimo del c2 Ultimo sistema Minimizzare direttamente la funzione
Packages appositi MINFUN MINUIT MATHEMATICA MatLab MathCad Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

364 Il minimo del c2 Strategie tipiche (MINUIT)
Si parte su una catena di montagne Si esplorano gli incrementi Derivate direzionali Si sceglie quello più negativo Gradiente Si segue la direzione del gradiente Ad un certo punto l’incremento diviene positivo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

365 Il minimo del c2 Si esplora intorno
Se è positivo dappertutto si è in fondo ad uno stagno Se no si riprende Come si fa a sapere che lo stagno è il più profondo di tutti? In due variabili si può visualizzare, ma in più di due? Problemi, problemi... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

366 Il minimo del c2 Attenzione:
Se trovate un minimo, chi vi dice che sia quello vero? Siete arrivati davvero nella valle più profonda di tutte? Potete arrangiarvi se siete in 2 variabili con la grafica Se no... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

367 NESSUNA SOLUZIONE AL PROBLEMA DEI MINIMI LOCALI
Il minimo del c2 NESSUNA SOLUZIONE AL PROBLEMA DEI MINIMI LOCALI SOLO PAZIENZA ED ATTENZIONE Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

368 Il test di ipotesi

369 Il test di ipotesi Torniamo al caso della retta
Una serie di punti, riportati con le loro barre d’errore Ecco un esempio ed un possibile fit Fatto ad occhio... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

370 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

371 4 gradi di libertà Il test di ipotesi Calcoliamo il
Ci sono 6 punti indipendenti, 2 parametri 4 equazioni in più 4 gradi di libertà Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

372 Il test di ipotesi Ci aspettiamo quindi Supponiamo di aver misurato
Attenzione alla skewness di c2! Supponiamo di aver misurato Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

373 La probabilità di osservare un c2 uguale o maggiore di C è assunta come livello di confidenza dell’ipotesi “i punti sperimentali sono stati presi da un campione di punti che in realtà stanno su una retta, coi coefficienti da noi calcolati” Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

374 Il test di ipotesi ...ed ecco la curva per 4 gradi di libertà
Ascissa: valore del c2 Ordinata: probabilità di osservare un c2 maggiore o uguale a quello dell’ascissa Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

375 Il test di ipotesi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

376 Il test di ipotesi Però potremmo anche fare l’ipotesi che i punti nel nostro modello dovrebbero stare su una parabola E stavolta avremmo 3 gradi di libertà Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

377 Un problema Il test di ipotesi
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

378 Il test di ipotesi Aumentando il numero dei parametri il CL migliora
Se usiamo una curva di 5° grado questa passa per tutti e 6 i punti Il c2 diviene 0! CL=100 %! Vuol dire forse che questa ipotesi è la migliore? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

379 Il test di ipotesi NO! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

380 Vuol dire solo che noi non conosciamo il nostro mestiere...
Il test di ipotesi Vuol dire solo che noi non conosciamo il nostro mestiere... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

381 Risposta: Il test di ipotesi
Un dubbio: ma allora come facciamo a distinguere fra una teoria che predice una retta (Prof.Tizio) Una teoria che predice una curva di 5° grado? (Prof.Caio) Risposta: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

382 NON CON QUESTI DATI Il test di ipotesi
Ne occorrono di più e con errori più piccoli Quindi più misure, e più precise ed accurate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

383 Risposta: Il test di ipotesi
Un panico: ma allora la scelta, anche nella Scienza Esatta, è in certo modo arbitraria? Risposta: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

384 Il test di ipotesi SÌ Scienza e Tecnologia non hanno mai preteso di dare Verità Ideologiche, Religiose, Superstiziose o alla Vanna Marchi È per questo che tanti ne hanno paura... Si procede stringendo il cerchio Confrontandosi, e con molto buon senso Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

385 Il test di ipotesi Parametro importante, e molto usato il c2 diviso per il numero di gradi di libertà Plot: curve parametrizzate su diversi livelli di confidenza Le trovate nella letteratura Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

386 Il test di ipotesi Per grandi N (>10 è un buon valore)
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

387 Il test di ipotesi Quindi esplicitamente
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

388 Il test di ipotesi Le approssimazioni, tabulazioni, funzioni, tabelle, routines si trovano ormai dappertutto Librerie IMSL (IBM) EXCEL (MicroSoft) ... Importante è che sappiate come usarle e cosa vogliono dire... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

389 Approfondiamo l’argomento
Il test di ipotesi Approfondiamo l’argomento Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

390 Un altro problema Il test di ipotesi
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

391 DOVE MI FERMO? Il test di ipotesi
Ho dei dati e faccio il fit con una retta Il c2 è così così Adesso provo una parabola Il c2 migliora (diviene più piccolo) Poi provo una cubica ...va ancora meglio DOVE MI FERMO? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

392 Il test di ipotesi CERTO È CHE SE HO 10 PUNTI UNA CURVA DI IX GRADO RENDE IL c2 PROPRIO 0... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

393 PROCEDURA COMUNEMENTE ACCETTATA
Il test di ipotesi PROCEDURA COMUNEMENTE ACCETTATA Si fa un grafico con In ascissa il numero di gradi di libertà del fit In ordinata il valore del corrispondente c2 Ad un certo punto si nota un brusco calo Uno scalino Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

394 Il test di ipotesi Si tiene per buono il fit allo scalino
Poi aumentando i parametri il c2 continua a calare lentamente Si considera questo calo poco significativo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

395 Il test di ipotesi Tipico il caso per i polinomi
Scarso livello di confidenza per una retta Un po’ meglio con una parabola Buono con una cubica Meglio con una quartica Il risultato è che questi dati danno per buona l’ipotesi della cubica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

396 Un panico Il test di ipotesi
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397 Risposta: niente da fare
Il test di ipotesi E se il c2 cala, ma non c’è scalino? Risposta: niente da fare O meglio: il tipo di curva da noi scelta non funziona Esempio tipico: dati su un esponenziale, fittati con polinomi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

398 Il modello teorico proposto non va, Ed occorre cercarne un altro
Il test di ipotesi Anche questo è un risultato Il modello teorico proposto non va, Ed occorre cercarne un altro Naturalmente bisogna essere ben sicuri dei dati sperimentali e degli errori ad essi associati ... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

399 I vincoli sui parametri

400 I vincoli sui parametri
Ci possono essere delle condizioni extra sui parametri Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

401 I vincoli sui parametri
Esempio (un po’ banale...): Misuriamo tre angoli Ci chiediamo la migliore stima con la condizione che la somma dei valori finali dia 180° Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

402 I vincoli sui parametri
Ci sono varie strade Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

403 I vincoli sui parametri
Una è quella di ridursi a soli parametri indipendenti Può non essere facile esplicitare un parametro E se sono parecchi, con equazioni non lineari... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

404 I vincoli sui parametri
Provare per credere Passate da Facile in linea di principio, ma nei casi pratici basta un radicale Di solito questa strada non è quasi mai usata Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

405 I vincoli sui parametri
L’altra strada è quella dei moltiplicatori di Lagrange Si minimizza rispetto sia alle sia alle Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

406 I vincoli sui parametri
Alle derivate prime si ottengono delle equazioni Automaticamente soddisfatte Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

407 I vincoli sui parametri
Il problema si riduce a minimizzare una funzione più complessa, con più parametri Di questi i moltiplicatori non entrano nelle analisi successive Problema sempre serio: evitare i minimi locali La cosa peggiora all’aumentare del numero di dimensioni... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy