Algoritmi e complessità

Presentazione sul tema: "Algoritmi e complessità"— Transcript della presentazione:

1 Algoritmi e complessità
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2 Sommario La complessità Algoritmi e complessità
Complessità in tempo e spazio Complessità asintotica Algoritmi e complessità Strutture dati: array, liste, alberi, tabelle hash Ricerca e ordinamento La macchina di Turing e le classi di complessità Ai limiti del calcolo: i problemi intrinsecamente difficili 2

3 La complessità 3

4 La complessità L’analisi di complessità definisce le risorse teoricamente consumate da un algoritmo Complessità temporale: tempo necessario all’esecuzione del-l’algoritmo Complessità spaziale: memoria necessaria all’esecuzione del-l’algoritmo Poiché ad ogni algoritmo corrispondono più implementazioni (più programmi), lo studio della complessità non definisce esattamente il tempo e la memoria usata: si concentra sulle proprietà che sono indipendenti dall’implementazione, for-nendo un’idea di quanto sia efficiente un algoritmo 4

5 Che cosa si misura?  1 Complessità temporale
Si contano le istruzioni eseguite dall’algoritmo Poiché le istruzioni potrebbero essere di natura diversa, si individuano quelle che incidono principalmente sul tempo di esecuzione Le operazioni in virgola mobile: le più lente da eseguire per una CPU; sono predominanti se il loro numero è paragonabile al numero delle altre istruzioni Le istruzioni di controllo (gli if) e le istruzioni più frequenti (sono predominanti se sono in numero molto superiore rispetto alle altre istruzioni) Le istruzioni di accesso alla memoria secondaria e alle periferiche: sono decine di migliaia di volte più lente delle istruzioni svolte nella memoria principale; se un’applicazione ne richiede molte, queste potrebbero essere predominanti (ad es., nei database, l’analisi di complessità è concentrata sugli accessi al disco) 5 5

6 Che cosa si misura?  2 Complessità spaziale
Si misurano le “posizioni” di memoria occupate dai dati necessari allo svolgimento dell’algoritmo La complessità spaziale sarà misurata relativamente alla memoria principale se i dati dell’algoritmo possono essere allocati in memoria principale, in base all’occupazione di memoria secondaria quando le strutture dati dell’algoritmo sono troppo grandi per poter risiedere nella memoria centrale 6 6

7 Complessità asintotica
Lo studio della complessità si concentra su i casi in cui il problema è grande: non importa se un programma di contabilità impiega 1 o 100 millisecondi a calcolare il bilancio cambia molto se il programma della segreteria impiega 1 o 10 secondi a trovare i dati di uno studente nell’archivio Complessità asintotica Definisce le risorse usate da un algoritmo al crescere della dimensione del problema affrontato Ad esempio: come cambia il tempo di accesso ai dati quando cresce il numero degli studenti nell’archivio della segreteria 7 7

8 Complessità temporale asintotica  1
Formalmente, si usa il concetto matematico di ordine di grandezza sia n la dimensione del problema, cioè la dimensione dell’input dell’algoritmo sia T(n) il tempo impiegato per l’esecuzione dell’algoritmo quando l’ingresso ha dimensione n sia f(n) una qualsiasi funzione di n, ad esempio 3, n, n2, n5, 2n Si dice che la complessità asintotica dell’algoritmo è dell’ordine di f(n) e si scrive O (f(n)) se esiste una costante  tale che T(n) f(n) Osservazione importante: in base alla definizione data, algoritmi che differiscono solo per una costante moltiplicativa hanno lo stesso ordine di complessità Esempio: due algoritmi che richiedono 4n e 7n operazioni sono entrambi O (n) 8 8

9 Complessità temporale asintotica  2
Informalmente… L’ordine O (f(n)) fornisce una misura della complessità tempo-rale di ogni programma che implementa l’algoritmo Esempio: Calcolare la somma degli elementi di un array n: numero di elementi dell’array complessità: O (n) 9 9

10 relativa al caso peggiore
Complessità media e relativa al caso peggiore Un algoritmo può richiedere un numero di operazioni diverse per ingressi di dimensione uguale: Complessità media: complessità valutata su tutti i possibili ingressi Complessità nel caso peggiore: complessità dell’algoritmo per l’ingresso che richiede più operazioni Di solito, quando si parla di complessità, ci si riferisce alla complessità nel caso peggiore 10 10

11 Algoritmi e complessità
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12 Complessità asintotica: array e liste
n: numero degli elementi dell’array Ricerca/inserimento/cancellazione di un elemento Complessità O (n) Liste semplici n: numero delle posizioni nella lista Ricerca/cancellazione di un elemento Inserimento di un elemento all’inizio della lista (in testa) Complessità O (1) 12 12

13 Complessità asintotica: alberi binari di ricerca  1
Albero binario, cioè tale che da ogni nodo si dipartono al più due archi, che soddisfa le seguenti proprietà: ogni nodo v contiene un elemento elem(v) cui è associata una chiave chiave(v) presa da un dominio totalmente ordinato le chiavi nel sottoalbero sinistro di v sono tutte  chiave(v) le chiavi nel sottoalbero destro di v sono tutte  chiave(v) Albero binario di ricerca Albero binario non di ricerca 13 13

14 Complessità asintotica: alberi binari di ricerca  2
n: numero dei nodi dell’albero Inserire, eliminare o ricercare un elemento in un albero binario bilanciato Complessità media pari all’altezza dell’albero: O (h) O (log2n) Complessità nel caso peggiore pari a O (n) (alberi molto sbilan-ciati e profondi) 6 3 1 8 4 7 9 14 14

15 Alberi binari di ricerca: Ricerca
Si traccia un cammino nell’albero partendo dalla radice e, su ogni nodo, si usa la proprietà di ricerca per decidere se proseguire nel sottoalbero sinistro o destro 15 15

16 Alberi binari di ricerca: Inserimento
A partire dalla radice, confronta la chiave k con chiave(v) In caso di coincidenza, l’elemento da inserire è già presente nell’albero (che non deve contenere duplicati) Altrimenti, si prosegue ricorsivamente nel sottoalbero sinistro o destro in base al risultato del confronto fino a trovare un nodo foglia o un nodo dotato di un solo figlio relativamente al quale l’elemento con chiave k possa opportunamente occupare il posto del figlio mancante 16 16

17 Alberi binari di ricerca: Cancellazione  1
Sia u il nodo contenente l’elemento da cancellare: Se u è una foglia, viene direttamente rimosso Se u è un nodo dotato di un solo figlio w, il sottoalbero con radice w va ad occupare il posto di u 17 17

18 Alberi binari di ricerca: Cancellazione  2
Se u ha due figli, deve essere sostituito dal suo predecessore v (che ha un solo figlio e) che deve essere fisicamente rimosso 18 18

19 Alberi binari di ricerca: Cancellazione  3
19 19

20 Complessità asintotica: tabelle hash
Problema Memorizzare in maniera opportuna un insieme di dati  tipicamente sotto forma di record  in modo da poter reperire un qualsiasi elemento dell’insieme con un numero “piccolo” di tentativi Cosa significa “piccolo” ? Indipendente (o quasi) dalla dimensione della tabella su cui si effettua la ricerca, quindi con una complessità in tempo pari ad O (1) 20 20

21 Funzioni hash  1 h(k)  k MOD m, kK h: K → {0, 1, 2, …, m1}
K: insieme dei valori distinti che possono essere assunti dalle chiavi dei record m: dimensione del vettore in cui si intende memorizzare la tabella Ipotesi: K sottoinsieme dei numeri naturali Possibile funzione di accesso: h(k)  k MOD m, kK Valore della funzione sempre compreso fra 0 e m1 21 21

22 Funzioni hash  2 Se K non è un sottoinsieme dei numeri naturali
Esempio: insieme di stringhe alfanumeriche Problema: la funzione hash si applica a numeri Per utilizzarla in corrispondenza di una chiave non numerica occorre associare alla chiave un valore numerico Necessità di definire funzioni hash generali Associazione di un valore numerico ad una chiave di qualunque tipo Applicazione della funzione hash a tale valore Esempio: si utilizza la somma dei codici ASCII dei caratteri che costituiscono la stringa Comunque… metodo non adatto a reperire sottoinsiemi di dati con chiave che soddisfi una data relazione 22 22

23 Collisioni  1 Associazione, da parte di una trasformazione, della stessa posizione a chiavi distinte Sinonimi k1 k2, ma h(k1) h(k2) Esempio: [10,12,20,23,27,30,31,39,42,44,45,49,53,57,60] h(chiave)  (chiave MOD 15) Posizione 0 ← 30, 45, 60 Posizione 8 ← 23, 53 Posizione 12 ← 12, 27, 42, 57 Ciascuna posizione dell’array può contenere al più un elemento; occorre… Ridurre al massimo le collisioni Gestirle quando si verificano 23 23

24 Collisioni  2 Funzioni di hashing perfetto (che evitano i duplicati) sono difficili da trovare, anche per tabelle grandi Esempio: paradosso del compleanno Dato un gruppo di 23 persone, ci sono più del 50% di probabilità che due di esse siano nate nello stesso giorno dell’anno In altre parole, se scegliamo una funzione aleatoria (a valori casuali) che trasforma 23 chiavi in un indirizzo di una tabella di 365 elementi, la probabilità che due chiavi NON collidano è solo (meno della metà) Individuare una funzione di accesso che porti ad un numero ridotto di collisioni è un problema complesso 24 24

25 Collisioni  3 Tuttavia… numero di collisioni ridotto drasticamente se accettiamo uno spreco del 25% di memoria Esempio: array di 19 elementi (indicizzati da 0 a 18) Posizione 0 ← 57 Posizione 8 ← 27 Posizione 1 ← 20, 39 Posizione 10 ← 10 Posizione 3 ← 60 Posizione 11 ← 30, 49 Posizione 4 ← 23, 42 Posizione 12 ← 12, 31 Posizione 6 ← 44 Posizione 15 ← 53 Posizione 7 ← 45 Collisioni non eliminate del tutto h(chiave)  (chiave MOD 19) 25 25

26 Collisioni  4 Diminuire il fattore di carico n/m, con n numero degli oggetti da inserire ed m dimensione della tabella, garantisce un minor numero di collisioni Lo spazio utilizzato è proporzionale ad m, non al numero n di elementi: può esserci grande spreco di memoria! Inoltre… per ridurre la probabilità di collisioni, una buona funzione hash dovrebbe essere in grado di distribuire in modo uniforme le chiavi nello spazio degli indici della tabella Ipotesi: la funzione hash gode della proprietà di uniformità semplice 26 26

27 Collisioni  5 Sia P(k) la probabilità che la chiave k sia presente nell’insieme delle chiavi da allocare e sia: la probabilità che la cella i sia occupata Una funzione hash h gode della proprietà di uniformità semplice se: 27 27

28 Collisioni  6 Esempio: Se U è l’insieme dei numeri reali in [0,1] e ogni chiave in U ha la stessa probabilità di essere scelta, allora si può dimostrare che la funzione hash: soddisfa la proprietà di uniformità semplice 28 28

29 Gestione delle collisioni
Uso di liste concatenate destinate alla memorizzazione degli elementi che, in inserimento, hanno portato ad una collisione; gli elementi sono contenuti in liste esterne alla tabella: t[i] punta alla lista degli elementi tali che h(k)i Indirizzamento aperto: tutti gli elementi sono contenuti nella tabella; se una cella è occupata, se ne cerca un’altra libera 29 29

30 Liste concatenate  1 Ricerca di un elemento di chiave k
Si calcola h(k): se si verifica una collisione allora si accede alla lista associata alla posizione h(k) e la si scandisce 30 30

31 Liste concatenate  2 Il costo dell’operazione di ricerca  realizzata in modo lineare relativamente alle liste di elementi in collisione  si mantiene pressoché indipendente da n (numero degli elementi contenuti nella tabella) Inserimento/cancellazione costano O (1) 31 31

32 t(k,i)  (h(k)i) mod m, per 0im
Indirizzamento aperto  1 Supponiamo di voler inserire un elemento con chiave k e che la sua posizione “naturale” h(k) sia già occupata L’indirizzamento aperto consiste nell’occupare un’altra cella, anche se potrebbe spettare di diritto ad una chiave diversa Si cerca la cella vuota (se c’è) scandendo le celle secondo una sequenza di indici, per esempio utilizzando una tecnica di scansione lineare t(k,i)  (h(k)i) mod m, per 0im Per i1 la ricerca parte dalla cella indicizzata e procede a scandire le successive (ad una ad una) fino alla prima cella libera 32 32

33 Indirizzamento aperto  2
La scansione lineare provoca effetti di agglomerazione, cioè lunghi gruppi di celle consecutive occupate, che rallentano la scansione 33 33

34 t(k,i)  h1(k)i h2(k) mod m
Indirizzamento aperto  3 L’hashing doppio riduce il problema delle agglomerazioni e produce funzioni hash che sono “quasi” semplicemente uniformi: t(k,i)  h1(k)i h2(k) mod m per 0im, con h1 e h2 funzioni hash distinte L’idea sottesa all’hashing doppio è quella di partire da un valore hash ed esaminare le posizioni successive saltando di una quantità pari a multipli di un valore determinato da una altra funzione hash In questo modo la prima posizione esaminata è h1(k) mentre le successive sono distanziate di h2(k) 34 34

35 Hashing doppio  1 Esempio: m=13 h1(k)=k mod 13 h2(k)=1 + (k mod 11)
Si consideri l’inserimento della chiave 14 nella seguente tabella: h1(14) = 14 mod 13 = 1 h2(14) = 1+(14 mod 11) = 1+3 = 4 t(14,i) = (h1(k)+ih2(k)) mod m = (1+i4) mod m 35 35

36 Hashing doppio  2 i=1  2° posizione esaminata t(14,1) = 1+4 = 5
36 36

37 Hashing doppio  3 Si deve porre attenzione a far sì che h2(k) sia primo rispetto alla dimensione della tabella m ..infatti, se m e h2(k) hanno un massimo comune divisore d, allora si esaminerebbero solo m/d elementi della tabella (invece di m) Esempio: m10 e h2(k)2, partendo da 0 si ha la sequenza … Per garantire che h2(k) sia primo rispetto a m si può: prendere m=2p e scegliere h2(k) in modo che produca sempre un numero dispari prendere m primo e scegliere h2(k) in modo che produca sempre un intero positivo minore di m 37 37

38 Complessità asintotica fattoriale
Sia dato un programma che prende in ingresso i partecipanti ad una competizione e genera (ad esempio per stamparle) tutte le possibili classifiche finali n: numero di partecipanti Complessità: O (n!) Si osservi che n! è un numero molto grande anche per n relativamente piccoli 20!  2.41018 38 38

39 Complessità asintotica polinomiale
Sia dato un programma che ha come ingresso due array a, b e cerca tutte le coppie (i,j) tali che a[i]b[j] n: dimensione di a m: dimensione di b Complessità: O (nm) void search(int a[], int b[], int alength, int blength) { … for(i0;ialength;i){ for(j0;jblength;j){ if(a[i]b[j]) printf(“Trovata corrispondenza: a[%d]b[%d]%d”,i,j,a[i]); } 39 39

40 Algoritmi facili e difficili
In base alla loro complessità temporale asintotica, gli algoritmi sono tipicamente divisi in classi Algoritmi a complessità costante O (1) o lineare O (n) Molto veloci, “scalabili” Algoritmi a complessità polinomiale O (na) per un qualche valore a Usabili se l’esponente a è piccolo Algoritmi a complessità esponenziale O (an) per un qualche valore a (1) Usabili solo per n molto piccoli 40 40

41 Algoritmi a complessità esponenziale
Fondamentale: perché gli algoritmi a complessità esponen- ziale sono considerati quasi inusabili? Perché richiedono talmente tante operazioni che probabilmente anche i calcolatori futuri non saranno in grado di eseguire in tempi ragionevoli le loro possibili implementazioni (programmi) per dati in ingresso ad alta dimensionalità 41 41

42 Esempio Si consideri il programma che genera tutte le classifiche finali di una competizione con n partecipanti, complessità O (n!) (è esponenziale, perché n!nsqrt(n)) Con 20 concorrenti le classifiche sono 20! 2.41018 Un computer che generi 1 miliardo di classifiche al secondo, circa 31016 l’anno, impiegherebbe circa 79 anni per generare tutte le classifiche richieste Tendenzialmente, i computer diverranno sempre più veloci e fra dieci anni forse saranno abbastanza veloci da realizzare in un mese quello per cui adesso occorrono 79 anni ma… …comunque, fra dieci anni per risolvere il problema con 21 partecipanti occorreranno ancora 21 mesi e per 25 partecipanti circa anni!! 42 42

43 La ricerca dicotomica  1
Per “cercare” un elemento in un vettore ordinato esiste un metodo detto ricerca binaria o dicotomica Si confronta il valore val da ricercare con l’elemento centrale del vettore A[length/2] Se val è minore dell’elemento mediano, si ripete la ricerca sulla metà sinistra del vettore, altrimenti si ricerca nella metà destra 43 43

44 La ricerca dicotomica  2
Esempio: ricerca del numero 23 Si confronta 23 con 13 27 30 34 35 23 20 16 13 9 8 5 4 2 Ci si concentra sulla metà destra (da ind. 8 a ind. 14): si confronta 23 con 27 27 30 34 35 23 20 16 13 9 8 5 4 2 Ci si concentra sulla metà sinistra (da ind. 8 a ind. 10): si confronta 23 con 20 27 30 34 35 23 20 16 13 9 8 5 4 2 Ci si concentra sulla metà destra (da ind. 9 a ind. 9): trovato!! 2 4 5 8 9 13 16 20 23 27 30 34 35 44 44

45 La ricerca dicotomica  3
int search(int val, int A[], int from, int to) { int center(fromto)/2; if (from  to) return 1; if (fromto) { if (A[from]val) {return from;} return 1;} // si esegue solo se A[from]!val //si esegue solo se (fromto) if (valA[center]){ return search(val,A,from,center1); } if (valA[center]){ return search(val,A,center1,to); } return center; } 45 45

46 Complessità della ricerca dicotomica
La ricerca dicotomica divide il vettore in due ad ogni passo: dopo p passi la dimensione del vettore è n/2p nel caso peggiore, la ricerca si ferma quando n/2p è 1, cioè quando plog2n Quindi la ricerca dicotomica è O (log2n) 46 46

47 Mergesort  1 Il Mergesort è un algoritmo basato sul paradigma del divide et impera Una strategia divide et impera consiste nel suddividere un problema in sottoproblemi, nel risolvere i sottoproblemi, e nel ricomporre le soluzioni parziali per ottenere la soluzione del problema originale Il Mergesort è composto da due fasi: una fase di divisione del vettore da ordinare in sottovettori una fase di ricomposizione dei risultati (merge) 47 47

48 Mergesort  2 Idea: Dato un vettore da ordinare, lo si divide in due sottovettori di ugual dimensione, si ordinano i sottovettori e poi si “fondono” insieme 6 5 7 4 3 8 2 1 Fusione Ordinamento Divisione 48 48

49 Mergesort: la divisione ricorsiva
Come si ordinano i due sottovettori ? Applicando ricorsivamente la divisione fino a quando il vettore contiene un solo elemento: in tal caso l’ordinamento è banale 6 5 7 4 3 8 2 1 Divisione 49 49

50 Mergesort: la fusione ricorsiva  1
I sottovettori ordinati verranno poi ricorsivamente fusi 1 8 7 6 5 4 3 2 Fusione 50 50

51 Mergesort: la fusione ricorsiva  2
La fusione viene realizzata utilizzando due indici che scorrono i due sottovettori da fondere: Ad ogni passo si confrontano i due elementi indicati dagli indici i e j, A[i], A[j] Si copia l’elemento minore in un vettore d’appoggio e si incrementa l’indice corrispondente Si torna al passo 1. fino a quando i due vettori non sono stati completamente visitati 1 2 6 8 i 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 7 k j 51 51

52 Complessità del Mergesort
Il Mergesort ha complessità O (nlog2n) sia nel caso medio che nel caso pessimo Mergesort è un algoritmo ottimo! La sua complessità asintotica è la migliore possibile Comunque… …esistono algoritmi che per alcuni ingressi fanno meglio di nlog2n (ad es., Bubblesort su vettori ordinati) …esistono altri algoritmi con complessità nlog2n anche nel caso pessimo  Heapsort 52 52

53 Quicksort  1 Quicksort, come Mergesort, è un algoritmo divide et impera Idea Si divide il vettore A in due sottovettori, che contengono rispettivamente tutti gli elementi minori e maggiori di (per esempio) A[0], cioè il primo elemento del vettore  detto perno Si ripete ricorsivamente la divisione… 53 53

54 Quicksort  2 3 1 2 5 7 8 6 4 Si ripartisce il vettore rispetto ad A[1]  4 Si divide rispetto a 3 Si divide rispetto a 6 54 54

55 Quicksort: l’operazione perno  1
4 5 7 1 3 6 8 2 i j Si scorrono i, j confrontando con 4 Si scambiano gli elementi Come si divide il vettore? Si usano due indici i, j che scorrono il vettore da sinistra e da destra, rispettivamente L’indice i scorre fino a quando A[i]A[1] L’indice j scorre fino a quando A[j]A[1] Si effettua lo scambio fra A[i] e A[j] e quindi si procede come sopra 55 55

56 Quicksort: l’operazione perno  2
Alla fine si scambia il perno con l’elemento in posizione j Si scambiano gli elementi 4 5 7 8 3 6 1 2 i j Si scambia A[j] con il perno 4 5 7 8 6 3 1 2 j 3 5 7 8 6 4 1 2 56 56

57 Implementazione void perno(int A[], int from, int to) {
int ifrom1, jto; while(ij){ while(A[i]A[from]) i; while(A[j]A[from]) j; if(ij) scambia(A,i,j); } scambia(A,from,j); } 57 57

58 Complessità del Quicksort
Il Quicksort ha complessità media O (nlog2 n) Il caso pessimo si verifica quando il perno finisce in fondo o in testa al vettore In tal caso, Quicksort ha complessità pari ad O (n2) 58 58

59 Mergesort vs Quicksort
Mergesort ha il vantaggio di avere sempre complessità pari a O (nlog n) Quicksort ha il vantaggio di non richiedere un vettore di appoggio: ordina il vettore “in loco” (minore complessità spaziale) In media, Quicksort si comporta “bene” e, per questo motivo, in pratica spesso è preferito a Mergesort 59 59

60 Heap  1 Ospita gli elementi dell’insieme A di cardinalità n, su cui è definita una relazione d’ordine totale “” Lo heap (mucchio) è un albero binario Proprietà 1 L’albero è quasi perfettamente bilanciato: è completo fino al livello k1, cioè contiene il numero massimo di nodi, 2k1, mentre al livello k contiene un numero di nodi (foglie) compreso tra 1 e 2k; i nodi a livello massimo sono tutti addossati a sinistra Proprietà 2 Ogni nodo contiene un elemento  dell’elemento contenuto nel padre 60 60

61 Heap  2 Noto il valore di n, la forma del-l’albero è fissata dalla Proprietà 1 L’allocazione degli elementi nei nodi può variare, nel rispetto della Proprietà 2 L’elemento massimo dell’insieme è allocato nella radice I sottoalberi di ciascun nodo sono ancora heap Lo heap può essere allocato in un array 23 38 18 22 17 5 10 28 12 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 63 38 23 12 28 17 22 18 61 61

62 Heap  3 Con l’allocazione lineare…
A[1] è l’elemento contenuto nella radice dello heap Per ogni A[i], gli elementi corrispondenti ai figli sinistro e destro, se esistono, sono memorizzati in A[2i] e A[2i1] Se 2i  n e/o 2i1 n il figlio sinistro e/o destro di A[i] non esiste nell’albero A[2i]A[i] e A[2i1]A[i], quando tali elementi sono definiti 62 62

63 Heapsort  1 Lo heap trova la sua applicazione più elegante nel metodo di ordinamento noto come Heapsort Si estrae l’elemento massimo dallo heap (quello nella radice, o in prima posizione nella rappresentazione lineare) Si ricostruisce lo heap …fino a quando non ci sono più elementi nello heap (ovvero gli elementi del vettore sono ordinati) 63 63

64 Heapsort  2 Come si ricostruisce lo heap, dopo l’estrazione della radice? 23 38 18 22 17 5 10 28 12 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 63 38 23 12 28 17 22 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 38 23 12 28 17 22 63 Continua… 64 64

65 Heapsort  3 Si considera il massimo fra i due figli della radice e, se max{A[2],A[3]}A[1], si effettua lo scambio 23 38 22 17 5 10 28 12 18 Si scambia A[1] con A[2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 38 23 12 28 17 22 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 18 23 12 28 17 22 63 Continua… 65 65

66 Heapsort  4 Si considera il massimo fra i due figli di A[2] e, se max{A[4],A[5]}A[2], si effettua lo scambio 23 18 22 17 5 10 28 12 38 Si scambia A[2] con A[5] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 18 23 12 28 17 22 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 28 23 12 18 17 22 63 Continua… 66 66

67 Heapsort  5 Si estrae A[1] che è l’elemento più grande… e si ricomincia il procedimento di ricostruzione 23 28 22 17 5 10 18 12 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 28 23 12 18 17 22 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 23 12 18 17 22 38 63 67 67

68 Heapsort  6 Poiché ogni estrazione e ricostituzione dello heap richiede tempo O (log2n'), se n′ è il numero di elementi attualmente contenuti nello heap… Heapsort ha complessità O (nlog2n) L’algoritmo di ordinamento può essere realizzato facilmente sulla “rappresentazione sequenziale” dello heap 68 68

69 Heapsort  7 void heapsort(int a[], int left, int right) {
int k, temp, sizerightleft1, *paleft1; /* si costruisce lo heap */ for (ksize2; k1; k) heap(p, k, size); /* si scambia l’elemento più grande con quello finale * e si ricostruisce lo heap */ while (size1) temp  p[1]; p[1]  p[size]; p[size]  temp; heap(p, 1, size); } exit(0); 69 69

70 Heapsort  8 /* Costruzione topdown di uno heap */
#define LESS(A,B)((A)(B)) void heap(int a[], int k, int size) { int j, temp; while(2ksize) j  2k; if (jsize && LESS(a[j],a[j1])) j; if (!LESS(a[k],a[j])) break; temp  a[k]; a[k]  a[j]; a[j]  temp; k  j; } 70 70

71 Ancora sulla complessità
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72 Problemi e algoritmi Anche per i problemi si parla di complessità
Tipicamente non si riesce a definire univocamente la complessità di un problema, perché... ...lo stesso problema può essere risolto con algoritmi diversi che hanno diversa complessità …anche se si riesce a stabilire qual è il miglior algoritmo per la risoluzione di un dato problema, tale stima ha comunque un valore non assoluto, ma limitato nel tempo, in quanto non è dato prevedere se in futuro potrà esistere un metodo risolutivo migliore Per questi motivi, si parla solo di limite inferiore e superiore alla complessità di un problema 72 72

73 Complessità di un problema
In alcuni casi è possibile dimostrare che nessun algoritmo che risolve un dato problema può/potrà impiegare meno risorse di un certo limite inferiore Esempi banali Nessun algoritmo che genera tutte le classifiche possibili per n concorrenti può farlo in meno di n! operazioni (il limite inferiore alla complessità è O (n!)) Nessun algoritmo può effettuare la somma fra vettori ndimensionali in meno di n operazioni (il limite inferiore alla complessità è O (n)) Esempio non banale Nessun algoritmo può ordinare un vettore di n elementi in meno di nlog2n operazioni, nel caso peggiore 73 73

74 Algoritmi ottimi Un algoritmo si dice ottimo, quando ha complessità pari al limite inferiore Esempi Mergesort e Heapsort sono ottimi Si consideri il problema di sommare gli elementi di un vettore: un algoritmo che scorre tutti gli elementi e li somma uno ad uno richiede O (n) operazioni: tale algoritmo è ottimo perché la sua complessità corrisponde con quella minima Si consideri il problema di inserire un elemento in un albero binario di ricerca, bilanciato, che contiene n elementi: Abbiamo visto una soluzione algoritmica che impone O (log2n) operazioni  log2n è un limite superiore per tale problema Si può dimostrare che tale complessità corrisponde con il limite inferiore e che l’algoritmo proposto è ottimo 74 74

75 Algoritmi e computer Dubbi:
La complessità è indipendente dal computer su cui “gira” il programma? Ad esempio, se si inventasse un calcolatore in grado di generare contemporaneamente tutte le classifiche di n concorrenti, allora quel problema non avrebbe più complessità n! Oppure… potrebbe esistere in futuro un computer in grado di ordinare un vettore di qualsiasi lunghezza per mezzo di una sola istruzione Nessuno conosce la risposta ma, fino ad ora, nessuno è riuscito a progettare un computer con queste capacità: tutti i calcolatori conosciuti sono equivalenti, in termini di capacità di calcolo, ad un computer semplicissimo  la macchina di Turing 75 75

76 La macchina di Turing  1 Alan Turing (19121954) è considerato uno dei padri dell’informatica Nel 1936 propose l’idea di una macchina immaginaria che fosse capace di eseguire ogni tipo di calcolo su numeri e simboli (nell’articolo On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem) Il problema della decisione era stato proposto da David Hilbert nel suo programma di fondazione formalista della matematica La macchina di Turing è una macchina formale, cioè un sistema formale che può descriversi come un meccanismo ideale, ma in linea di principio realizzabile concretamente 76 76

77 La macchina di Turing  2 È una macchina a stati, può cioè trovarsi in stati ben determinati, opera su stringhe in base a regole precise e costituisce un modello di calcolo È retta da regole molto semplici, ovvero la sua modalità operativa può essere descritta mediante meccanismi elementari Si “presume” abbia il massimo potere computazionale e si dimostra che è equivalente, ovvero in grado di effettuare le stesse elaborazioni, ai modelli di calcolo di più ampia portata (formali e implementati) 77 77

78 La macchina di Turing  3 Per le sue caratteristiche, la macchina di Turing è un efficace strumento teorico che viene largamente usato nella teoria della calcolabilità e nello studio della complessità degli algoritmi Inoltre, per definire in modo formalmente preciso la nozione di algoritmo, oggi si sceglie preferenzialmente di ricondurlo al concetto di elaborazione effettuabile da una macchina di Turing Esistono varie versioni (computazionalmente equivalenti) della macchina di Turing, quella più simile ai nostri calcolatori è quella cosiddetta a registri (o counter machine, MinskyLambek, 1961) 78 78

79 La macchina di Turing a registri
È costituita da un insieme di registri di lavoro R1, R2, R3,… e di registri di ingresso I1, I2, I3,… Ogni registro contiene un intero non negativo I programmi sono costituiti da tre semplici tipi di istruzioni: incremento: Ri  Il registro i viene incrementato di 1 decremento: Ri  Il registro i viene decrementato di 1; se il registro ha già valore 0, l’istruzione non ha effetto salto condizionato: IF Ri GOTO L1 Se il registro i contiene un valore mag-giore di 0, si salta all’istruzione L1 IF I1 GOTO ciclo I3 IF I3 GOTO fine ciclo: I2 I1 fine: Programma che somma i contenuti di I1 e I2 in I2 79 79

80 La tesi di ChurchTuring
La tesi di ChurchTuring afferma che: Ogni problema intuitivamente calcolabile (risolubile) da un qualsiasi elaboratore è calcolabile da una macchina di Turing, purché dotata di memoria (e tempo di elaborazione) sufficiente Nessuno è mai riuscito a confutare la tesi di ChurchTuring La maggior parte dei ricercatori ritiene che sia vera 80 80

81 Il problema della terminazione
Supponiamo che esista un programma halt in grado di risolvere il problema della terminazione halt(P,I) restituisce: true se P con ingresso I termina false se P con ingresso I non termina Consideriamo il programma Q Cosa succede se si applica Q a Q ? Q(Q) termina o no ? Se Q(Q) termina allora halt(Q,Q) dovrebbe essere vero… ma allora Q(Q) non dovrebbe terminare Se Q(Q) non termina allora halt(Q,Q) dovrebbe essere falso … ma allora Q(Q) dovrebbe terminare Quindi il programma halt non esiste!! void Q(Program P){ while (halt(P,P)) {} } 81 81

82 Problemi impossibili Esistono problemi molto difficili… problemi non calcolabili con una macchina di Turing e  se la tesi di ChurchTuring è vera  con nessun calcolatore!! Esempi Problema della terminazione Dato un programma e un suo ingresso, dire se il programma terminerà (o entrerà in un ciclo indefinito) Problema di Post Dato un programma e due stati (uno stato è definito da un certo valore delle variabili), dire se a partire dal primo stato si potrà raggiungere il secondo 82 82

83 La macchina di Turing non deterministica  1
Nella macchina non deterministica, i programmi includono anche altre istruzioni scelta casuale: FORK prende in ingresso un insieme di istruzioni e ne esegue una a caso istruzione di accettazione: ACCEPT quando viene eseguita, il programma termina correttamente Un problema è risolubile se esiste un programma e una scelta casuale per cui il programma termina con ACCEPT e fornisce la risposta desiderata 83 83

84 La macchina di Turing non deterministica  2 R4
Esempio: Programma che assegna a caso valori in {0, 1} a R1 e R2 e termina solo se R1R21 R4 FORK{ R1, R1 } FORK{ R2, R2 } IF R1 GOTO cont IF R4 GOTO no cont: IF R2 GOTO ok ok: ACCEPT no: 84 84

85 La macchina di Turing non deterministica  3
La macchina non deterministica “non calcola più di quella deterministica” Si può dimostrare che tutto ciò che è calcolabile sulla macchina di Turing non deterministica è calcolabile anche sulla macchina deterministica La macchina non deterministica è però più efficiente di quella deterministica Il non determinismo può essere pensato infatti come una forma di parallelismo: FORK è un’istruzione che genera più programmi paralleli Il parallelismo permette di risolvere i problemi velocemente: ad esempio, si può cercare un elemento in un vettore guardando contemporaneamente a tutti i suoi elementi 85 85

86 Problemi P ed NP I problemi decisionali richiedono solo una risposta binaria (sì/no), correlata in genere all’esistenza di una soluzione (es., problema della terminazione) Nella teoria della complessità, i problemi decisionali si dividono in due classi P  problemi risolubili in tempo polinomiale sulla macchina di Turing deterministica NP  problemi risolubili in tempo polinomiale sulla macchina di Turing non deterministica Includono sia i problemi “facili”, sia anche la quasi totalità dei problemi che si incontrano nelle situazioni pratiche Ovviamente vale PNP, ma non è noto se PNP 86 86

87 Problemi NP-completi  1
Problema decisionale della soddisfattibilità: Data una forma normale congiuntiva F(x1,x2,…,xn) stabilire se esiste un assegnamento di valori delle variabili booleane x1,x2,…,xn che soddisfi F Qualunque problema della classe NP si riduce, in tempo polinomiale, al problema della soddisfattibilità PS PS è il “più difficile” fra i problemi di NP 87 87

88 Problemi NP-completi  2
Un problema P è detto NPcompleto se PNP e PS si riduce a P I problemi NPcompleti sono tutti equivalenti fra loro: Sarebbe sufficiente trovare un algoritmo polinomiale per uno solo di essi ed avremmo trovato un algoritmo polinomiale per risolvere tutti i problemi Inoltre, tutti i problemi in NP sarebbero risolubili in tempo polinomiale sulla macchina di Turing deterministica, cioè avremmo dimostrato che NPP! 88 88

89 Problemi NP-completi: esempi
Problema decisionale del commesso viaggiatore Dato un insieme di n città con le relative distanze, trovare, se esiste, un cammino di lunghezza k che, partendo da una città, le visiti tutte tornando in quella di partenza Un problema NParduo (non decisionale) Programmazione lineare intera Data una matrice A e due vettori b, c, calcolare un vettore di interi x che soddisfi Axb e minimizzi f(x)cx Problemi di programmazione lineare definire l’orario dei treni e degli autobus definire l’orario delle lezioni … 89 89

90 PNP e tesi di ChurchTuring
Attualmente si pensa che NPP …ma nessuno è ancora riuscito a dimostrarlo Si pensa anche che la tesi di ChurchTuring sia vera: ovviamente questo non si può dimostrare ma è, eventualmente, solo confutabile Talvolta, problemi con complessità proibitiva sono utili: Ad esempio, gli algoritmi crittografici sono basati sul fatto che “decrittare” una chiave è molto complesso e richiederebbe un tempo troppo lungo Se la tesi di ChurchTuring non fosse vera o se PNP, tali metodi non sarebbero più efficaci 90 90

91 I problemi intrinsecamente difficili
Ai limiti del calcolo: I problemi intrinsecamente difficili 91 91

92 Il problema del commesso viaggiatore
Il problema del commesso viaggiatore è uno dei più celebri tra i problemi di «soddisfacimento di vincoli» non calcolabili Una sua versione piuttosto diffusa è la seguente: È possibile stimare il percorso più breve per un commesso viaggiatore che deve fare visita ai suoi clienti in tutte le città indicate sulla mappa? A prima vista, sembra facile, ma all’aumen-tare del numero delle città, il problema diventa esponenzialmente più difficile, mettendo nei guai anche i più potenti computer 92 92

93 I problemi difficili  1 Ma dove sta scritto che tutti i problemi si devono risolvere facilmente e che la loro soluzione deve essere calcolabile in modo efficiente? Eppure lascia perplessi il fatto che alcuni calcoli siano tanto più complessi di altri… L’esempio classico è quello della moltiplicazione e della scomposizione in fattori Se vengono dati due numeri primi grandi moltiplicarli è semplice… …ma cercare, una volta dato il prodotto, di ritrovare i due fattori sconosciuti è un problema molto difficile …fino al punto che una delle tecniche crittografiche più diffuse (RSA) si basa sulla difficoltà di risoluzione di questo «problema inverso» 93 93

94 I problemi difficili  2 E dunque, dove sono i problemi difficili?
In matematica, in informatica, in fisica Il tema comune che lega strettamente queste tre discipline è infatti la presenza di problemi con transizioni improvvise da un tipo di comportamento ad un altro 94 94

95 In matematica…  1 Il filo matematico comincia negli anni ‘60 con lo studio dei grafi aleatori, iniziato da Paul Erdós e Alfred Rényi Un grafo è una struttura matematica astratta: un insieme di vertici e archi, disegnato in genere come uno schema di punti (i vertici) e linee che li uniscono (gli archi) Per disegnare un grafo aleatorio si inizia distribuendo n vertici sul foglio, sce-gliendo casualmente, per ogni coppia e con probabilità p, se tracciare o no un arco che connetta i due vertici Costruzione di un grafo aleatorio 95 95

96 In matematica…  2 Quando p è vicino a 0, gli spigoli sono pochi e il grafo è composto di molti piccoli pezzi, o componenti connesse, separate le une dalle altre Al crescere di p, il grafo comincia a essere dominato da una singola componente connessa «gigante», che comprende la maggior parte dei vertici L’esistenza di questa componente gigante non è certo una sorpresa, ma il modo in cui essa si sviluppa non è ovvio: La componente non evolve gradualmente al crescere di p, bensì emerge all’improvviso quando viene superata una certa soglia La soglia è definita in termini di un parametro che chiameremo : il rapporto fra numero dei lati e numero dei vertici La componente gigante nasce quando  è circa 1/2 96 96

97 In informatica…  1 In campo informatico un simile fenomeno di soglia attirò molta attenzione nei primi anni ‘90 In questo caso la soglia determina la probabilità che certi problemi computazionali abbiano soluzione Uno di questi problemi, che deriva dalla teoria dei grafi, è il problema della kcolorazione, che richiede di dipingere ogni vertice di un grafo con uno di k colori, con la regola che due vertici adiacenti non possano avere lo stesso colore Trovare una colorazione corretta diventa sempre più difficile al crescere di , perché più sono i lati più sono anche i vincoli imposti su ogni vertice Problema di 3-colorazione 97 97

98 In informatica…  2 Di nuovo, la soglia è netta: al di sotto di un certo valore del rapporto  quasi tutti i grafi sono kcolorabili, mentre al di sopra di questa soglia non lo è quasi nessuno Inoltre, la soglia non solo influisce sull’esistenza di soluzioni, ma anche sulla difficoltà di trovarne: lo sforzo computazionale necessario per decidere se un grafo è kcolorabile ha un picco significativo vicino al valore critico di  Il problema della colorazione dei grafi è strettamente correlato al problema della colorazione delle carte geografiche politiche, nelle quali regioni adiacenti devono avere colori distinti Se i nodi del grafo rappresentano regioni, collegate da un arco se adiacenti… il gioco è fatto ed il grafo è un RAG, per «Region Adjacency Graph» 98 98

99 In fisica… Anche i fisici sanno qualcosa dei problemi di soglia: li chiamano transizioni di fase Ma i cambiamenti di stato osservati nei grafi aleatori sono veramente analoghi ad eventi fisici come il congelamento dell’acqua e la comparsa della magnetizzazione nel ferro? O la somiglianza è una semplice coincidenza? Per qualche tempo l’argomento è stato controverso, ma ora è chiaro che i fenomeni di soglia nei grafi e in altre strutture matematiche sono autentiche transizioni di fase e, quindi, gli strumenti e le tecniche della fisica statistica sono adattissimi a studiarli Il problema della kcolorazione è in corrispondenza esatta con un modello di sistema magnetico nella fisica dello stato solido 99 99

100 Il problema della 3-colorazione  1
La 3­colorazione è un problema complesso, ma non impossibile La domanda «Questo grafo è 3-colorabile?» ha sempre risposta, almeno in linea di principio: visto che a ogni vertice può essere assegnato un colore qualunque e che ci sono n vertici, ci devono essere esattamente 3n modi di colorare il grafo 100 100

101 Il problema della 3-colorazione  2
Per decidere se uno specifico grafo è 3-colorabile, basta prendere in esame, una per una, tutte le possibilità Se si trova un’assegnazione di colori che soddisfa il vincolo, cioè in cui nessun arco congiunge vertici dello stesso colore, allora la risposta alla domanda è sì Se si esauriscono tutte le possibilità senza trovare una colorazione appropriata, si può essere certi che non esiste Questo algoritmo è semplice e sicuro, ma anche inutile, perché enumerare 3n colorazioni è al di là di ciò che si può fare in pratica per qualsiasi n maggiore di 15 o 20 101 101

102 Il problema della 3-colorazione  3
Procedure più sofisticate possono garantire una ricerca esatta ed esaustiva pur riducendo il numero di operazioni a meno di 1,5n  è un miglioramento significativo, ma si tratta sempre di una funzione esponenziale che innalza il limite a n50 Per grafi grandi, con migliaia di vertici, tutti i metodi brute force non offrono speranze D’altro canto, se si potesse in qualche modo “sbirciare” la soluzione di un problema di 3-colorazione su molti vertici, se ne potrebbe controllare la correttezza facendo assai meno fatica: tutto quello che si dovrebbe fare sarebbe verificare che i vertici alle estremità di ciascun lato abbiano colori diversi 102 102

103 Il problema della 3-colorazione  4
Il numero di lati in un grafo non può essere maggiore di n2, che è una funzione polinomiale anziché esponenziale, e quindi cresce molto più lentamente I problemi con risposte che sono difficili da trovare ma facili da verificare sono (nondeterministic polynomial) NP e, a meno di un miracolo, non si avranno mai algoritmi in tempo polinomiale per risolverli Avendo appurato le credenziali della 3-colorazione come problema ufficialmente difficile, possiamo rivelare che la maggior parte dei problemi di 3-colorazione su grafi aleatori è in realtà piuttosto semplice 103 103

104 Il problema della 3-colorazione  5
Dato un grafo tipico, si hanno buone probabilità di trovare rapidamente una 3-colorazione o di dimostrare che non esiste Questa curiosa situazione non è veramente paradossale: la classificazione della 3-colorazione come problema NP si basa sull’analisi del «caso peggiore» Esistono infatti molti algoritmi che hanno, nella maggior parte dei casi, un tempo di elaborazione rapido, a patto di accettare un occasionale fallimento 104 104

105 Il problema della 3-colorazione  6
Una strategia diffusa per algoritmi che colorano grafi è il backtracking (letteralmente: «tornare sui propri passi») ed assomiglia al modo in cui la maggior parte delle persone affronterebbe il problema se dovesse cercare di colorare il grafo a mano: si inizia assegnando un colore arbitrario a un vertice arbitrario poi si passa ai vertici vicini, assegnando loro colori che non causino un conflitto proseguendo così si può arrivare a un vertice per cui non c’è un colore lecito; a questo punto si torna sui propri passi annullando alcune scelte precedenti, e si riprova 105 105

106 Il problema della 3-colorazione  7
Per mostrare che un grafo non può essere 3-colorato occorre un altro tipo di algoritmo L’approccio fondamentale consiste nel cercare un sottoin-sieme di vertici che, anche se fosse isolato dal resto del grafo, non potrebbe essere 3-colorato Per esempio, una cricca costituita da quattro vertici ognuno dei quali sia collegato con tutti gli altri ha questa proprietà Se si trova anche solo una di queste strutture, la questione è risolta per l’intero grafo 106 106

107 Il problema della 3-colorazione  8
Algoritmi come questi sono molto diversi dai metodi di ricerca esaustiva La semplice enumerazione di tutte le 3n colorazioni può essere inammissibilmente lenta, ma almeno è prevedibile Ciò non è vero per il backtracking e per altri algoritmi inesatti o incompleti; le loro prestazioni variano notevolmente a seconda della natura del grafo 107 107

108 Il problema della 3-colorazione  9
In particolare, questi algoritmi sono sensibili al valore di   il rapporto tra il numero di lati e il numero di vertici  che è di nuovo il parametro che controlla la transizione tra fasi colorabili e non colorabili Molto al di sotto del valore critico di , dove gli spigoli sono radi, c’è un numero tale di modi di colorare il grafo che qualsiasi strategia ragionevole ha buone probabilità di trovarne uno All’estremo opposto, molto al di sopra della soglia, i grafi sono densamente interconnessi, ed è facile trovare un sottografo che renda impossibile la 3-colorazione La regione problematica è situata tra questi estremi, vicino alla soglia; in questa zona intermedia possono esserci pochissime colorazioni o nessuna: distinguere tra queste due situazioni può rendere necessario controllare quasi ogni possibile assegnazione di colori 108 108

109 Dove sono le soluzioni?  1
Il valore critico di  è circa 2.35 In altre parole, se un grafo aleatorio con n vertici ha meno di 2.35n archi, può essere quasi sicuramente 3-colorato; se ne ha di più, una 3-colorazione è improbabile Inoltre si sa che la transizione tra questi due regimi è netta: è una vera discontinuità, un salto improvviso anziché un passaggio graduale Per esprimere più formalmente questa idea si dice che l’ampiezza della regione di transizione tende a zero quando n tende all’infinito 109 109

110 Dove sono le soluzioni?  2
La nettezza della transizione di fase può essere considerata una notizia incoraggiante Se gli algoritmi per decidere la colorabilità si impantanano solo nella regione di transizione, e se essa è tanto ristretta da essere quasi trascurabile, allora la probabilità di incontrare un grafo difficile da classificare è proporzionalmente piccola Tuttavia, la nettezza della transizione è garantita solo per grafi infinitamente grandi; se n è finito, gli angoli della curva di transizione sono arrotondati Inoltre, sebbene la fase non colorabile non inizi fino ad 2.35, gli esperimenti hanno mostrato che gli algoritmi cominciano a rallentare un po’ prima, a valori di  attorno a 2.2 110 110

111 Dove sono le soluzioni?  3
Per capire la causa, giova visualizzare tutte le possibili 3-colorazioni di un grafo distese su una curva: l’altezza della curva in ogni punto rappresenta il numero di conflitti nella colorazione corrispondente Così le colorazioni perfette (quelle senza conflitti) si trovano tutte al livello del mare, mentre le colorazioni peggiori creano picchi o altipiani ad alta quota Naturalmente la topografia di questo paesaggio dipende dal particolare grafo che stiamo esaminando 111 111

112 Dove sono le soluzioni?  4
Si consideri come evolve la superficie via via che  cresce gradualmente Per piccoli valori di  ci sono ampi bacini e vallate, che rappresentano i molti modi di colorare perfettamente il grafo Per grandi valori di  il paesaggio è alpino, e anche il punto più basso è molto al di sopra del livello del mare, denotando una completa assenza di colorazioni perfette Il valore di transizione  ≈ 2.35 segna il momento in cui scompaiono le ultime aree estese che si trovano al livello del mare 112 112

113 Dove sono le soluzioni?  5
Che cosa avviene nello «spazio delle soluzioni» per 2.2? Si è scoperto che questo è il momento in cui un’ampia distesa di terreno a livello zero si frammenta in piccoli bacini isolati Al di sotto di 2.2, quasi tutte le colorazioni perfette formano un’unica gigantesca regione connessa (fatta di tante soluzioni vicine) Al di sopra di 2.2, ogni bacino rappresenta un insieme isolato di soluzioni Le colorazioni che si trovano in bacini separati sono sostanzialmente diverse e per trasformarne una in un’altra si dovrebbe scalare una catena montuosa formata da colorazioni che presentano un alto numero di conflitti È improbabile che gli algoritmi che funzionano conducendo una ricerca locale riescano a valicare queste catene montuose, e quindi rimangono confinati a lungo nel primo bacino in cui capitano 113 113

114 Dove sono le soluzioni?  6
Al crescere di α sopra 2.2, il numero di colorazioni perfette all’interno di ogni bacino decresce fino a zero e quindi gli algoritmi possono non riuscire a trovare una soluzione anche se esistono ancora molte colorazioni valide in altre parti della superficie delle soluzioni 114 114

115 Dove sono le soluzioni?  7
Grafi identici con 100 nodi e 218 archi (poco al di sotto della soglia di trattabilità). La disposizione circolare dei vertici, a destra nella figura, rende più facile verificare che nessuno spigolo connette vertici dello stesso colore 115 115

116 Quanti problemi difficili! Che fare?
Alcuni problemi richiedono un tempo di calcolo semplicemente troppo lungo, nei casi peggiori addirittura esponenziale Ma forse risposte rapide e semplici a problemi computazionalmente complessi non sono qualcosa che abbiamo il diritto di aspettarci in questo mondo… …e forse non è un «baco», è una caratteristica voluta: impedisce che l’universo si esaurisca troppo rapidamente 116 116