Giorgio Gambosi Dipartimento di Matematica

Presentazione sul tema: "Giorgio Gambosi Dipartimento di Matematica"— Transcript della presentazione:

1 Giorgio Gambosi Dipartimento di Matematica
Centro di Ricerca e Formazione Permanente per l’Insegnamento delle Discipline Scientifiche Università di Roma “Tor Vergata” 27 marzo 2017

2 Sono convinto che l'informatica abbia molto in comune con la fisica
Sono convinto che l'informatica abbia molto in comune con la fisica. Entrambe si occupano di come funziona il mondo a un livello abbastanza fondamentale. La differenza, naturalmente, è che mentre in fisica devi capire come è fatto il mondo, in informatica sei tu a crearlo. Dentro i confini del computer, sei tu il creatore. Controlli -- almeno potenzialmente -- tutto ciò che vi succede. Se sei abbastanza bravo, puoi essere un dio. Su piccola scala. Linus Torvalds L’informatica ha a che fare con i computer non più di quanto l’astronomia abbia a che fare con i telescopi. Edsger W. Dijkstra 27 marzo 2017

3 Problemi di immagine dell’informatica
Disciplina culturalmente povera rispetto a “hard sciences” lo stesso avviene per scienze rispetto a materie umanistiche tecnologia, non scienza informatica come programmazione assenza (irrilevanza) di fondamenti concettuali modello “garage programming” 27 marzo 2017

4 Problemi di immagine Informatico = nerd, “smanettone”
Non è una professione “di successo” Problema comune con le altre discipline scientifiche scienziato = secchione Grande fatica, scarso ritorno Fondamenti poco importanti 27 marzo 2017

5 L’informatica nella scuola
Apprendimento strumentale: informatica = computer Scuola media: utilizzo strumenti Scuola secondaria superiore: al massimo, programmazione In generale, informatica vista come funzionale ad altre discipline Produzione documenti, presentazioni, piccoli programmi di simulazione, fogli elettronici 27 marzo 2017

6 L’informatica nella scuola
Riforma Gelmini Informatica soltanto nel Liceo scientifico, opzione scienze applicate Impostazione tecnologica del programma 27 marzo 2017

7 Scarso appeal della matematica
Materia difficile Scarso stimolo concettuale per gli studenti Non sembra avere applicazioni immediatamente significative 27 marzo 2017

8 Test PISA, TIMSS, INVALSI
Insufficienti risultati a partire dalla scuola media (K8) Soprattutto relativamente alle competenze e agli aspetti procedurali e di problem solving Difficoltà di descrizione dei procedimenti di soluzione La matematica insegnata sembra troppo poco attenta agli aspetti di applicazione delle conoscenze ed alla risoluzione (algoritmica) di problemi 27 marzo 2017

9 Cosa fare? Come valorizzare l’informatica?
Come rendere più gratificante la matematica? Sinergie: i concetti e i metodi fondamentali dell’informatica sono utili nell’insegnamento della matematica (e non solo) 27 marzo 2017

10 Come rendere più gratificante la matematica?
Maggiore attenzione all’utilizzo di metodi e concetti Modellazione matematica Computazione Risoluzione di problemi Pensare in modo computazionale 27 marzo 2017

11 Come valorizzare l’informatica?
Combattere idee sbagliate Dare una definizione chiara della disciplina Come corpus concettuale fondamentale Rilevanza sull’acquisizione di un modo di pensare (rispetto a competenze specifiche) 27 marzo 2017

12 Idee sbagliate CS = programmazione
CS = alfabetizzazione informatica (es. ECDL) CS = strumento per lo studio di altre discipline CS = non disciplina scientifica CS = per maschi 27 marzo 2017

13 Come valorizzare l’informatica?
Informatica intesa come disciplina inerente: La modellizzazione La rappresentazione e la gestione dell’informazione La risoluzione procedurale di problemi La programmazione ha un ruolo del tutto ancillare 27 marzo 2017

14 Come valorizzare l’informatica?
Distinzione tra informatica e computer Avvicinamento all’informatica non incentrato su computer Unplugged CS Presto: scuola elementare, scuola media Presenza “trasversale” (ad es. relazioni con linguistica) 27 marzo 2017

15 Come valorizzare l’informatica?
Programmazione come formalizzazione di una procedura algoritmica Utilizzo di ambienti di programmazione di tipo “educational” Storytelling (Alice, Scratch) Test e verifica di correttezza come “sfida mentale” 27 marzo 2017

16 Concetti chiave Informazione, codifica e organizzazione
Algoritmi e loro implementazione Astrazioni concettuali Correttezza di una procedura Efficienza 27 marzo 2017

17 Ruolo dei docenti Formazione insegnanti fondamentale Chi insegna cosa?
Percezione sbagliata della CS trasmessa da docenti a studenti Studenti validi orientati verso altri corsi di studio Chi insegna cosa? Ruolo dei laureati in informatica e in ingegneria informatica 27 marzo 2017

18 Cosa fare? Presenza della comunità accademica per la definizione di programmi e obiettivi (non solo per informatica) Collaborazione scuola-università Non finalizzata alle sole immatricolazioni Iniziative nazionali (olimpiadi informatica) Lauree scientifiche 27 marzo 2017

19 Matematica Definisce un linguaggio
Esprime situazioni e problemi reali in un formalismo rigoroso (modelli) definisce proprietà che risultano in possibili modalità di risoluzioni dei problemi 27 marzo 2017

20 Rimane una questione aperta
quanto è effettivamente praticabile risolvere un problema? quanto devo calcolare? Praticabile: quante risorse di calcolo mi servono? Tempo: il tempo è una risorsa 27 marzo 2017

21 Risolubilità effettiva di problemi. Esempio: TSP
110 province in Italia, per ogni coppia tempo stimato di trasferimento Voglio partire da Roma e tornare a Roma attraverso tutti i capoluoghi nel minor tempo possibile Soluzione semplice: prova tutti i percorsi e scegli il più veloce percorso=permutazione dei rimanenti 109 capoluoghi 27 marzo 2017

22 Risolubilità effettiva di problemi. Esempio: TSP
sono 109! permutazioni, circa 1.45x10^176 permutazioni supponiamo di poter esaminare un percorso al minuto: servono circa 3x10^160 miliardi di anni! Idea! Potrei usare un computer! un percorso ogni miliardesimo di secondo servono circa 5x10^150 miliardi di anni 27 marzo 2017

23 Cosa fare? Devo trovare un modo più efficiente di risolvere il problema Ma esiste un modo più efficiente? Magari esiste un modo efficiente per trovare un percorso molto vicino al migliore, ma non proprio quello 27 marzo 2017

24 Questioni Dato un problema:
Quanto efficientemente è possibile risolverlo? In che modo? Possiamo trovare modi efficienti per risolverlo “più o meno”? Come descriviamo il problema e le sue soluzioni? Come descriviamo il modo di risolverlo? E’ possibile, in assoluto, risolvere il problema in generale? 27 marzo 2017

25 Obiettivi dell’informatica
soluzione efficiente di problemi mediante procedure generali rappresentazione efficiente dell’informazione 27 marzo 2017

26 Algoritmi Sequenze di istruzioni Modelli di calcolo
elementari (modello di calcolo) di composizione Modelli di calcolo istruzioni possibili loro significato in termini di esecuzione 27 marzo 2017

27 Algoritmi Linguistica: Algoritmi come testi di lunghezza finita
Eseguibili da un agente (modello di calcolo): esecuzione potenzialmente infinita Generalità della soluzione funzionano su input diversi (calcolano una funzione) input ammissibili codifica (ancora linguistica) 27 marzo 2017

28 Problema e algoritmo Problema: Soluzione algoritmica
Insieme input ammissibili Output definito da funzione dell’input Soluzione algoritmica Algoritmo Input ammissibile Output richiesto 27 marzo 2017

29 Tipi di problemi P1 input, J,K interi output J^2+3K
problema aritmetico, esecuzione di durata costante (sotto qualche ipotesi) 27 marzo 2017

30 Tipi di problemi P2 input K intero output somma dei primi K interi
aritmetico, la durata dell’esecuzione dipende dall’input 27 marzo 2017

31 Tipi di problemi P3 input K intero
output “Y” se K è primo, “N” se composto problema di decisione, output non numerico 27 marzo 2017

32 Tipi di problemi P4 Insieme di N parole
Le N parole in ordine alfabetico non numerico 27 marzo 2017

33 Tipi di problemi P5 input due testi output parole comuni non numerico
27 marzo 2017

34 Tipi di problemi P6 input carta stradale, 2 città
output descrizione tragitto più breve tra le due città problema di ottimizzazione, input strutturato 27 marzo 2017

35 Tipi di problemi P7 input carta stradale, N città, K intero
output “Y” se esiste un percorso tra tutte le città di lunghezza al più K, “N” altrimenti problema di ottimizzazione visto come problema di decisione 27 marzo 2017

36 Tipi di problemi P8 input, posizione degli scacchi
output “Y” se esiste una sequenza di mosse per il bianco che gli fa vincere la partita, “N” altrimenti problema di decisione relativo ad un gioco 27 marzo 2017

37 Tipi di problemi P9 input programma P, 2 variabili X (di input), Y, K intero output 2K se P pone sempre Y=X^2, 3k altrimenti riguarda il comportamento di un programma “osservato” 27 marzo 2017

38 Tipi di problemi decisionali di ricerca di ottimizzazione
In molti casi difficile enunciare esattamente output difficile: scacchi: come definire la mossa migliore input complesso: problema di distribuzione (20000 giornali, rivenditori, 100 città, 50 furgoni) insieme dei costi, funzione di costo previsioni del tempo (input?, output?): codifica di input e output 27 marzo 2017

39 Risolubilità Problema risolubile se esiste un algoritmo che deriva l’output corretto per ogni input ammissibiledipendenza dal modello di calcolo Problema trattabile se è risolubile ed esiste un algoritmo che lo risolve in modo efficiente (? Da definire) 27 marzo 2017

40 I computer Sono una implementazione di un particolare modello di calcolo Implementazione realizzata per mezzo di circuiti elettronici Modello di calcolo molto semplice: sa fare poche cose elementari ==> è complicato descrivere un algoritmo per essere eseguito da questo modello di calcolo Perché li usiamo? Perché l’implementazione elettronica del modello di calcolo fornisce operazioni molto veloci da eseguire 27 marzo 2017

41 Linguaggi di programmazione
Modelli di calcolo più articolati Implementazione realizzata mediante software eseguito dal modello di calcolo del computer Modello di calcolo più potente: sa fare a livello elementare più cose ==> è più semplice descrivere un algoritmo Perché li usiamo? Sono un buon compromesso tra semplicità di descrizione di algoritmi e velocità di esecuzione 27 marzo 2017

42 Comunicazione Definizione di algoritmi intesa come comunicazione
Destinatario: agente di calcolo, conosce la semantica, sa come eseguire i passi dell’algoritmo Messaggio: descrizione dell’algoritmo, programma 27 marzo 2017

43 Linguistica Algoritmi (e programmi) come frasi di un linguaggio
Sintassi: definisce cosa è corretto dal punto di vista di un insieme di regole di costruzione di “frasi” Semantica: definisce il significato di una frase (in termini di esecuzione) Modello di calcolo (linguaggio di programmazione): insieme delle frasi (programmi) corretti che posso scrivere 27 marzo 2017

44 La macchina di Turing Modello di calcolo particolarmente semplice
Nastro di memoria Testina di lettura/scrittura Stato interno Funzione di transizione 27 marzo 2017

45 La macchina di Turing Esempio: un algoritmo di copia 27 marzo 2017

46 La tesi di Church-Turing
Un problema risolubile da un algoritmo su un qualche modello di calcolo è risolubile da una macchina di Turing La macchina di Turing è il modello di calcolo più potente Esistono modelli di calcolo meno potenti Automi a stati finiti 27 marzo 2017

47 Algoritmi “sbagliati”
Su qualche input, viene fornito un output scorretto Potrei accettarlo, se succede raramente (valutazione probabilistica) A volte, non termina mai 27 marzo 2017

48 Un problema, tanti algoritmi
Ricerca in un insieme Ricerca sequenziale: quanti passi? tempo peggiore, tempo medio, tempo migliore Ricerca a caso (1-1/n)^(k-1)1/n probabilità in k passi, media n Ci potrei mettere di meno? No, come minimo li devo guardare 27 marzo 2017

49 Un problema, tanti algoritmi
Ricerca in un insieme Ipotesi aggiuntiva: insieme ordinato Ricerca binaria tempo peggiore lg n Ci potrei mettere di meno? No (è possibile mostrarlo) 27 marzo 2017

50 Proporzionalità nella valutazione
Consideriamo la proporzione tra il numero di passi (il tempo) e la dimensione dell’istanza di problema Semplificazione: le istanze di stessa dimensione non richiedono lo stesso tempo Caso peggiore (caso medio) 27 marzo 2017

51 Un problema, tanti algoritmi
Ordinamento di un insieme Generazione permutazioni e verifica sequenza ordinata n! permutazioni, circa (n/2.7)^n, per ognuna n passi per verificare che sia ordinata Selezione/inserimento: n^2 Fusione: nlgn Ci potrei mettere di meno? Sicuramente non meno di n (li devo guardare tutti): lower bound Sicuramente non più di nlgn (ce la so fare, così): upper bound Gap di complessità: o abbasso l’u.b. (trovo algoritmi più efficienti) o alzo il l.b. (faccio una analisi più precisa) Vale il secondo caso: mi serve almeno nlgn (se il mio algoritmo è basato su confronti) 27 marzo 2017

52 Un problema, tanti algoritmi
Torri di Hanoi Soluzione iterativa: 2^n-1 mosse ad esempio, n=30, una mossa al minuto, 2000 anni circa Soluzione ricorsiva: 2^n-1 mosse Ci potrei mettere di meno? No (è stato mostrato) In effetti, l’output è lungo 2^n-1 (elenco delle mosse) 1 secondo per mossa: 27 marzo 2017

53 Un problema, tanti algoritmi
Sistemi logici formali sull’aritmetica affermazioni del tipo “se P è vera allora Q è vera” P,Q proposizioni su interi 0,1 con = e +, oltre a operatori logici (aritmetica di Presburger) ad esempio “se X=1 allora non esiste Y tale che X=Y+Y” P: “X=1” Q: “non esiste Y tale che X=Y+Y” Problema: data una affermazione, stabilire se è vera Qualunque algoritmo richiede tempo (numero di passi) almeno 2^2^n (n lunghezza dell’affermazione) n=1 --> 4; 2 --> 16 ; 3 --> 256; 4 --> 65536; ...; 9 --> 1.3x10^154; 10 --> 1.8x10^308 27 marzo 2017

54 Complessità esponenziale e polinomiale
N lgN 11 s 33 s 86 s 5 m 11 m 2h 45 m N^2 4 s 25 s 1 m 40 s 6 m 41 m 11 g N^3 8 s 16 m 2 h 1.5 g 31 a 2^n 32 s 12 g 35 M anni 4x10^22 anni 3x10^293 anni Età dell’universo: 14x10^9 anni 27 marzo 2017

55 Complessità esponenziale e polinomiale
La tecnologia aiuta poco Aumenti della velocità di ordini di grandezza fanno diventare trattabili istanze poco più grandi 27 marzo 2017

56 Complessità esponenziale e polinomiale
Identifichiamo trattabilità con tempo di soluzione polinomiale Correlazione polinomiale tra modelli di calcolo (tesi di Church-Turing) Limiti Costanti moltiplicative Grado elevato 27 marzo 2017

57 Problemi polinomiali MCD Ricerca in un insieme Massimo in un insieme
Ordinamento Ricerca in un labirinto Percorso minimo Ciclo euleriano 2-soddisfacibilità nel calcolo proposizionale … 27 marzo 2017

58 Zona intermedia La classicazione dei problemi ha in realtà una zona grigia localizzata tra i problemi trattabili e quelli intrattabili Sudoku Si procede per tentativi-errori-ritorno indietro (backtrack) 27 marzo 2017

59 Zona intermedia Tempo di soluzione esponenziale, al più 9^n (n è il numero di caselle vuote, n<=9x9) Avendo N cifre, tabella di dimensioni NxN Al più N^(N^2)=2^(N^2*log N) Per verificare se una possibile soluzione (assegnazione di interi a caselle) è corretta, basta tempo proporzionale a N Trovare una soluzione sembra difficile Verificare una soluzione è semplice 27 marzo 2017

60 Problemi verificabili
Moltissimi problemi con le stesse caratteristiche Verificabili in tempo limitato (polinomiale) Problemi di decisione Verifica effettuata su istanza + certificato Certificato: informazione aggiuntiva, di lunghezza limitata (polinomiale) Tipicamente, la soluzione stessa Algoritmo di verifica: esamina istanza + certificato e stabilisce che l’istanza è positiva In tempo polinomiale E se l’istanza è negativa? 27 marzo 2017

61 Problemi verificabili
Un problema risolubile in tempo polinomiale è anche verificabile in tempo polinomiale Certificato vuoto P è l’insieme dei problemi risolubili in tempo polinomiale NP è l’insieme dei problemi verificabili in tempo polinomiale Esistono problemi in NP che non si sa risolvere in tempo polinomiale 27 marzo 2017

62 Artù, Merlino e la tavola rotonda
Artù: ha intelligenza limitata Merlino: infinitamente intelligente Tavola rotonda: ha N posti I cavalieri (N) non vogliono sedersi vicino ai loro rivali E’ possibile disporre i cavalieri intorno alla tavola? Difficile da risolvere: Merlino può farlo, Artù no Possibile: Merlino può convincere Artù (gli mostra la soluzione) Non possibile: come può Merlino convincere Artù? 27 marzo 2017

63 Esempi di problemi NP Numero composto Isomorfismo tra grafi
Colorazione di grafi Percorso hamiltoniano TSP 3 soddisfacibilità nel calcolo proposizionale Bisaccia Sequenziamento di attività Copertura di nodi Insieme indipendente … 27 marzo 2017

64 Problemi NP Non sappiamo risolvere i problemi precedenti in modo efficiente (polinomiale) Sono tutti verificabili in modo efficiente (polinomiale) Per quasi tutti, non si sa verificare in modo efficiente il problema complementare (istanze positive e negative scambiate): eccezione, numero composto Alcuni sono simili a problemi in P (2-SAT e 3-SAT, percorso euleriano e hamiltoniano) 27 marzo 2017

65 Trasformazione di problemi
Una istanza di un problema può essere trasformata in una istanza equivalente di un altro problema in modo efficiente (polinomiale) Esempio:Copertura con nodi e Insieme indipendente In G=(V,E), un insieme S di nodi copre tutti gli archi se e solo se V-S è un insieme indipendente Istanza di Insieme indipendente: G=(V,E), K Trasformata in istanza di Copertura con nodi: G=(V,E), |V|-K Se so risolvere CN n modo efficiente posso risolvere in modo efficiente II 27 marzo 2017

66 Problemi NP-completi Esistono problemi per cui esistono trasformazioni efficienti delle istanze da qualunque problema NP Se so risolvere in modo efficiente uno qualunque di questi problemi so risolvere tutti i problemi NP Sono i problemi su cui conviene “concentrare” gli sforzi: se un problema NP-completo è in P, allora P=NP I problemi citati sopra (eccetto i primi due) sono NP- completi 27 marzo 2017

67 La questione P=NP? Il maggiore problema aperto in informatica
Uno dei maggiori nell’intera matematica Se P=NP (improbabile), grandi conseguenze pratiche Problemi di ottimizzazione intera Ricerca operativa: gestione risorse, logistica, sequenziamento, allocazione risorse Biologia: struttura proteine Crittografia: indebolimento schemi 27 marzo 2017

68 Problemi di ottimizzazione
Sono sicuramente non più semplici dei corrispondenti problemi di decisione Spesso, sono equivalenti (polinomialemente): se so risolvere efficientemente il problema di decisione, so risolvere efficientemente il problema di ottimizzazione NP-completi  NP-hard 27 marzo 2017

69 Ma esistono sempre algoritmi di soluzione?
Quanti sono gli algoritmi? Un algoritmo è descritto da una sequenza di simboli da un alfabeto Può essere interpretato come codifica di un intero (in una base opportuna) Gli algoritmi sono non più degli interi: infiniti numerabili Quanti sono i problemi? Consideriamo i soli problemi di decisione su interi Un problema è descritto da una sequenza infinita di simboli 0,1 associati ai vari interi; ogni sequenza infinita corrisponde a un problema I problemi sono almeno pari ai reali: infiniti non numerabili 27 marzo 2017

70 Problemi senza algoritmi
Dimostrazione più precisa per diagonalizzazione Esistono (infinitamente) più problemi che algoritmi Esistono infiniti problemi non risolubili Lo stesso argomento vale se consideriamo la descrizione di un problema Esistono infiniti problemi che non possono essere descritti “Ci sono più cose in cielo e terra, Orazio, di quante ne sogni la tua filosofia”, Amleto 1,5 27 marzo 2017

71 Problemi non risolubili
Problema della fermata Dato un programma P e un suo input X, l’esecuzione di P su X si fermerà o continuerà indefinitamente? In generale, P eseguirà una qualche azione specifica (restituirà un valore, porrà una variabile a un valore, etc.)? Il problema non è risolubile in modo algoritmico Vale un argomento di auto-referenzialità: Paradosso del mentitore Paradosso del barbiere Teorema di incompletezza di Godel 27 marzo 2017

72 Problema della fermata
Termina(P,X) determina se P si ferma su input X Paradosso(P) While (Termina(P,P)); Paradosso(P) termina se e solo se Termina(P,P) è falso; quindi solo se P non termina su input P Paradosso(Paradosso) termina se e solo se Paradosso non termina su input Paradosso: contraddizione Termina(P,X) non esiste 27 marzo 2017

73 Altre tematiche interessanti
Rappresentazione e gestione dell’informazione Codici di compressione e di correzione Teoria dell’informazione Strutture di dati Linguistica Grammatiche generative Automi di riconoscimento Analisi lessicale e sintattica Programmazione e linguaggi Paradigmi di programmazione 27 marzo 2017