ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato l’Equation Editor di Office oppure il programmino Math Type ...

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1 ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato l’Equation Editor di Office oppure il programmino Math Type ...

2 Uno schema di classificazione per le teorie fisiche
Prof. Enzo Tonti ...

3 Perché in fisica si usa la matematica ?
Fra le scienze della natura fisica chimica biologia botanica zoologia la fisica spicca per il fatto che la sua trattazione esige l’uso massiccio della matematica. Il fatto è che in fisica gli attributi di un sistema sono in gran parte attributi quantitativi, a differenza delle altre scienze naturali nelle quali gli attributi sono, in maggior parte, qualitativi. Come mai ? Gli attributi quantitativi rendono possibile la nascita delle grandezze fisiche. ...

4 Massa m Densità massa r Energia potenziale V Energia cinetica T Quantità di moto p Momento angolare L Velocità angolare w Momento di una forza M Impulso della forza J Forza F Temperatura T Pressione p Lavoro W Energia interna U Entropia S Energia libera F Funzione di Gibbs G entalpia H Potenziale chimico m Le grandezze fisiche Dal momento che ci proponiamo di analizzare la descrizione matematica della fisica, sarà naturale partire da una analisi delle grandezze fisiche. Potenziale elettrico f Potenziale vettore magnetico A Campo elettrico E Spostamento elettrico D Densità flusso magnetico B Intensità campo magnetico H Densità di corrente J Densità di carica r Polarizzazione P Magnetizzazione M Vettore di Poynting S Densità energia elettrica w Densità energia magnetica w Le grandezze fisiche, che sono le protagoniste della fisica, sono solitamente presentate man mano che vengono usate, spesso definite frettolosamente e talvolta date per scontate. Fase f Vettore d’onda k Numero d’onda s Lunghezza d’onda l Frequenza n Accelerazione gravità g Riflettanza r Peso specifico g Indice di rifrazione n Lunghezza L Area A Volume V intervallo T Istante t Angolo a Non ci si sofferma sulla loro genesi, sulle loro caratteristiche, sulla loro classificazione. Spostamento u Tensore di deformazione e Tensore degli sforzi s Velocità di deformazione d Forza di volume F Forza di superficie T Momento flettente M Velocità v Deformazione di taglio g Sforzo di taglio t Flusso magnetico F Flusso elettrico Y Azione J Lagrangiana L Hamiltoniana H Funzione di Jacobi S Funzione di gauge c Viscosità m Dilatazione cubica q Modulo di rigidità G Modulo elastico E Curvatura g Numero di Reynolds Re Costante di Planck h Velocità della luce c Costante di Boltzman k Carica elettrone e Numero di Avogadro A Costante di Rydberg R Coefficiente di Poisson n Coefficiente di trasmissione t Conducibilità termica l Resistenza elettrica R Resistività r Conducibilità s ...

5 Tre classificazioni delle grandezze fisiche
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6 classificazione delle grandezze fisiche
Sono quelle grandezze che descrivono le caratteristiche di un sistema: le costanti materiali, i parametri del mezzo, i parametri di un sistema, i diversi coefficienti, fattori, moduli, le costanti fondamentali, ecc. costanti fisiche grandezze fisiche Sono quelle grandezze che caratterizzano lo stato di un sistema, la sua configurazione, i potenziali e le sorgenti del campo, le energie, ecc. variabili fisiche ...

7 classificazione delle grandezze fisiche
GLOBALI locali costanti fisiche variabili resistenza: R rigidezza: k capacità termica: C resistività: r modulo elastico: E calore specifico: c altre costanti: A, k, e, c tensione elettrica: V flusso magnetico: F allungamento: DL carica elettrica: Q flusso materia: F forza di superficie: T energia elettrom: E potenza: P azione di campo: J vettore campo elettrico: E densità flusso magnetico: B tensore di deformazione: e densità di carica: r vettore densità corrente: q tensore degli sforzi: s densità energia elettrom: w densità flusso di energia: q densità lagrangiana: L ...

8 classificazione delle grandezze fisiche
costanti fisiche Peso specifico g Riflettanza r Indice di rifrazione n Costante di Planck h Velocità della luce c Costante di Boltzman k Carica elettrone e Numero di Avogadro A Costante di Rydberg R Coefficiente di Poisson n Coefficiente di trasmissione t Conducibilità termica l Resistenza elettrica R Resistività r Conducibilità eletrica s Viscosità m Modulo di rigidità G Modulo elastico E …. (NUMEROSE ALTRE) Lunghezza L Area A Volume V intervallo T Istante t Angolo a Potenziale elettrico f Potenziale vettore magnetico A Campo elettrico E Spostamento elettrico D Densità flusso magnetico B Intensità campo magnetico H Densità di carica r Densità di corrente J Polarizzazione P Magnetizzazione M Vettore di Poynting S Densità energia elettrica w Densità energia magnetica w Fase f Vettore d’onda k Dilatazione cubica q Numero di Reynolds Re Temperatura T Pressione p Lavoro W Energia interna U Entropia S Energia libera F Funzione di Gibbs G Entalpia H Potenziale chimico m Massa m Densità massa r Energia potenziale V Energia cinetica T Quantità di moto p Momento angolare L Velocità angolare w Momento di una forza M Impulso della forza J Forza F …… (NUMEROSE ALTRE) variabili fisiche Numero d’onda s Lunghezza d’onda l Frequenza n Accelerazione gravità g Flusso magnetico F Flusso elettrico Y Azione J Lagrangiana L Hamiltoniana H Funzione di Jacobi S Funzione di gauge c Spostamento u Tensore di deformazione e Tensore degli sforzi s Velocità di deformazione d Forza di volume F Forza di superficie T Momento flettente M Velocità v Deformazione di taglio g Sforzo di taglio t Curvatura g ...

9 classificazione delle grandezze fisiche
costanti fisiche Passiamo dai parametri globali (parametri concentrati) a quelli locali (parametri distribuiti) spogliandoli della geometria. parametri concentrati resistenza rigidezza parametri distribuiti resistività modulo elastico ...

10 classificazione delle grandezze fisiche
Cosa si misura? in generale noi misuriamo grandezze globali (funzioni di dominio) non grandezze locali (funzioni di punto). misuriamo una tensione V e poi valutiamo il campo elettrico E, misuriamo una massa M e poi valutiamo la densità r misuriamo una forza F e poi valutiamo la pressione p misuriamo una corrente elettrica I e poi valutiamo j misuriamo un allungamento DL e poi valutiamo e ...

11 classificazione delle variabili fisiche
globali locali massa entropia Intensità di corrente flusso magnetico forza elettro- motrice circolazione della velocità temperatura potenziale (elettrico, gravitazionale) Funzioni di dominio di punto ...

12 classificazione delle variabili fisiche
Questo consente di estendere la nozione di “associazione” alle variabili di punto. La densità è associata al volume ed è funzione del punto La densità di flusso magnetico B è associato alla superficie e funzione del punto L’intensità del campo elettrico E è associato alla linea e funzione del punto La temperatura termodinamica T è associata al punto e funzione del punto ...

13 classificazione delle variabili fisiche
In ogni teoria fisica (del macrocosmo) le variabili fisiche si possono classificare in una delle tre classi seguenti: Variabili energetiche Variabili di configurazione Variabili di sorgente ...

14 classificazione delle variabili fisiche
Sono quelle che descrivono la configurazione del campo. Tali sono le variabili geometriche e cinematiche. Variabili di configurazione raggio vettore spostamento velocità temperatura gradiente termico potenziale elettrico vettore induzione magnetica fase di un’onda gradiente dello spostamento tensore di deformazione circolazione della velocità potenziale chimico ecc. ...

15 classificazione delle variabili fisiche
Sono quelle che descrivono le sorgenti del campo quali le variabili statiche e dinamiche. Variabili di configurazione Variabili di sorgente raggio vettore spostamento velocità temperatura gradiente termico potenziale elettrico vettore induzione magnetica fase di un’onda gradiente dello spostamento tensore di deformazione circolazione della velocità potenziale chimico ecc. forza impulso di una forza carica elettrica corrente elettrica quantità di moto funzione di corrente momento angolare pressione tensore degli sforzi intensità campo magnetico massa vettore induzione elettrica ecc. ...

16 classificazione delle variabili fisiche
Sono tutte quelle variabili che si ottengono facendo il prodotto di una variabile di sorgente per una variabile di configurazione. variabile energetica variabile di sorgente variabile di configurazione lavoro = forza spostamento energia potenziale = peso altezza energia cinetica = quantità di moto velocità potenza = forza velocità entalpia = U + pressione volume ...

17 classificazione delle variabili fisiche
Sono quelle che risultano dal prodotto di una variabile di sorgente per una variabile di configurazione. Variabili energetiche Variabili di configurazione Variabili di sorgente raggio vettore spostamento velocità temperatura gradiente termico potenziale elettrico vettore induzione magnetica fase di un’onda gradiente dello spostamento tensore di deformazione circolazione della velocità potenziale chimico ecc. forza impulso di una forza carica elettrica corrente elettrica quantità di moto funzione di corrente momento angolare pressione tensore degli sforzi intensità campo magnetico massa vettore induzione elettrica ecc. lavoro potenza energia potenziale energia cinetica energia interna entalpia energia libera funzione di Gibbs vettore di Poynting azione ecc. ...

18 classificazione delle variabili fisiche
GLOBALI locali costanti fisiche rigidezza: k resistenza: R capacità termica: C modulo elastico: E resistività: r calore specifico: c altre costanti: A, k, e, c tensione elettrica: V flusso magnetico: F allungamento: DL carica elettrica: Q flusso materia: F forza di superficie: T energia elettrom: E potenza: P azione di campo: J vettore campo elettrico: E densità flusso magnetico: B tensore di deformazione: e densità di carica: r vettore densità corrente: q tensore degli sforzi: s densità energia elettrom: w densità flusso di energia: q densità lagrangiana: L configurazione sorgente energetiche variabili fisiche ...

19 classificazione delle variabili fisiche
variabili di configurazione variabili energetiche variabili di sorgente Potenziale elettrico f Potenziale vettore magnetico A Campo elettrico E Densità flusso magnetico B Numero d’onda s Lunghezza d’onda l Frequenza n Accelerazione gravità g Flusso magnetico F Temperatura T Velocità angolare w Velocità v Deformazione di taglio g Curvatura g Velocità di deformazione d Funzione di gauge c Spostamento u Tensore di deformazione e Fase f Vettore d’onda k Dilatazione cubica q Potenziale chimico m …… (NUMEROSE ALTRE) Lavoro W Energia potenziale V Energia cinetica T Azione J Lagrangiana L Hamiltoniana H Funzione di Jacobi S Energia interna U Vettore di Poynting S Densità energia elettrica w Densità energia magnetica w Energia libera H Funzione di Gibbs G Entalpia H …… (POCHE ALTRE) Forza F Forza di volume F Forza di superficie T Pressione p Entropia S Massa m Densità massa r Quantità di moto p Momento angolare L Momento di una forza M Impulso della forza J Spostamento elettrico D Intensità campo magnetico H Densità di corrente J Densità di carica r Polarizzazione P Magnetizzazione M Momento flettente M Sforzo di taglio t Tensore degli sforzi s Flusso elettrico Y …… (NUMEROSE ALTRE) Lunghezza L Area A Volume V intervallo T Istante t Angolo a Numero di Reynolds Re dove va?

20 A questo punto entra in campo la geometria
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21 Elementi spaziali Punto Linea Superficie Volume ...
Chiameremo “elementi spaziali” i punti (P), le linee (L), le superfici (S), i volumi (V); 4 elementi spaziali Punto Linea Superficie Volume Nasce allora la necessità di fare una classificazione degli elementi spaziali. Il modo migliore di fare questo è di costruire un complesso di celle ed un suo duale. ...

22 Complesso di celle primale e duale
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23 Complesso di celle primale e duale
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24 Classificazione degli elementi spaziali
complesso primale complesso duale Punto P Volume V Linea L Superficie S Volume V Superficie S Linea L Punto P ...

25 Qui c’è un fatto fondamentale:
le variabili globali sono associate agli elementi spaziali ...

26 Variabili GLOBALI ed elementi spaziali
Global variables are naturally referred to space elements: Point (P) Line (L) Surface (S) Volume (V) Thermal conduction temperature is referred to points P Electromagnetism electrical potential is referred to points P Solid mechanics displacement is referred to points P Fluid mechanics velocity is referred to points P Electromagnetism voltage is referred to lines L Solid mechanics stretching is referred to lines L Fluid mechanics velocity circulation is referred to lines L Electromagnetism magnetomotive force is referred to lines L Electromagnetism magnetic flux is referred to surfaces S Electromagnetism charge flow is referred to surfaces S Fluid mechanics discharge is referred to surfaces S Thermal conduction heat is referred to surfaces S Solid mechanics surface force is referred to surfaces S Mechanics mass content is referred to volumes V Mechanics momentum content is referred to volumes V Mechanics energy content is referred to volumes V Thermodynamics entropy content is referred to volumes V ...

27 classificazione delle grandezze fisiche
Dal momento che le variabili fisiche sono associate agli elementi spaziali, la precedente classificazione degli elementi spaziali induce a fare una corrispondente classificazione delle variabili fisiche: è sufficiente inserire le variabili fisiche nelle caselle dei corrispondenti elementi spaziali- E’ in questo modo che nasce uno schema di classificazione delle variabili di ogni teoria fisica. ...

28 classificazione delle variabili fisiche
Empiricamente si fa la seguente constatazione: Se le variabili di configurazione si associano agli elementi del complesso primale allora le variabili di sorgente risultano associate agli elementi del complesso duale. (Questa constatazione è, solo in parte, giustificata da considerazioni riguardanti le due nozioni di orientazione di un elemento spaziale, l’orientazione interna e quella esterna, che qui non trattiamo per brevità) ...

29 classificazione delle variabili fisiche
Dal momento che le grandezze fisiche globali sono associate ad un elemento spaziale, del complesso primale o duale, possiamo inserire le grandezze nelle relative caselle. complesso primale complesso duale S V L P P L S V ...

30 Conduzione termica T P R Q ... variabili di configurazione
complesso primale variabili di sorgente complesso duale T = temperatura P = produzione termica T P R Q R = salto termico Q = calore ...

31 Elettrostatica Q V ... variabili di configurazione complesso primale
variabili di sorgente complesso duale potenziale elettrico Q Carica elettrica tensione elettrica V flusso elettrico ...

32 Fluidi perfetti ... variabili di configurazione complesso primale
variabili di sorgente complesso duale Potenziale cinetico Produzione di massa circolazione della velocità flusso di massa ...

33 Meccanica solidi deformabili
variabili di configurazione complesso primale variabili di sorgente complesso duale forza di volume spostamento spostamento relativo forza di superficie ...

34 Dinamica fluidi viscosi
variabili di configurazione complesso primale variabili di sorgente complesso duale velocità forza di volume velocità relativa forza di superficie ...

35 Equazioni ...

36 Le equazioni della fisica
Le leggi fisiche sono descrivibili come relazioni quantitative tra grandezze fisiche ovvero con equazioni. Questo non è possibile, ad esempio, in biologia ove le leggi biologiche sono quasi sempre espresse a parole. Con le grandezze fisiche espresse da numeri e da insiemi di numeri ( vettori, tensori, matrici, ecc.) e con le leggi fisiche, espresse da equazioni, … fa il suo ingresso trionfale in fisica, la matematica ! Ci proponiamo di dare una visione d’assieme delle grandezze e delle equazioni fisiche al fine di cogliere alcune caratteristiche generali che sono di solito sottovalutate. ...

37 Equazioni di “struttura”
Tali sono tutte le equazioni che legano fra loro le variabili di configurazione o le variabili di sorgente di una teoria fisica. variabili di configurazione complesso primale variabili di sorgente complesso duale EQUAZIONI DI STRUTTURA EQUAZIONI DI STRUTTURA ...

38 Equazioni di “struttura”
Col nome (nuovo) di “equazioni di struttura” intendiamo le equazioni che legano le variabili di una stessa teoria che sono associate agli elementi di uno stesso complesso di celle. variabili di configurazione complesso primale variabili di sorgente complesso duale Equazione di formazione delle differenze Equazione di bilancio Equazione circuitale Equazione circuitale Equazione di bilancio Equazione di formazione delle differenze ...

39 Equazioni costitutive
Sono le equazioni che legano le variabili di sorgente con le variabili di configurazione equazioni costitutive variabili di configurazione variabili di sorgente ...

40 Equazioni costitutive
Tali sono tutte le equazioni che legano le variabili di configurazione con le variabili di sorgente di una teoria fisica. variabili di sorgente complesso duale variabili di configurazione complesso primale ...

41 Esempi di quazioni costitutive
Fourier q = - k grad T k = conducibilità termica Fick q = - D grad c D = diffusività Darcy q = - k grad H k = conducibilità idraulica Ohm j =  E  = conducibilità elettrica Newton  =   viscosità Hooke  = E  E modulo di elasticità Coulomb D =  E  = permeabilità H = 1/ B  = permittività p = m v m = massa Come si vede una equazione costitutiva lega una variabile di configurazione con una variabile di sorgente. ...

42 Conduzione termica stazionaria
Poisson Variabili di configurazione Complesso primale Variabili di sorgente Complesso duale Equazione fondamentale Sorgente termica temperatura Fourier gradiente temperatura Densità di flusso ...

43 Variabili di configurazione
elettrostatica Poisson Variabili di configurazione Complesso primale Variabili di sorgente Complesso duale Equazione fondamentale potenziale elettrico densità di carica intensità campo elettrico Spostamento elettrico ...

44 Variabili di configurazione
moto fluido perfetto Laplace Variabili di configurazione Complesso primale Variabili di sorgente Complesso duale Equazione fondamentale potenziale cinetico Densità di flusso di massa velocità ...

45 Riassunto Partendo dalla constatazione che la formulazione matematica della fisica è resa possibile dall’esistenza delle grandezze fisiche, si procede ad una analisi delle grandezze ed alla loro classificazione. Si richiamano tre classificazioni: costanti / variabili (tradizionale) globali / locali (nota ma poco utilizzata) configurazione / sorgente / energetiche (nuova) Si constata che le variabili fisiche presentano una naturale associazione agli elementi spaziali. Essendo possibile fare uno schema di classificazione degli elementi spaziali, si può utilizzare lo stesso schema per ottenere una classificazione delle variabili fisiche. In tal modo si fornisce una spiegazione delle analogie tra teorie fisiche diverse. ...

46 Fiume della fenomenologia
equazioni costitutive equazioni di struttura Variabili di sorgente Variabili di configurazione Fiume della fenomenologia ...

47 indirizzi http://discretephysics.dic.units.it tonti@units.it
Diagrammi relativi a differenti teorie fisiche si possono scaricare dal sito: alla voce “Diagrams of Physical Theories” Prof. Enzo Tonti, Dipartimento di Ingegneria Civile dell’Università di Trieste, Piazzale Europa 1, Trieste Tel: