SISTEMI DI RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI.

SISTEMI DI RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI

indice sistemi posizionali
rappresentazione di numeri sistema unario storia dei sistemi di numerazione il sistema latino codici posizionali in varie basi un quiz somme numeri in base 2, 3, .. prodotto in binario base sedici (esadecimale) cambio base esercizi frazioni 0,1 da base 10 a base due limiti e overflow

indice capitolo numeri con segno:
numeri in complemento a uno somme con segno complemento a due rappresentazione in eccesso di k esercizi sui numeri con segno

indice capitolo numeri in virgola mobile :
rappresentazione di n.i grandi/piccoli precisione limiti esercizio somma in floating point overflow standard IEEE 754 floating point esercizi fine parte numeri

rappresentazione di numeri
codifica dei numeri

i primi codici numerici codificavano un numero = il dato numerico in "unario": per rappresentare n si usa un simbolo ripetuto n volte (unario: c’e’ un solo simbolo, l’uno) uno I sei III III due I I sette IIII III tre I I I otto IIII IIII quattro I I I I nove III III III cinque I I I I I dieci III II III II e poi? venti ||||| ||||| ||||| ||||| trenta ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ma... per “scrivere” cento oppure mille ... e’ un’impresa !!

unario: per codificare n uso un solo simbolo ripetuto n volte: uno I sei III III quattro I I I I nove III III III cinque I I I I I … la rappresentazione unaria va bene per numeri piccoli, oppure per situazioni teoriche (casi particolari di alcune macchine di Turing … lo vedremo in seguito) non va bene per la scrittura abituale non va bene per il calcolatore ... e l'umanita' se ne e' accorta abbastanza presto !

per semplificare la rappresentazione di numeri circa anni fa in Egitto, Mesopotamia, poi India, Cina, piu’ tardi in America (centro e sud), per evitare la ripetizione eccessiva nel caso di numeri maggiori di 10 si introdusse una codifica piu' economica: si usarono dei simboli diversi per indicare un gruppo di 10, 20, 30, 100, 500, simboli ecc Il sistema inizialmente non prevedeva un simbolo per indicare il numero zero, ne' per indicare la cifra zero; per un sistema posizionale la cifra zero e' importante (indica la mancanza di numeri di quel peso) e fu introdotto abbastanza presto nel sistema babilonese (600 anni p.c.), poi reinventato in india, e poi ritornato nei paesi arabi e in Europa.

rappresentazione dei numeri : i sumeri e i babilonesi
sono considerati i piu' antichi i sistemi sumero-babilonesi e egiziani - anche perche' poco e'rimasto delle prime civilta' indu' preindoeuropee wedge=cuneo

numeri egiziani

numeri egizi bastone osso del tacco rotolo di corda girino

numeri egizi un esempio di scrittura di un numero grande: 46206 = 4 x (dito indice ripetuto 4 volte) + 6 x (6 fiori di loto) + 2 x ( 2 rotoli di corda) + 6 unita' (6 barre) (nessuna decina) (scritto da destra verso sinistra, ma si legge anche se cambia l' ordine di scrittura: quello che conta e' il simbolo,non la posiz)

codifica numeri nell'antichita' i numeri erano usati per memorizzare quantita' di oggetti e date di trattati o donazioni e eventi memorabili, e - dove richiesto - posizioni e date di eventi astronomici (a uso di predizione per agricoltura o per uso del re...) molti popoli hanno sviluppato piu' o meno autonomamente vari sistemi di numerazione, di cui ci interessano alcuni: * babilonesi (base sessanta, posizioni in gradi sessagesimali delle stelle e misura del tempo in ore, minuti e secondi) * egiziani (da cui poi i greci e poi i..) ==>> romani ... di seguito cenni dei sistemi di numerazione * greci e romani * maya (i primi a inventare lo zero, senza effetti successivi sul resto del mondo) * indu' (brahmi->devanagari->arabi occidentali->europa

numerazione greca gli antichi Greci erano bravissimi in geometria, ma usavano un sistema di scrivere numeri non posizionale; Euclide, Archimede, Tolomeo ecc scrivevano i numeri con il sistema greco (da cui il sistema romano); i numeri "importanti" erano indicati con le lettere iniziali della parola usata per indicare tale numero (penta,deka,hekta, ... vedi pagina seguente i matematici greci non usarono il sistema posizionale: un sistema di numerazione efficiente non era importante per gli studi di geometria; gli astronomi greci adottarono dai babilonesi l'uso dello zero (lo zero nel sistema posizionale Babilonese, usato come marcatore di posizione zero, esso era noto a Ptolomeo, ma non era considerato un numero, e fu dimenticato)

numerazione greca

numerazione greca in seguito, per economia di scrittura, furono adottati in Grecia dei simboli singoli per indicare i numeri "piu' usati", da 1 a 1000; i simboli usati erano semplicemente quelli dell'alfabeto; per i numeri dopo il 1000 si usava una codifica per il peso mille e una codifica diversa per il peso ma il sistema non era posizionale, e cosi' rimase per i latini

numerazione greca

numerazione greca per scrivere numeri molto grandi i greci usavano un sistema misto del simbolico non posizionale puro e con due pesi (mille e diecimila)...

Dai sistemi di numerazione babilonesi ... greci deriva il sistema di numerazione romano. Il sistema latino e' un codice non posizionale (ibrido): il valore numerico associato ad un simbolo dipende in minima parte dalla sua posizione ed e' in gran parte fisso: (nota semplificazione 4: da IIII a IV) 1 I 6 VI 11 XI 2 II 7 VII 12 XII 3 III 8 VIII 13 XIII 4 IV 9 IX 14 XIV 5 V 10 X 15 XV 20 XX 30 XXX 40 XL 50 L e, ancora, ->

sistema romano: 1 I IV V 10 X 20 XX LX 30 XXX LXX 40 XL LXXX 50 L XC 100 C DC 200 CC DCC 300 CCC DCCC 400 CD CM 500 D M ....

numeri - il sistema romano
le operazioni aritmetiche con il sistema di numerazione romano o latino sono "piuttosto scomode" … Si provi ad es. verificare che MCMXCVI piu’ IV = MM (*) oppure : X L V I I I volte X I X = CMXII (+) ________ (*) piu' 4 = 1996 piu' 4=2000 (+) 48 * 19 = 912

per semplificare le operazioni di addizione (e le altre operazioni aritmetiche) si ricorreva al pallottoliere (abaco) il pallottoliere e' rimasto in uso in molti paesi fino a pochi decenni fa (Russia, Cina, Giappone) dove il suo uso era insegnato a scuola (talvolta lo e' ancora) il sistema romano era una via poco praticabile e fu abbandonato anche se solo dopo piu' di mille anni ... tracce di uso rimangono in varie situazioni e in vari paesi ...

numeri indiani Il sistema posizionale decimale fu inventato in India:
duemila anni prima il sistema di numerazione posizionale fu inventato dai sumeri e babilonesi, ma con base 60; gli indu' ripresero il sistema posizionale, con base 10 (non noto se lo ripresero dai babilonesi attraverso le prime culture proto-indu' di Harappa e Mohendjo Daro, (culture distrutte dagli indo-europei) o se lo reinventarono) Laplace scrive:

Laplace sul sistema indo-arabo
il sistema ingegnoso di esprimere ogni numero possibile con l'uso di soli dieci simboli (assegnando ad ogni simbolo un valore di posizione e un valore assoluto) nasce in India. Oggi l' idea sembra tanto semplice che il suo significato e la sua profonda importanza non sono piu' apprezzati. Il sistema ha portato ad una tale semplificazione dei calcoli da portare l'aritmetica tra le invenzioni piu' utili per l'umanita'. Si comprende l'importanza di questa invenzione se si considera che essa non fu alla portata dei matematici maggiori dell'antichita' come Euclide, Archimede o Apollonio... (a difesa di quelli si ricorda che gli interessi dei matematici dell' antichita' era volto verso la geometria, meno verso i calcoli numerici)

numeri indiani Numeri Brahmi
nota l'evoluzione del 2 da || e del 3 da |||

numeri indiani Sulle origini dei numeri Brahmi (da cui derivano i numeri Devanagari, i numeri arabi (piu'varianti) e infine i numeri come oggi li usiamo) si sa poco; poco si sa anche sulle cause che portarono all'invenzione del sistema posizionale; gli studi numerologici in India furono motivati dall'astrologia e dal fascino per i numeri grandi tipico della cultura dell'India ( racconto del 2 secolo d.c. sul dialogo tra Boddishatva e il suo maestro di matematica su come si ottengono dei numeri molto grandi; Boddishatva arriva ad un dato dell' ordine di grandezza di 10^450 ! )

numeri indo-arabi

numeri cinesi

numeri giapponesi

numeri ... si potrebbe continuare l'elenco di sistemi di numerazione, menzioniamo solo un esempio ancora, che e' circa contemporaneo ai numeri Brahmi, ma di tutt'altra regione ...

Numerazione Maya le culture del continente africano erano a contatto con l'area mediterranea e dell'india; le culture del continente australiano (condizioni climatiche diverse) non hanno dato luogo a organizzazioni statali complesse che richiedessero archivi e corrispondenza... le culture del continente americano hanno avuto uno sviluppo separato nell'arco di anni (seconda ondata di popolazione del continente, attraverso la Siberia e l'Alasca), e sono arrivate alla scrittura e ai sistemi di numerazione con uno sviluppo autonomo; la maggior parte del sapere delle culture del continente americano e' stata distrutta dai colonizzatori spagnoli. segue un cenno al sistema di numerazione Maya, sviluppato molti secoli prima dell'arrivo degli spagnoli.

Numerazione Maya

quindi 508 va pensato e riscritto come: 8 unita' (=8 decimale)
Numerazione Maya proviamo scrivere 508: ricorda che la base e' 20, quindi 508 va pensato e riscritto come: 8 unita' (=8 decimale) 5 ventine (=100 decimale) 1 ventina al quadrato (=20*20 = 400 decimale) quindi 50810 = che in Maya scriviamo

numeri maya qualche esempio di numeri maya:

sullo zero L'introduzione del sistema posizionale porto' alla scoperta dello zero; si noti che i sistemi "additivi" come l'antico egiziano o il sistema romano non richiedono l'uso dello zero: 2040 si scrive MMXL, si scrive XXIV ... in un sistema posizionale lo zero e' importante: devo distinguere tra 24, 204, 240, 2004, 2040, 2400, , , quindi come codice di "posizione vuota" lo zero appare assieme al sistema posizionale, mentre il NUMERO ZERO appare secoli dopo, con la generalizzazione delle regole di aritmetica di somma, prodotto, moltiplicazione e divisione ...

storia numeri indu' 200 d.c.: cifre Brahmi,
500: sistema posizionale e introduzione della cifra zero (non come numero, ma come marcatore di posizione vuota), 630: zero come numero: il matematico Brahmagupta si occupa dell'uso dello zero nelle operazioni aritmetiche: Br. scrive [[se z sta per zero, n per negativo, p per positivo, nn per numero negativo, np per numero positivo]] : addizione: la somma di z e di un nn e' n, la somma di un np con z e' p, la somma di z con z e' z; sottrazione: un nn (o np) sotratto dallo z e' p (o n), z sotratto da un np (o nn) e' p (o n), z sotratto da z e' z; moltiplicazione: ... np moltiplicato per z e' z, ..., divisione: z diviso un np o un nn e' zero, z diviso z e' z, (!!) np o nn diviso zero e' una frazione con zero come denominatore (tautologia !!) -> non riesce a risolvere il x/0 ... 1130 Bhaskara: un np diviso per z e' una frazione chiamata frazione infinita, che e' tale che f.i.+n e' f.i., e f.i.-n e' f.i. ...

numeri cinesi il sistema di numerazione indu', posizionale decimale, con lo zero, era ben sviluppato nel 800 d.c., e dall' India si diffuse all'est - in Cina: i matematici Cinesi del 1200 descrivono il sistema posizionale decimale con l'uso della cifra e anche del numero zero; e sempre dall'India si diffuse all'ovest, nei paesi arabi, e quindi in Italia: Fibonacci, "Liber abaci" dove usa anche il "segno" zero (ma non il numero zero) il numero zero entro' nell'uso comune dei matematici Europei appena dopo il rinascimento (1600); ... Gli autori J.J. O'Connor, E.F.Robertson, dell' articolo sullo zero, scrivono: ma lo zero e'ancora problematico ;-) si consideri ad esempio la data del "millenio", 1 gennaio 2000, che era la fine di 1999 anni del nostro sistema di contare gli anni, e non di 2000 anni... (vedi:

numeri indo-arabo-europei:
I numeri standardizzati con l'introduzione della stampa ( ):

CODICI NUMERICI POSIZIONALI Un numero e' codificato (rappresentato) da una sequenza di simboli, dove ogni simbolo ha un valore numerico definito dalla posizione del simbolo nella sequenza: 1984 rappresenta un valore dato dalla somma di 1 migliaia 9 centinaia 8 decine 4 unita' 1984 rappresenta * * * 8 + 1

CODICI NUMERICI POSIZIONALI Un numero e' codificato (rappresentato) da una sequenza di simboli, dove ogni simbolo ha un valore numerico definito dalla posizione del simbolo nella sequenza. Es: codice numerico posizionale con 4 simboli (cifre) : a b c d (o qualunque altri 4 simboli) Ad ogni simbolo si associa un valore numerico, ad es.: a =3, b = 2, c = 1, d = 0, Una stringa di tali simboli e' un codice di un numero: ad esempio abbac: abbac rappresenta un valore numerico dato da: n = a * p1 + b * p2 + b * p3 + a * p4 + c * p5 dove p1, p2, p3, p4 e p5 sono valori numerici o "pesi" associati alle posizioni nella stringa.

rappresentazione di numeri - un codice ... strano :
cont. es 4 simboli, a b c d a cui associamo i valori numerici a =3, b = 2, c = 1, d = 0, una stringa di tali simboli: abbac rappresenta un valore numerico ottenuto dai simboli (cifre) moltiplicando ogni cifra per un peso diverso (i pesi sono convenzionali) e poi sommando: n = r * p1 + t * p2 + r * p r * p4 + s * p5 es. con i pesi (NON usuali! - anzi, decisamente strani...) p1 = 222, p2 = 55, p3 = 17, p4 = 6, p5 = 1 il codice abbdc ovvero con tale sistema vale 3* *55 + 2*17 + 0*6 + 1*1 = = 811 (sistemi simili sonostati usati per le monete di antichi paesi)

esempio: rappresentazione di numeri con 4 cifre a,b,c,d (leggi: zero, uno, due, tre) ca rappresenta il valore c * peso1 + a * peso0 bacabb rappresenta un valore numerico ottenuto dai simboli (cifre) moltiplicando ogni cifra per un peso diverso e poi sommando: scelta abituale: i pesi associati alle posizioni sono convenzionali ma NON sono arbitrari: sono le potenze di una costante detta base del sistema, in un sistema a 4 cifre, base 4, si assume convenzionalmente peso0 = uno, peso1 = quattro ca = c * peso1 + a * peso0 quindi ca = c * quattro + a * uno

nel sistema in base 4 o "quaternario" abbiamo 4 cifre: a,b,c,d (leggi : zero, uno, due, tre), la codifica abbac rappresenta un valore numerico ottenuto dai simboli (cifre) moltiplicando ogni cifra per un peso diverso (i pesi sono convenzionali) e poi sommando: n = a * p1 + b * p2 + b * p a * p4 + c * p5 per il nostro sistema, una scelta e': p5 (ultimo peso a destra)vale 1 (unita') cioe' 4 alla 0 p4 (penultimo peso a destra) vale 10 (quartine) = 4 alla 1 p3 vale 100 (sedicine) = 4 alla due, ecc ba (vale b*p4+a*p5 = una quartina,zero unita') bd (vale b*p4+d*p5 = una quartina,tre unita') bac (vale b*p3 + a*p4 + c*p5= una sedicina + zero quartine + due unita')

sistema "quaternario", base 4, con 4 cifre: a(zero), b(uno), c(due), d(tre) scelta abituale: i pesi associati alle posizioni sono le potenze di una costante detta base del sistema, per il nostro sistema, con n= a*p1+b*p2+b*p3+a*p4+c*p5 una scelta potrebbe essere p5 vale 1 (unita'); p4 vale 10 (quartine), p3 vale 100(sedicine) ecc; 0) a ) b ) c ) d i primi 20 numeri 4) ba ) bb ) bc ) bd si scrivono 8) ca ) cb ) cc 11) cd cosi' (es. cinque cioe' 12) da 13) db ) dc 15) dd un 4 piu' un 1 si scrive 16)baa 17)bab 18)bac 19)bad bb , 12 cioe' tre 4 piu' 20)bba 21)bbb 22)bbc 23)bbd zero 1 si scrive ca, ecc) ancora: bbd =b*sedicine+b*quartine+d*unita' = scritto in decimale: = 23

riscriviamo il sistema quaternario, base 4, con 4 cifre: al posto di a, b, c, d scrivo per il nostro sistema, una scelta dei pesi (abituale): p5 vale 1 (unita'); p4 vale 4 (quartine), p3 vale 16(sedicine) diremo il sistema posizionale con base 4, e per contare in base 4 avremo: 0) ) ) ) i primi 20 numeri 4) ) ) ) si scrivono 8) ) ) ) cosi' ... 12) ) ) ) 33 16) ) ) )103 20) ) ) )113 ad es : =1*sedicine+1*quartine+3*unita' = riscritto in base dieci abituale: 113 = = 23

il nostro sistema numerico e' posizionale con base dieci: rappresenta 1*10^3 +9*10^2 +8*10^ *10^0 = 1* * * * per un codice numerico posizionale in base b uso un insieme di b cifre (simboli): { s1,s2,s3,... sb } Un dato di n+1 cifre c(n) c(n-1) c(n-2) c(n-3)...c(1) c(0) rappresenta il numero (indico con b^k = b elevato alla k) c(n)*b^n + c(n-1)*b^(n-1) c(1)*b^1 + c(0)*b^0 cioe’ (in base b): c n * c 2 * c 1 * 10 + c 0 * 1

si noti che nel sistema numerico posizionale con base dieci: rappresenta 1*10^3 +9*10^2 +8*10^ *10^0 = 1* * * * 1 questo si puo' scrivere anche cosi' (con basi a fattore comune) : ( ( ( ( ( 1*10 ) + 1 ) * ) * 10 ) + 7 )

riprendiamo il sistema con 4 simboli (cifre), base = 4, e i pesi saranno le potenze di 4: p4..p0= e quindi d b d d c con (d =3, c = 2, b = 1, a = 0) rappresenta: 3*p *p *p *p1 + 2*p0 = 3 * * * * * 1 (in base 4) = 3*4^ *4^ *4^ *4^1 + 2*4^0 = (base 10) 3* * * * *1 = = = 894 in base 10

I primi venti numeri sono rappresentati in base 4 come segue (riportati numero in decimale e in base quattro): 0 0 <- 4 10 < <- (non 40! ;-) 8 20 < <-

es: base 4: 1323 rappresenta (e' la codifica di) : 1 * base^3 + 3 * base^2 + 2 * base ^1 + 3 * base^0 1 * 4*4* * 4* * * 1 ovvero: 1* * * …. e cosa rappresenta in base 4 ? <<== ;-)

in base quattro il numero non rappresenta nulla perche' 9,8,7 non sono cifre in base quattro - in base b le cifre vanno da 0 a b-1 !! in ogni caso la base si scrive 10 e rappresenta il numero b (tranne in unario) Es. in ottale ovvero con base otto le cifre sono: e la base otto si scrive 10 !!

ancora, in ottale (base otto) il valore numerico della base e' otto, dove otto in base 8 si scrive 10 in genere in ogni sistema posizionale con base b, la base b si scrive 10 otto in base 8 si scrive 10, e si indica con: 108 dato che si indica otto in base 10 con 810 quindi 108 = 810 come 103 = 310 , e 106 = 610 e = e = 1610

in ottale (base otto) si conta: a cui segue -> 10(*) (*) 108 = 810 > 7*8+7 =63 > =79 ....

ad es. in base 12 ho dodici cifre, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B dieci e undici in base 12 sono cifre, indicate con A e B ! quindi i primi 36 numeri - conto da 0 a (35 in base 10): A B ( B vale 11) A 1B (1B vale 23) A 2B (2A vale 34) A 3B (39 vale 45) A 4B (4B vale 4*12+B=48+11)

ad es. in base 16 ho sedici cifre, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F dieci, undici,.. quindici in base 16 sono cifre, indicate con A,B,.. F quindi i primi 20 numeri - conto da 0 a 20 (20 in base 10): (da 0 a 7 come in decimale) A B C D E F (B vale 11, F vale 15) (10 vale 16 in base 10) A 1B 1C 1D 1E 1F (1E vale 30 in base 10)

CONVERSIONE da base b generica a base 10, e da base 10 a base generica

CONVERSIONE da base b generica a base 10, esempio: da base 8 a base 10, per definizione: 17 = 1*8+7 =15, 20 = 2* = 16, 76 = 7*8+6 = 62, 100 = 1*64 = ecc Per decodificare in base 10 un numero rappresentato in base 8 basta ricordare la definizione: ad es ( in base 8) vale in base 10: 5* *10 + 5* (in base 8) 5 * * 8 + 5* (in base 10) = = (in base 10)

ancora un es: il numero in base 8 diventa in base 10: 3 * * * * 1 tutto in base 8, che in base 10 diventa: = 3* * * * 1 = =

un es. in base (cifre 0,1,2 ): come si conta in base tre ? e poi? che sono tre, quattro e cinque, cioe' una terna piu' zero, uno e due, poi che sta per sei, sette e otto, ovvero due terne piu' zero, uno e due, cui segue nove ovvero tre terne cioe' una (terna)2 piu'zero terne piu' zero unita'

in base tre (cifre 0,1,2 ): contare in base tre: 1000 … che corrispondono ai numeri in base 10: 27 …

esercizio: quanto vale (dato in base 3) = in base dieci ? = in base tre il significato e' noto: 1 * * * * * * 1 tutto in base tre ... vediamo di riscrivere in base dieci ricorda come si conta in base tre: ovvero, in base 10,

esercizio: quanto vale (dato in base 3) = in base dieci ? in base tre il significato e' noto: = 1 * * * * * * 1 che diventa in base dieci: 1*35 +2*34 +2*33 +1*32 +0*31 +1*30 = 1 * * * * * * 1 = = =

e finalmente arriviamo
al sistema usato dai calcolatori: numeri in base 2 due cifre sole, e 1

In base due abbiamo due cifre (cifre binarie,BInary digiT = BIT) per rappresentare i due numeri zero e uno, e 10 per rappresentare il numero due; i primi 20 numeri in binario: nota: 101 = 4 +1=5; 110 = 4+2=6; = 8+4+1=13 ecc

ricorda alcune potenze di due in binario: 2 = 2 alla 1; = 2 alla 2; = due alla 3; 16 = 2 alla 4; 32 = 2 alla 5; = 2 alla 6; 128 = due alla 7; = 2 alla 8; = 2 alla 9; 1024 = 2 alla 10; =2 alla 11; =2 alla 12; 32768 = 2 alla 15; = 2 alla 16; ... 1024 = 2 alla = 1 Kilo = 2 alla = 1 Mega = 2 alla 30 = 1 Giga e un Tera ? in base due scrivo le potenze di due come: 2 -> > > > 32-> > > 256-> ecc

es. il numero rappresenta (tutto in binario): 1* * * * * ovvero (in decimale): 1* * * * * =

conversione da base 2 a base 10 -basta ricordare le potenze di due ed il significato del codice, 2^12 2^11 2^10 2^9 2^8 2^7 2^6 2^5 2^4 2^3 ad es = 2 alla 4 = 16 2^2 2^1 2^0 per cui = 1*2^4 +0*2^3 +1*2^2 +0*2^1 +0*2^0 rappresenta * * * * *1 = 20

conversione da base 2 a base 10 -basta ricordare le potenze di due ed il significato del codice, 2^12 2^11 2^10 2^9 2^8 2^7 2^6 2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0 esercizio ... convertire in base dieci il numero dato in base due (qui inseriti tre spazi per migliore lettura):

soluzione esercizio " convertire in base dieci il numero dato in base due " onm lkji hgfe dcba ricordando i pesi che sono: 1 per l’ultima cifra a destra, a, poi due per la penultima cifra b, poi 4 per c, poi 8 per d, ecc, e per la decima cifra k, 2048 per l, 4096 per m(12a cifra) 8192 (13.a cifra n), per la 14.a cifra o, quindi (tolte le cifre zero, restano le cifre uno), in notazione mista: o m k j g + f c + a = 22117

soluzione esercizio " convertire in base dieci il numero dato in base due " un po' piu' veloce se raggruppo a 4 a 4 i bit, e ricordando i pesi di questi gruppi, che sono le potenze di 16 (un gruppo di 4 cifre binarie permette di contare da 0 a 15), 1 per l’ultimo a destra, 16 per il penultimo a destra, 256 per il terzultimo a destra (il secondo) e infine 4096 per il primo quindi (in notazione mista): 101* * * *1 ricordando la tabellina dei primi 16 numeri in binario, 101 = 5, = 6, = 5, quindi: 5* * * = = 22117

esercizio (quiz) quale numero segue nella sequenza, e perche' ?
(ovvero: come e’ costruita questa sequenza?) ?

quiz un aiuto ... dieci in base dieci si scrive dieci piu' zero, cioe' 10, dieci in base nove si scrive nove piu' 1, cioe' 11 dieci in base otto come si scrive?

rappresentazione di numeri - tabella di corrispondenza
num\ base uno due tre quattro cinque sei sette otto nove dieci nota: in base 4 quattro scrivo 10, cinque scrivo 11 ecc nota la diagonale in tabella in corrispondenza della riga = colonna = base, e le diagonali immediatam. sopra e sotto...

aritmetica elementare, date tabelle di addizione base 2 e 3 : 0+1= =10 (binario) = =10 (ternario) da cui le somme in base 2,3,10 (stessi dati in basi diverse):

rappresentazione di numeri ... ancora somme:
nove piu' cinque (decimale) in base 2 e 3: undici e cinque (decimale) in base 2 e 3: -

rappresentazione di numeri ... ancora somme:
quindici piu' uno (decimale) in binario e ternario :

addizione in base otto da cui ad es. 7+1=10 ottale / decimale

PRODOTTO: base 2 e 3: base 2 base tre 1*0=0 1*2 = 2 1*1=1 2*2 =11

in base due: * in base 10: = 156 PRODOTTO:base 2 e 3:

base 3 [ 12*16=192 ] * 1 1 0 2 2 0 che e' 2*81+1*27+0*9+1*3+0*1 = = = 192 PRODOTTO: base 2 e 3: base 2 base tre 1*0=0 1*2 = 2 1*1=1 2*2 =11

esercizio: prodotto esercizio: calcolare 18 * 5 in base due
= 1*64 + 0*32 +1*16 +1*8 +0*4 +1*2 + 0*1 ovvero con i pesi ) se passo prima in binario, e poi faccio il prodotto in binario: 18 = = (in base 2) = = 10010 5 = = (in base 2) = 101

cont.esercizio prodotto
continua esercizio: calcolare 18 * 5 in base due 18 = = (in base 2) = = 10010 5 = = (in base 2) = 101 quindi x =

tavola delle moltiplicazioni in base otto: PRODOTTO: 2*4=10,3*5=17 ========================== 1 4 * 1 5 ------(base 8) 1 4 7 4 (o) ------ 2 3 4 (o) nb: 4*58=248 ho 48, riporto 28,poi 1*58=5+2(rip)=7.. (in base 10: 12 * 13 = 36 156

esadecimale (base 16) In base 16 si usano 16 cifre, normalmente indicate con: 8 9 A B C D E F leggi: zero, uno, .. nove, dieci, undici, dodici, ... quindici) I primi 20 numeri in base 16 sono(base10/base16): base 10 A base 16 base 10 B C D E F base 16 esercizi: 1) quanto vale C * D in base 16 ? 2) costruire la tabella di moltiplicaz. per base 16.

CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE
(rip.) per decodificare in base 10 un numero scritto in una base generica e' sufficiente ricordare la definizione. Es: dato (in binario): (cifre) (rango) (peso) = 1*2^7 + 0*2^ ^2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = = 1* * *8 + 1* * *1 = 143 anche cosi': = ((( ((( 1*2+0)*2+0)*2+0)*2 +1)*2+1)*2+1)*2+1 dove il primo 1 viene moltiplicato per 2^7, il secondo (zero) per 2^6 ecc

CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE - dal BINARIO->
Raggruppando le cifre binarie (bit) a tre a tre, partendo da destra verso sinistra, si converte la rappresentazione da base due a base otto: il dato di partenza 143 (base 10) ovvero in base due vale (cifre bin. a tre a tre): (1*2+0) * 2^ (0*4+0*2+1) * 2^ (1*4+1*2+1) * 2^0 = 2 * * * = = 2 * 8^ * 8^ * 8^0 = in base 8, che vale = 2 * * = = 143 in base dieci

CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE - dal BINARIO->
per passare da base due a base sedici e' sufficiente raggruppare i bit a quattro a quattro: lo stesso dato 143 che in base due si scrive: vale (1*8+0*4+0*2+0) * 2^ (1*8+1*4+1*2+1*0) * 2^0 = 8 * * 1 = = 8 F in base sedici = 8 * = = 143 in base 10 NOTA: l’esadecimale si usa solo come rappresentazione piu’ concisa del binario [ raggruppiamo il binario a 4 a 4 cifre partendo da destra e abbiamo l’ esadecimale ] .. il binario perche’ e’ usato dal calcolatore ...

CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE
Ricordiamo ancora la tabella di corrispondenza dei codici numerici da 1 a 15 nelle basi (10)(16)(8)(2): A B C D E F ________________________________ il numero 10 (base 10) in base otto si scrive 12, e in base 2 si scrive 1010; il numero 14 in base 8 e' 16 e in base 2 e' 1110 ...

RAPPRESENTAZIONE BIN ... ultimi 4 esempi ...
- due es da base 2 a base 8 o 16: per passare da base 2 a base 8 prendo i bit a tre a tre, da base 2 a base 16 prendo i bita a 4 a 4 (sempre da destra verso sinistra): dato = = = base nota: il raggruppamento = = 8 F base inizia da destra verso sin. dato = = = base 8, bit a tre a tre; = = 2 A A base 16, bit a 4 a quattro

RAPPRESENTAZIONE BIN ... ultimi 4 esempi ...
... e due es. da base 16 a base 8 (uso base 2): 7B5C dato in base 16 = = cambio raggruppamento: = = (in base 8) dato in base 16 = = cambio raggruppamento: = = (in base 8)

CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE DA DECIMALE ...
procedimento per passare da base 10 ad altra base: richiede un po' piu' lavoro, ma e' ancora basato sulla definizione: L'ultima cifra di un codice numerico posizionale in base b e' sempre il resto della divisione per b [“cio’ che resta dopo aver raggruppato gli oggetti a b a b"], quindi: dato un numero in base 10 ad es. 152, l'ultima cifra "a" della sua rappresentazione in base b , fedcba, e' data da (13 MOD 5 = resto di 13 diviso 5 = 3 !!): n MOD b = 152 MOD b = (...fedcba) MOD b = a ad es. se b=8 allora la cifra a = n MOD 8;

(ripeto..) dato numero n in base 10, l'ultima cifra "a" della sua rappresentazione in base b , fedcba, e' data dal resto della divisione di n per la nuova base b: n MOD b = (...fedcba) MOD b = a per passare da codifica da base 10 (es. 152) in base 8, calcolo le singole cifre (dall'ultima in poi) dividendo ripetutamente (ad ogni passo prendo come dividendo il quoziente del passo precedente) per la base nuova (qui otto) e mi segno i resti (ottengo per prima l'ultima cifra) 152 = 19 * > resto 0 -> "a" =0, 19 = 2 * > resto 3 -> "b" =3, 2 = 0 * > resto 2 -> "c" =2, 0 = 0 * > resto 0 -> "d" =0, a questo punto smetto, quindi = 2308

ancora, lo stesso dato in base 4: 152 = 38 * > resto 0 -> "a" = 0, 38 = 9 * > resto 2 -> "b" = 2, 9 = 2 * > resto 1 -> "c" = 1, 2 = 0 * > resto 2 -> "d" = 2, 0 = 0 * > resto 0 -> "e" = 0, quindi 152 = 2120 verifica (da ottale in base 4, passando per il binario): 2 3 0 = = = 2120 ... ricordiamo che era: 152 = 230

calcolare 11011 + 110111 in base 2 <<<
esercizi: calcolare in base 2 <<< quanto fa in base 4 ? quanto fa in base 5 ? <<< quanto fa in base 6 ? calcolare in base 8 calcolare x 22 in base <<<

calcolare 11 011 + 110 111 in base 2 esercizi:
addendo addendo passo 1 somme1 riporti1 somme2 riporti2 passo 2 somme3 riporti 3 somme3 riporti 3 passo 3 somme4 riporti4 riporti4 passo 4 somma finale riporti finali verifica: = =2710 ; = =5510 ; 27+55= 8210 ; = =

quanto fa 322 + 123 in base 4 ? quanto fa 322 + 123 in base 5 ?
esercizi: quanto fa in base 4 ? 3 2 2 (n.b: 2+3=11) | | in breve: somme parziali | riporti | | somma finale | quanto fa in base 5 ? in breve: 1 2 3 ------

Ricorda (parto dalla colonna a destra):
esercizi: quanto fa in base 6 ? 3 0 4 5 5 2 Ricorda (parto dalla colonna a destra): 4+2 = 610 , quindi 106 , scrivo cifra 0 riporto 1 0+5+1 = 610 , quindi cifra 0 e riporto 1, 3+5+1=910 = 136 , scrivo cifra 3 riporto 1 0+0+1=110 = , e abbiamo finito verifica: 3046 = 3*36+4 = 108+4=11210; =5*36+5*6+2= =21210; quindi = = 1*216+ 3*36+0*6+0*1 = 13006

calcolare 701 + 77 in base 8 calcolare 1202 x 22 in base 3 esercizi:
7 0 1 7 7 (7018 = 7* = =449; 77 = 8*7+7 = 56+7 = 6310, = = ) calcolare x 22 in base 3 x 2 2 verifica: 12023=27+2*9+2=4710; 223=6+2=810; prodotto: 47*8= 37610 376:3=125,r 1; 125:3=41,r 2; 41:3=13,r 2; 13:3=4,r 1; 4:3=1,r 1; =1*243+1*81+1*27+2*9+2*3+1= =37610 (0, 3, 6, 9, bit)

esercizi verificare: 1a) 1984 (base 10) = 2201111 (base 3)
1b) = (in base 8) 2) in base 8 = (in base 2) 3) = (base 8) 4) C * D = 9C (base 16) (segue soluzione)

1a) 1984 (base 10) = 2201111 (base 3) 1984/3 = 661 resto 1 18
1 6 /3 = 73 resto 1 10 1 73/3 = 24 resto 1 13 1 24/3 = 8 resto 0 8/3 = 2 resto 2 2 2/3 = 0 resto 2 verifica: vale in base 10: (((((2*3+2)*3+0)*3+1)*3+1)*3+1)*3+1= (((( 8*3+0)*3+1)*3+1)*3+1)*3+1= ((( 24*3+1)*3+1)*3+1)*3+1= ((73*3+1)*3+1)*3+1 = (220*3+1)*3+1 = 661*3+1= = 1984

esercizi 1b) 1984 (base 10) = 3700 (in base 8) 1984/8 = 248, resto 0
38 /8 = 31, resto 0 31/8 = 3, resto 7 3/8 = 0, resto 3 Verifica: 3*8^3 + 7*8^ = 3* *64 = = 1984

esercizi 2) 2576 in base 8 = 010101111110 (in base 2)
basta espandere le cifre ottali in gruppi di 3 bit, Ricordando la tabellina di corrispondenza binario - ottale: da cui: che e' il risultato richiesto ..

esercizi 3) 14 + 15 = 31 (base 8) .. ricorda la tabella di addizione
da cui: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | <-1 5 | 6 | 7 | verifica: = =2510 = 318

esercizi 4) C * D = 9C (base 16)
C = (ricorda: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) D = 13 12 * 13 = 12 36 = 15610, divido ripetutamente per 16: 156/16 = 9 (16*9= 144, =12=resto=C) 9/16=0, resto 9, quindi = 9C16

frazioni FRAZIONI: 3,14 10 = xxxx,yyyyyyy k in base k 0, = aaaa,bbbbbb k in base k 2007, = cccc,dddddd k in base k

FRAZIONI conversione di FRAZIONI Cosa significa / come si interpreta in base 4 : 2321,0222 Oppure: come si trasforma la codifica 39, da base in base generica ?

FRAZIONI nota: il significato delle cifre dopo la virgola in base B e' il contributo al valore complessivo dato dal prodotto della cifra volte il peso associato alla posizione: i pesi sono ora 1/(potenza della base): 0,abcde... in base B rappresenta il numero: a b c d e B B^2 B^3 B^4 b^5

FRAZIONI Cambio base: 29,45 = ,45 per cambiare base trasformo separatamente la parte intera e separatamente la parte fratta: Per la parte intera sappiamo gia' come fare 29 (base 10) = xxx (base b) Per la parte fratta: 0,45 = 0,abcdef... in altra base b ?

ricorda la definizione: 0,45 = 4/10 + 5/100 ... e :
FRAZIONI Per la parte fratta: 0,45 = 0,abcdef... in altra base b ? ricorda la definizione: 0,45 = 4/10 + 5/ e : 0,abcde in base b significa ovviamente a/10 + b/100 + c/ d/ e/100000 essendo 10, 100, 1000 ecc espressi nella nuova base, ovvero b, b^2, b^3, ecc

0,5 in base 10 vale 0,1 in base 2 (un mezzo) -- ovvero:
FRAZIONI Ancora: 0,5 in base vale ,1 in base 2 (un mezzo) -- ovvero: 5/10 (base 10) = 1/2 in base 10 = 1/10 (base 2) quindi 0,510 = 0,12 0,125 in base 10 = 1/8 in base 10 = 1/100 in base 2 0, = 0,0012

conversione di base per frazioni
0,45 = 0,abcdef... conversione da base 10 a base 5 se moltiplico entrambe le parti per b : 0,45 * 5 = 0,abcdef... * ottengo: 2, = a,bcdef... devono essere separatamente uguali la parte intera e la parte fratta, quindi = a ottengo la prima cifra della parte fratta moltiplicando il dato di partenza (in base 10) per la base nuova b (qui cinque); ripeto con solo la parte fratta: 0,25 * 5 = 0,bcdef * 5 ottengo: 1, = b,cdef e quindi = b

FRAZIONI 0,4510 = 0,abcdef... b da base 10 ad altra base b procedimento per calcolare le cifre abcdef... della parte fratta nella nuova base: moltiplico entrambe le parti per b - 0,xxx * b = 0,abcdef... * b ottengo a sinistra e a destra una cifra intera, y,zzz = a,bcdef... devono essere uguali sia la parte intera che la parte fratta, separatamente, quindi ottengo la prima cifra della parte fratta ! y = a e poi ripeto ...

0,45 = 0,abcdef... conversione da base 10 a base 5 moltiplico ripetutamente entrambe le parti per b, ad ogni passo ottengo una cifra della parte fratta in base b, e poi ripeto con solo la parte fratta rimasta: 0,45 * 5 = 0,abcdef... * 5 ottengo: 2,25 = a,bcdef quindi a = 2; ripeto: 0,25 * 5 = 0,bcdef... * 5 ottengo: 1,25 = b,cdef e quindi b = 1; ripeto: 0,25 * 5 = 0,cdef * 5 ottengo: 1,25 = c,def e quindi c = 1; ripetendo, 0,4510 = 0, in base 5 (periodico)

2) esempio: trasformare 0,71 da base 10 in base 5, cioe' trovare le cifre a,b,c,d,... della parte fratta in base 5. 0,71 = 0,abcdefg.. ==>> moltiplico ripetutamente per 5: / in base 10 \ / parte in base 5 \ 0,71 * 5 = 3,55 = a,bcdefg... quindi a = 3 0,55 * 5 = 2,75 = b,cdefg.... quindi b = 2 0,75 * 5 = 3,75 = c,defg..... quindi c = 3 0,75 * 5 = 3,75 = d,efg quindi d = 3 (periodico) quindi ,7110 = 0 , cioe' = nota: spesso ottengo un numero periodico nella nuova base!

3) es.: trovare la rappresentazione di 0,45 (dato in base 10) in base 8, ovvero trovare le cifre a,b,c,d,e,f,g, ... tali che 0,4510 = 0,abcdefg ... 8 Moltiplico per la base nuova ripetutamente ParteFratta 0,45*8 =3,6 = a,bcdefg-> a=3 0,6 *8 =4,8 = b,cdefg... b=4 0,8 *8 =6,4 = c,defg... c=6 0,4 *8 =3,2 = d,efg... d=3 0,2 *8 =1,6 = e,fg e=1 0,6 *8 =4,8 = f,g f=4 0,8 *8 =6,4 = g, g=6 la sequenza si ripete, quindi: 0,45 (base 10) = 0,

nota sul cambio di base Entrambi i procedimenti di conversione
(parte intera e parte fratta) sono basati sul fatto che: dividere (o moltiplicare) per la base b significa spostare la virgola (di base b) di una posizione a sinistra (o a destra) (come ovvio in base 10); Esempi in binario: 11 x 10 = (3 x 2 = 6) x 10 = (5 x 2 = 10) 110 x 10 = 1100 (6 x 2 = 12) x 10 = (7 x 2 = 14) 1110 : 10 = 111 (14 : 2 = 7) : 2 = 101 (10 : 2 = 5 ) 1000 : 10 = 100 (8 : 2 = 4) ecc

Note sul cambio base Come si scrive 0,1 (base dieci) in base due? ovvero - se scrivo 1/10 in base due, lo scrivo in forma di somma di termini 1/( 2^n ), con n=1,2,3,4, ovvero: 1/10 = a/2 + b/4 + c/8 + d/16 + … quanto valgono a, b, c, d ecc? vediamo …

come si scrive 1/10 (decimale) in base due?
0,110 = 0,abcde...2 dalla definizione, per la prime cifre della frazione: moltiplico la equazione di sopra per due, e ottengo (ricorda: moltiplicare per la base 2 significa spostare la virgola binaria di una posizione a destra) 0,2 = a,bcde devono essere separatamente uguali parte intera qui zero, e quindi a=0, e la parte fratta, e quindi resta: 0,2 = 0,bcde 2) ripeto per la parte fratta residua: moltiplico per due e ho: 0,4 = b,cde quindi b=0, e la parte fratta: 0,4 = 0,cde

0,110 = 0,abcde...2 per la prime cinque cifre della frazione: moltiplico la equazione di sopra per due, e ottengo 0,2 = a,bcde separatamente uguali parte intera quindi a=0, e parte fratta, e quindi resta 0,2 = 0,bcde 2) ripeto per la parte fratta residua: moltiplico per due e ho: 0,4 = b,cde devono essere separatamente uguali parte intera quindi b=0, e la parte fratta: resta 0,4 = 0,cde 3) 0,4*2=0,8  c=0, resta 0,8 = 0,def.. 4) 0,8*2=1,6  d=1, resta 0,6 = 0,ef.. 5) 0,6*2=1,2  e=1, resta 0,2 = 0,f... quindi le prime cinque cifre sono abcde = 0,110 = 0,a bcde = 0, rimane da calcolare 0,2 = 0,fghi che e' la stessa situazione di 0,2 = a,bcde

quindi 1/10 (decimale) in base due
con moltiplicazioni per due ripetute: 0,1= 0,abcdefghi... 1) 0,1*2=0,2  a=0, resta 0,2= 0,bcdefghi 2) 0,2*2=0,4  b=0, resta 0,4= 0,cdefghi 3) 0,4*2=0,8  c=0, resta 0,8= 0,defghi.. 4) 0,8*2=1,6  d=1, resta 0,6= 0,efghi... 5) 0,6*2=1,2  e=1, resta 0,2= 0,fghi... 6) 0,2*2=0,4  f=0, resta 0,4= 0,ghij... 7) 0,4*2=0,8  g=0, resta 0,8= 0,hijk... 8) 0,8*2=1,6  h=1, resta 0,6= 0,ijkl... 9) 0,6*2=1,2  i=1, resta 0,2= 0,jklm... 0,110=0,a bcde fghi jklm 0,110=0, la sequenza si ripete all'infinito (frazione periodica), e quindi 0,110=0,

abbiamo visto come si ricava 0,1 = 0,abcdefghi... 0,110= 0, con 5 addendi (approssimazione di 1/10 con 5 bit): 0.1=1/10 (base10) = 0/2 + 0/4 + 0/8 + 1/16 + 1/32 + trascuto i termini seguenti /64+0/ / /512 + 0/ / / e quindi 0/1010 = 0, (approssimazione a 5 cifre) -> 0,000112 = 0, , , , + 0, = 0, che e' DIVERSO da 0,1 !

passando da base 10 a base 2 la frazione 0,1 (1/10 in base 10) diventa una frazione periodica ovvero con infinite cifre, 0,110= 0, 0.1=1/10 (base10) = 1/ / / / / e quindi con 12 cifre binarie della frazione (5 addendi) : 0, = 0, , , , , = 0, non e' 0,110 ! .. e in generale con un numero limitato (es.24 cifre binarie) ottengo una rappresentazione APPROSSIMATA di 0,1  Si noti che 1/10 = 0,1 in base NON e' rappresentabile esattamente in base due con un numero finito di cifre, (si DEVE fare un troncamento -> in ogni caso ho un errore !! )

frazioni Anche la trasformazione opposta, da base generica in base dieci, si basa sulla definizione: es per base 2: dato 0,1011 in base due, 0,1011 = 1/2 + 0/4 + 1/8 + 1/ in base 10, quindi = 0,5 + 0,0 +0, ,0625 = = 0,6875 in base 10

base 16 - ogni cifra esadecimale usa 4 bit;
frazioni base ogni cifra esadecimale usa 4 bit; il numero di bit usati per le potenze di 16: nr.bit 1)1016 = 1610 = 16^ 2)10016 = = 16^ 3) = = 16^ 4) = 16^ 5) , (un mega) 6) , 7) , 8) , (4 giga) per scrivere un valore di 4G devo usare 32 bit (un indirizzo di 4G usa 32 bit; per indirizzi oltre 4G devo usare piu' di 32 bit -> 64 bit; ritorneremo su questo in HW

conversione di frazioni: da base 16 a base 10
es 0,5A (4 cifre esadecimali = 16 bit) = 5/ / / / = 0, , + 0, , = 0, ( se converto da base 16 a base 10 un numero con k cifre (k limitato) - il numero di cifre del risultato in base 10 e' finito o no? ;-)

frazioni quando si converte una frazione con un n umero di cifre limitato da base generica a base dieci, il calcolo da fare e' la somma di termini del tipo k / ( b n ) dove 1/(bn) in genere NON e' rappresentabile con un numero di cifre finito in base 10, es. banale: 0,1 3 = 1/3 = 0, MA per le basi 2,4,8,16, ecc. il numero 1/x = (con x=b^n) = = 1/(b^n) ( con b = 2 oppure 4 oppure 8 ecc ) e' sempre rappresentabile esattamente con un numero di cifre finito basti pensare alla sequenza 0,5 0,25 0,125 0, , ecc

frazioni nota: una frazione con un numero fisso di cifre in binario si converte sempre in una frazione in decimale con un numero di cifre limitato, perche' 1/(2 k) ovvero ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32 ecc hanno un numero di cifre decimali limitato: 1/ ,5 1/ , 1/ ,25 1/ , 1/ , / , 1/ , / , 1/ , / , 1/ , / , 1/128 0, / , 1/256 0, / , .... 1/2n 0, abcd..gh25

rappresentazione dei numeri NEL calcolatore:
limiti rappresentazione dei numeri NEL calcolatore: i limiti dei formati standard (fissi)

nel calcolatore i codici per rappresentare i numeri sono in generale fissi – questo perche' le celle di memoria centrale dove sono memorizzati i numeri (quando usati da un programma) sono a formato fisso (ad es. 16 bit, 32 bit, 64 bit) e i circuiti che eseguono le operazioni aritmetiche (sia per interi che per virgola mobile) sono a formato fisso; seguono due pagine di richiamo di nozioni sulla memoria centrale e sull' unita' centrale, che saranno trattate meglio in seguito...

memoria: insieme di celle ( o voci ) numerate: ciascuna ha - un indirizzo (numero della cella) (indirizzi da 0 a max, numeri da N bit, gli indirizzi oggi (2006) arrivano oltre il Gbyte, sono numeri a 16 bit (anni 80) poi 32 bit ('90), oggi a 64 bit, che permette di contare oltre (miliardo di miliardi) !! e un contenuto = valore o codice del dato memorizzato nella cella: K bit, dove K e' una potenza di 2: 8 (8bit=1byte), 16, 32, 64 bit: questo e' fisso per tutte le celle del calcolatore; la circuiteria elettronica che gestisce la memoria svolge la funzione di accesso alla memoria: leggi un dato ( di K bit) dalla cella di memoria di indirizzo I (di N bit) scrivi un dato ( di K bit) nella cella di memoria di

l'UC esegue le istruzioni dei programmi la parte dell'unita' centrale che esegue le operazioni aritmetiche (+ - * /) e' detta unita'aritmetica, ed e' quasi sempre sdoppiata in * unita' per aritmetica intera * unita' per aritmetica in virgola mobile entrambe le unita' aritmetiche hanno i canali (bus) di ingresso dati e di uscita dati (risultati) a formato fisso, ad es. 32 oppure 64 bit (ma anche piu', 80 bit, 128 bit) ==>> i dati interi e in virgola mobile sono a formato fisso (quasi sempre)

* per soddisfare le esigenze di calcolo scientifico e
rappresentazione di numeri agli inizi sono stati usati sistemi di codifica di numeri di tipo diverso : * per soddisfare le esigenze di calcolo scientifico e * e per soddisfare le esigenze delle applicazioni commerciali: per il calcolo scientifico furono adottati due formati di codifica: numeri interi con segno, es.: numeri in virgola mobile con segno, es.: +3, E-0 entrambi a formato fisso (es. sopra, otto cifre) i primi 15 anni esistevano calcolatori con codifica di numeri a lunghezza variabile e HW opportuno per trattarli; oggi esistono codifiche a lunghezza variabile ma sono in generale gestite da software;

* per esigenze delle applicazioni commerciali esistono linguaggi di programmazione e sistemi software con codifica di numeri a lunghezza variabile, di tre tipi: interi numero alberi (pini) davanti l'edificio C0 (Tutankamen): uno; numero anni galera per falso in bilancio: 0 numero esami di fondamenti di informatica 1 nel 2007: 91 numero lingue ufficialmente riconosciute: 5000 numero testate atomiche USA+Russia+Cina+GB+Francia+Israele al 2002: numeri con virgola fissa es: indennità mensile (netto) di un senatore in Italia +diaria+rimborsi: ,30 euro deficit bilancia imp/exp al luglio 05 degli USA : , 00 $ numeri con virgola mobile velocita' della luce : ,458 km/sec ("grande") massa elettrone: × kilo ("piccolo")

nel calcolatore i codici per rappresentare i numeri sono in generale a formato fisso: il formato fisso impone dei limiti ai codici utilizzabili e quindi all' insieme di numeri rappresentabili l' insieme dei numeri rappresentabili (interi e in virgola mobile) e' limitato i numeri fuori dei limiti NON sono rappresentabili ! un'operazione aritmetica che produce un valore fuori di questi limiti da'un errore di overflow/traboccamen- to (il programma si blocca per errore di aritmetica floating, rilevato HW "eccezione o interrupt")

rappresentazione di numeri - casi particolari :
talvolta e’ richiesta una rappresentazione esatta dei numeri, qualunque sia il loro valore es. bilancio di una ditta (pubblico o riservato) devo rappresentare i dati esattamente ... che sono appunto tipiche applicazioni commerciali : per molte applicazioni di tale tipo la rappresentazione dei numeri non e' a formato fisso, ma con sequenze di cifre di lunghezza non fissa, delimitate con codici particolari … (es. Linguaggio di programmazione Cobol) alcuni calcoli tecnico/scientifici particolari richiedono una numero di cifre molto grande (illimitato in pratica): l'aritmetica in tal caso e' gestita a livello SW.

altri esempi di dati di tipo intero: *numero abitanti di Villalta di Porpetto, *numero abitanti di Cheng-du (Cina), *paga operaio di 9 anni di una fabbrica Nike in Marocco, *numero studenti del corso di fondam. di inform. del 1996, *numero CD della biblioteca comunale del popolo di Udine, *ammontare di una consulenza dell’ avvocato Schwindler, *patrimonio complessivo di Bill Gates (in dollari), *numero dei granelli di sabbia della riviera di Lignano, ... vediamo ora " un altro tipo di dati " ...

in molti casi interessa di un dato ** solo un certo numero di cifre di un dato tipicamente per grandezze che hanno orgine da misure tecniche o scientifiche, ad es. * distanza terra - luna, (precisione di 10 cifre) oppure * diametro cilindro della moto Honda Goldwing (precisione di 4 cifre, al 1/100 di mm) * quantita’ media di birra e di caffe’ (bevuta da un tedesco medio) precisione di 2 cifre ** e l’ordine di grandezza ... in unita' di misura appropriate, come anni luce, chilometri, millimetri, piedi, pollici, klaftre, galloni, barili, miglia marine,

Per dati che hanno origine da misure (direttamente o attraverso calcoli) viene usato il formato in virgola mobile (*) che specifica le cifre e l'ordine di grandezza con due interi separati: , E+00 dove i due numeri interi hanno un formato fisso (k1 e k2 cifre, qui k1=9 cifre e k2=2 cifre) (*) formato in virgola fissa significa un intero che rappresenta anche cifre decimali, ad es.: dati di 15 cifre: rappresenta 1234, 56 rappresenta , rappresenta rappresenta 0, era usato nelle macchine calcolatrici elettromeccaniche

tutte queste esigenze hanno risposte oggi standard nell’ambito della rappresentazione di numeri all’interno del calcolatore, e nei limiti di queste rappresentazioni. altri es numero soci della Miracle.com ,0 (unita') altezza del tavolo 82,5 centimetri (valore approssimato a 3 cifre) lunghezza delle coste marine italiane 9,532543E+3 chilometri ( ... falso, non so il valore vero;-) valore di pi 3, E+00 (approssimato a 8 cifre) per capire meglio cos’e’ un oggetto tipo “numero” per il calcolatore, studieremo di seguito i vari sistemi di rappresentazione di numeri.

tutti i dati / tutti i tipi di informazione per il calcolatore si riducono sempre a codici numerici; es.: le immagini fotografiche o televisive o del cinema che tradizionalmente nascono "analogiche" (segnale continuo) e vengono "usate" ancora analogiche si possono trasformare in dati numerici (in formato digitale) analogamente i suoni (di vario genere) si possono codificare numericamente (suono digitale) si noti che la precisione (e quindi la qualita') ottenibile con metodi analogici e' in generale minore rispetto la qualita' di segnali codificati numericamente vedremo ...

tutti i dati / tutti i tipi di informazione per il calcolatore si riducono a codici numerici; es.: gli attributi di un punto dell’ immagine sullo schermo (un elemento dell’immagine = Picture Element = PIXEL) come intensita’ luminosa, tonalita’ di colore, saturazione, oppure intensita’ dei colori primari che lo compongono Rosso, Verde e Blu) sono rappresentabili con valori numerici, un pixel si codifica con "un" numero (una terna di num.) l'immagine sullo schermo e'un insieme di numeri (quanti – dipende dalla precisione immagine, va da 25 x 80 a 480 x 640 (VGA) a 1000 x 1600, x 3000 ecc ...

limiti della codifica nel calcolatore
in un calcolatore i numeri sono codificati in binario con un numero fisso di bit (una potenza di 2: 8, 16, 32, 64, 96) - e solo un numero limitato di interi e' rappresentabile. Ad esempio, gli interi sono rappresentati con (*) 8 bit, da 0 a oppure da a +127 (in C: short int) (+) 16 bit da 0 a oppure da a (in C: int) 32 bit, da 0 a oppure da -2G a + 2G, (in C: long int) 64 bit, long long int 80 bit ecc ________________________________________________________________________________________________ (*) 4 bit: 0..15; 8 bit: ; 10 bit: ; 12 bit: ,.. (+) int, short int = nomi di tipi di variabili nel linguaggio di programmazione C

limiti della codifica nel calcolatore - esempio:
con 4 bit, sono rappresentabili 16 numeri senza segno: 00 00 = = = =12 00 01 = = = =13 00 10 = = = =14 00 11 = = = =15 e i numeri da 16 in poi NON sono piu' rappresentabili. se uso sempre 4 bit, un'operazione aritmetica puo' dare un risultato non rappresentabile con tale formato: ovvero 10 il risultato esce dall' insieme dei numeri rappresentabili, -> errore di troncamento o traboccamento = "overflow"

limiti della codifica nel calcolatore
Analogamente (o peggio) per le frazioni: ricordiamo solo il numero 1/1010, cioe' 0,110= 0, 0,1=1/10 (base10) = 1/ / / / / e quindi con 12 cifre binarie dopo la virgola ( 5 addendi ) 0, = 0, , , + 0, , = 0, che e' diverso dal dato 0,1 !! con formato fisso di 8 bit la rappresentazione di 0,1 diventa: 0, = 1/16 + 1/32 + 1/256 = 0, , , = 0, che e' (ovviamente) anora peggio (piu' diverso da 0,1) !

rappresentazione di numeri con segno

RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
con 3 bit rappresento 8 oggetti diversi, (ad esempio con 3 bit posso contare fino a 7, quindi rappresento otto numeri da 0 a 9); finora abbiamo visto la codifica per numeri senza segno, ma posso rappresentare con gli stessi codici anche numeri negativi, di solito si associa la meta' dei codici ai numeri positivi, e meta' dei codici ai numeri negativi: esempio con 2 bit ho: = = = = 3 oppure = = = = -1

RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
con 3 bit rappresento 8 oggetti diversi, (es.otto numeri); posso rappresentare con gli stessi codici anche numeri negativi, (di solito meta' codici per positivi, meta' per negativi), come in figura: 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 senza segno 100 0 101 1 110 2 111 3 con segno/a 000 0 001 1 011 2 101 3 111 4 con segno/b 100 0 101 1 110 2 111 3 con segno/c ... in quanti modi posso associare 8 simboli a 8 codifiche?

... in quanti modi posso associare 8 simboli a 8 codifiche?
quante codifiche binarie diverse posso avere per 8 simboli ? dati 8 simboli ( a, b, c, d, e, f, g, h ), dati 8 codici binari a 3 bit, es. ( ) posso associare al primo simbolo a uno qualunque dei 8 codici a 3 bit, ad es. a = 011 (A) (8 scelte possibili); al secondo simbolo posso associare uno qualunque dei 7 codici rimasti, ad es. b = 110 (B) in totale per i primi due simboli posso fare 8*7 scelte per le due codifiche: a, b, c, d, e, f, g, h (A) (B)

... in quanti modi posso associare 8 simboli a 8 codifiche?
dati 8 simboli ( a, b, c, d, e, f, g, h ), dati 8 codici binari a 3 bit, ( ) posso associare al primo simbolo "a" uno qualunque dei 8 codici a 3 bit, ad es. a = 011 (8 scelte possibili); al secondo simbolo "b" posso associare uno qualunque dei 7 codici rimasti, ad es. b = 110, (7 scelte); al terzo simbolo "c" posso associare un codice dei 6 codici rimasti, es. c= 000 (6 scelte) poi 5 scelte per il quarto, 4 scelte per il quinto simbolo, in totale per 8 simboli posso fare 8*7*6*5*4*3*2*1 scelte; per 8 simboli con un codice a 3 bit posso fare 8 ! (8 fattoriale) scelte, cioe' scelte.

Codifica numeri interi con segno
Dati 8 codici binari posso scegliere 8! modi per usarli nella rappresentazione di 8 numeri interi con segno, meta' positivi e meta' negativi (qui 5 dei 8! = possibili codici diversi ) codice num1 num2 num3 num4 num5 …

cont. RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
per rappresentare numeri negativi con n bit (ad es. 4 bit), uso delle regole convenzionali di rappresentazione; caso piu' semplice: un bit per il segno, il resto rimane uguale; 2 possibilita’: rappresento segno meno con bit 1 o con bit 0: RAPPRESENTAZIONE : GRANDEZZA CON UN BIT PER IL SEGNO questa codifica non e’ usata ;-) (richiede una logica piu' complicata per la realizzazione circuitale) vediamo ora le 3 codifiche piu’ usate per i numeri con segno: complemento a uno, complemento a due, con eccesso di 2^(k-1)

numeri con segno : il complemento a uno
<-- in complemento a uno la codifica di un numero negativo si ottiene scambiando uni e zeri, rango per rango, ovvero facendo il complemento bit per bit: codice di +2 = >> cod.di -2 = 1 01 dove il primo bit e’ il bit del segno, gli altri codificano il num RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO IN COMPLEMENTO A UNO QUI CON 3 BIT + 1 BIT SEGNO

in complemento a uno la codifica di un numero negativo si ottiene scambiando uni e zeri, rango per rango, ovvero facendo il complemento bit per bit: il primo bit e’ il bit del segno, gli altri codificano il numero <-- codice +2 = codice -2 = 1 01 codice +3 = 0 11 codice -3 = 1 00

in complemento a uno: -x e' rappresentato con il complemento di x bit per bit, cioe' da: (2 n -1) -x (*) -5 in un codice a 4 bit in complemento a uno e’ dato da: (24 -1) -x = ( ) = ( )10 = ( ) = = = complemento bit per bit di 0101 -3 in un codice a 4 bit in complemento a uno e’ dato da: (24-1) - x = ( ) = = da cui la tabella gia’ vista.. (*) nota: se uso n bit, 2 n non e’ rappresentabile ad es. se uso 3 bit, = 8 = 1000 non e’ rappresentabile; il numero piu’ grande rappresentabile con n bit e’ 2n -1, che e' il codice con tutti i bit messi a 1 !! ad es. con 3 bit e’ = = =7 )

complemento a uno: -x e' rappresentato con il compl. di x bit per bit, cioe' -x e’ rappresentato da (2 n -1) - x = x es codifica con 4 bit in complemento a uno: (2 4 -1) -x = ( ) = = | | | | | | | | si noti: la codifica e’ simmetrica, i numeri rappresentabili con 4 bit vanno da -7 a +7, vi sono due codifiche dello zero!

con 4 bit (numero bit n=4) ho: | | | | | [n = 4, n-1 = 3 bit per il dato -> per i positivi da 0 a 7, per i negativi, da - 0 a - 7] in generale in complemento a uno con n bit rappresento i numeri da - (2n-1-1 ) a + (2n-1-1 ) il num. piu’ positivo x ha il codice (2n-1-1 ) = = = 0111 = 7, il numero piu’ negativo -x e’ rappresentato (ha il codice) da ( 2n -1 - x) = ( (2n -1) - (2n )) = (2n-1 +2n-1 -1) - (2n )) = = 2n-1 + 2n n = 2n = = 2n-1 = ( se n=4) = 8 = 1000 = rappresentazione di

il codice (complemento a uno) di un dato negativo e' dato dai bit del dato (positivo), complementati uno per uno: 0110 sei, meno sei, 0101 cinque, meno cinque questo codice permette di fare l' ARITMETICA di numeri con segno in modo semplice : = -1 in codice binario con complemento a uno? la rappresentazione in complemento a uno e' consistente con le operazioni di aritmetica, ovvero posso sommare i codici di un numero positivo e di un numero negativo e ottenere il codice corretto del risultato. vi sono tre casi da considerare a seconda dei riporti riguardo il bit del segno (nessuno, uno, due riporti) ... vediamo ...

aritmetica in complemento a uno
la rappresentazione in complemento a uno e' consistente con le operazioni di aritmetica: si sommano i codici dei numeri con segno e e si ottiene il codice corretto del risultato: due casi senza riporto al- o dal- bit del segno: 1) caso di risultato positivo = +5 2) caso di risultato negativo = -1 3+ [(24-1)-4]= (24-1)-1 = che e' la codifica di

aritmetica numeri con segno, caso con 2 riporti al/dal segno: 3) caso di risultato positivo = 3 nota: codice di -4 = 24-1 –4 = Quindi (24-1) = = => c'e' un riporto a sini stra, dal bit del segno, il riporto si somma a destra, ultimo rango a destra, con la correzione otteniamo 1+2 = 3 nota che c'e' un riporto anche NEL bit del segno: vi sono due riporti !

3) ancora: caso di risultato positivo = 2 SOMMA DI NUMERI IN COMPLEMENTO A UNO:se vi sono due riporti, uno al bit del segno e uno dal bit del segno, il riporto da sinistra (dal segno) si somma a destra

4) caso di risultato negativo, senza riporti: 4-6=-2 se il risultato e' negativo, e non vi sono riporti ne' nel bit del segno, ne' dal bit del segno, allora otteniamo il risultato direttamente dalla somma dei due codici

5) caso di risultato negativo, due riporti: -1 -5 = -6
-1-5 = codici di –1 e –5 in complemento a uno: [(24-1)-1]+[(24-1)-5]= [24+(24-1)-7 ] = il riporto da sinistra si somma a destra

nella somma di due numeri con segno codificati in complemento a uno si hanno le regole seguenti (regole realizzate dai circuiti elettronici dell'unita' aritmetica) * nessun riporto nel / dal bit del segno  ok, niente da aggiustare * due riporti (nel/dal bit del segno)  ok, e il riporto fuori del segno a sinistra si somma a destra (rango delle unita') e se c'e' un solo riporto (dal bit del segno oppure nel bit del segno)  in tal caso il risultato NON e' corretto, c'e' un errore di trabboccamento (overflow) vediamo questi casi di risultato errato ...

7) caso di overflow,dove il risultato NON e’rappresentabile(un solo riporto al segno) risultato si legge 5+6= -4 [[un solo riporto verso il bit segno -> errore di traboccamento->overflow]] 8) caso di overflow [[un solo riporto dal bit del segno -> errore di overflow ]] si ottiene: -5-6 = 3

numeri con segno, complemento a uno:
riassumendo, la codifica dei numeri con segno in complemento a uno (num.negativi rappresentati dal codice dei numeri positivi complementando i bit uno a uno) e' un codice consistente con le operazioni aritmetiche, ed e' un codice simmetrico rispetto lo zero: +6 codice codice due zeri: codice limiti simmetrici, per positivi e per negativi, da 0 a (2^(n-1)) -1 , con n=4 bit il limite e' (2^3-1) cioe': codice

numeri con segno, complemento a due:
una codifica oggi piu' usata: numeri con segno in complemento a due: e' simile alla codifica in complemento a uno, ma con i codici spostati di una posizione e con un solo codice per lo zero; la rappresentazione di un numero negativo in complemento a due e’ data dal complemento bit per bit, e poi sommando uno: +6 codice di +6 e' , codice di -6 e' =

numeri con segno, complemento a due:
un primo esempio con 3 bit per il codice con segno (un bit per il segno, due bit per il dato) codifica in compl.a uno | CODICE IN COMPLEM.A DUE: | | | <-- | | | | <-- | la rappresentaz.e di un num. negativo in complemento a due e’ data dal complemento bit per bit, e poi sommando uno: +2 = > cod.di -2 = = = -2 il primo bit e’ il bit del segno, gli altri codificano il numero +3 = > cod.di -3 = = = -3

RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A DUE
rappresento -x in complemento a due con (2 n - x ) (*) ad es: -5 e' rappresentato da - (24-5) = ( ) = (( ) ) = ( ) = = 1011 un dato negativo in complemento a due si rappresenta con il codice: { [complemento bit per bit del dato] + uno }. -5 codice ( complemento a uno: +5 e' quindi –5 e' 1010 ) codice in complemento a due: = 1 011 _____ (*)ricorda codice di –x in complemento a uno (2 n-1)-x

complem. a due: -x e’ rappresentato da 2 n -x = x -5 con 4 bit x = = | | | | | | | | si noti: la codifica non e’ simmetrica, i num. rappresentabili vanno da -8 a +7, e c'e' una codifica dello zero!

ripetendo ... caso rappresentazione di numeri negativi in codifica complemento a due : -x e’ rappresentato da 2 n -x i numeri rappresentabili con n bit vanno da..a : -2 n n (ad es. se n=4, da -8 a +7) si noti che l' intervallo NON e' simmetrico! e che c'e' un unico codice per lo zero.

codice a 6 bit, 5 bit dato (numeri da 0 a 31), 1 bit segno: ... complemento a due : x = codice , x = codice? -x rappresentato da 2 n -x = 2 n -1 -x qui n=6, = – = – = compl.bit per bit + 1 = con 6 bit si rappresentano i numeri da -32 a +31: -2 n = = = +2 n-1 -1= = +31 =

numeri negativi: codifica in complemento a due
ovvero: (2^4-3)+2= 2^4-1 che rappresenta -1 per definizione ovvero (2^4-2)+4 = 2^4+2, ignoro il riporto a sinist che e’ dato da 2^4 [[n.b.: due riporti, uno dal e uno nel bit segno]] (2^4-3)+(2^4-2)=(2^4-5)+2^4 il riporto (2^4) ignorato- [[n.b.: due riporti, uno dal e uno nel bit segno]] anche qui il risult. e' ok

numeri negativi: codifica in complemento a due
quando il risultato NON e’ rappresentabile: [[un solo riporto verso il bit segno -> errore di traboccamento->overflow]] [[un solo riporto dal bit del segno -> errore di overflow ]]

diversi modi di rappresentare numeri con segno:
a b c d 0 000 = 0 (a = segno, b = cifre dato) 0 011 = 3 c = codifica senza segno 0 100 = 4 d = codifica in complemento a uno 0 101 = 5 e = codifica in comlemento a due 0 110 = 6 f = codifica in grandezza con segno 0 111 = 7 <-- fino qui(segno +)come noto,poi: a b c d e f 1 000 = 1 001 = 1 010 = 1 011 = 1 100 = 1 101 = 1 110 = 1 111 = codifica complemento a due (colonna e) -5 si scrive: 1011 in compl. a uno (col. d) -5 si scrive: in grandezza con segno (colonna f) -5 si scrive:

cont. RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
abbiamo visto le due codifiche piu’ usate per rappresentare i numeri con segno, codifica in complemento a uno codifica in complemento a due vediamo ora due codifiche derivate da queste, “rappresentazione in eccesso di k” usate nella rappresentazione dei numeri in virgola mobile (tipo: 3,77 E-52 ) per la parte dell’esponente...

ancora 2 modi di rappresent. numeri con segno:
= colonna: = a= segno, = b= bit per il dato, = c = decimale, = d = complemento a due = e = rappresentazione = in eccesso di 2^(N-1) = con complemento a uno = = f = rappresentazione = in eccesso di 2^(N-1) = con complemento a due = num.positivi segno 1 = nota che i numeri = negativi hanno il = bit del segno zero a b c d e f

rappresentaz. di numeri con segno con eccesso di k
codifica di numeri positivi e negativi con eccesso di 2n-1 ogni dato x (pos.o neg) e’ codificato con: 2(n-1) + x (con n = numero bit della rappresentaz.) ad es. per codificare 5 con n = 4 bit abbiamo: 5 -> 2(n-1) + 5 = = = 1101 per rappresentare un numero negativo? -> uso l’aritmetica con complemento; devo decidere quale rappresentazione uso per la sottrazione, cioe’ quale codice per il -x; es: -5 -> = [codice di -5] -> ora, se rappresento -5 in complemento a uno allora: 2^3 + (-5) = = 0010 (colonna d) (ignoro il riporto dal rango del segno!)

codifica num.negativi con eccesso di k
con n bit rappresento x con 2(n-1) + x con 4 bit ho i codici di +5 e di –5: 5 -> 2(n-1) + 5 = = = 1101 -5 -> = codice di -5 -> -5 codice con eccesso di 23, complem.a uno: 2^3 + (-5)= = 0010 (colonna d) -5 codice eccesso di 23, in complem.a due: 2^3 + (-5)= = 0011 (colonna e) il primo bit e'sempre il segno del dato; con la codifica in eccesso di k il segno meno corrisp. al bit segno = 0

Riassunto 4 codifiche numeri interi con segno
riassumiamo la rappresentazione di numeri con segno - le 4 codifiche, caso di codice a 4 bit (1 bit per segno, 4 bit per dato)

0 000 = c= codifica senza 0 001 = segno 0 010 = d= codice in complem 0 011 = a uno (due zeri!) 0 100 = la piu' usata: 0 101 = e= codifica in com- 0 110 = plemento a due 0 111 = (non simmetrica) 1 000 = 1 001 = f= rappresentazione 1 010 = in eccesso di 2N-1 1 011 = con compl. a uno 1 100 = g= rappresentazione 1 101 = in eccesso di 2N-1, 1 110 = con complem.a due 1 111 = codifiche f,g hanno i a b c d e f g num.negat.con segno 0

esercizi aritmetica con segno: 1) 3-3
1) esercizio: calcolare la somma : +3 -3 in due versioni, complemento a uno complemento a due usare una codifica a 4 bit,

esercizi aritmetica con segno: 1) 3-3, soluzione:
in complem. a uno: complem.bit per bit +3 -> -3 -> ottengo il codice di (ricorda: il riporto da sinistra si somma a destra ) complemento a due: compl.bit per bit e poi sommo (ignoro i due riporti nel/dal bit del segno)

2) aritmetica con segno, compl. a 1,esercizi: 6-4, 5-6, -2-3
es.2) calcolare in complemento a uno con codice a 4 bit: = = = = = =

calcolare (complemento a uno, codice a 4 bit) : codice , codice , codice di , quindi: somma : ----- risultato - ma vi sono due riporti al/dal segno, si somma il riporto: +1 0 010 ottengo il codice di +2

calcolare (complemento a uno, codice a 4 bit): codice di , codice di , di ,quindi somma : ----- nessun riporto al/dal segno, ho direttamente il risultato meno uno

calcolare (complemento a uno, codice a 4 bit) codice di , di codice di , di , quindi somma : ----- 11 001 due riporti al/dal segno, sommo il riporto: +1 risultato codice di -5

3) aritmetica con segno, compl. a 2, esercizi: 6-4, 5-6, -2-3
3) stessi esercizi, ma in complemento a due; ricorda per avere il codice di -3 in complemento a 2 si fa: parto dal codice di +3, , il complemento a uno e’ , a questo poi sommo uno, e ottengo che e' il codice di in complemento a due; (vale anche per lo zero: per avere il codice di -0 si fa: +0 = 0 000, complemento a 1 e' 1 111, 1111 piu' > ottengo )

6 -4 codice di codice di , -4: = 1 100 somma: ----- risultato (il doppio riporto in e dal bit del segno e' ignorato)

5 - 6 codice di codice , di -6: =1010 somma: (nota:1=0001,complem. a 1 di -1 e' 1110,poi +1, ottengo 1111) -2 -3 codice di , -2: = 1 110 codice di , -3: = 1 101 somma: ignoro doppio riporto 1, (5=0101, -5=1010+1 =1011=risultato sopra)

4) aritmetica con segno, codici a 5 bit di -2, -6, -7, -13
4) esercizio: calcolare le codifiche dei numeri: -2, -7, -9, -13 in complemento a due, con rappresentazione di 5 bit (1 bit segno, 4 bit dato)

4) aritmetica con segno, codici a 5 bit di -2, -6, -7, -13
4) esercizio: calcolare le codifiche dei numeri: -2, -7, -9, in complemento a due, con rappresentazione di 5 bit (1 bit segno, 4 bit dato) codice di +2 = codice di -2 = = codice di +7 = , codice di -7 = = codice di +9 = , codice di -9 da = , codice di +13 = , codice di -13 = = ,

FINE CODIFICHE NUMERI NEGATIVI

floating point = “ float, real, …(*) ”
numeri in virgola mobile - numeri molto grandi numeri molto ... piccoli esempio: velocita' della luce: km/sec ("grande") massa elettrone: 9, × kilo ("piccolo") (*) corrisponde ad un tipo standard di molti linguaggi di programmazione

codifica in virgola mobile
RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI MOLTO PICCOLI E MOLTO GRANDI --- IN VIRGOLA MOBILE (FLOATING POINT) Possiamo scrivere un dato con parte intera e fratta in molti modi diversi: 3, = 0, * 101 = 3, * 100 = * 10-8 = 0, * 105 = ( , -8 ) ecc = 0, * E+1 <<== = 3, * E+0 <<== due forme normalizzate notazione in virgola mobile

0, E+1 = forma normalizzata in virgola mobile le varie parti sono codificate separatamente : ( e' implicita la base dell'esponente , qui 10 ) segno/cifre /segno esponente/cifre espon. + , in binario: + , ovvero + , (ricorda: 0,001 * 22 = 0,01 * 21 = 0,1 * 20 = 1 * 2 (-1) = 10 * 2 (-2) = ... 0,314E+1-> 314 = cifre = mantissa E+1 = esponente = caratteristica

= forma normalizzata in virgola mobile Sono in ogni caso presenti 4 compnenti : il segno del dato + le cifre del dato (mantissa) = = precisione del dato, (nota: la posizione della virgola decimale e' a sinistra della prima cifra non nulla del dato) il segno dell'esponente + le cifre dell'esponente (caratteristica) = 01 = ordine di grandezza del dato.

precisione nella codifica in virgola mobile
la virgola (decimale o binaria) si assume generalmente a sinistra della prima cifra del dato. ... da ricordare che: scrittura italiana: 0,314E+1 dato in “virgola mobile” scrittura anglosassone: 0.314E+1 “floating point” datum"

precisione nella codifica in virgola mobile
Il numero delle cifre del dato (mantissa) determina la precisione della rappresentazione: un dato con precisione di due cifre: il costo dell'opera sara' 17 milioni di euro un dato con precisione di 8 cifre: il valore di π e' 3, definizione: precisione il numero x piu' di una codifica = piccolo tale che in virgola mobile x <> 1.0 es. alcuni dati con precisione di 4 cifre: 0, chilometri metri ,7 centimetri quintali ,141 unita' ,000 litri

precisione il numero x piu' di una codifica = piccolo tale che in virgola mobile 1,0 + x <> 1,0 ad es. nel caso sopra, assumiamo la codifica con 7 cifre, allora la precisione e’ data da +0, E+00 = 1,0E-7 (nota le posizioni ) proviamo a sommare 1,0 e 1,0E-7 come sommo 1, ,0 E-7 ?

somma di due numeri in floating point
premessa: per sommare due numeri di tipo: n * 10 k m * 10 j es. 0,23 E ,55 E 6 devo prima portare i due esponenti allo stesso valore, scelgo quello piu' grande (*) : ad es. se k>j allora n*10 k +(m*10 (-k+j) )*10 k = (n + (m*10 (-k+j) ) * 10 k 0,23E 3 + 0,55E 6 = 0,23*(10-3)*E6 + 0,55E 6 = 0,00023E6 + 0,55 E6 metto il fattore E6 = 10 alla 6 in comune: ( 0, ,55 ) E6 = ( 0,55023) E6 = 0,55023 E6 (*)ricorda: 0,23E 3 = 0,023E 4 = 0,00023E 6 = 2,3E 2 = 230 E 0

somma di due numeri in floating point
ora sappiamo come sommare due dati a 7 cifre: 1, , E-7 1) porto i due esponenti allo stesso valore, scelgo quello piu' grande: 1, = 1,000000E+00 1, E-7 = +0, E+00 2) poi sommo:

porto i due esponenti allo stesso valore, quello piu' grande: 1, = 1,000000E+00 1, E-7 = +0, E+00 1, E+00 +0, E+00 0, E+00 devo avere il formato fisso a 7 cifre: tronco le ultime cifre, rimane 0, : il valore ottenuto 0, E+00 e' diverso da 1,0E+00, quindi vale appunto che x <> 1.0 ==>> vediamo ora con un x piu' piccolo della precisione

Quanto vale (1+x), se x e' piu' piccolo della precisione? 1 e' codificato con: , E+01 sommo un x < 1.0E-7, ad es. 4.0E-8: , E-08 per sommare, devo avere esponenti uguali, uso il piu'grande: 0, E+01 +0, E (e' 4,0E-08 spostato di 8 posiz. per avere lo stesso esponente) 0, E+01

calcolo (1+x), con x e' piu' piccolo della precisione: 1 e' codificato con: , E+01 un x < 1.0E-7, ad es. 4.0E-8: 4, E-08 per sommare, devo avere esponenti uguali, uso il piu'grande: 0, E tutti i dati con 7 cifre; +0, E (e' 4,0E-08 spostato di 8 posiz. per avere lo stesso esponente) 0, E+01 risultato con otto cifre per il dato - ma il formato e' fisso: il risultato deve avere 7 cifre! l'ultima cifra viene troncata (arrotondata) e si ottiene: 0, E+01 e quindi ottengo il risultato uguale al primo addendo !!

codifica in virgola mobile, - limiti
In virgola mobile posso rappresentare numeri molto piccoli o molto grandi utilizzando sempre lo stesso numero di cifre in un formato fisso; vediamo qui un esempio di formato e i limiti che ne derivano: in tutto 6 cifre, quattro per il dato, 2 per esponente, piu' i due segni (dato,esponente) : 27, > 0,2753 E+02 0, > 0,7986 E-10 piccolo > 0,1234 E+16 grande codifico ora i numeri con il formato detto; i tre dati di sopra codificati diventano : | + | + | 02 | 2753 | primo dato 27,53 | + | - | 10 | 7986 | 2.o dato 0,7986 E-10 | + | + | 16 | 1234 | 3.o dato 0,1234E+16

limiti codifica in virgola mobile
4 cifre per il dato,2 cifre per l'esponente | + | + | 02 | 2753 | primo dato 27,53 | + | - | 10 | 7986 | 2.o dato 0,7986E-10 | + | + | 16 | 1234 | 3.o dato 0,1234E+16 il numero piu' grande rappresentabile con tale formato: | + | + | 99 | 9999 | = 0,9999 * 10^99 il numero piu' piccolo rappresentabile con tale formato, con 4 cifre, normalizzato (prima cifra a sin. e' non zero): | + | - | 99 | 1000 | = 0,1000 * 10^(-99) il piu' piccolo con 1 cifra sola (non normalizzato) : | + | - | 99 | 0001 | = 0,0001 * 10^(-99) = 0,1 * 10^(-102)

nota - la rappresentazione di un numero in floating point definisce come si codificano * la parte delle cifre (mantissa) e * la parte che da' l'ordine di grandezza (caratteristica) 123,456 si scrivera': 0, E+3 (convenzione: la prima cifra dopo la virgola decimale e' non nulla, la parte intera e' nulla; usata negli es.seguenti) oppure (convenzione standard corrente, piu' usata) 1,23456 E+3 la virgola sta dopo la prima cifra non nulla (che in binario e' sempre 1, e si assume implicitamente senza memorizzarla)

codifica in virgola mobile - codifica e limiti
seguono esempi in binario su un ipotetico formato a 8 bit: S Z EE DDDD segno dato segno espon espon dato 1) Per rappresentare il dato 5,0 avremo in binario : 5 = 101,0 * 2^0 (ora normalizzo ) = 0,1010 * 2 ^ 3 => S Z EE DDDD quindi e’ la codifica di 0,101 * 2 ^ 3 2) per rappresentare il dato 0,75 avremo in binario: 0,75 = 0, ,25 = 1/2+1/4 = 0,11 con esponente 0, quindi quindi rappresenta 0,11 * 2 ^ 0

codifica in virgola mobile es 0,125
contin. virgola mobile con codifica a 8 bit SZEEDDDD (S segno dato, Z segno esponente, EE esponente, DDDD cifre dato) 3) dato 0,125 = 1/8 = 0,001 = 0,001*2^0 = { S=0, Z=0, EE=00, DDD=001 } poi normalizzo, cioe’ virgola binaria a sinistra della 1.a cifra del dato: = 0,1*2^(-2)(*) codifico l'esponente negativo ad es.in compl. a uno, quindi (z=meno,EE=2) -2 diventa: -2= =101, infine il tutto 0,1000*2^(-2) diventa: 0,125 = S E EE DDDD= = _____________ (*) nota: di seguito uso a^b oppure ab per indicare a alla b

codifica in virgola mobile es con soli 8 bit ...
cont. codifica in virgola mobile con 8 bit S segno, Z segno espon,EE espon., DDDD dato abbiamo visto che rappresenta 5,0 e che 0,125=1/8=0,0012 si scrive , vediamo i numeri piu’piccolo e piu’grande: il piu'grande: esponente posit.massimo e'3: = 0,1111*23 = 8 (circa) il piu'piccolo: espon.piu'piccolo e'-3: = 0,0001*2-3 = 1,0*2-7 = 1/128

vedremo tra poco lo standard di codifica per i due tipi piu' usati, FLOATING (32 bit) e DOUBLE (64 bit) e i limiti che derivano da tale formato

codifica in virgola mobile es con soli 8 bit ...
i dati con segno meno sono rappresentati complementando tutto, quindi ad es. gli stessi di prima: +5,0 = , -5,0 = 0,75 = , -0,75 = 0,125 = , -0,125 =

nota sulla interpretazione di un dato
quando il calcolatore preleva un dato dalla memoria il dato sara' poi interpretato a seconda dello stato in cui si trova l'unita' centrale: senza questa informazione la codifica di dato qualunque, ad es.: non dice nulla su come deve essere interpretato: per interpretare un insieme di n bit correttamente dobbiamo sapere a priori di che tipo di dato si tratta!! ad es. il dato qui riportato, , avra' un valore ben diverso a seconda se lo interpreto come il codice di un carattere, oppure come codice d intero con segno oppure come codice di un numero in floating point, oppure ancora come il codice di un'istruzione macchina!!

il formato determina * la precisione dei dati * i limiti di rappresentazione dei dati vediamo un esempio semplificato (tutto in base 10)

codifica in virgola mobile: precisione/estensione
date n cifre [es. 10 cifre decimali] per rappresentare un dato in virgola mobile dobbiamo decidere il formato cioe’ dividere le cifre disponibili per le codifiche dei vari pezzi ... il formato determina l'insieme dei numeri rappresentabili: * sia per l' estensione dell'intervallo (ordine di grandezza, num. piu' piccolo/ num. piu' grande) * sia per la precisione (cifre significative) nota: se uso piu' cifre per l'esponente -> posso rappresentare numeri piu' grandi / piccoli, -> ma - diminuisce la precisione (restano meno cifre per il dato) e viceversa: uso piu’ cifre per dato -> meno cifre per esp.

codifica in virgola mobile: base 1000
Possiamo aumentare i limiti di grandezza dei numeri rappresentabili a pari numero cifre della codifica cioe' senza aumentare il num.di cifre del codice ... es: codice con 6 cifre decimali, 2 espon, 4 dato, tutto in base 10 0,50 = 0,50*10^ => 3,14 = 3,14*10^00=0,314*10^1 => 0,00123=,123*10^ => il numero piu' piccolo => 0,1000E-99 il numero piu' grande => 0,9999E+99 NOTA: qui l' esponente e' con base 10 MA se cambio base ?

riprendiamo il codice detto, con 6 cifre decimali di cui 2 per l' espon, 4 per le cifre del dato, tutto in base 10, .. MA: cambio base dell’esponente: invece di 10 e’ 1000 allora: 0,50=0,50 *1000^ => il numero piu' piccolo e' ora: = 0,1000*(1000^(-99)) = = 0,1000*((1000)^(-99)) =0,1000*10^(-297) = 0,1000 E -297 il numero piu' grande e' ora: = 0,9999*(1000^(-99)) = = 0,9999*((10^3)^(99)) => 0,9999 E+297 aumentano i limiti di ordine di grandezza !!

codice con 6 cifre decimali, 2 espon, 4 dato, tutto in base 10 cambio base dell’esponente: invece di 10 e’ 1000 allora: 0,50=0,50 *1000^0, codice: il numero piu' piccolo = 0,1000 E-297 il numero piu' grande = 0,9999 E+297 aumentano i limiti di ordine di grandezza ... MA ->perdo cifre, cioe' precisione: 3,14 =3,14 *1000^0 = se cambio espon.di uno la virgola si sposta di TRE posizioni (base esponente e' 1000): = 0,00314*1000^ => 0,00123 = ,00123*1000^ =>

codifica in virgola mobile: base 10 vs. base 1000
codifica con 6 cifre decimali, 2 espon, 4 dato, tutto in base 10, base dell’esponente 10: 3,14 = 3,14*10^00=0,314*10^1=> se la base dell’esponente invece di 10 e’ 1000 allora abbiamo: 3,14=3,14*1000^0=,00314*1000^1=> quindi: se aumento o diminuisco di 1 l’ esponente con base 1000 devo spostare le cifre del dato di 3 posizioni: avro’ spesso zeri dopo la virgola decimale normalizzata -> meno cifre utilizzate -> perdo in precisione in media perdo 1,5 cifre

ancora un ese. con mantissa a 3 cifre, esponente a base 10: 93,93 *10^0 =0,9393*10^2 => 9,393 *10^0 =0,9393*10^1 => 0,9393 *10^0 =0,9393*10^0 => 0,09393*10^0 =0,9393*10^-1 => ,009393*10^0 =0,9393*10^-2 => , *10^0=0,9393*10^-3 => se la base dell’esponente invece di 10 e’ 1000 allora abbiamo: 93,93 *1000^0 =,09393*1000^1 => 9,393 *1000^0 =,009393*1000^1=> 0,9393 *1000^0 =,9393*1000^0 => 0,09393*1000^0 =,09393*1000^0 => ,009393*1000^0 =,009393*1000^0=> , *1000^0=,9393*1000^-1 =>

se la base dell’esponente e’ (invece di 10) allora abbiamo (ripeto): 93,93 *1000^0 =,09393*1000^1 => 9,393 *1000^0 =,009393*1000^1=> 0,9393 *1000^0 =,9393*1000^0 => 0,09393*1000^0 =,09393*1000^0 => ,009393*1000^0 =,009393*1000^0=> , *1000^0=,9393*1000^-1 => perdo cifre significative (in media perdo 1,5 cifre=meta’ cifre della base) ma guadagno in limiti di grandezza: 1000^(-99) ^ ( invece di 10^(-99) -- 10^99 ) ovvero 10^(-99*3) ^(99*3)

ancora ese. con mantissa a 3 cifre, esponente a base 10: = 0,45678*10^+5 => 0,00712 = 0,712 *10^-2 => 0,5555 = 0,5555 *10^-0 => se la base dell’esponente invece di 10 e’ 1000 allora abbiamo: 45678,0 = 0,045678*1000^2 => <<== 0,00712 = 0,00712 *1000^0 => <<== 0,5555 = 0,5555 *1000^0 => <<== perdo cifre significative, qui in media perdo 1,5 cifre (meta’ cifre della base) guadagno in limiti di grandezza: ho 1000^(-99) ^99 invece di 10^(-99) -- 10^99.

esercizio floating point: 7,7E0 in binario ?
dato il formato: 12 bit divisi come segue: 1 bit segno del dato 1 bit segno dell'esponente (codifica con eccesso di 2^3) 3 bit valore esponente (e in complemento a uno) 7 bit valore del dato - ma attenz.: vedi nota qui sotto dove il 1.o bit del dato e' sempre uno, e non e' memorizzato (ovvero se il dato - parte mantissa - vale , virgola binaria posta davanti la prima cifra, il dato e' memorizzato nella parte cifre come (1.o bit 1 implicito) trovare la rappresentazione di 7,7 E0

esercizio floating point continua
esercizio: convertire 7,7E0 in binario, in formato da 12 bit: 1 bit segno dato; cifre del dato: 7 bit esponente: 1 bit segno, 3 bit valore (eccesso 2^3, compl. a 1); devo convertire le cifre del dato e l'esponente; qui l'esponente e' zero, quindi devo convertire solo le cifre: convertire 7,7 da base 10 a base 2: devo convertire separatamente la parte intera, semplice: 7-> 111, (sono i tre bit iniziali delle cifre del dato) e separatamente la parte fratta: solo per quattro bit, perche' con mantissa a 7 bit, 3 bit gia'dati, devo trovare ancora 4 bit 0,7 = 0,abcd (binario) - moltiplicando per due ripetutamente: 1) 0,7*2->1,4; 2)0,4*2->0,8; 3)0,8*2->1,6; 4) 0,6*2->1,2; 5) 0,2*2->0,4; quindi per la parte fratta le cifre binarie sono 0,10110 (e' un 0,7 approssimato con 5 bit, 0,5+0,125+0,0625=0, 6875) il dato in binario e' 111,10110 normalizzo: 1, * 2^2

esercizio floating point: 7,7E0 in binario, continua
1) convertire 7,7E+0 da base 10 a base 2: (1 bit segno dato; 7 bit cifre del dato; esponente: 1 bit segno, 3 bit valore (eccesso di 2^3, compl.a 1); parte intera 7-> 111, poi la parte fratta - con mantissa a 7 bit, devo trovare ancora 4 bit: 1) 0,7*2->1,4; 2)0,4*2->0,8; 3)0,8*2->1,6; 4) 0,6*2->1,2; 5) 0,2*2->0,4; quindi per la parte fratta le cifre binarie sono 0,10110 (e' un 0,7 approssimato con 5 bit, 0,5+0,125+0,0625=0, 6875) ora il dato in binario e' 111,10110; normalizzo: 1, * 2^2 quindi: parte cifre 1, , -> sono 8 bit ?! MA: il primo bit poi sara' implicito, quindi restano 7 bit da memorizzare la parte esponente 2 cioe' 010, con eccesso di 1000: =1010 metto insieme e ho: = 6,875 E+0 la precisione e' veramente scarsa... visto le poche cifre per il dato ;-)

somma in virgola mobile
somma con numeri in virgola mobile: 0,xxx*10Ê ,yyy*10Ê2 = 1) se E1 = E2 allora le due mantisse si possono sommare: (0,xxx + 0,yyy) *10Ê1 es.: 0,314 E ,250E = ( 0, ,250 ) * 10 ^ 1 = = 0,564 * 10^1 = = 0,564 E + 1

Per sommare due numeri in virgola mobile, se E1 <> E2 allora devo rendere i due esponenti uguali: porto l'esponente piu' piccolo al valore del piu' grande, es: formato con 3 cifre per dato, 1 per esponente: 0,222E ,333E-1 -> e1<>e2 per cui non posso sommare direttamente -> devo aggiustare uno dei due esponenti, cambio l'esponente piu' piccolo e lo metto al valore del piu' grande, scalando di uguale misura la mantissa: 0,222E ,00333E+1 = 0,222 * ,00333 * 10 = (0, ,00333) * = 0,22533 E <<== RIS. siccome ho solo 3 cifre disponibili -> si troncano le cifre = 0,225 E <== inevitabile errore di troncamento !!!

somma in virgola mobile - normalizzare risultato
attenz: se la somma delle mantisse fornisce un numero maggiore di uno allora si deve normalizzare il risultato: 0,966 E ,555 E+0 = 0,966 E ,0555E+1 = 0,966 * ,0555 * 10 = = ( 0, ,0555 )* 10 = (1, 0215) * 10 = 1,0215 E+1 = 0,10215 E+2 [esponente normalizzato] = 0,102E forma normalizzata solo 3 cifre -> abbiamo di nuovo un errore troncamento ! ancora un es.: 0,997E+1 + 0,00423E+1 = 0,997 * ,00423 * 10 = (0, ,00423) * 10 = 1,00123E+1 = 0,100123E+2 = 0,100E+2

Per sommare due numeri in virgola mobile: se e1 <> e2 allora devo rendere i due esponenti uguali: abbiamo visto la somma fatta portando l'esponente piu' piccolo al valore del piu' grande ... e se invece porto l’ esponente piu’ grande al valore del piu’ piccolo? -> 0,997E ,423E-1 = 99,7E ,423E-1 non cambia molto ma ottengo un numero in forma non normalizzata, devo in ogni caso normalizzare => alla fine ho lo stesso risultato ... ... non si usa

codifica in virgola mobile : overflow
puo’ succedere che il risultato della somma non sia rappresentabile: dati: 0,9983E+99 e 0,7044E+98, rappresentati ad es. formato decimale , 2 cifre per esponente, 4 per dato: +99 ,9983 = ,9983 +98 ,7044 = ,07044 sommiamo: 99 1, > normalizzo - 100 , > l’esponente e’ > 99 non posso rappresentare l'esponente 100 -> il risultato esce dai limiti della codifica ! ==> errore di traboccamento ==> overflow

codifica in virgola mobile: overflow
se l'esponente del risultato di un’operazione aritmetica non e' rappresentabile allora c’e’ un errore di “overflow”: // caso di formato decimale, con 2 cifre per esponente e 4 per dato: = ,9983 = ,07044 99 1, > normalizzo - 100 , > esponente e’ >99 non posso rappresentare l'esponente 100 ! // nei calcolatori c'e' spesso un meccanismo di controllo automatico su questo errore: se c’e’un "floating point overflow" allora il calcolatore interrompe (HW!) l' esecuzione del programma e segnala questo fatto in qualche modo.

formato / i floating point
in molti modelli di calcolatori sono state usati per la codifica floating diversi formati e basi diverse dalla base due: ad esempio con base 16, (e quindi - come vedremo -l'intervallo di numeri rappresentabili era maggiore) dal si usa lo standard IEEE 754 (che vedremo tra poco) che usa come base per l'esponente il valore 2

standard IEEE FORMATI STANDARD IN VIRGOLA MOBILE
(IEEE standard 754 Binary Floating Point Arith del 1985) s 1,ddd...ddd E z ee..ee = (segno dato s) * [mantissa 1,dddddd] * parte Esponente [= segno z esponente * caratteristica = cifre esponente eeee ] formato a 32 bit, mantissa dd...dd a 23 bit, esp. zee...ee a 8 bit formato a 64 bit, formato a 80 bit,

standard IEEE 754 del 1985 formato a 32 bit (single precision)
limiti: max 3.4 E+38 min 1.5 E-45 non normalizzato positivo min 1.2 E-38 normalizzato positivo mantissa: 23 bit con sottinteso un uno davanti alla virgola binaria, quindi sono 24 bit, precisione di 7,4 cifre decimali il dato e' sempre espresso in modo che la mantissa e' compresa tra e (dato normalizzato) esponente binario codice a 8 bit da -126 a +127, con base 2 e rappresentazione in eccesso di 127 in complem. a due; formato bit (virgola a dest.della 1.a cifra D) S ZEEEEEEE D,DDD DDDD DDDD DDDD DDDD DDDD D non e' memorizzato, e' implicito

esempio di codifica float
il dato si codifica come segue: = = x 2 5 che per l'esponente da': 127+5 =132=128+4= (8 bit) e per la mantissa 1, (23 bit) e per il segno 0 (1 bit) totale:

limite float - numero piu' grande
Nota: il numero piu' grande per un numero in virgola mobile a 32 bit in formato standard e' esponente (8 bit, base 2): = (*) mantissa:(2-2^(-23))= quindi il valore (massimo) rappresentato e': max = (2-2^(-23))*2^(127) = 3.403*10^38 ed il valore minimo (piu' piccolo) ? dato normalizzato, la mantissa piu' piccola e' 1.0 esponente piu' piccolo (base 2) e' = ___________________ (*) 63= ,64= ,127= , 128=

standard IEEE formato a 64 bit (double precision)
circa 15 cifre decimali e intervallo da 10^-300 a 10^300, max 1.7 E+308 min E-324 non normalizzato posit. min E-308 normalizzato posit. esponente binario 11 bit da a (base 2) mantissa: (bit implicito) bit cioe' la precisione e' di 15,5 cifre decimali formato bit: S EEE EEE EEE EE DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DD

standard IEEE formato a 80 bit (extended) max 1.1 E+4932
min 1.9 E non normalizzato posit. min 1.7 E normalizzato posit. precisione: 19,5 cifre esponente binario 15 bit da a 16383, mantissa: bit (19,5 cifre decimali) formato in binario: S EEEEE EEEEE EEEEE DDD DD DDD DD DDD DD DDD DD DDD

standard IEEE quadrupla precisione a 128 bit: 15 bit per l'esponente
111 bit per la mantissa (normalizzata con 1 davanti la virgola binaria) massimo esponente (con base 2, circa base 10)

altre rappresentazioni (non piu'usate)
osservazione: gli stessi bit possono essere divisi in molti modi, e prima dello standard IEEE erano in uso ad es. l' IBM usava la codifica: esponente 7 bit, base 16; mantissa 24 bit (7,5 cifre circa) quindi il massimo rappresentabile max = 16^63 * 0,FFFFFF = 0,9999 * E+75 min = 16^(-64) * 0, = 0,1 * E-79 fino agli anni 80 erano in uso molte codifiche diverse, ogni casa costruttrice usava una sua codifica (la Digital usava una sua (su VAX), la Control Data usava una ancora diversa a 60 bit, ecc)

codici floating speciali: codici per infinito / non definito
Nota 2) : lo standard prevede dei codici particolari per indicare numeri "molto grandi" o "praticamente infiniti", usati per i risultati di operazioni del tipo: 7,5 / 0.0 e altri codici per indicare numeri "non definiti" usati per il risultato di un'espress. aritm. del tipo: infinito * zero zero / zero viene poi definita un' aritmetica per questi codici, del tipo: infinito * x = infinito, non_definito + x = non_definito ...

unita' aritmetica per interi / per virgola mobile
Nota 3): Le operazioni aritmetiche in virgola mobile sono piu' complesse delle operazioni analoghe su interi, e la realizzazione hw e' piu' complessa. Le istruzioni aritm. in virgola mobile sono realizzate (su calcolatori piccoli) con sequenze di istruzioni apposite (sottoprogrammi); L' aritmetica in virgola mobile e' realizzata circuitalmente in un'unita' di calcolo "floating-point unit", che puo'essere separata dall'unita' centrale, cosi’ erano (anni 80) l' INTEL f.p.u o MOTOROLA f.p.u ) oppure fa parte dell'unita' centrale, che diventa un po' piu' grande; cosi' era per i calcolatori "grandi" (mainframe, es VAX9000, IBM 370-XA - ma anche nei micro processori successivi al per personal, tipo Intel Pentium o Power PC o ALFA)

tre esercizi 1) e’ dato un formato di numero in virgola mobile (binario) con 16 bit di cui 10 per le cifre (mantissa) e 5 per l'esponente (compreso il segno dell'esp. “z”): S Z E E E E D D D D D D D D D D <= binario a) trovare la precisione in decimale (quante cifre decimali, ovvero il numero x piu' piccolo tale che 1+x <> x) b) trovare la codifica binaria in tale formato di: 13.5 (in base 8) = (in base 10), poi di 6.5 (in base 10), e (in base 10) -> per questo valore trovare poi (dal codice binario in virgola mobile) il valore corrispondente in decimale: quante cifre sono state perse?

tre esercizi 2) dato il formato di numero in virgola mobile [formato di codifica gia' visto] con 16 bit, di cui 10 per le cifre (mantissa) e 5 per l'esponente (compreso segno dell' espon. “z”): S Z E E E E D D D D D D D D D D domanda: sono rappresentabili esattamente i dati, e se si', quali ? 3.5, , , , ?

tre esercizi 3) trovare le regole per la a) moltiplicazione e
b) divisione in virgola mobile (si usi un formato decimale (tutto in base 10) a 6 cifre, di cui 2 per l' esponente e 4 per la mantissa)

indice sistemi posizionali
rappresentazione di numeri sistema unario storia dei sistemi di numerazione il sistema latino codici posizionali in varie basi un quiz somme numeri in base 2, 3, .. prodotto in binario base sedici (esadecimale) cambio base esercizi frazioni 0,1 da base 10 a base due limiti e overflow

indice capitolo numeri con segno:
numeri in complemento a uno somme con segno complemento a due rappresentazione in eccesso di k esercizi sui numeri con segno

indice capitolo numeri in virgola mobile :
rappresentazione di n.i grandi/piccoli precisione limiti esercizio somma in floating point overflow standard IEEE 754 floating point esercizi fine parte numeri

fine parte numeri FINE PARTE NUMERI

SISTEMI DI RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI.

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