E in materia.

Presentazione sul tema: "E in materia."— Transcript della presentazione:

1 E in materia

2 Condizioni al contorno
Campo elettrico stazionario Materiale dielettrico E in materia

3 In linea di principio valgono tutti i teoremi che abbiamo visto nel vuoto…
(tutti gli esperimenti che hanno portato a tali teoremi sono stati effettuati nella materia) E in materia

4 q r E = E in materia

5 q E E in materia

6 q E in materia

7 Dimensioni atomiche Un fattore 10-4 equivale a 1cm/100m E in materia

8 1 cm 100 m circa

9 q E in materia

10 …in pratica vi sono molte difficoltà nella loro applicazione.
E in materia

11 Il numero di molecole sarà quindi (numero di Avogadro) NA= 6.02 1023
Supponiamo che nel bicchiere ci siano 18 g di acqua (pari ad una grammomolecola). Il numero di molecole sarà quindi (numero di Avogadro) NA= Poiché nell’ H2O vi sono 1 atomo di ossigeno e 2 di idrogeno avremo 10 cariche positive (ed altrettante negative) per molecola, quindi in totale vi sono circa 10* =6*1024 cariche positive ed altrettante negative Ciascuna di queste concorre al campo elettrico con un termine del tipo: E in materia

12 q E in materia

13 E in materia

14 Forza di Coulomb Materiale Cariche Geometria E in materia

15 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ E in materia

16 trovo ovviamente lo stesso potenziale e posso definire una Capacità
Supponiamo di avere due condensatori uguali nel vuoto: Se metto la stessa carica q su di ognuno di essi trovo ovviamente lo stesso potenziale e posso definire una Capacità E in materia

17 Se adesso riempio un condensatore con un dielettrico e vi metto la stessa carica q
trovo un potenziale diverso V1 e di conseguenza una differente capacità E in materia

18 Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
E in materia Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica

19 Poichè Q è la stessa (e ) dovrà essere variata la capacità C0  C '
Variando il dielettrico trovo che posso mettere C' = er C0 con er > 1 dipendente dal dielettrico E in materia

20 Materiale er Acqua a 25 0C 78 Aria secca a 1 atm e 25 0C 1.0005
Carta paraffinata 2 Gomma 3 Mica Porcellana 6 Vetro E in materia

21 E in materia

22 Sperimentalmente si vede che se si mette un dielettrico tra le facce di un condensatore piano sui lati del dielettrico si presenta una densità ±sp E in materia

23 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
E in materia

24 Questo porta ad una modificazione del campo elettrico e quindi della differenza di potenziale
E in materia

25 Poiché è V=Qest/C se V diminuisce aumenterà la capacità
la carica qest messa dall’esterno non cambia, ma ad essa si aggiunge la qpol che ha segno diverso. Quindi la carica totale è qest + qpol < qest Conseguentemente il campo elettrico e la differenza di potenziale diminuiranno Poiché è V=Qest/C se V diminuisce aumenterà la capacità E in materia

26 Possiamo considerare il sistema in due modi possibili
E = s s sp er sp s s E in materia

27 che rapporto c'è tra er e sp?
Trattando il condensatore come un doppio strato possiamo scrivere s er Se invece sostituiamo al condensatore pieno uno vuoto, ma con sulle armature una carica tale da avere lo stesso campo elettrico, avremo un campo E = da cui si ricava = ==> sp = - s( ) = s sp s quindi le sp sono di verso opposto e proporzionali alle s. E in materia

28 E in materia

29 Campo elettrico e potenziale di un
dipolo E in materia

30 Campo elettrico e potenziale di un
dipolo E in materia

31 E in materia

32 Dipolo in campo elettrico
E in materia

33 E in materia

34 E in materia

35 Il primo termine è nullo se Q=0 cioè se il sistema è neutro.
Il secondo termine si può vedere che è nullo se il sistema è simmetrico. Il secondo termine dipende dalle coordinate a meno che il sistema totale abbia carica Q=0 quindi si può parlare di momento di dipolo intrinseco al sistema solo quando questo abbia carica totale nulla (esempi tipici sono atomi e molecole). E in materia

36 Conduttori e dielettrici
Gli atomi sono costituiti da un nucleo formato (tra l’altro) da cariche positive (protoni) circondate da cariche negative (elettroni) che, attratte dal nucleo, costituiscono un sistema stabile E in materia

37 Un atomo è un sistema legato, nel senso che è necessaria una data energia (energia di ionizzazione, o, cambiando il segno, energia di legame) per poter estrarre un elettrone e portarlo all’ infinito. Esso può essere rappresentato come in figura come una buca di potenziale. E in materia

38 Ricordiamo adesso che un insieme di cariche (in approssimazione di dipolo ed un atomo è appunto questo), produce un potenziale dato da: quindi ogni atomo produce una variazione del potenziale sugli atomi vicini o, se vogliamo, ogni atomo risente della variazione di potenziale creato da tutti gli atomi circostanti. E in materia

39 In alcuni casi questa variazione è maggiore della energia di legame
e quindi gli elettroni (esterni) sono messi in comune tra tutti gli atomi, si ha un conduttore. In altri casi questa variazione non è sufficientemente alta e quindi l’atomo resta un sistema legato e si ha un isolante (dielettrico). E in materia

40 Energia di legame E in materia

41 CONDUTTORI Nel caso sia presente un campo elettrico esterno gli elettroni sono liberi di muoversi e si dispongono come in figura in modo che all’ interno il campo elettrico totale sia nullo E in materia

42 E in materia

43 q E E in materia

44 q E in materia

45 E in materia

46 E in materia

47 Sia il momento di dipolo elettrico della molecola.
è uguale a zero se la molecola ha una simmetria tale che il centro di massa delle cariche positive coincide con quello delle negative (sostanze non polari ad es elio, neon, ossigeno, idrogeno), è diverso da zero nel caso non vi sia simmetria (sostanze polari ad es. acqua, NaCl). E in materia

48 E in materia

49 E in materia

50 L’ ordine di grandezza di
( )si può ottenere moltiplicando il valore di alcune cariche elettroniche (qualche unità in 10–19C) per una frazione del diametro della molecola (10-11m) si ottiene dell’ ordine di C m. E in materia

51 Molecola P0 in 10-30Cm NaCl AgCl H2O H2S HCl NO CO SO2 30.0 19.1 6.23
3.67 3.60 0.52 0.33 5.34 E in materia

52 In generale i momenti di dipolo (delle molecole che lo hanno) sono distribuiti casualmente nel tempo (di osservazione) e nello spazio (in cui avviene la misura) per cui la media è = 0. In presenza di un campo esterno tendono ad orientarsi parallelamente al campo esterno (contrastati dalla agitazione termica) E in materia

53 E in materia

54 E in materia

55 E in materia

56 E in materia

57 Inoltre tutti gli atomi e le molecole, sia che abbiano momento proprio uguale o diverso da zero, tendono a deformarsi, dando luogo a nuovi momenti di dipolo. Per i sistemi con momento proprio diverso da zero, i momenti ottenuti per deformazione si aggiungono a quelli propri. E in materia

58 per tutti materiali si ha
Nel caso dei dielettrici si hanno due effetti: per tutti materiali si ha una dell’ atomo; E in materia

59 E in materia

60 Per alcuni elementi, i cui atomi o molecole posseggano un momento di dipolo elettrico, si ha anche un E in materia

61 RIASSUMENDO Polarizzazione per deformazione ad es H2, Elio, Neon,
Ossigeno, CO2 in cui il campo elettrico esterno provoca una deformazione che è la causa dell' insorgere di un momento di dipolo proprio. Polarizzazione per orientamento ad es. Acqua, NH3 avviene per le molecole che hanno già un momento di dipolo proprio. E in materia

62 Polarizzazione di un dielettrico
sia un dielettrico polare che uno apolare, quando sottoposti ad un campo elettrico E ≠ 0, subiscono polarizzazione, ossia i dipoli interno (propri o indotti da E) tendono ad orientarsi parallelamente ad E, tutti con lo stesso verso E in materia

63 Si supponga di mettere tra le piastre di un condensatore un dielettrico: inizialmente i dipoli sono orientati a caso, se però ai capi del condensatore si mette una differenza di potenziale V i dipoli si allineano sotto l’azione del campo esterno Eest applicato. A seguito dell’allineamento, però, i dipoli creano a loro volta un campo Eint interno al dielettrico di verso opposto a quello esterno E in materia

64 Etot = Eest + Eint < Eest
Conseguentemente, il campo elettrico risultante all’interno del dielettrico risulta inferiore rispetto a quello che si avrebbe in assenza del materiale, ossia rispetto al campo elettrico Eest Etot = Eest + Eint < Eest E in materia

65 Inoltre, sulle superfici del dielettrico che si affacciano sugli elettrodi appare una carica (CARICA DI POLARIZZAZIONE) dovuta ai dipoli che si affacciano su tali superfici E in materia

66 Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
E in materia

67 E in materia

68 n = numero di molecole/unità di volume
è il momento elettrico proprio (per orientazione o deformazione di ciascuna molecola). è il momento elettrico medio della molecola (mediato nel tempo e nel numero di molecole presenti nel volume considerato) in una data direzione n = numero di molecole/unità di volume = n è il vettore intensità di polarizzazione momento elettrico dell' unità di volume. E in materia

69 In caso di isotropia in un volume si ha la seguente situazione
In caso di isotropia in un volume si ha la seguente situazione. Le cariche interne si annullano e si vedono solo le cariche sulla superficie. E in materia

70 P(S l) = q l = (spS)l da cui
In tal caso dato un volume V= l S questo ha un momento elettrico dato da PV. Ma il momento può essere calcolato come q l quindi si ha PV = q l ==> P(S l) = q l = (spS)l da cui sp = P E in materia

71 Più in generale se il campo elettrico esterno (e quindi , non è normale alla superficie) si ottiene
sp= Essendo la normale alla superficie. E in materia

72 ma poichè possiamo scrivere
Se la polarizzazione del dielettrico non è uniforme allora su ogni prismetto ci sarà una carica sp ds – s’p ds cioè PdS - P'dS = dQp ma poichè possiamo scrivere abbiamo: e quindi la densità di carica è E in materia

73 Più in generale se i prismetti sono disposti in modo qualsiasi si può dimostrare che sussiste la
rp = - div E in materia

74 NOTA la somma delle cariche di polarizzazione deve essere nulla dato che si ha solo uno spostamento di cariche; in effetti si ha: Per il teorema della divergenza si vede che è qp=0 E in materia

75 Nel vuoto il teorema di Gauss si scrive :
dove r è la densità di carica relativa alle cariche messe dall’esterno. Nella materia in cui oltre alle cariche esterne vi sono le cariche di polarizzazione rp , possiamo scrivere: E in materia

76 ( = vettore di polarizzazione) si ha
e ponendo div = - rp ( = vettore di polarizzazione) si ha Cioè E in materia

77 Div =r se introduciamo il vettore = e0 + questo gode della relazione
cioè gode della stessa proprietà di nel vuoto. E in materia

78 (vettore di polarizzazione) è proporzionale a .
E in materia

79 Infatti, per la polarizzazione per deformazione lo spostamento delle cariche, almeno per piccole deformazioni, è proporzionale al campo elettrico esterno ed il momento di dipolo è proporzionale allo spostamento. E in materia

80 E in materia

81 Nel caso poi di Polarizzabilità per orientamento si ha che, dato un momento di dipolo p0 in un campo elettrico alla temperatura T si può dimostrare che la componente di p0 nella direzione di è data da: E in materia

82 funzione di Langevin, ove a =
p = p0 L(a) con L(a) = funzione di Langevin, ove a = con K = costante di Boltzmann= J/k E in materia

83 Come si arriva a questa formula?
Supponiamo di avere un insieme di molecole, aventi momento proprio, immerse in un campo elettrico esterno… E in materia

84 In queste condizioni si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole aventi il momento p0 parallelo e nello stesso verso del campo sono un poco di più di quelle aventi la stessa direzione ma verso opposto, e quindi, se si calcola la polarizzazione media delle molecole questa avrà una componente non nulla nella direzione del campo. E in materia

85 Una molecola di momento elettrico p0 orientato a formare un angolo q con la direzione di , ha una componente del momento elettrico lungo pari a p0cosq. p0 E q p0 cosq E in materia

86 Il valore medio, di questa componente sarà:
avendo indicato con il valore medio di (cos q) calcolato su di un gran numero di molecole. E in materia

87 Per calcolare faremo uso della distribuzione di Boltzmann la quale ci dice che, in un sistema termodinamico in equilibrio termico, il numero di molecole di energia potenziale U è descritto dalla funzione P(U) di Boltzmann E in materia

88 A è una costante di normalizzazione U è l’ energia del dipolo ( =
dove A è una costante di normalizzazione U è l’ energia del dipolo ( = con q angolo tra e ) K è la costante di Boltzmann ( JK-1) T è la temperatura assoluta del dielettrico E in materia

89 e quindi ogni valore dell'angolo q comparirà con probabilità proporzionale a
E in materia

90 Per calcolare il valore medio di cosq occorre mediare su tutte le possibili orientazioni delle molecole eseguendo l’integrale: E in materia

91 dove l’integrale a denominatore è stato introdotto per normalizzare ad 1 la probabilità totale, e l'integrazione va eseguita sull'elemento di angolo solido dW = senq dq df, con f variabile tra 0 e 2π, q variabile tra 0 e π. Le funzioni integrande non dipendono da f e quindi l’integrazione in df può essere immediatamente eseguita E in materia

92 Eseguendo l'integrazione si ha infine il risultato: 
avendo posto x=cosq,  dx= -sinqdq Eseguendo l'integrazione si ha infine il risultato:  E in materia

93 = L(a) e per il momento elettrico medio delle molecole nella direzione del campo E in materia

94 La funzione L (a) è detta funzione di Langevin ed è rappresentata in figura:
E in materia

95 Per piccoli valori di a L(a)cresce proporzionalmente ad a, cioè cresce proporzionalmente ad ; al crescere di a essa tende ad 1, cioè tutte le molecole si allineano nella direzione del campo e p tende a po. E in materia

96 Nella pratica la zona di interesse è quella dei piccoli valori di a.
Infatti possiamo pensare che po sia dell'ordine della carica dell'elettrone moltiplicata per una lunghezza dell'ordine di m, (cioè circa 10-30Cm) - la costante di Boltzmann vale k = 1,38 x J/K; - assumendo temperatura ambiente T = 300 0K e un campo E = 106 V/m, si ha che a è dell’ordine di << 1 E in materia

97 quindi risulta p=p0L(a)
per a piccoli allora si può sviluppare L(a) in serie e si ottiene che per a << L(a) si riduce a L(a) quindi risulta p=p0L(a) a0 polarizzabilità per orientamento o polarizzabilità dipolare, definita come il rapporto, indipendente da E, tra il momento elettrico medio dovuto all'orientamento delle molecole e il campo agente sulla molecola. Quindi a0 = E in materia

98 In generale anche le molecole polari subiscono una deformazione della nube elettronica sotto l’azione di un campo elettrico e la loro polarizzabilità (detta spesso polarizzabilità molecolare) è quindi la somma di due termini a = ael + quindi a può dipendere ( a seconda dell' approssimazione dato che in genere ael è più piccolo di ) da E ed allora si usa mettere sotto la forma E in materia

99 P = a E = e0c(E) E anche se spesso c(E) = c = costante E in materia

100 RIASSUMENDO Div =r se introduciamo il vettore = e0 +
vettore induzione elettrica questo gode della relazione Div =r cioè gode della stessa proprietà di nel vuoto. E in materia

101 (vettore di polarizzazione) è una funzione di .
Può quindi essere messo sotto la forma Basta definire E in materia

102 P = a E = e0c(E) E anche se spesso c(E)=c =costante suscettività elettrica inserendola nella si ha cioè E in materia

103 Nel caso (molto frequente) in cui c(E) sia indipendente da E si ha
da cui, ricordando che : si ricava 1+c = er E in materia

104 E in materia

105 mentre nel vuoto basta per descrivere tutto lo stato del sistema, nella materia sono necessari due vettori (qualunque tra E,D,P) tradizionalmente si usano e E in materia

106 Nel vuoto Nei dielettrici
E in materia

107 per orientamento o di polare e
La costante dielettrica relativa R dipende essenzialmente dal grado di polarizzazione (o spostamento del baricentro delle cariche positive e negative) che può avvenire nel materiale. I fenomeni di polarizzazione (che sono strettamente collegati alla costante dielelettrica) possono essere divisi in due categorie: per orientamento o di polare e per deformazione che può a sua volta essere divisa in : elettronica, atomica e ionica. La polarizzazione totale, ad ogni frequenza, è la somma dei contributi che ciascun tipo di polarizzazione può dare a quella frequenza E in materia

108 Polarizzazione dipolare
E in materia

109 Polarizzazione per deformazione elettronica
Essa è dovuta ad un leggero spostamento della nuvola elettronica caricata negativamente degli atomi relativamente al nucleo caricato positivamente. E in materia

110 Polarizzazione per deformazione atomica
Essa è dovuta ad un leggero spostamento relativo di ioni adiacenti di segno opposto, che si riscontra quindi solo in reticoli di sostanze di tipo ionico o covalente-polare. E in materia

111 Polarizzazione per deformazione ionica o interfacciale
Essa si verifica in materiali che non sono dei dielettrici 'ideali' ma nei quali può avvenire una migrazione di carica su distanze macroscopiche. E in materia

112 I meccanismi di polarizzazione non sono istantanei, ma richiedono un certo tempo per raggiungere l’equilibrio. Il tempo necessario a raggiungere l'orientazione di equilibrio viene detto tempo di rilassamento, ed il suo reciproco frequenza di rilassamento. Quando la frequenza del campo applicato supera quella di rilassamento di un particolare processo di polarizzazione, i dipoli non possono riorientarsi abbastanza velocemente e quel particolare processo si disattiva. E in materia

113 Polarizzazione Tempo di rilassamento  (sec.) elettronica 10-16
Ogni tipo di polarizzazione è caratterizzato da un suo tempo di rilassamento. Polarizzazione Tempo di rilassamento  (sec.) elettronica atomica molecolare ÷ 10-8 Se questo tempo è relativamente elevato, ad alte frequenze la polarizzazione del materiale non potrà piu seguire le variazioni del campo elettrico. Al contrario a basse frequenze sarà possibile per ogni tipo di polarizzazione seguire l'andamento del campo elettrico e la costante dielettrica raggungerà il suo massimo valore E in materia

114 E in materia

115 Dipolo LF Dipolo MF Dipolo HF E in materia

116 Comportamento di nella superficie di separazione tra due dielettrici.
E in materia

117 Componente tangenziale
E in materia

118 E in materia

119 nei tratti 3 e 4 l' integrale è = 0 per due ragioni:
perchè sono infinitesimi di ordine superiore. 2) perchè se 1 e 2 sono infinitesimi non c'è ragione perchè l' integrale su 3 debba differire da quello su 4 quindi: E in materia

120 da cui ET1 = ET2 E in materia

121 Componente normale. Si prenda un cilindretto con superficie laterale infinitesima all' ordine superiore rispetto alle basi E in materia

122 Q=0 poichè non ci sono cariche esterne all' interno del cilindro si ha
e poichè il flusso laterale è = 0 (infinitesimo di ordine superiore) si ha DFS2(D) + DFS2(D) = 0 E in materia

123 tgq1 = tgq2 D1cosq1 - D2cosq2 = 0 D1n = D2n poichè è
abbiamo e1En1 = e2En2 che combinate con ET1= ET2 danno tgq1 = tgq2 E in materia

124 MISURA DEL CAMPO IN UN DIELETTRICO
L’ intensità del campo elettrico Eo in un punto dello spazio vuoto è stata definita dalla relazione dove F indica la forza agente su una carica di prova q posta nel punto in questione. E in materia

125 In presenza di dielettrici, la definizione precedente per i punti dello spazio interni al dielettrico non è più valida: infatti, se il dielettrico, è solido, per introdurvi la carica di prova q si deve praticare, una cavità nel dielettrico e sulle pareti della cavità si formano delle cariche di polarizzazione che modificano il campo preesistente e tale modifica, in generale, non tende a zero al diminuire delle dimensioni della cavità; se, invece, il dielettrico è liquido, o aeriforme non c'è difficoltà nell'introdurre il corpicciolo contenente la carica di prova ma questo risente delle forze di superficie dovute al contatto col dielettrico. E in materia

126 ET1= ET2 Se nel dielettrico viene praticato un taglio parallelo alle linee di forza del campo elettrico e di piccolo spessore, lungo i bordi del taglio non si hanno cariche di polarizzazione (infatti è parallelo ai bordi, perciò sp = = 0), mentre le cariche di polarizzazione sulle basi (piccole) del taglio contribuiscono in maniera trascurabile al campo elettrico all'interno della cavità. E in materia

127 CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI
(caso condensatore piano) Condensatore con dielettrico  E in materia

128 CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI
(caso condensatore piano) Se si ha un doppio condensatore (con 2 dielettrici e1e e2) si ha: = = = = E in materia

129 E in materia

130 Sul luogo di separazione si ha D1n = D2n cioè
e1En1 = e2En2 inoltre la d.d.p. tra 1 e 3 sarà E1d1 la d.d.p. tra 3 e 2 sarà E2d2 e quindi si avrà: V2-V1= E1d1 + E2d2 Abbiamo quindi due equazioni lineari in E1 e E2 che risolte danno: E in materia

131 E in materia

132 RIGIDITA' DIELETTRICA L' atomo è un sistema legato: occorre una certa energia per portare l' elettrone all' infinito; questa energia è chiamata energia di ionizzazione. Metodi per ionizzare (cioè cedere energia sufficiente all' atomo) sono: 1) Calore (sorgenti di ioni a filamento caldo(attenzione, normalmente sono sorgenti di elettroni), stelle,….) 2) Luce (=energia) => effetto fotoelettrico, occorrono normalmente sorgenti X o g) 3) Particelle di alta energia da acceleratori o anche ioni accelerati da campi elettrici. E in materia

133 Normalmente nell' aria ci sono sempre ioni (provenienti da urti di radiazione cosmica) Se il campo elettrico è alto, ma non troppo, essi vengono accelerati ed urtano altri atomi producendo solo passaggio di cariche ed aumento termico. Se il campo elettrico supera un dato valore, nell' intervallo tra un urto ed un altro lo ione guadagna sufficiente energia da ionizzare l' atomo contro cui urta; si ha quindi un nuovo ione e, continuando, una reazione a catena e quindi una scarica. E in materia

134 ( Nell'aria in condizioni normali è 31 KV/cm)
Il campo elettrico necessario per iniziare la scarica (= rigidità dielettrica) dipende dal mezzo (massa dello ione), dallo stato del materiale (distanza tra le molecole) e da condizioni iniziali (umidità od altro) che fanno variare la meccanica del processo. ( Nell'aria in condizioni normali è 31 KV/cm) E in materia

135 E in materia

136 Esempio si consideri un condensatore piano in aria
( d= 2 cm) a cui è applicata la tensione di V. Allora risulta E= V/cm e non avviene la scarica. E in materia

137 Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
E in materia

138 Allora si ha nel cartone E1 = = = = 8.100 V/cm
Inseriamo adesso 0.2 cm di cartone presspan (rigidità 200 kV/cm ed er=4) Allora si ha nel cartone E1 = = = = V/cm nell' aria E2 = = = = V/cm E in materia

139 Quindi scocca la scintilla nell' aria che diviene conduttrice e tutta la tensione viene allora applicata al cartone cioè /0.2 = V/cm e quindi superando la rigidità dielettrica del cartone si ha la scarica . E in materia

140 E in materia

141 CONDENSATORE REALE Il caso del condensatore nel vuoto è poco diffuso. Molto meglio il condensatore con dielettrico perchè: 1) la capacità aumenta di er quindi di valore anche alti (casi particolari con er dell’ ordine di ) 2) dato che spesso d deve essere piccola il dielettrico serve ad impedire che le armature vengano a contatto. 3) il dielettrico può avere una alta rigidità dielettrica e quindi il condensatore può avere una alta d.d.p. sulle armature. E in materia

142 E in materia

143 10-2 = F 3 10 cm 10 cm E in materia

144 E in materia

145 ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO
Nel vuoto avevamo trovato per la energia del campo elettrico la formula: che per un condensatore piano da che nel dielettrico può essere scritta come E in materia

146 poichè all’ esterno E = 0 mentre all’ interno del condensatore è
Da cui, poiché il modulo della induzione dielettrica D è D = s = q/S si ricava ed essendo Sd il volume in cui è compreso il campo elettrico, ricordando che è parallelo a si ricava per E in materia

147 la densità di energia l’ espressione
e quindi per l’ energia in un volume V E in materia

148 E in materia