Trasformazioni geometriche

Presentazione sul tema: "Trasformazioni geometriche"— Transcript della presentazione:

1 Trasformazioni geometriche
Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS,

2 Da bambini, con le forbici e un foglio di carta
pieghiamo il foglio a metà ritagliamo un motivo apriamo il foglio Le due parti della figura sono “simmetriche”

3 Simmetria o riflessione rispetto a una retta
Trasformazione del piano su se stesso: ogni punto P ha un corrispondente P’ I punti di r sono fissi se P fuori di r, PP’ è perpendicolare a r e la incontra nel punto medio tra P, P’ simmetria.fig

4 Proprietà della riflessione
Segmenti vanno in segmenti Segmenti corrispondenti sono uguali Si conservano gli angoli Triangoli corrispondenti sono congruenti Sinistro  destro

5 Con le forbici e una striscia di carta ripiegata

6 Con due riflessioni….

7 Si ottiene una nuova trasformazione
traslatriango.fig

8 La traslazione Segmenti da un punto al suo traslato sono paralleli, uguali, orientati nello stesso verso Rette corrispondenti sono parallele Destro  destro

9 Nessun punto fisso, ma rette fisse
Se si ripete una stessa traslazione, le rette nella direzione della traslazione scorrono su se stesse

10 Come si costruisce un motivo ornamentale?

11 Come costruire un fregio: I
Reiterando una stessa traslazione: salti su un piede solo

12 Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari

13 Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari

14 Come costruire un fregio: III
Con l’operazione risultante dalla composizione di traslazione e riflessione: è un nuovo tipo di trasformazione

15 Come costruire un fregio: III
Con l’antitraslazione (glissoriflessione): passo normale

16 Come costruire fregi: IV
Usando una riflessione in uno specchio perpendicolare alla direzione di traslazione, ripetendo….: salti laterali

17 Come costruire fregi: V
Usando riflessioni con specchi perpendicolari tra loro: salto con piroetta

18 Un’altra trasformazione: la simmetria centrale
Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi

19 Un’altra trasformazione: la simmetria centrale
Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi

20 La simmetria centrale Il centro di simmetria è il punto medio tra ogni coppia di punti corrispondenti Destro va in destro

21 Come costruire fregi: VI
Si possono usare simmetrie centrali: giravolta su un piede solo

22 Come costruire fregi: VII
Infine, simmetrie centrali e riflessioni: salti con giravolte

23 Teorema Vi sono soltanto 7 modi di riempire
una striscia con un motivo periodico Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999

24 Per uscire dalla striscia…
Due riflessioni con assi incidenti producono una rotazione rotazione.fig

25 Proprietà della rotazione di centro O
O resta fisso Ogni altro punto P va nel punto P’ che sta alla stessa distanza da O l’angolo POP’ è fisso ed è uguale all’angolo tra due rette corrispondenti

26 Classificazione delle congruenze (isometrie) del piano
Punti fissi Nessun punto fisso Un solo punto fisso Infiniti punti fissi Diretta (pari) traslazione rotazione identità Inversa (dispari) glissorifles-sione simmetria assiale o riflessione

27 Quante carte da parati posso disegnare?
TEOREMA. Vi sono soltanto 17 modi di ricoprire il piano con figure tutte congruenti tra di loro (Fedorov, 1891 – Pólya, 1924 ) Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999

28 Esempi: 1) con due traslazioni non parallele

29 2) con riflessioni rispetto a rette perpendicolari

30 3) con simmetrie centrali e traslazioni

31 4) con rotazioni di 120°

32 Pavimenti, trapunte… Si può fare un pavimento con mattonelle a forma di un poligono regolare, tutte congruenti tra di loro, “lato contro lato”? Non come nel secondo e terzo esempio

33 La trapunta più semplice

34 Con quali poligoni regolari si può costruire una trapunta?
In un vertice si vogliono “incastrare” k poligoni se ciascun poligono ha in quel vertice un angolo , per chiudere l’incastro deve essere k  = 360° Quali poligoni regolari hanno angoli che siano sottomultipli di 360°?

35 Quanto misurano gli angoli di un poligono regolare?
Triangolo equilatero: 180/3 gradi Quadrato: 360/4 gradi Pentagono? 5 triangoli… 180° per 5 ….meno 360° nel centro, in tutto gli angoli assommano a 180(5 – 2)°= 540°

36 Una coperta di pentagoni…
540 : 5 = 108 L’angolo del pentagono misura 108° Tre in un vertice: < 360 Quattro in un vertice: 108 per 4 > 360….

37 Non si può fare!

38 Solo tre Gli unici poligoni regolari che pavimentano il piano sono:
Triangoli (equilateri) Quadrati Esagoni (regolari) Pavimenti di poligoni non regolari ?

39 Pavimenti di rettangoli, parallelogrammi….

40 Quadrilateri….

41

42 Alla maniera di Escher un quadrato ABCD
sostituisco il segmento AB con una curva o una spezzata con la traslazione di vettore AD creo un nuovo lato con estremi D,C traslo la nuova mattonella

43 Su un reticolo quadrato

44 Su un reticolo quadrato

45 Con traslazioni e riflessioni

46 Glissoriflessione e traslazioni

47 Rotazioni......

48 Riflessioni, rotazioni….

49 Quanti centri di rotazione?

50 E nello spazio? Simmetria rispetto ad un piano

51 Con uno specchio e mezzo modello

52 Con due specchi Basta un quarto dell’edificio

53 Problema E’ possibile “impadronirsi dello spazio” (H. Freudenthal) lavorando su fotografie, disegni, software sofisticati? Può essere “meglio un brutto modello che una bella figura” (Maria Dedò) ?