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1 Questo ipertesto è stato realizzato da:
dr. Rita Agnelli dr. Elisabetta Porrera dr. Sofia Sabatti dr. Chiara Zaina Il suo utilizzo è consentito esclusivamente previa autorizzazione da parte delle autrici.

2 Francobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955.
IL TEOREMA DI PITAGORA Francobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955.

3 LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE
LA SFIDA CASI PARTICOLARI EUCLIDE IL TEOREMA DI PITAGORA DIMOSTRAZIONI LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE LA STORIA GLI IRRAZIONALI

4 INDICE 1. LA SFIDA • il problema della duplicazione del quadrato • errori comuni • soluzione del problema • un esercizio 2. CASI PARTICOLARI • un triangolo rettangolo isoscele • terne pitagoriche • una verifica numerica

5 3. IL TEOREMA DI PITAGORA NEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE
• un nuovo personaggio: Euclide • la sua opera: gli Elementi • libro I, prop • libro VI, prop. 31 4. DIMOSTRAZIONI • cosa significa dimostrare • alcune dimostrazioni significative

6 5. LA STORIA • le civiltà potamiche
- Egiziani - Babilonesi - Indiani - Cinesi • Pitagora e la sua scuola 6. UN’INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI • la duplicazione del quadrato e la radice quadrata di 2 • costruzione della radice quadrata di n • aspetti naturalistici

7 7. LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE • educazione artistica
- origami - la spirale della Sagrada Familia • educazione tecnica “pesiamo” il teorema di Pitagora 8. BIBLIOGRAFIA ED ELENCO SITI

8 CIAO, SONO PIT! Ti accompagnerò alla scoperta del “Teorema di Pitagora”.
Un teorema è un enunciato la cui validità è assicurata da una dimostrazione rigorosa. Quello di cui ci occuperemo riguarda la geometria e deve il suo nome ad un personaggio che conosceremo insieme: Pitagora. Durante l’esplorazione di questo mondo affascinante, fai attenzione ai miei consigli: ti aiuteranno a scoprire i segreti nascosti di tante figure, a capire meglio quello che ti verrà spiegato e a risolvere i problemi che incontrerai!

9 1. LA SFIDA La chiave di accesso alla nostra avventura insieme è la tua voglia di metterti in gioco: benvenuto, allora, alla nostra prima sfida!

10 La sfida che ti propongo è questa:
sai disegnare un quadrato che abbia area doppia rispetto a quella di un quadrato assegnato? Disegna un quadrato sul tuo quaderno e poi disegnane uno di area doppia.

11 Se ti sembra un problema inutile...
… prova a pensare di essere un sarto e di aver cucito un fazzoletto che, alla fine, risulta essere troppo piccolo: cosa faresti se te ne commissionassero uno grande il doppio? E se tu fossi un geometra e dovessi preparare un preventivo per la recinzione di un appezzamento di terreno quadrato, di area doppia rispetto all’ultimo di cui ti sei occupato?

12 Prova a concentrarti e ad usare un po’ della fantasia che hai...
Se ci sei già riuscito… sei veramente incredibile! Se invece hai bisogno di una mano, prova a leggere qui sotto... Molti, al primo tentativo, quadruplicano il quadrato, invece di raddoppiarlo. Altri raddoppiano l’area, ma invece di disegnare un quadrato, disegnano un rettangolo. Prova a concentrarti e ad usare un po’ della fantasia che hai...

13 Hai provato a suddividere il quadrato in altre figure più piccole?
Devo pensare, devo provare e riprovare… Ma come faccio a non abbattermi?!... Hai provato a suddividere il quadrato in altre figure più piccole? Hai pensato che se il tuo quadrato contiene (ad esempio) quattro figure uguali il suo doppio ne dovrà contenere otto? Hai provato con figure diverse… ad esempio con dei triangoli?

14 Prova a confrontarla con quella che ho trovato io…
Congratulazioni! Sono sicuro che, a questo punto, hai trovato la soluzione. Prova a confrontarla con quella che ho trovato io…

15 Ti propongo ora un’altra sfida: sai disegnare
un quadrato che abbia area dimezzata rispetto a quella di un quadrato assegnato? Se sei stato attento, non ti sarà difficile disegnare un quadrato sul tuo quaderno e poi disegnane uno che abbia area la metà.

16 2. CASI PARTICOLARI - i quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo isoscele; - le terne pitagoriche; - una verifica numerica un po’ più generale.

17 dato un triangolo rettangolo isoscele,
Sono sicuro che sarai molto orgoglioso di aver risolto il problema della duplicazione del quadrato. Ora vorrei solo farti notare che si può leggere tale soluzione anche in un altro modo: dato un triangolo rettangolo isoscele, il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente alla somma dei due quadrati costruiti sui due cateti.

18 Ebbene: secondo te, questa proprietà
(che abbiamo verificato valere per i triangoli rettangoli isosceli) sarà valida anche per altri triangoli rettangoli? Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo che abbia i lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm. Verifica che è rettangolo e poi vedi se il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti.

19 Se hai fatto i calcoli giusti, dovresti aver già verificato che, anche in questo caso particolare, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei due costruiti sui cateti.

20 Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo che abbia i lati di 6 cm, 8 cm e 10 cm.
Verifica che è rettangolo e poi vedi se il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti. Ed ora, per allenarti ancora un po’, prova a verificare cosa succede per un triangolo che abbia i lati di 5 cm, 12 cm e 13 cm.

21 Terne di numeri naturali di questo tipo sono dette
Ti sarai reso conto che in tutti questi casi si ottiene un triangolo rettangolo, per il quale il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei due costruiti sui cateti. Terne di numeri naturali di questo tipo sono dette terne pitagoriche. In altre parole, tre numeri naturali a, b e c formano una terna pitagorica se

22 Per ora abbiamo incontrato queste terne pitagoriche:
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13). Ce ne sono altre? Che ne dici? 24 25 7

23 Infatti, comunque presi due numeri naturali x e y si ha che i numeri
Probabilmente sarai già riuscito a trovare tantissime terne pitagoriche. Se vuoi un consiglio, fermati qua: tutto il tempo della tua vita non ti basterebbe per trovarle tutte, perché sono infinite…! Infatti, comunque presi due numeri naturali x e y si ha che i numeri a = x2 - y2 b = 2 x y c = x2 + y2 costituiscono una terna pitagorica.

24 Abbiamo allora visto che per infiniti triangoli rettangoli (tutti quelli i cui lati hanno le misure corrispondenti ai numeri di una terna pitagorica) il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei due costruiti sui cateti. Ora scopriremo, facendo qualche misura, che i triangoli rettangoli per cui vale questa proprietà sono… ancora di più!

25 Sarà così o non sarà così?
Ebbene, anche se abbiamo visto che per infiniti triangoli rettangoli il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma di quelli costruiti sui cateti, nulla ci permette ancora di dire che ciò avviene per tutti i triangoli rettangoli. Sarà così o non sarà così? Chi ce lo assicura? È quello che vedremo insieme, se hai la pazienza e la voglia di continuare questo viaggio con me!

26 … PRESENTATO DA EUCLIDE!
3. IL TEOREMA DI PITAGORA... … PRESENTATO DA EUCLIDE!

27 Incontriamo adesso un nuovo personaggio, che ci illustrerà
come ha dimostrato il nostro ormai noto teorema di Pitagora. Avete idea di chi possa essere? Provate a pensare, forse lo avete già incontrato… …vi dicono niente le parole assiomi, nozioni comuni, Elementi…? Adesso dovreste proprio avere capito di chi stiamo parlando! Si tratta di Euclide!

28 EUCLIDE IV - III sec. a.C. Euclide è l’autore del trattato di geometria più diffuso nel mondo; ciò nonostante sono pochissime le informazioni che possediamo circa la sua vita. Secondo quanto si legge nel Commentario al primo libro degli Elementi di Proclo (V sec. d.C.), Euclide è vissuto tra il IV e il III secolo a.C. ad Alessandria, in Egitto, e appartiene a quel periodo che è noto come età aurea della matematica greca. Dopo aver ricevuto la sua formazione ad Atene, presso la scuola di Platone, viene chiamato ad Alessandria, maggior centro culturale dell’antichità, per insegnare matematica.

29 Di questo periodo, si narrano due aneddoti che ci forniscono qualche notizia sul temperamento di questo personaggio. Alla richiesta del sovrano Tolomeo di fornirgli una facile introduzione alla geometria, Euclide risponde che non esistono vie regie che portano a tale disciplina. In un’altra occasione, ad una alunno che chiede quali vantaggi si possono trarre dallo studio della geometria, Euclide fa dare, da un suo servo, una moneta per sottolineare che l’allievo ha bisogno di trarre un vantaggio pratico da ciò che impara e poi lo caccia via.

30 Ad Alessandria Euclide scrive gli Elementi, che diventeranno l’opera matematica più nota e conosciuta, tanto da essere il testo più tradotto dopo la Bibbia. Si tratta di un manuale introduttivo allo studio della matematica, costituito da 13 libri che trattano rispettivamente di: libri I - VI: geometria piana; libri VII - IX: teoria dei numeri; libro X: le grandezze incommensurabili; libri XI - XIII: geometria solida. Il Teorema di Pitagora viene enunciato e dimostrato nella proposizione 47 alla fine del libro I.

31 A testimonianza delle numerosissime traduzioni degli Elementi in svariate lingue, voglio mostrarti questa immagine che illustra la prima proposizione del primo libro degli Elementi di Euclide, tradotti in cinese nei primi anni del XVII secolo dal gesuita Matteo Ricci.

32 Un’altra edizione molto interessante degli Elementi è questa versione in lingua inglese a colori, dovuta a Oliver Byrne, che risale al 1847.

33 Ti mostro ora le proposizioni degli Elementi che riguardano il teorema di Pitagora. Le cito dalla edizione in italiano dell’UTET curata da Attilio Frajese e Lamberto Maccioni.

34 Libro I, proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.

35 Con la proposizione 48 del libro I, Euclide risponde a questo problema:
dato un triangolo e costruiti i quadrati sui suoi lati, se la somma di due dei quadrati è uguale al terzo, possiamo affermare con certezza che il triangolo è rettangolo? ?

36 Libro I, proposizione 48 Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l’angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto.

37 costruisco altre figure?
Con la proposizione 31 del libro VI, Euclide risponde a questo problema: sui lati del triangolo rettangolo, devo costruire proprio dei quadrati? Il teorema non vale se costruisco altre figure? ?

38 Libro VI, proposizione 31 Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l’angolo retto.

39 Cliccando su queste immagini puoi verificare quanto Euclide dice nella proposizione 31 per due casi particolari.

40 4. IL TEOREMA DI PITAGORA? DIMOSTRAMELO!
Fin da prima di Euclide, i matematici non si sono accontentati di accorgersi di alcune proprietà dei numeri e delle figure geometriche, bensì hanno sentito l’esigenza di dimostrarle. Ma cosa vuol dire dimostrare?

41 Prova a pensare con i tuoi compagni al significato di questo verbo.
Non si tratta di vedere chi per primo indovina la definizione esatta, ma di provare insieme a riflettere sui diversi modi e sulle diverse occasioni in cui ciascuno di voi ha usato, sentito o letto questa parola. Datevi tempo e scrivete su un foglio di carta le cose che vi vengono in mente.

42 Ora provate a cercare su un vocabolario della lingua italiana i significati di questa parola e confrontateli con quelli che avevate trovato voi.

43 Io, sul Vocabolario della lingua italiana di Nicola Zingarelli edito da Zanichelli, ho trovato questi significati: 1) mostrare o manifestare apertamente uno stato, una qualità, un sentimento e sim., con fatti, parole, segni esteriori; 2) provare la verità di un enunciato, di una tesi, di una dottrina e sim. fornendo le necessarie prove; 3) spiegare, insegnare, far vedere; 4) scoprire; 5) prendere parte ad una dimostrazione pubblica.

44 mostrare - manifestare - far vedere; provare - prove; scoprire;
Nessuno di questi significati è quello a cui pensano i matematici quando parlano di dimostrazioni. È vero però che alcune parole usate dal vocabolario possono esserci utili per avvicinarci al significato specifico che vogliamo dare a questo verbo. Probabilmente alcune di queste parole chiave si trovano anche tra le definizioni o i sinonimi che avete dato voi: mostrare - manifestare - far vedere; provare - prove; scoprire; insegnare - spiegare; apertamente - con segni esteriori.

45 L’idea di “mostrare” è importante: ci dice che una dimostrazione deve essere chiaramente comprensibile a chi la fa e a chiunque la legga. Anche quando si fa riferimento ai “segni esteriori” si intende dare importanza al fatto che una dimostrazione deve essere comunicabile: non può essere qualcosa che abbiamo solo in mente o solo nel cuore. Quando si parla di “prove” si sottolinea il fatto che una dimostrazione deve essere convincente, non deve lasciare spazio a dubbi o perplessità. Infine le dimostrazioni ci rendono sicuri delle nostre scoperte e ci permettono di insegnarle anche agli altri.

46 Per i matematici dimostrare significa passare da certe premesse accettate, che chiamiamo ipotesi, a una proposizione, che chiamiamo tesi, attraverso una sequenza finita di ragionamenti logici. L’ipotesi, la tesi e la dimostrazione costruita da un matematico per passare dalla prima alla seconda costituiscono un teorema.

47 Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.
Vediamo ora qual è l’ipotesi e qual è la tesi del teorema di Pitagora (proposizione 47 del libro I di Euclide). Successivamente vedremo tanti diversi modi di dimostrarlo. Anzi: prima di guardare le dimostrazioni che ti propongo io, datti da fare per inventarne una tu! Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A. Tesi: il quadrato costruito sull’ipotenusa BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui cateti AB e AC.

48 Abbiamo analizzato insieme la proposizione 47 evidenziando ipotesi e tesi. Prova a fare lo stesso con la proposizione 48. Quali analogie puoi trovare? Prova a confrontare l’ipotesi dell’uno con la tesi dell’altro e viceversa...

49 ABC è un triangolo rettangolo in A
Avrai certamente notato che l’ipotesi della proposizione 47 corrisponde alla tesi della 48 e l’ipotesi della 48 alla tesi della 47. Non è uno scioglilingua! Se in questo modo ti ho confuso le idee, chiariscitele con il seguente schema: ABC è un triangolo rettangolo in A 47 48 Il quadrato costruito su BC è equivalente alla somma di quelli costruiti su AB e AC.

50 Proposizioni come la 47 e la 48 del I libro degli Elementi si dice che sono l’una l’inversa dell’altra.

51 Una dimostrazione… mobile!
La dimostrazione che ti propongo ora è una variazione di quella originale di Euclide, che puoi trovare alla proposizione 47 del libro I degli Elementi. Clicca su questa icona e… vedrai!

52 Una dimostrazione che sfrutta le similitudini.
La dimostrazione che puoi vedere da qui richiede che ti siano noti i criteri di similitudine dei triangoli e le loro conseguenze. Euclide affronta questi temi nel libro VI degli Elementi.

53 Una dimostrazione per scomposizione e movimenti rigidi.
Questa dimostrazione, per essere davvero formale, richiede lo studio delle isometrie (o movimenti rigidi). Anche se non li conosci a fondo, cliccando su questa icona ne puoi capire lo spirito!

54 La dimostrazione… del presidente.
Questa dimostrazione, richiede una certa familiarità con l’uso delle formule, ma… se vuoi ce la puoi fare anche tu (ce l’ha fatta il Presidente degli U.S.A!).

55 5. LA STORIA Abbiamo già parlato di Euclide, uno dei personaggi legati al teorema di Pitagora. Ma la storia di questo teorema è cominciata molto tempo prima. Se proprio insisti… te la racconto!

56 IL TEOREMA NELLE CIVILTA’ POTAMICHE
Quello che noi chiamiamo Teorema di Pitagora era noto, con altri nomi, anche ad altre civiltà? Sembra proprio di sì… … e adesso te lo mostrerò. Preparati ad un viaggetto nel tempo!

57 EGIZIANI Cominciamo in ordine di tempo,
ovvero con la civiltà più antica: quella degli EGIZIANI

58 Devi sapere che presso questa cultura non si è raggiunta una vera e propria conoscenza del teorema; infatti non ci sono pervenuti documenti o testimonianze a riguardo. Ma le esigenze pratiche legate alla misurazione per tracciare la pianta dei templi o per ridefinire i confini cancellati dalle inondazioni del Nilo, portarono allo sviluppo di una prima forma di geometria.

59 Prova ad immedesimarti in un architetto egiziano.
Per ottenere il triangolo rettangolo e disegnare l’angolo retto necessario per la misurazione dei terreni e per la squadratura dei blocchi di pietra dei templi, i geometri egiziani ricorsero a corde divise in 12 parti uguali tramite dei nodi. Per questo motivo i geometri egiziani sono chiamati anche "tenditori di corde" o "agrimensori”. Prova ad immedesimarti in un architetto egiziano. Come faresti ad ottenere l’angolo retto?

60 triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5.
Confronta ora la soluzione che hai dato con quella dei tuoi amici agrimensori. I geometri egiziani fissavano sul terreno il quarto e l’ottavo nodo della corda e poi la tendevano agli estremi; in tal modo ottenevano un triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5. Questi numeri formano la più famosa fra le terne pitagoriche.

61 BABILONESI Spostiamoci ora nella regione compresa
fra i fiumi Tigri ed Eufrate, dove vivevano i BABILONESI

62 Sappi che anche i babilonesi la conoscevano!
Pare che in Mesopotamia la geometria e l'algebra avessero raggiunto un livello più elevato rispetto a quello ottenuto dagli Egiziani. Infatti abbiamo a disposizione documenti che attestano una conoscenza consapevole del teorema di Pitagora: esistono tavolette appartenenti al periodo babilonese antico (vedi figura) che mostrano un largo utilizzo del teorema. E non solo! Più avanti incontreremo un nuovo numero: la radice quadrata di 2. Sappi che anche i babilonesi la conoscevano!

63 Ci sono pervenuti anche alcuni esercizi con i quali si dilettavano i ragazzi di questo popolo; immagino che adesso non vedrai l'ora di provare a risolvere uno di questi problemi. Eccoti accontentato! “Una scala o una trave di lunghezza 0,30 è appoggiata a una parete; si chiede: di quanto si allontanerà dalla parete l’estremità inferiore se l’estremità superiore scivola giù per una distanza di 0,6 unità?”

64 Io adesso ho bisogno di riposare!
Una canna è appoggiata ad una parete. Se la cima scivola giù di 3 unità quando l’estremità inferiore scivola via di 9 unità, quanto è lunga la canna? Io adesso ho bisogno di riposare! Tu, invece, impegnati e risolvi questo problema!

65 …e in INDIA ?

66 Alcuni scavi archeologici documentano l’esistenza, in questa regione, di un’antica e raffinata civiltà durante il periodo dei costruttori delle piramidi egiziane; ma non ci è pervenuto alcun documento matematico indiano risalente a tale epoca. Anche qui tuttavia le conoscenze matematiche sono legate alla pratica (costruzione di templi, misurazione di altari…) e, per quanto riguarda il teorema di Pitagora, presentano decise analogie con la matematica mesopotamica.

67 Troviamo infatti nel Sulvasutra di Apastamba, che risale forse fino al tempo di Pitagora, regole per la costruzione di angoli retti per mezzo di tre cordicelle, le cui lunghezze formano terne pitagoriche come 3, 4 e 5, oppure 5, 12 e 13, oppure 8, 15 e 17, oppure 12, 35 e 37. Queste terne si possono facilmente ricavare dall’antica regola babilonese. Apastamba conosceva la regola secondo cui il quadrato costruito sulla diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due lati adiacenti; tuttavia è possibile che anche questa forma del teorema di Pitagora provenisse dalla Mesopotamia.

68 Spostiamoci adesso in un'altra
parte del globo e andiamo in CINA

69 Anche presso questa civiltà troviamo tracce del teorema di Pitagora.
In un testo databile tra il 200 a.C. e il 200 d.C. intitolato Chou Pei (Classico Aritmetico dello Gnomone e delle Orbite Circolari del Cielo), si riscontra infatti una primitiva analisi del triangolo rettangolo e un'acquisita conoscenza del teorema di Pitagora.

70 Nel secondo libro di questo trattato è presente il seguente dialogo tra il principe Chou Kung e il suo ministro Shang Kao: Una volta, Chou Kung si rivolse a Shang Kao, dicendo: “Ho sentito che il Grande Prefetto è versato nell’arte del calcolo. Posso avere l’ardire di chiedere in che modo Fu- Hsi stabilì anticamente i gradi della sfera celeste? Non vi sono scalini con cui si possa salire al cielo e la terra non è misurabile con un regolo della lunghezza di un piede. Mi piacerebbe sapere da te qual è l’origine di questi numeri”. Shang Kao rispose: “L’arte del calcolo proviene dal cerchio e dal quadrato. Il cerchio è derivato dal quadrato e il quadrato dal rettangolo.

71 Il rettangolo ha origine dal (fatto che) 99 = 81.
Dividiamo perciò un rettangolo e poniamo che la larghezza sia di 3 (unità) e la lunghezza di 4 (unità). La diagonale fra i (due) angoli sarà allora lunga 5 (unità). Adesso, dopo aver disegnato un quadrato su questa diagonale, circoscriviamolo con mezzi rettangoli come quello che è rimasto fuori, in modo da formare una tavola (quadrata). I “quattro” mezzi rettangoli esterni che misurano 3 unità di larghezza, 4 di lunghezza e 5 di diagonale, formano in tal modo insieme due rettangoli (di superficie 24); così (quando questa viene sottratta dalla tavola quadrata di superficie 49) il resto è una superficie di 25 unità. Questo (procedimento) è chiamato “accumulare i rettangoli”.

72 I metodi usati da Yu il Grande per governare il mondo erano derivati da questi numeri”.
Chou Kung esclamò: “Davvero grande è l’arte del calcolo. Mi piacerebbe conoscere il Tao dell’uso del triangolo rettangolo”. Shang Kao rispose: “Il triangolo rettangolo in piano (posto sul terreno) serve a stendere il progetto di (opere) diritte e squadrate (con l’aiuto di) corde. Il triangolo rettangolo inclinato serve ad osservare le altezze. Il triangolo rettangolo rovesciato serve a scandagliare le profondità. Il triangolo rettangolo in posizione orizzontale è usato per accertare le distanze.

73 Mediante la rotazione di un triangolo rettangolo (compasso) si può formare un cerchio. Unendo triangoli rettangoli si formano quadrati (e rettangoli). Il quadrato appartiene alla terra, il cerchio appartiene al cielo, in quanto il cielo è rotondo e la terra è quadrata. Poiché i numeri del quadrato costituiscono il modello, le (dimensioni del) cerchio vengono (dedotte) da quelle del quadrato. Il cielo è come un cappello da sole conico. I colori del cielo sono il blu e il nero, quelli della terra il giallo e il rosso. Per rappresentare il cielo viene usata una tavola circolare, tracciata secondo i numeri celesti; sopra, come un indumento esterno, essa è blu e nera, sotto, come un indumento interno, è rossa e gialla. Così viene rappresentata la figura del cielo e della terra.

74 Colui che comprende la terra è un uomo saggio, e colui che comprende il cielo è un sapiente. La conoscenza è derivata dalla linea retta. La linea retta è derivata dall’angolo retto. E la combinazione dell’angolo retto con i numeri è il principio che guida e governa le diecimila cose”. Chou Kung esclamò: “Davvero eccellente!” Il testo ora riportato è completato dal seguente diagramma, chiamato Hsuan Thu.

75 Il commentatore Liu Hui definisce tale diagramma come “il diagramma che fornisce i rapporti fra l’ipotenusa e la somma e la differenza degli altri due lati per cui si può ricavare ciò che è ignoto da ciò che è noto.” Osserviamo che la formula algebrica che nel testo è espressa a parole corrisponde alla seguente: avendo indicato con la lettera h l’ipotenusa , con la lettera a l’altezza e con la lettera b la base del triangolo rettangolo.

76 PITAGORA E LA SUA SCUOLA
Ora ti condurrò alla scoperta di Pitagora, questo illustre sconosciuto, e della sua scuola, ma... … mi serve la tua attenzione!

77 Pitagora, scienziato e filosofo greco, nacque nell’isola di Samo nel VI secolo a.C..
Le notizie riguardanti la sua vita sono spesso avvolte da un alone leggendario. I suoi viaggi in Egitto e in India gli permisero di entrare in contatto con concezioni mistiche e matematiche nuove ed interessanti, che lo portarono poi a fondare a Crotone una comunità: la “scuola pitagorica”.

78 Il mistero che avvolgeva sia Pitagora che i suoi seguaci insospettiva e intimoriva gli abitanti di Crotone che scacciarono i pitagorici e costrinsero Pitagora a rifugiarsi nel Metaponto (l’attuale Basilicata), dove poi morì verso la fine del V secolo a.C.

79 Ora ti racconto un aneddoto sulla vita di questo nostro nuovo amico.
Si dice che mentre Leone, principe di Flio, assisteva ai Giochi Olimpici, chiese a Pitagora come si sarebbe definito. Pitagora rispose: “Io sono un filosofo”, ma Leone non aveva mai sentito prima quella parola e chiese spiegazioni. Pitagora allora rispose, più o meno, così... Pitagora rappresentato in un particolare della Scuola di Atene di Raffaello

80 “La vita, principe Leone, può essere ben a ragione paragonata a questi giochi olimpici, perché nella vasta folla qui convenuta taluni sono attirati dal guadagno, altri sono mossi solo dalla speranza e dall’ambizione di ottenere la fama e la gloria. Ma tra costoro ve ne sono alcuni, che sono venuti qui per osservare e capire che cosa accade. Nella vita avviene lo stesso. Alcuni sono influenzati dall’amore della ricchezza, mentre altri sono ciecamente condotti dal folle desiderio di potere e di dominio, ma l’uomo migliore si dedica a scoprire il significato e lo scopo della vita stessa. Egli cerca di scoprire i segreti della natura. È questo l’uomo che io chiamo filosofo perché, sebbene nessun uomo sia completamente saggio sotto ogni rispetto, egli può amare la sapienza in quanto chiave di accesso ai segreti della natura.” (Singley, L’ultimo teorema di Fermat, Sansoni)

81 Ora, occupiamoci un po’ della scuola pitagorica
Ora, occupiamoci un po’ della scuola pitagorica. Non devi immaginarti una scuola come quella che frequenti tu oggi; essa aveva piuttosto le caratteristiche di una setta religiosa; in essa si viveva una rigida vita morale ed ascetica, nella quale si coltivavano le diverse componenti della matematica.

82 L’appartenenza effettiva alla scuola, che durava per tutta la vita, era concessa ai soli uomini: le donne potevano unicamente ascoltare le lezioni. I membri erano vincolati al segreto, relativamente alle conoscenze che nella scuola venivano apprese e coltivate. Per quanto concerne la sfera filosofica i pitagorici si ispiravano alla religione greca: ritenevano fondamentale purificare l’anima dalla contaminazione del corpo.

83 Novità ed elemento caratterizzante di questa concezione filosofica era la scienza vista dunque come strumento di purificazione. Dopo la morte di Pitagora i suoi seguaci si dispersero, diffondendo ovunque i risultati dei loro studi.

84 Gli allievi della scuola di Pitagora studiavano geometria, musica, astronomia e matematica.
Non usavano libri; ogni scoperta veniva messa in comune, divenendo patrimonio di tutti. I Pitagorici conoscevano i numeri interi e razionali e li rappresentavano con sassolini disposti in vario modo. Proprio tale rappresentazione dei numeri rendeva facile il passare dall’aritmetica alla geometria: Studi dei Pitagorici l’uno era il punto, il due la linea, il tre la superficie e il quattro il solido, il dieci (considerato il numero perfetto) era un triangolo equilatero nel quale per ogni lato si ripete il numero quattro.

85 Tra i contributi, in ambito matematico, che vengono attribuiti ai pitagorici ricordiamo:
il teorema relativo alla somma degli angoli interni di un triangolo; il teorema di Pitagora; lo studio dei poliedri regolari; l’incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato.

86 Pitagora e il “suo” teorema
Perché il teorema di Pitagora porta il nome di questo personaggio così misterioso? …non essere impaziente, continua questo viaggio con me!

87 di buoi un grandioso sacrificio celebrò”
“Allorché Pitagora trovò il famosissimo teorema, di buoi un grandioso sacrificio celebrò” Apollodoro di Atene (II sec d.C.) Secondo Diogene Laerzio, storico del III sec d.C., fu Pitagora stesso ad enunciare il teorema che porta il suo nome; Proclo ( d.C.), noto commentatore degli Elementi di Euclide e fonte storica di rilievo non trascurabile, conferma la tradizione letteraria (della quale troviamo traccia anche in Cicerone) secondo la quale Pitagora avrebbe sacrificato buoi agli dei per festeggiare il grande traguardo raggiunto con la scoperta del teorema.

88 Anche se, come abbiamo visto, la tradizione attribuisce a Pitagora la paternità di questo teorema, è difficile distinguere l’opera del maestro da quella dei suoi seguaci. Tanto più che le attribuzioni a Pitagora risalgono ad un’epoca successiva a quella in cui egli visse.

89 6. I NUMERI… NUOVI!

90 Ma che numero è? All’inizio della nostra avventura insieme ti avevo lanciato una sfida: costruire un quadrato di area doppia ad uno dato. Ora possiamo chiederci: se assumiamo il lato del quadrato di partenza come unità di misura, quanto misura il lato del quadrato di area doppia? Cioè: quante volte ci sta il lato del primo quadrato in quello del secondo?

91 La risposta a questa domanda è data da un numero… “nuovo”.
Prova a pensare. Se il lato del primo quadrato misura 1, la sua area avrà valore 1 x 1 = 1 Ma allora, il quadrato di area doppia a questa deve avere area 2 (cioè il doppio di 1). Quindi il suo lato dovrà avere per misura un numero n tale che n x n = 2 Qual è questo numero?

92 Hai le idee un po’ annebbiate?
Non preoccuparti, anche a me succede qualche volta. E sta pur tranquillo che non è così solo per noi: anche gli antichi Greci, quando si resero conto che i numeri che avevano sino ad allora “inventato” (o “scoperto”?) non bastavano per misurare le lunghezze di tutti i segmenti, si sentirono parecchio confusi.

93 I Greci non diedero un nome a questo numero;
forse perché non accettavano che potesse esistere, anche se ce l’avevano lì, davanti agli occhi. Be’, facciamo presto a dirlo noi, più di 2000 anni dopo! Ad ogni modo, noi abbiamo sia un nome sia un simbolo per questo numero. Si chiama radice quadrata di due e si indica così:

94 Un altro modo per indicare il nostro nuovo amico...
In inglese “radice quadrata” si dice “square root”. Da questa parola deriva un altro modo per indicare la radice quadrata di 2: sqrt (2).

95 A questo punto, credo che possiamo porci due domande:
cosa ha a che fare questo nuovo numero con il teorema di Pitagora? la radice di due è l’unico numero nuovo che questo teorema ci “costringe” ad inventare?

96 Abbiamo conosciuto due nuovi numeri.
E va bene. Abbiamo conosciuto due nuovi numeri. Ma ce ne sono altri, che possiamo scoprire grazie al teorema di Pitagora? Direi proprio di sì. Anzi, è importante anche che ci rendiamo conto che la natura aveva scoperto questi numeri molto tempo prima di noi… e prima di Pitagora!

97 Se apri questo file vedrai come, disegnando successivi triangoli rettangoli sino a formare una specie di spirale, si riescono a costruire segmenti la cui misura è

98 Questa è invece l’immagine di un fossile di ammonite: la sua forma non ti ricorda forse quella della spirale che abbiamo appena costruito?

99 Questa è un’immagine che illustra la galassia a spirale
ordinaria NGC 628 M74 Non ti ricorda forse la nostra spirale?

100 7. LEGAMI ALTRE DISCIPLINE
Educazione artistica: gli origami la spirale della Sagrada Familia Educazione tecnica: metodo archimedeo della bilancia

101 Educazione Artistica Spesso hai giocato con fogli di carta piegati in vario modo, hai costruito barche, rane che saltellano… Questo non è solo un gioco, ma è anche una forma d’arte: gli origami Ora ti farò una richiesta insolita:prova a dimostrare il teorema di Pitagora con gli origami.

102 Non abbatterti… ti darò un piccolo aiuto: prendi un foglio quadrato e suddividilo in nove quadrati equiestesi.

103 Piega un foglio di carta quadrato come in figura:

104 Ne segue che il quadrato FNOA equivale a 4 triangoli FAB.
Osserva il triangolo FAB: è un triangolo rettangolo con ipotenusa AB e cateti FB e FA. Piega il foglio lungo le linee AO e NO: otterrai il quadrato costruito sul cateto maggiore (AONF); ora piegando il quadrato così ottenuto lungo la linea BK, otterrai la seguente figura che è costituita dalla somma dei due triangoli dati. Ne segue che il quadrato FNOA equivale a 4 triangoli FAB.

105 Piegando il foglio lungo i lati BA, BC, CD, DA si potrà osservare che il quadrato centrale vuoto non è altro che il quadrato costruito sul cateto minore e il quadrato globale è il quadrato costruito sull'ipotenusa.

106 Abbiamo già detto che il teorema di Pitagora ci permette di costruire una caratteristica spirale; tale figura ricorre anche nell’arte. Osserva l’effetto ottico prodotto da questa scala a chiocciola. Si trova in una delle torri della Sagrada Familia, chiesa progettata da A. Gaudì e in costruzione a Barcellona (Spagna).

107

108 Educazione Tecnica Ora ti farò un’altra richiesta inaspettata: prova a dimostrare il teorema di Pitagora con… una bilancia, delle forbici e del cartone.

109 ? Sul cartone disegna un triangolo rettangolo.
Su ciascuno dei suoi lati costruisci un quadrato e ritaglialo. Prendi la bilancia e distribuisci i tre quadrati in modo che i suoi due piatti sino in equilibrio: riesci? ?

110 Ti sarai certamente accorto che l’equilibrio dei piatti della bilancia si ottiene quando poniamo su un piatto il quadrato costruito sull’ipotenusa e sull’altro i due quadrati costruiti sui cateti.

111 9. BIBLIOGRAFIA ED ELENCO SITI
Gli Elementi di Euclide, a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni, Torino, UTET, 1970 C. B. Boyer, Storia della matematica, Cuneo, Arnoldo Mondadori, 1998 La home page dell’archivio McTutor

112 Testo con commento degli Elementi, sul sito di David E. Joyce della Clark University, USA Sono illustrate varie dimostrazioni del teorema di Pitagora Ricco di fotografie dell'edizione degli Elementi curata da Erhard Ratdolt nel 1894 (Londra) Ricco di fotografie dell'edizione degli Elementi curata da Byrne nel 1847, in cui si fa uso dei colori.

113 Varie informazioni su Pitagora Francobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955, nell'occasione del Pythagoras's Congress. Riporta un'immagine del teorema di Pitagora, in bianco e nero Francobollo emesso dal Nicaragua il 15 maggio Riporta la formula ed alcune immagini connesse al teorema di Pitagora