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UNA NUOVA ARITMETICA L ARITMETICA MODULARE SISTEMI di NUMERAZIONE SISTEMI di NUMERAZIONE e.

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Presentazione sul tema: "UNA NUOVA ARITMETICA L ARITMETICA MODULARE SISTEMI di NUMERAZIONE SISTEMI di NUMERAZIONE e."— Transcript della presentazione:

1 UNA NUOVA ARITMETICA L ARITMETICA MODULARE SISTEMI di NUMERAZIONE SISTEMI di NUMERAZIONE e

2 Generalmente ci serviamo dellorologio o della sveglia molte volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il tempo e, qualsiasi strumento di misura è di natura matematica = = 37+8= = 3 Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si ottengono risultati insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore ……. aritmetica modulare sistema di numerazione finito Questo tipo di aritmetica si chiama aritmetica modulare o anche sistema di numerazione finito Si legge 7 più 8 uguale a 3 (modulo 12)

3 Un altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì,……, 6 sabato. alcune domande: 1. Se il 4 marzo era di sabato, che giorno era il 24 marzo? 2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dellanno successivo si potrebbe ragionare così… 3.Si può anche andare allindietro e chiedersi: che giorno era il 4 marzo del 1906? E il 4 marzo del 1806? Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora sarà tra 1675 ore? mod Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le 18,tra 1675 ore saranno ( ) mod 24, cioè le 11. il problema si può risolvere contando o con laritmetica modulo 7 il problema si può risolvere contando o con laritmetica modulo 7 Spiegazione parziale

4 Il gioco del telefono -Scrivi il tuo numero di telefono -Cambia lordine alle cifre e riscrivi il numero ottenuto -Sottrai dal maggiore il minore e somma le cifre fino ad ottenere un numero con ununica cifra -Inizia a contare dopo la stella (contrassegnata con 1) nel senso indicato Quale posto raggiungi? 1

5 il gioco del telefono il gioco del telefono Un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre: un numero di tre cifre (a, b, c) assegnato, si scrive in forma polinomiale nel modo seguente : (100 a + 10 b + c) = (99 + 1) a + (9 +1 ) b + c = 99 a + 9 b + (a + b + c ) = = 9 ( 11 a + 1 b ) +( a + b + c ) questa quantità è divisibile per 9 il numero dato è divisibile per 9, se lo è il termine ( a + b + c ) cioè la somma delle sue cifre esempio Se il numero di telefono, diviso 9, dà come resto 0, 1, ……. 8, si ha lo stesso resto anche con il numero ottenuto cambiando lordine alle cifre la differenza tra i due numeri, divisa per 9, dà come resto la differenza dei due resti, cioè 0. I simboli del cerchio sono nove, perciò il conteggio deve terminare sul nono simbolo dopo il primo indicato.

6 [0] ={ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ……} [1] ={ 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 ……..} [2] ={ 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 ……..} [3] ={ 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 ……..} [4] ={ 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 …….} congruenza modulo n Consideriamo linsieme dei numeri interi Z e la relazione detta di congruenza modulo n (con n > 0), così definita: Du e numeri a e b sono equivalenti modulo n se e solo se (a-b) è multiplo di n. Con la relazione di equivalenza si può costruire linsieme Z n delle classi di equivalenza, dette anche classi di resto modulo n classi [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] E interessante vedere che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in danno luogo a operazioni analoghe in E interessante vedere che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in Z danno luogo a operazioni analoghe in Z n

7 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [1][1][1][1] [1][1][2][2][3][3][4][4][0][0] [2][2][2][2] [2][2][3][3][4][4][0][0][1][1] [3][3][3][3] [3][3][4][4][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4] [4][4][0][0][1][1][2][2][3][3] CLASSE di RESTI MODULO Loperazione + è interna - Vale la proprietà associativa [0] - Esiste lelemento neutro [0] - Esiste, per ogni elemento il simmetrico Z 5 - Linsieme Z 5 è chiuso rispetto alla somma [ a ] + [ b ] = [ a + b ] [ a ] + [ b ] = [ a + b ] esercizio. [ 2 ] + [ 4 ] = [ ] = [ 1 ]; la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli elementi della classe [4] sono del tipo 4+5k, la loro somma è2+5h+4+5k=2+4+5(h+k)=6+5(h+k)= 1+5+5(h+k)=1+5(h+k+1) :questo elemento appartiene alla classe [1]. la loro somma è 2+5h+4+5k=2+4+5(h+k)=6+5(h+k)= 1+5+5(h+k)=1+5(h+k+1) :questo elemento appartiene alla classe [1].

8 * [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [2][2][2][2][0][0][2][2][4][4][1][1][3][3] [3][3][3][3][0][0][3][3][1][1][4][4][2][2] [4][4][4][4][0][0][4][4][3][3][2][2][1][1] CLASSE di RESTI MODULO 5 CLASSE di RESTI MODULO 5 -La classe [0] annulla qualunque prodotto - Esiste, per ogni elemento, diverso da [0] il simmetrico * - Loperazione * è interna - Esiste lelemento neutro [1] - Vale la proprietà associativa es. [ 2 ] x = [ 3 ]; x = [3] *[2] simmetico ; x =[3]* [3]; x = [4] es. [ 2 ] x = [ 3 ]; x = [3] *[2] simmetico ; x =[3] * [3]; x = [4]

9 * [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [5][5][5][5] [0][0][0][0] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4][5][5] [2][2][2][2] [0][0][2][2][4][4][0][0][2][2][4][4] [3][3][3][3] [0][0][3][3][0][0][3][3][0][0][3][3] [4][4][4][4] [0][0][4][4][2][2][0][0][4][4][2][2] [5][5][5][5] [0][0][5][5][4][4][3][3][2][2][1][1] CLASSE di RESTI MODULO 6 Qui molte proprietà non valgono: - Non è vero che ogni elemento ha il simmetrico: per i numeri2, 3, 4 non esistono - Ci sono elementi diversi da zero che moltiplicati tra loro danno 0 - In alcune righe compare più volte uno stesso elemento Cosa è cambiato da 5 a 6? Si potrebbe rispondere che 5 è dispari e 6 pari, ma basterebbe provare con modulo 9 o 15 per rendersi conto che alcuni elementi non hanno il simmetrico. 5 è un numero primo e non ammette divisori propri e quindi non ci possono essere numeri diversi da zero che moltiplicati tra loro diano 0

10 La prova del nove Supponiamo di aver moltiplicato due numeri a e b, e di aver ottenuto come risultato c. Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due è errato, se sono uguali non abbiamo la certezza che il risultato sia corretto perché potremmo aver fatto lo stesso errore in tutti due i calcoli. la prova del nove: Lo stesso avviene con la prova del nove: se i conti non tornano siamo sicuri di aver sbagliato la prova o la moltiplicazione, se tornano, avremo la conferma dellesattezza del risultato, ma mai la sicurezza La prova del nove è molto più veloce che non rifare la moltiplicazione e quindi è preferibile La prova del nove ( o dell 11, o... ) si basa sul fatto che se a * b = c allora a mod p * b mod p = c mod p a mod p b mod p a mod p * b mod p c mod p Es. 564 * 4318 = (6 7) mod 9 = 6 c mod p = 6 *

11 Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è uguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pari Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve essere dispari Perché allora non si usa la prova del 2 ? Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare per caso. E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili (0……346) e leventualità che la prova torni per caso è piuttosto remota. La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell 11 può essere applicata senza troppi problemi Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = 10*10 = 1 mod 11 e così via P R O V A T E Anche la prova della divisione ( con resto ) si fa allo stesso modo PROVATE Se (a : b ) dà come quoziente q e resto r, risulta q* b +r =a PROVATE

12 Il problema del falsario Alla ricerca di un falsario che spaccia monete, la polizia ha fermato sei viaggiatori provenienti dal paese di ……, a ognuno dei quali ha sequestrato le monete e ha fatto sei mucchietti. La polizia sa solo che le monete false si riconoscono da quelle vere perché differiscono da queste di un grammo e che le monete buone pesano un numero esatto di grammi. Con laiuto di una bilancia la polizia riesce a smascherare il falsario Quante pesate al minimo si devono fare? Una sola pesata è sufficiente La strategia consiste nel prendere 1 moneta dal primo mucchio, 2 dal secondo, …6 dallultimo mucchio: in totale ci sono 21 monete. Sia p il peso non noto di una moneta buona. Se tutte le monete fossero buone il peso totale sarebbe 21p, un numero divisibile per 21. Invece nel mucchio ci sono monete false, e precisamente una se il falsario è il primo viaggiatore, due se è il secondo, …… di 6 se è il sesto.

13 Continuazione …… Il peso totale delle 21 monete sarà 21p più tanti grammi quante sono le monete false Se si divide il peso totale per 21, si avrà come resto 1 se il falsario è il primo viaggiatore …… Supponiamo che le monete false pesino 1 grammo di più delle buone: Che succederebbe se le monete false pesassero 1 in meno ? Indizio 21p 21p+121p-1 Resto della divisione per 21 è 1 Resto della divisione per 21 è…??

14 Nellambito delle classi di resto è interessante il TEOREMASe p è primo, e a è primo con p, a p – 1 =1 mod p (piccolo teorema di Fermat) TEOREMA : Se p è primo, e a è primo con p, a p – 1 =1 mod p (piccolo teorema di Fermat) Il teorema permette di calcolare linverso di un numero in un aritmetica finita Nel 1736 fu proprio Eulero a generalizzare il piccolo teorema di Fermat e a dimostrare che Dati due qualsiasi numeri primi m ed N primi tra loro allora è m ( N ) _ 1 = 0 (mod N) ( N): funzione di Eulero che associa, a un numero intero N, il numero degli interi primi con N ed è uno degli ingredienti fondamentali del cifrario RSA ( N): funzione di Eulero che associa, a un numero intero N, il numero degli interi primi con N ed è uno degli ingredienti fondamentali del cifrario RSA (Rivest, Shamir,Adlemann) Il problema di codificare o cifrare un messaggio è stato affrontato, generalmente per usi militari, attraverso tutta la storia della civiltà umana La sfida del XX secolo era lideazione di un codice per cui anche il più potente calcolatore impiegasse millenni per la decodifica

15 LA CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA LA CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA (qualche considerazione) Nel 1976 Diffie e Hellmann riuscirono a mostrare che per scambiarsi un messaggio segreto non è più indispensabile incontrarsi in privato per fissare una chiave Lo sviluppo delle loro idee ha portato alla costruzione di molteplici algoritmi per il controllo dellidentità digitale – firma – e per la comunicazione cifrata L idea si basa sullo studio degli elevamenti a potenza nelle classi di resto che permettono ai due comunicanti di accordarsi su una chiave comune con cui cifrare i propri messaggi I due interlocutori A e B concordano un numero primo p molto grande e un intero g minore di p A sceglie un numero segreto a, calcola = g a (mod p) e lo comunica a B A sua volta B sceglie un numero segreto b, calcola = g b (mod p) e lo comunica ad A Sarà possibile per A calcolare s = = g ab ( mod p ) e per B calcolare lo stesso s = = g ab ( mod p )

16 Chi avesse intercettato a tutta la comunicazione, sarà in possesso dei numeri p, g,,, ma non conoscendo né a né b, non sarà in grado di calcolare s, perché nelle classi di resto non si conoscono algoritmi efficienti per calcolare per esempio a da g e 7 7 Es:p=23, g=5 A sceglie il valore segreto 7 e calcola 5 7 mod 23= Anche B sceglie un valore segreto, ad esempio, 5, calcola 5 5 mod 23 = A e B si comunicano i risultati: la chiave comune sarà 17 5 mod 23 per B che è uguale a quello che si ricava A, 20 7 mod 23, ovvero 21. Il loro segreto in comune è 21 Chi ha ascoltato la conversazione conosce il 23, il 5, il 17 e il 20, ma per ricavare il segreto comune deve scoprire almeno uno degli esponenti scelti segretamente e mai comunicati Nellesempio si può procedere per tentativi provando gli esponenti da 1 a 22, ma se i numeri fossero dellordine del miliardo di miliardi,( con un miliardo di combinazioni al secondo), si impiegherebbe un tempo troppo lungo per decodificare il messaggio

17 P …. C=P … C = P 3 mod …. Laritmetica modulare Laritmetica modulare è usata in numerosi crittosistemi per dissimulare ulteriormente linformazione già trasformata da una funzione di cifratura. L utilità dellaritmetica modulare è mostrata già dalla semplice funzione di cifratura C = P 3. Al crescere di P, la crescita continua di P 3 rende possibile invertire la funzione, ovvero determinare il valore di P che corrisponde a un dato valore di C, anche senza una formula semplice per esprimere P come radice cubica di C. Più precisamente, un valore di P che fornisca un valore piccolo di C è esso stesso piccolo, uno che dia luogo a un valore elevato è elevato. Se invece si introduce la modularità, C è uguale a P 3 modulo 11, e i valori della funzione hanno un andamento disordinato. Al crescere di P, C varia in modo affatto discontinuo, celando efficacemente P.

18 SISTEMI di NUMERAZIONE Per sistema di numerazione si intende quell insieme di simboli e di regole che permettono di esprimere graficamente i numeri e di leggerli * * 1 = 14 Una decina 4 unità Contiamo gli elementi dell insieme A A nel sistema a base 10 (o modulo 10)

19 forma polinomiale Ogni numero può essere scritto in forma polinomiale es. 124 = 1 * * * 0 0 ; ricordiamo che 10 0 = 1 ALCUNE BASI di NUMERAZIONE DIVERSE DA DIECI Odissea Per gli antichi guerrieri, che dovevano reggere unarma, forse era più comodo utilizzare una sola mano e quindi contare a gruppi di cinque, cioè in base cinque: questo modo di contare è citato per esempio nell Odissea di Omero Gli antichi Caldei, grandi astronomi, divisero il cerchio dellorizzonte in trecentossesanta parti e presero il suo sottomultiplo sessanta come base della loro numerazione. La numerazione binaria, cioè in base due, era già stata usata da qualche antico popolo orientale, forse suggerita dalluso delle due mani; fu poi riutilizzata da G. Leibniz ( ) nel 600, ma ebbe poca fortuna fino a poco tempo fa, quando divenne la numerazione fondamentale per le macchine calcolatrici. I Babilonesi usarono delle basi diverse di numerazione, sessanta e dieci.

20 Nel sistema decimale sono sufficienti dieci simboli : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 per rappresentare tutti i numeri Con lo stesso simbolo possiamo indicare le unità (I ordine), le decine (II ordine), poi le centinaia (III ordine), etc. Possiamo usare lo stesso metodo per contare in una base diversa base cinque Se vogliamo contare in base cinque, sono sufficienti cinque simboli (0, 1, 2, 3, 4) per indicare le unità del I ordine, con un gruppo di cinque oggetti(cinquina) otteniamo ununità del II ordine, con cinque cinquine formiamo un unità del III ordine e così via. Esempi es.1 Contiamo a base Possiamo scrivere 2 * * dieci

21 es.2 Contiamo a base Possiamo scrivere 4 * * cinque

22 es.3 Contiamo in base due (si legge uno-zero-zero-uno) 0 1 * * * * due 1 010

23 es.3 Contiamo in base due (si legge uno-zero-zero-uno) * * * * due

24 Da una base qualunque alla base 10 e viceversa 32 otto = 3 * * 8 0 = = 26 dieci 122 quattro = 1 * * * 4 0 = 26 dieci Da una base a una base qualunque 23 cinque 13 dieci 111 tre ancora esempi * Tabelle relative alladdizione e alla moltiplicazione a base 2

25 qualche operazione..... qualche operazione..... a) 120 tre + 12 tre = 202 tre b) 121 tre - 11 tre = 110 tre c) 217 otto * 32 otto = 7206 otto d) due : 101 due = 110 due e) AB3 sedici + 8AD sedici = 1360 sedici f) 324 cinque * 12 cinque = 4443 cinque Ci sono errori ???

26 È ora di smetterla con questa matematica, che ne dite?


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