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ovvero hanno tutti i lati uguali hanno tutti gli angoli uguali Sono poligoni equilateri ed equiangoli Next Poligoni regolari - definizione.

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Presentazione sul tema: "ovvero hanno tutti i lati uguali hanno tutti gli angoli uguali Sono poligoni equilateri ed equiangoli Next Poligoni regolari - definizione."— Transcript della presentazione:

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2 ovvero hanno tutti i lati uguali hanno tutti gli angoli uguali Sono poligoni equilateri ed equiangoli Next Poligoni regolari - definizione

3 Poligoni regolari Next 3 lati Triangolo Equilatero 4 lati Quadrato 5 lati PENTAgono 6 lati ESAgono 8 lati OTTAgono 12 lati DODECAgono

4 Poligoni regolari - proprietà Next Sono ISCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza in cui inscriverli, ovvero una circonferenza esterna alla figura e che la tocca nei vertici Sono CIRCOSCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza a cui circoscriverli, ovvero una circonferenza interna alla figura e che la tocca sui lati Invio

5 Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Next Per questa lezione concentriamo la nostra attenzione sulla circonferenza circoscritta

6 raggio Next Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Ricordiamo che in un T. Equilatero il centro della circonferenza circoscritta è il circocentro: il punto dintersezione degli assi dei lati

7 raggio Next Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Ripetendo il procedimento è possibile disegnare la circonferenza attorno ad ogni poligono regolare

8 Next Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Tracciata la circonferenza circoscritta è possibile disegnare allinterno del poligono tanti triangoli quanti sono i lati che formano il poligono stesso raggio

9 Next Poligoni regolari Quali segmenti formano i triangoli? raggio ? 1 lato del poligono 2 raggi Quale tipo di triangoli vengono formati? ? ISOSCELI, perché hanno 2 lati uguali Come sono tra loro i triangoli? ? Uguali! Se il poligono di partenza NON fosse stato REGOLARE, saremmo arrivati agli stessi risultati? ? NO! perché... Invio

10 Next Poligoni regolari Riassumendo raggio Un T.Equilatero è formato da 3 T.isosceli uguali tra loro Un Quadrato è formato da 4 T.isosceli uguali tra loro Un Pentagono è formato da 5 T.isosceli uguali tra loro Un Esagono è formato da 6 T.isosceli uguali tra loro

11 apotema Next Poligoni regolari Laltezza di ognuno di questi t.isosceli prende il nome di APOTEMA del POLIGONO (a) raggio

12 Next Larea di un triangolino lato apotema 2 = Area poligono = = Larea di un triangolino numero lati numero lati lato apotema 2 2p a 2 semiperimetro apotema = = perimetro apotema 2 = p a = == Poligoni regolari Area apotema Invi o

13 Next Poligoni regolari Area Area poligono regolare semiperimetro apotema = a a a a a a

14 Next Poligoni regolari Numero fisso Si può mostrare coi calcoli o sperimentalmente che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Tale rapporto viene detto numero fisso e indicato con la lettera f Il numero fisso è un valore importante perché consente di calcolare la misura dellapotema nota quella del lato (o viceversa) f = apotema / lato apotema = f lato

15 f = apotema / lato = 1.866 f = apotema / lato = 1.207 f = apotema / lato = 0.866 f = apotema / lato = 0.688 f = apotema / lato = 0.500 f = apotema / lato = 0.289 Next 3 lati T. Equilatero 4 lati Quadrato 5 lati pentagono 6 lati esagono 8 lati ottagono 12 lati dodecagono Poligoni regolari Numero fisso - tabella

16 l Next Poligoni regolari Area - Problema a r Un quadrato ha il lato di 10 cm, quanto vale larea? ? Metodo classico: A = l 2 = 10 2 = 100 cm 2 Invio Metodo del poligono regolare: Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare lapotema utilizzando il relativo numero fisso a = f l = 0.5 10 = 5cm Calcolo il perimetro del poligono 2p = 4 l = 4 10 = 40cm Calcolo larea del poligono A = p a = 20 5 = 100cm 2

17 Next Poligoni regolari Area - Problema Un pentagono REGOLARE ha il lato di 10 cm, quanto vale larea? ? Metodo del poligono regolare: Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare lapotema utilizzando il relativo numero fisso a = f l = 0.688 10 = 6.88cm Calcolo il perimetro del poligono 2p = 5 l = 5 10 = 50cm Calcolo larea del poligono A = p a = 25 6.88 = 172cm 2 a r l

18 Next Poligoni regolari perimetro e apotema Abbiamo detto che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Allora sicuramente lo sarà anche il rapporto perimetro / apotema che indichiamo con la lettera Quale relazione intercorre tra e f ?

19 = 2p / a = 6.431 = 2p / a = 6.628 = 2p / a = 6.928 = 2p / a = 7.267 = 2p / a = 8.000 = 2p / a = 10.380 Next 3 lati T. Equilatero 4 lati Quadrato 5 lati pentagono 6 lati esagono 8 lati ottagono 12 lati dodecagono Poligoni regolari da a 2

20 Next Poligoni regolari da a Triangolo - 3 lati = 10.380 Quadrato - 4 lati = 8.000 Pentagono - 5 lati = 7.268 Esagono - 6 lati = 6.928 Ottagono - 8 lati = 6.628 Dodecagono - 12 lati = 6.431 25 lati = 6.316 50 lati = 6.291 75 lati = 6.287 100 lati = 6.285 125 lati = 6.285 150 lati = 6.284 175 lati = 6.284 200 lati = 6.284 225 lati = 6.284 250 lati = 6.284 275 lati = 6.283 300 lati = 6.283 Si osservi ora con molta attenzione come varia il valore di cioè il rapporto tra il perimetro e lapotema del poligono regolare

21 Next Poligoni regolari da a lati 310.380 48.000 57.268 66.928 86.628 126.431 256.316 506.291 756.287 1006.285 1256.285 1506.284 1756.284 2006.284 2256.284 2506.284 2756.283 3006.283 Aumentando il numero dei lati il valore di diminuisce NON diminuisce fino a zero, ma si assesta attorno al valore 6.283 1853… Il valore 6.28 31853…, che chiameremo, viene raggiunto quando il poligono è formato da un numero grandissimo (infinito) di lati = 3.14 15927…

22 Next Come è fatto un poligono con un numero infinito di lati? ? È un poligono con i lati talmente corti che si possono considerare punti. Il POLIGONO è diventato una CIRCONFERENZA Poligoni regolari dal p alla Circonferenza

23 Next Cosa è lapotema di un poligono con un numero infinito di lati? ? Man mano che il lato si riduce il triangolino, formato dai due raggi e il lato, diventa sempre lungo e quindi anche la sua altezza, cioè l apotema, si allunga. raggio a a a a a Linee di riferimento Poligoni regolari dal p alla Circonferenza

24 Next Aumentando allinfinito il numero dei lati del poligono regolare … Poligoni regolari dal p alla Circonferenza …il poligono diventa una circonferenza …lapotema diventa lunga come il raggio: a = r apotema raggio …il rapporto 2 tra il perimetro e lapotema diventa uguale a 2 = 6.28 31853… :

25 Next Abbiamo così determinato la formula per calcolare la misura della lunghezza di una circonferenza Poligoni regolari Circonferenza circonferenza = 2 r

26 Next Per cerchio si intende la parte di piano racchiusa dalla circonferenza Poligoni regolari Cerchio

27 Next Ricordando che la misura della superficie di un poligono regolare è data dalla formula Poligoni regolari Cerchio A = p a per il cerchio posso scrivere cerchio = r semicirconferenza = = r 2 r / 2 = r 2

28 Next Circonferenza e Cerchio r 2 = 2 r


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