LEZIONE DEL 16 NOVEMBRE 2006 EUREKA! GIOCANDO.

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1 LEZIONE DEL 16 NOVEMBRE 2006 EUREKA! GIOCANDO

2 METTI ALLA PROVA LE TUE CAPACITÀ DI RAZIOCINIO

3 PER ORA ADOPERIAMO SOLO LA LOGICA

4 GIOCO DELLE TRE CARTE Ci sono tre carte davanti a voi; coperte, una accanto all'altra su un tavolo. Di queste tre carte due sono assi e una è un fante. Io so qual è il fante e quali sono i due assi, ma voi no. La sfida è che voi individuiate uno dei due assi, indicandomi, senza scoprirla, una delle tre carte e facendomi una sola domanda che ammetta una semplice risposta "si" oppure "no". La regola è che io risponderò il vero se voi (a vostra insaputa) avete indicato un asso, e che risponderò, invece, a caso il vero o il falso se voi (a vostra insaputa) avete indicato il fante.

5 SÌ CARTA 1 CARTA 2 CARTA 3 indico la carta 3
nella carta 2 c’è un asso? SOLUZIONE: nella carta 2 c’è certamente un asso.

6 NO CARTA 1 CARTA 2 CARTA 3 indico la carta 3
nella carta 2 c’è un asso? SOLUZIONE: nella carta 1 c’è certamente un asso.

7 SOLUZIONE "GIOCO DELLE TRE CARTE“
Si può ragionare come segue. Si indica ad es. la terza carta (quella in base alla quale io decido se mentire o dire la verità), e si chiede: la carta al centro è un asso? Se la terza carta è un asso io devo essere sincero. Quindi, se la carta centrale è un asso, dirò “si”, altrimenti dirò “no”. Si sceglie la seconda carta se ho detto si, la prima se ho detto no. Se invece la terza carta è un fante, io posso scegliere se mentire o essere sincero, ma le altre due carte sono entrambe assi. Quindi, si sceglierà la seconda carta se ho detto si, la prima se ho detto no. Il risultato non cambia perché in questo caso sia la seconda che la prima sono assi.

8 A F SPIEGAZIONE SCHEMATIZZATA
Si può ragionare anche come segue SPIEGAZIONE SCHEMATIZZATA Nella tabella sono descritti i casi possibili A=asso F=fante Carta 1 Carta 2 Carta 3 A F Caso I Caso II Caso III Se rispondo ‘sì’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso III, quindi devi scegliere la carta 2 Se rispondo ‘no’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso II, quindi devi scegliere la carta 1 PORZIA

9 nella carta 2 c’è un fante?
SÌ Si può fare anche una domanda diversa e indicare una qualunque delle tre carte CARTA 1 CARTA 2 CARTA 3 indico la carta 3 nella carta 2 c’è un fante? SOLUZIONE: nella carta 1 c’è certamente un asso.

10 nella carta 2 c’è un fante?
NO CARTA 1 CARTA 2 CARTA 3 indico la carta 3 nella carta 2 c’è un fante? SOLUZIONE: nella carta 2 c’è certamente un asso.

11 SPIEGAZIONE SCHEMATIZZATA
A=asso F=fante Carta 1 Carta 2 Carta 3 A F Caso I Caso II Caso III Se rispondo ‘sì’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso II, quindi devi scegliere la carta 1. Se rispondo ‘no’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso III, quindi devi scegliere la carta 2.

12 IL MISTERO DEGLI SCRIGNI DI PORZIA
Nel Mercante di Venezia di Shakespeare, Porzia aveva tre scrigni, uno d’oro, uno d’argento e uno di piombo e in uno c’era il suo ritratto. Il pretendente di Porzia doveva scegliere uno scrigno e se fosse stato tanto fortunato, o tanto saggio, da scegliere quello con il ritratto, avrebbe avuto diritto alla mano di Porzia. Sul coperchio di ogni scrigno c’era un’iscrizione che aveva lo scopo di aiutare il pretendente a scegliere correttamente. IL RITRATTO E’ IN QUESTO SCRIGNO A: Scrigno d’oro IL RITRATTO NON È IN QUESTO SCRIGNO B: Scrigno d’argento IL RITRATTO NON È NELLO SCRIGNO D’ORO C: Scrigno di piombo Porzia dava, inoltre, un’altra indicazione: delle tre affermazioni una sola era vera.

13 SOLUZIONE SCRIGNI DI PORZIA
Per arrivare ad una soluzione ragionata, e non tentare la fortuna, il pretendente di Porzia non poteva fare altro che procedere nel seguente modo: Se il ritratto fosse stato dentro il primo scrigno due affermazioni risultavano vere: la A e la B, contraddicendo la premessa di Porzia ; Se il ritratto fosse stato nel terzo scrigno ci sarebbero state pure due affermazioni vere: la B e la C, contraddicendo anche in questo caso la premessa di Porzia. Solo nel caso in cui si suppone che il ritratto sia nello scrigno d’argento non si contraddice l’ ipotesi iniziale, e cioè si ha che una sola affermazione è vera: l’affermazione C.

14 DRACULA Tutti hanno paura di Dracula Dracula ha paura soltanto di me
Quindi io sono Dracula. Sembra una barzelletta ma invece è un ragionamento corretto, la conclusione segue necessariamente dalle premesse. Perché?

15 Conseguenza della prima affermazione:
SOLUZIONE DRACULA Conseguenza della prima affermazione: se tutti hanno paura di DRACULA anche DRACULA ha paura di se stesso. Conseguenze della seconda osservazione: se DRACULA ha paura solamente di me, allora ha paura di una sola persona, ma siccome ha paura anche di se stesso, io e DRACULA dobbiamo necessariamente coincidere, essere cioè la stessa persona.

16 Ma Dracula ha paura soltanto di me
giuliana giovanni mario alberto marinella antonio DRACULA IO luca … giuseppe Tutti hanno paura di Dracula Ma Dracula ha paura soltanto di me COSÌ NON PUÒ ESSERE, IO e DRACULA NON POSSIAMO ESSERE DISTINTI DRACULA AVREBBE PAURA DI SE STESSO E DI ME E NON SOLO DI ME COME È INVECE IPOTIZZATO

17 LE ETICHETTE SCAMBIATE
Immaginate di avere tre scatole, in una ci sono due biglie nere, in un’altra due bianche, e nella terza una biglia nera e una bianca. Le scatole hanno un’etichetta che indica il loro contenuto: NN, BB, BN. Qualcuno però ha mischiato le etichette, quindi il contenuto delle scatole non risponde più, in nessuno dei tre casi, a quanto indicato. Potete prendere una sola biglia alla volta da ogni scatola, senza guardarci dentro, e attraverso questo procedimento dovete stabilire il contenuto delle tre scatole. Qual è il minor numero di volte che dovrete pescare nelle scatole per stabilire quanto richiesto?

18 LE SEGUENTI INFORMAZIONI
INIZIALMENTE ABBIAMO LE SEGUENTI INFORMAZIONI Dato che le etichette non corrispondono al contenuto in nessun caso N N 2 qui le biglie possono essere BB o BN B N 3 qui le biglie possono essere NN o BB B B 1 qui le biglie possono essere NN o BN ORA RAGIONIAMO

19 UTILIZZIAMO LE INFORMAZIONI CHE ABBIAMO
NN o BN 1 BB o BN 2 NN o BB 3 Se si pesca nella 1 o nella 2, non si ottiene, nel caso più sfortunato (cioè pesco una nera dalla 1 e una bianca dalla 2), alcuna nuova informazione. Se invece sono fortunata e pesco ad es. una B nella 1, allora posso concludere che nella scatola 1 ci sono una B e una N. Ma devo considerare il caso più sfortunato se voglio risolvere veramente il problema.

20 NN o BN BB o BN NN o BB 1 2 3 Se invece pesco, come prima e unica mossa, dalla 3, in ogni caso risolvo il problema: se quella che pesco è bianca allora nella 3 si ha BB, se è nera allora nella 3 si ha NN Da questa ulteriore informazione che acquisisco, viene determinato anche che cosa c’è nelle altre due: se nella 3 c’è BB allora nella 2 non può che esserci BN e nella 1 non può che esserci NN. Se nella 3 c’è NN allora nella 1 c’è BN e nella 2 c’è BB.

21 SINTESI SOLUZIONE ETICHETTE SCAMBIATE
Basta pescare una volta sola. E precisamente dalla scatola con scritto BN. Infatti se la biglia è bianca allora nella scatola devono esserci due biglie bianche. Nella scatola NN deve esserci una bianca e una nera Nella scatola BB devono esserci le due nere. Bisogna infatti tenere presente che nessuna etichetta corrisponde all’ esatto contenuto della scatola.

22 Chi viene incriminato dall’ispettore Craig?
IL FURTO Il signor Mc Gregor, negoziante di Londra, telefonò a Scotland Yard denunciando un furto nel suo negozio. Tre individui sospetti A, B e C furono fermati per essere interrogati. Si accertarono i seguenti fatti Ognuno dei tre uomini A B C era stato nel negozio il giorno del furto, e nessun altro vi era stato quel giorno. Se A era colpevole aveva avuto esattamente un complice. Se B è innocente lo è anche C. Se i colpevoli sono proprio due allora A è uno di essi. Se C è innocente lo è anche B. Chi viene incriminato dall’ispettore Craig?

23 SOLUZIONE DI IL FURTO Dalla 3 e dalla 5 si può dedurre che B e C o sono ambedue colpevoli o non lo sono nessuno dei due. Dalla 2 si deve dedurre che se A non ha avuto un complice, e uno solo, allora non è colpevole. Dalla 4 si deve dedurre che non possono esserci due colpevoli senza che A sia uno di essi. Si suppone inoltre che Mc Gregor non sia d’accordo con nessuno dei tre e che gli estranei sospettabili possono essere solo A B C.

24 QUINDI B e C non possono essere ambedue colpevoli, perché se i colpevoli sono due A dovrebbe essere uno dei due. Non possono essere colpevoli tutti e tre perché A non può avere più di un complice, se è colpevole. Quindi B e C sono ambedue innocenti. A non può essere colpevole perché dovrebbe avere uno ed un solo complice, e il complice non può che essere o B o C. Dall’ispettore viene incriminato Mc Gregor il negoziante, aveva mentito per ricevere i soldi dell’assicurazione.

25 CHI MENTE E CHI DICE IL VERO?
Un esploratore si è ritrovato in una regione abitata da due tribù: i membri di una mentono sempre, i membri dell’altra dicono sempre la verità. Egli incontra due indigeni: “Sei uno di quelli che dicono la verità?” chiede a quello più alto. “Guum” risponde l’indigeno. “Volere dire “sì” risponde l’indigeno più basso, che parla la lingua dell’esploratore, “ma lui stare grande bugiardo”. A quale tribù appartiene ognuno dei due?

26 SOLUZIONE CHI MENTE E CHI DICE IL VERO
Prima cosa da notare è che l’indigeno più alto non può che rispondere sì, a qualunque tribù appartenga (NB: supponiamo che l’indigeno capisca la domanda anche se però non parla la lingua dell’esploratore). Se è un bugiardo l’indigeno più alto deve dire il falso, quindi alla domanda “Sei uno di quelli che dicono la verità?” deve rispondere sì, se è uno che dice la verità alla stessa domanda deve rispondere comunque sì. L’indigeno più basso ha detto la verità quindi sull’indigeno più alto, e appartiene alla tribù di coloro che dicono il vero e quello più alto alla tribù dei bugiardi. (Si suppone che se dice la verità deve dire il vero in ogni singola affermazione, e se dice il falso deve essere falsa ogni singola affermazione.)

27 Si potrebbe ragionare anche in un altro modo
L’indigeno più basso potrebbe aver detto il falso perché, anche se è vero che il più alto ha detto sì, potrebbe essere falso che è un bugiardo e quindi la situazione si ribalterebbe. La frase “ha detto sì ma lui stare grande bugiardo” potrebbe essere considerata una frase falsa infatti anche se è falsa solamente la seconda delle due affermazioni. Quindi il più basso potrebbe aver detto il falso e il più alto la verità.

28 Un’altra possibile interpretazione
L’indigeno alto non capisce che cosa gli dice l’esploratore se non è in grado di rispondere sì in inglese, quindi il suo “Guum” significava qualcosa come “non capisco”. Di conseguenza l’indigeno basso ha detto il falso quando ha affermato che il suo compagno alto aveva risposto sì. L’indigeno basso apparteneva quindi alla tribù dei bugiardi, e quello alto invece era uno che diceva la verità.

29 UOMINI E CAPPELLI Tre uomini A B C vengono bendati e viene detto loro che su ognuno di essi verrà posto un cappello rosso o verde. Dopo che ciò viene fatto, la benda viene tolta; agli uomini viene chiesto di alzare una mano se vedono un cappello rosso e di uscire dalla stanza appena sono certi del colore del proprio cappello. Si dà il caso che tutti e tre i cappelli siano rossi e tutti e tre gli uomini alzino la mano. Passano diversi minuti sino a che C, che è più astuto degli altri, esce dalla stanza. Come ha fatto a dedurre il colore del suo cappello?

30 SOLUZIONE UOMINI E CAPPELLI
Hanno tutti e due il cappello rosso e hanno alzato ambedue la mano A C B

31 Hanno tutti e due il cappello rosso e hanno alzato ambedue la mano

32 Hanno tutti e due il cappello rosso e hanno alzato ambedue la mano

33 C B A Tutti e tre vedono che tutti e tre alzano la mano
Dopo un po’ C esce perché ha capito il colore del suo cappello A B C Infatti C ha ragionato così: se il mio cappello fosse verde, allora A e anche B avrebbero dovuto immediatamente capire il colore del loro cappello, perché sia B che A hanno visto almeno un cappello rosso ed essendo il mio verde il loro doveva essere rosso.

34 RIVEDIAMO QUELLO CHE C PENSA: “SE IL MIO CAPPELLO FOSSE VERDE …”
Hanno un cappello rosso e uno verde e hanno alzato tutti e due la mano A C B

35 Hanno un cappello rosso e uno verde e hanno alzato tutti e due la mano
B C

36 Se il mio cappello fosse stato verde, sia A che B avrebbero dovuto immediatamente capire che il loro cappello non poteva che essere rosso, altrimenti non avremmo potuto tutti e tre alzare la mano affermando di avere visto almeno un cappello rosso C

37 Se non l’hanno fatto è perché il mio cappello è rosso, e ci voleva una ulteriore riflessione per poter capire che in questo caso i cappelli non potevano che essere tutti e tre rossi. Io sono stato più veloce C

38 CHI E’ L’INGEGNERE? Smith, Jones e Robinson sono l’ingegnere il frenatore e il fuochista di un treno, ma non sono elencati esattamente in questo ordine. Sul treno vi sono tre passeggeri con gli stessi tre nomi, identificati nelle premesse seguenti mediante un “Sig.” anteposto ai nomi.

39 CHI E’ L’INGEGNERE? Il Sig. Robinson vive a Los Angeles.
Il frenatore vive ad Omaha. Il Sig. Jones ha da parecchio tempo dimenticata tutta l’algebra imparata nelle scuole superiori. Il passeggero che ha lo stesso nome del frenatore vive a Chicago. Il frenatore ed uno dei passeggeri, un eminente fisico matematico, frequentano la stessa chiesa. Smith batte il fuochista al biliardo I tre passeggeri vivono in città diverse CHI E’ L’INGEGNERE?

40 CHI E’ L’INGEGNERE? Il Sig. Robinson vive a Los Angeles.
Il frenatore vive ad Omaha. Il Sig. Jones ha da parecchio tempo dimenticata tutta l’algebra imparata nelle scuole superiori. Il passeggero che ha lo stesso nome del frenatore vive a Chicago. Il frenatore ed uno dei passeggeri, un eminente fisico matematico, frequentano la stessa chiesa. Smith batte il fuochista al biliardo I tre passeggeri vivono in città diverse CHI E’ L’INGEGNERE?

41 Utilizziamo due tabelle per risolvere il problema
1 1 SIG. SMITH SMITH 1 1 SIG. JONES JONES 1 SIG. ROBINSON ROBINSON LOS ANGELES OMAHA INGEGNERE FRENATORE FUOCHISTA CHICAGO In una cella va inserito 1 se la combinazione è ammessa dalle premesse, 0 in caso contrario.

42 1 SMITH È L’INGEGNERE INGEGNERE 1 SMITH SIG. SMITH SIG. JONES JONES
1 SMITH SIG. SMITH SIG. JONES JONES ROBINSON SIG. ROBINSON LOS ANGELES OMAHA CHICAGO INGEGNERE FRENATORE FUOCHISTA SMITH È L’INGEGNERE

43 PROPRIETÀ DI NUMERI E DI FIGURE E SEMPRE E SOPRATTUTTO LA LOGICA
ORA CALCOLIAMO E UTILIZZIAMO ANCHE PROPRIETÀ DI NUMERI E DI FIGURE E SEMPRE E SOPRATTUTTO LA LOGICA

44 LA BANDIERA DEL CIRCOLO
(calcolo combinatorio) In quanti modi diversi si può colorare la bandiera facendo in modo che i due rettangoli dello stesso colore non abbiano lati in comune A B C D

45 SOLUZIONE LA BANDIERA: primo modo
I rettangoli dello stesso colore devono essere o A e D, o B e C. Una volta scelta la diagonale, i rettangoli sull’altra diagonale devono essere di colore diverso. 3 modi diversi per colorare A e D, per ognuno di questi 3 modi ce ne sono altri due per colorare, con colori diversi B e C, e sono così 6 possibilità; ce ne sono poi altri 6 se si sceglie di colorare con colore uguale l’altra diagonale B C. A B C D 12 MODI DIVERSI

46 SOLUZIONE LA BANDIERA: secondo modo
I rettangoli dello stesso colore devono essere A e D, oppure B e C. Posso pensare di colorare tre caselle in modo diverso: per colorare la prima delle tre ho 3 modi diversi, per ognuno di questi ho due modi per colorare la seconda e infine un solo modo per colorare la terza (3! =3x2x1 modi diversi). Devo poi moltiplicare per 2 dato che posso colorare A B D in modo diverso e poi C con lo stesso colore di B, oppure A B C in modo diverso e poi D con lo stesso colore di A. A B C D 12 MODI DIVERSI

47 (soprattutto logica e scomposizione di un numero)
L'ETÀ DELLE FIGLIE (soprattutto logica e scomposizione di un numero) Un intervistatore bussa alla porta di una casa dove è atteso da una signora. La signora gli apre e lui chiede: "Quanti figli ha?“ "Ho tre figlie." gli risponde la donna.“ "Età?“ "Il prodotto delle età è 36 e la somma è uguale al numero civico di questa casa.“ "Buon giorno e grazie.“ L'intervistatore se ne va, ma dopo un po' ritorna e le dice: "I dati che mi ha fornito non sono sufficienti.“ La signora ci pensa un po' e replica: “È vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri.“ Con questo dato l'intervistatore può conoscere l'età delle tre figlie. Quanti anni hanno?

48 Possibili terne di età prodotto somma 1 36 38 2 18 21 3 12 16 4 9 14 6 13 10 11 Le figlie hanno rispettivamente 2, 2, 9 anni. Vediamo di capire perché. Noi non conosciamo il numero civico della casa, quindi dobbiamo trovare ed esaminare tutti i casi possibili. Visto che il prodotto è 36, le età potrebbero essere:

49 Se, ad esempio, il numero civico della casa fosse 14, non ci sarebbero problemi. L'unica terna di numeri interi che da come prodotto 36 e come somma 14 è 1, 4, 9. Come si vede dalla tabella, l'unica somma che dà origine ad ambiguità è 13, alla quale corrispondono due diverse terne, ciascuna delle quali prevede che due figlie sono gemelle. Ma la mamma ha precisato: "E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri.“ Da ciò si capisce che la maggiore non ha una gemella, ma è unica. Quindi possiamo dedurre che le tre figlie hanno 2, 2 e 9 anni.

50 (proprietà di figure geometriche, aree e similitudini)
QUESTIONE DI AREE (proprietà di figure geometriche, aree e similitudini) Emma e Giulio capitarono in un palazzo da Mille e una notte … il pavimento era costituito da mattonelle tutte uguali fra loro, a forma di triangolo equilatero. La sala stessa era pure un triangolo equilatero e il lato della sala era lungo 50 volte il lato di una mattonella.

51 “Chissà quante mattonelle ci sono volute per piastrellare questa sala”, disse Giulio… e si mise a contarle. Ma Emma, più avveduta di lui, gli ribattè: “Non ho voglia certo di stare qui fino a domani mattina a contare mattonelle. Piuttosto, cerchiamo di capire come funziona!” e, estratto il notes che usava portare sempre con sé, buttò là questi schizzi:

52 Questione di aree

53 LE PIETRE DA CONTA (calcolo delle probabilità: pagg di “S. Holmes e le trappole della logica”, Scienza e Idee) Invece delle tre pietre tombali ho tre carte: una interamente verde (le due facce numerate 1 e 2), una interamente rossa (3 e 4), una carta rossa da una parte e verde dall’altra (5 la rossa e 6 la verde). Supponiamo che il rosso indichi un regale e il verde un suddito. Bisogna trovare qual è la probabilità che la tomba venuta alla luce, con segni che indicano che è regale dalla parte venuta alla luce, sia regale anche dall’altra parte, perché solo in questo caso potremmo avere dei vantaggi a scavare. Bisogna sapere se conviene tentare la fortuna.

54 SOLUZIONE LE PIETRE DA CONTA
Sulle pietre tombali dei simboli indicavano i matrimoni tra regali, tra sudditi e tra sudditi e regali. La parte superiore della pietra aveva il simbolo del più vecchio della coppia, però non si era a conoscenza dell’età dei sepolti. Si potrebbe pensare che ci sia il 50% di probabilità che l’altra faccia della pietra sia di un regale o di un suddito, dato che la scelta è solo tra queste due possibilità. Ma ragioniamo come segue.

55 I numeri sulle carte servono solo a noi per capire meglio.
1 2 Pietra tombale di due coniugi sudditi 3 4 Pietra tombale di due coniugi regali 5 6 Pietra tombale di un matrimonio misto I numeri sulle carte servono solo a noi per capire meglio. Nel nostro caso dobbiamo escludere le carte 1 e 2, perché certamente la nostra tomba non è di due sudditi.

56 Possiamo ragionare come segue
3 4 Pietra tombale di due coniugi regali 5 6 Pietra tombale di un matrimonio misto Noi sappiamo che la parte venuta alla luce è regale, cioè rossa. È come se noi avessimo un’ urna con quattro biglie: 3 rosse e una verde. Abbiamo pescato una rossa. Qual è la probabilità che anche la seconda che pesco dall’urna sia rossa?

57 Essendo rimaste nell’urna due biglie rosse e una verde,
la probabilità di pescare una rossa è di 2/3 (~67%), e non di 1/2 (50%). È quindi conveniente scavare.

58 3 4 4 3 5 6 Possiamo ragionare anche come segue:
consideriamo le varie coppie che possiamo avere 3 4 4 3 5 6 Se quello venuto alla luce è il lato 3 allora il rovescio sarà il 4 rosso. Se quello venuto alla luce è il lato 4 allora il rovescio sarà il 3 rosso. Se quello venuto alla luce è il lato 5 allora il rovescio sarà il 6 verde. Quindi la probabilità che la pietra che fuoriesce dalla collina sia interamente regale non è di 1/2 ma di 2/3.

59 MAGIA CON LE MATRICI 19 8 11 25 7 12 1 4 18 16 5 22 21 10 13 27 9 14 3 6 20 2 sembra una tabella con numeri messi a caso, invece possiede proprietà che si potrebbero definire magiche!!!

60 COME SI GIOCA? Scegli un numero della tabella a caso, per esempio 22 19 8 11 25 7 12 1 4 18 16 5 22 21 10 13 27 9 14 3 6 20 2 Elimina tutti gli altri numeri della stessa riga e colonna Continua allo stesso modo per quattro volte, ad esempio scegli, tra i numeri scoperti, 10, 2, 11. Dopo aver eliminato tutte le righe e colonne corrispondenti ai numeri scelti a caso, ti resta ancora il 12. La somma dei numeri rimasti, per qualunque scelta dei numeri, è sempre la stessa, 57, e chi propone il gioco la conosce a priori.

61 SOLUZIONE MAGIA CON LE MATRICI
La matrice magica può essere generata come somma dei numeri delle celle rosa. Con il procedimento precedente ci assicuriamo un solo numero per ogni riga e colonna. Ognuno di quei numeri è la somma dei due corrispondenti nelle celle rosa. Quindi la somma dei numeri rimasti sarà proprio la somma dei numeri delle celle rosa che avevano generato la matrice. 11 3 17 -1 8 19 25 7 1 12 4 18 5 16 22 10 21 13 27 9 14 6 20 2 La stessa matrice può essere generata da insiemi diversi di numeri di qualunque tipo.

62 LA STESSA MATRICE GENERATA DA ALTRI NUMERI
1 -10 -7 7 -11 18 19 8 11 25 12 4 15 16 5 22 20 21 10 13 27 9 14 3 6 2 10 -1 2 16 -2 9 19 8 11 25 7 12 1 4 18 6 5 22 21 13 27 14 3 20

63 UNA CURIOSITÀ: UN QUADRATO
PALINDROMO E MUSICALE S A T O R E P N Il compositore viennese Alban Berg, degli anni del Novecento, lo utilizzava per le sue composizioni.

64 UN ARTISTA STRAVAGANTE
artifizi e sorprese con i numeri Un artista decide di costruire una piramide nel modo indicato in figura: il lato inizialmente è lungo 1, e poi 1/2, 1/3, 1/4 e via di seguito. Il laboratorio in cui la piramide viene costruita ha un soffitto alto 3m. Quanti cubi posso mettere uno sopra l’altro? L’artista dispone di un quantitativo di vernice dorata sufficiente per dipingere 3m2. Basterà per dipingere una sola delle facce dei vari cubi sovrapposti? l = 1/3 A=1/9 A=1/4 l = 1/2 lato = 1 Area =1

65 Che possiamo scrivere nel seguente modo:
Il calcolo che deve fare l’artista per l’altezza della piramide è il seguente: Che possiamo scrivere nel seguente modo:

66 Si vede con chiarezza che 16 cubi superano l’altezza di 3m.
Se il numero dei cubi cresce all’infinito (n = 2k cubi) anche l’altezza della piramide cresce all’infinito. Infatti se esprimiamo il numero dei cubi mediante una potenza di 2, con k-esponente numero naturale, otteniamo che l’altezza si può esprimere nel modo seguente: Se cresce n, e quindi cresce 2k, cresce anche l’esponente k

67 1 5 25= 32 … n = 2k k n = numero dei cubi

68 La superficie da dipingere sarà:
Che si può scrivere come segue: Ma i termini dell’addizione si possono scrivere così

69 Se la piramide ha 5 cubi uno su l’altro, il calcolo è il seguente
Se la piramide ha n cubi uno su l’altro, il calcolo è il seguente Quindi, a differenza dell’altezza, la superficie si mantiene sempre più piccola di 2 m2, la vernice è più che sufficiente quindi, ma dovrà fare attenzione al soffitto...

70 INGANNI MATEMATICI

71 IL PARADOSSO DI HILBERT
Il paradosso di Hilbert del celeste locandiere e l’incredibile miracolo dell’astuto oste terreno IL PARADOSSO DI HILBERT Il direttore di un albergo celeste dotato di un numero infinito di stanze, tutte occupate, vuole sistemare un nuovo cliente. Egli vi riesce spostando ogni occupante di una stanza in quella di numero immediatamente successivo, lasciando libera così la stanza numero 1. Cosa può fare se arriva un numero infinito di nuovi ospiti? L’impassibile direttore sposta semplicemente ogni occupante di una stanza in quella avente il numero doppio corrispondente:

72 IL MIRACOLO DELL’OSTE TERRENO
il cliente della stanza 1 va nella 2, quello della stanza 2 va nella 4, quello della stanza 3 va nella 6 e così via. Questo rende libere tutte le stanze di numero dispari, in cui tutti i nuovi clienti potranno trovare posto. IL MIRACOLO DELL’OSTE TERRENO Ma è realmente necessario che il numero delle stanze occupate sia infinito per poter sistemare i nuovi clienti? La canzoncina che segue, tratta da una rivista inglese della fine del secolo XIX, racconta come un abile locandiere che disponeva di 9 stanze libere non ebbe difficoltà a provvedere di alloggi singoli ognuno dei 10 viaggiatori.

73 Dieci stanchi viaggiatori piè piagati ed ossa rotte,
eran giunti a una locanda Che già cupa era la notte. Nove stanze, non di più – disse l’oste, - posso offrire. solo in otto il letto è singolo, L’altra a due dovrà servire - Qui successe un parapiglia, una cosa da ammattire, ché nessun di quei signori in due insiem volea dormire. L’oste in dubbio, era un furbone, alla svelta si sbrigò e per far piacere agli ospiti ecco cosa ti pensò.

74 ed il terzo alloggiò in B; assegnato il quarto in C,
Due di quelli mise in A ed il terzo alloggiò in B; assegnato il quarto in C, ritirossi il quinto in D. In E il sesto e in F poi anche un altro sistemò; in G e in H ottavo e nono. Indi ad A se ne tornò, dove aveva, come dissi, due clienti a sistemare e uno di essi, il dieci, infine in I fece traslocare. Nove stanze a letto singolo fece a dieci allor bastare ed è questo che me e molti ancor fa meravigliare.

75 Qualsiasi numero a può essere uguale ad un numero minore b, trova l’errore.

76 L’errore sta nella divisione per 0, che si fa dal passaggio 5) al passaggio 6). Dato che a = b+c si ha che a-b-c = 0. ESEMPIO: a=7 e b=5 e c=2. In 6) si ottiene 7*0=5*0 che è un’uguaglianza vera, ma se divido per 0 ottengo 7 = 5 che è falsa. Se c è un numero positivo allora a>b, es: 7=5+2 Se a>b non può essere a=b

77 La manipolazione del numero immaginario i (i2=-1) presenta molti trabocchetti

78 nel passaggio da 2) a 3) c’è l’errore. Infatti:

79 Giochi tratti da soluzioni personalmente rielaborate
ENIGMI E GIOCHI MATEMATICI Martin Gardner, Rizzoli QUAL È IL TITOLO DI QUESTO LIBRO? Raymond Smullyan, Zanichelli LA MATEMATICA NELLA REALTÀ Castelnuovo / Gori Giorgi / Valenti, La Nuova Italia DA VARI SITI INTERNET SHERLOCK HOLMES E LE TRAPPOLE DELLA LOGICA Colin Bruce, Scienza e Idee soluzioni personalmente rielaborate