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GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. CASALINO MARIA. UNITA 1 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI.

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Presentazione sul tema: "GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. CASALINO MARIA. UNITA 1 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI."— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. CASALINO MARIA

2 UNITA 1 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

3 GEOMETRIA Può essere INTUITIVARAZIONALE

4 INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI

5 RAZIONALE Parte da CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI Definiti mediante

6 CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI NUOVI ENTI NUOVE PROPRIETA (TEOREMI) Da cui si deducono Mediante definizioni Mediante dimostrazioni

7 DALLA GEOMETRIA INTUITIVA ALLA GEOMETRIA RAZIONALE

8 Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente Assiomi o postulati Proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo

9 Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di : COMPATIBILITA (non devono contraddirsi luno con laltro) INDIPENDENZA (dalle proprietà affermate delluno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dellaltro)

10 ENTI GEOMETRICI PRIMITIVI Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTI RETTE PIANI

11 ALCUNE DEFINIZIONI SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Il punto è detto : origine delle semirette

12 SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano

13 Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento dellaltro ( 180 °) Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°) ANGOLI PARTICOLARI

14 Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati delluno sono i prolungamenti dellaltro

15 a b Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, laltro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore. a < b

16 Angolo acuto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

17 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA S.I.S.S.I.S. - Sezione di Catania Indirizzo 1 Scienze naturali Classe A059 A.A. 2006/2007 – VIII Ciclo Disciplina: Laboratorio didattico di matematica Docente: Prof. Angelo Lizzio Specializzando: Dott. Salvatore Gulizia Libro di testo assegnato: Mario Mariscotti Matematica Oggi Petrini Editore Argomento: ANGOLI E LORO MISURA

18 GLI ANGOLI E LA LORO MISURA La trattazione del concetto geometrico di angolo viene affrontata nella 1° classe della Scuola Media inferiore. Questo argomento, che può risultare alquanto ostico per i ragazzi, deve essere sviluppato con grande professionalità da parte del docente, in quanto è proprio nellapproccio offerto e nelle metodologie didattiche adoperate che si fonda la qualità di apprendimento degli alunni. Diversi autori di libri di testo trattano questi argomenti, affrontando, da un punto di vista didattico, problematiche legate al concetto di angolo, alle definizioni ed alla misura. Prima di esporre la trattazione dellargomento, è indispensabile fare un richiamo alle indicazioni ministeriali che riguardano, più o meno esplicitamente, il tema e i contenuti riferiti al tema in esame.

19 INDICAZIONI MINISTERIALI Scienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali Programmi Ministeriali del 1979 Suggerimenti metodologici Attività sperimentale. Il processo di avviamento al metodo scientifico proposto agli alunni dovrà rispettare i tempi e le modalità di apprendimento caratteristici della loro età: dovrà quindi muovere da ciò che può stimolare la loro curiosità e la loro intuizione, da esperienze facilmente comprensibili, dalla operatività, e indirizzare alla sistematicità, grazie alla progressiva maturazione dei processi astrattivi. [….] Indicazioni per la matematica Obiettivi. Nellambito degli obiettivi enunciati nella premessa agli insegnamenti, linsegnamento della matematica si propone di: -suscitare un interesse che stimoli le capacità intuitive degli alunni; -sollecitare ad esprimersi e comunicare in un linguaggio che, pur conservando piena spontaneità, [….] Suggerimenti metodologici Per il conseguimento degli obiettivi predetti, si farà ricorso ad osservazioni, esperimenti, problemi tratti da situazioni concrete, così da motivare lattività matematica della classe, fondandola su una sicura base intuitiva. Verrà dato ampio spazio allattività di matematizzazione intesa come interpretazione matematica della realtà nei suoi vari aspetti (naturali, tecnologici, economici, linguistici) con la diretta partecipazione degli allievi. [….] ____________________________________________________________________________ _____ TEMI CONTENUTI RIFERITI AI TEMI 1) La geometria prima rappresentazione a) dagli oggetti ai concetti geometrici: del mondo fisico. studio delle figure del piano e dello spazio a partire da modelli materiali. b) Lunghezze, aree, volumi, angoli, e loro misura [….]

20 UNITA DIDATTICA TITOLO: Angoli e loro misura ANNO: 1° TEMA: La geometria prima rappresentazione del mondo fisico PREREQUISITI: Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria. OBIETTIVI Conoscenze - Esprimere le proprietà degli angoli. - Conoscere e classificare i vari tipi di angoli. Abilità - Riconoscere gli angoli e saperli confrontare. - Operare con gli angoli. CONTENUTI - Definizione di angolo. - Classificazione degli angoli e loro misura. - Operazione con gli angoli.

21 METODI: Fase 1: Test iniziale. Sottoporre gli alunni ad un test per valutare il possesso dei prerequisiti richiesti Considerato che gli angoli e la loro misura fanno parte delle nozioni fondamentali della geometria da affrontare allinizio del 1° anno di scuola media, il docente, prima di trattare lunità di apprendimento, dovrà verificare il grado di conoscenza che gli alunni hanno dalla scuola primaria. Tale verifica, per esempio, viene fatta proponendo agli alunni appositi esercizi, attraverso una apposita scheda.

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23 CONCETTO DI ANGOLO Langolo è uno dei concetti geometrici tra i più delicati e complessi, per gli aspetti diversi ad esso concorrenti ma discordanti che ne rendono problematico lapprendimento. Innanzitutto diamo la definizione di un angolo: Langolo è ciascuna delle due parti in cui un piano risulta diviso da due semirette che hanno lorigine in comune. Le due semirette OA e OB si considerano appartenenti a ciascuno dei due angoli e si chiamano lati dellangolo; la loro origine comune O si dice vertice dellangolo. Per indicare un angolo possiamo usare notazioni diverse: AOB aOb O Prendiamo una semiretta e facciamole compiere una rotazione intorno alla sua origine O.Possiamo quindi dare una seconda definizione di angolo: Langolo è la parte di piano generata da una semiretta che ruota intorno alla sua origine. Nel dare la seconda definizione di angolo si è fatto ricorso al concetto di rotazione. E opportuno segnalare agli alunni che ogni rotazione può avvenire in due versi fra loro opposti: Verso orario è quello che avviene secondo il movimento delle lancette dellorologio. Verso antiorario: è quello opposto al movimento delle lancette dellorologio

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26 Solitamente in paesi come lItalia, in cui linsegnamento della geometria euclidea ha una tradizione consolidata, lapproccio della geometria avviene a partire dagli elementi fondamentali e sin dallinizio viene data la definizione di angolo come parte del piano delimitata da semirette aventi la stessa origine, di tipo statico, prescindendo dal considerare esperienze che possano giustificare agli occhi dellallievo lintroduzione di questo concetto matematico. Questa introduzione formale e il tipo di rappresentazioni cui si fa ricorso producono spesso nellallievo unacquisizione del concetto di angolo, e di altri ad esso relativi, poco chiara e distorta.

27 Invece, in paesi di area inglese, che promuovono una matematica realistica, ossia che punta alla matematizzazione del reale a partire dallosservazione di situazioni pratiche, si ha un approccio del concetto di angolo sullosservazione dei corpi in movimento rotatorio e sulla rappresentazione grafica di tali movimenti. Laspetto di tale concetto che prevale è di tipo dinamico ed allude a quello di angolo orientato.

28 Le due impostazioni, entrambe poggiate sullintuizione, riflettono due aspetti diversi del concetto di angolo, uno statico che prescinde dallorientamento nel piano, laltro dinamico che viceversa è legato ad esso. Nel 1° caso, proprio per la mancanza dellorientamento del piano, ci si scontra con la difficoltà, date due semirette concorrenti, di avere individuati nel piano due angoli e questo comporta limmediata definizione di angolo convesso o concavo. Nel 2° caso, invece, si determina un angolo che è unicamente individuato dal verso con cui si suppone che la retta ruoti.

29 STUDI SULLINSEGNAMENTO-APPRENDIMENTO DEL CONCETTO DI ANGOLO Recentemente da parte dei ricercatori si rileva una certa attenzione ai problemi di insegnamento-apprendimento che il concetto di angolo comporta ed è interessante osservare come tali ricerche siano correlate alla cultura geometrica del paese in cui sono realizzate. Per esempio: Laustriaco Krainer (1991) sostiene che da un punto di vista intuitivo si rilevano diverse concezioni di angolo: angolo come spazio, angolo come uninclinazione, angolo come una rotazione, concezioni che, egli sostiene, non possono essere incluse tutte in una definizione. Mitchelmore (1989), ricercatore di scuola tedesca, sottolinea lincapacità degli allievi di confrontare angoli in posizioni diverse nel piano e raccomanda sin dalla scuola elementare un approccio operativo agli angoli. Sostiene di prendere in considerazione figure con angoli non convessi e di introdurre rappresentazioni che suggeriscano lidea di angolo come regione piana illimitata. Inoltre, sottolinea la necessità di affrontare nello stesso tempo esperienze informali sulla rotazione e suggerisce luso di rappresentazioni di angoli di rotazione sul modello orologio.

30 Magina e Hoyles (1991), seguendo la tradizione inglese, studiano lo sviluppo del concetto di angolo nei bambini dai 6 ai 15 anni sulla base di un piano di lavoro che comprende sia laspetto dinamico che laspetto statico di esso attraverso una serie di situazioni centrate sulla navigazione e rotazione (aspetto dinamico) e confronto di angoli (aspetto statico). Difficoltà generalmente rilevate nelle suddette ricerche riguardano i seguenti aspetti: 1)La mancanza di riconoscimento di angoli retti se in posizioni obliqua; 1)La presunta dipendenza dellampiezza di un angolo dalla lunghezza dei segmenti di retta che lo rappresentano.

31 LA TRATTAZIONE DEGLI ANGOLI NEI TESTI SCOLASTICI ITALIANI Da un esame di libri di testo italiani per la scuola media si rileva il prevalere di testi in cui il concetto di angolo è introdotto ex abrupto attraverso definizione e presentato nellaspetto statico: parte di piano originato da semirette aventi la stessa origine e successivamente come regione piana descritta da una semiretta che ruota intorno alla sua origine. Marginalmente, in due o tre di essi, si trovano evidenziati aspetti complementari, alcuni di approfondimento, quale la caratterizzazione dellangolo come intersezione o unione di semipiani, altri a sfondo esperienziale per lapproccio al concetto. Cè da osservare che generalmente nei testi non sono presenti riflessioni tra laspetto statico e laspetto dinamico dellangolo e comunque nelle successive attività prevale pesantemente il primo aspetto. Da un punto di vista didattico è opportuno un approccio al concetto da diversi punti di vista. E importante rilevare come vi siano testi, anche se non tra i più recenti, in cui si abbandona limpostazione tradizionale: inizialmente si esaminano solidi o figure piane, si opera su/con gli angoli presupponendoli noti, se pure a livello intuitivo, e solo in un secondo momento si ritorna su di essi per chiarirne il concetto; solitamente non vi è una definizione esplicita di angolo, ma si esaminano uno o più aspetti di esso che implicitamente lo caratterizzano.

32 DEFINIZIONI DI ANGOLI PARTICOLARI

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34 Si osserva come nei testi scolastici, una volta introdotto il concetto di angolo, si danno le definizioni di angoli speciali (nullo, giro, piatto, retto) e di angoli concavi e convessi. Alcuni testi introducono contemporaneamente agli angoli la loro misura, concetto attraverso il quale vengono definiti gli angoli speciali. Desidero fare presente che questa scelta, anche se da un punto di vista didattico appare economica, in realtà è culturalmente scorretta, essendo tali concetti indipendenti dalla misura. Un aspetto che andrebbe curato, a livello didattico, riguarda il controllo metacognitivo di quanto si legge ed apprende per mettere in luce eventuali improprietà o elementi tacitamente assunti, ad esempio in un testo come definizione di angolo retto si legge: Quando le due semirette sono perpendicolari formano un angolo retto, ma scorrendo il testo allindietro alla ricerca della definizione di rette perpendicolari si legge Due rette si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti.

35 Per quanto riguarda in particolare i concetti di angolo nullo e angolo giro occorre rilevare che se da un punto di vista statico possono ritenersi plausibili visti come caso limite, dal punto di vista dinamico non lo sono più tanto, se non si vuole sconfinare nel cosiddetto angolo generalizzato, ossia langolo che tiene conto e conserva memoria del movimento compiuto da una delle due semirette per sovrapporsi allaltra. Da un punto di vista matematico ciò che conta non è il movimento compiuto dalla semiretta che lo genera, ma le sue posizioni iniziale e finale e pertanto nei due casi ci si trova di fronte al medesimo angolo. Come già detto, le prime proprietà che si considerano in riferimento agli angoli sono la convessità e la concavità, e anche in tal caso si trovano sui testi definizioni diverse. In generale, si ritiene interessante per promuovere la riflessione negli allievi, lavorare sul confronto di definizioni diverse di una stessa cosa, analizzando su quali elementi si poggiano e le relative implicazioni. Cè da sottolineare inoltre che lo studio condotto nei testi e le rappresentazioni usate si riferiscono sempre ad angoli convessi e generalmente ciò è tacitamente assunto. Questa scelta, se pure limita le difficoltà dellallievo, di fatto produce un apprendimento parziale e poco consapevole dei casi generali.

36 MISURA DEGLI ANGOLI Confronto di due angoli Confrontare due angoli significa stabilire se due angoli dati sono congruenti o, se non lo sono, determinare qualè il maggiore. Per esempio, si vogliono confrontare due angoli AOB e AOB. Si possono presentare 3 casi:

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38 Addizione di angoli

39 Sottrazione di angoli

40 Bisettrice di un angolo

41 Angoli acuti e angoli ottusi

42 Angoli complementari, supplementari ed esplementari

43 Angoli opposti al vertice

44 Misura degli angoli Ogni angolo è caratterizzato da unampiezza che dipende dallapertura dei suoi lati. Lampiezza di un angolo è una grandezza e quindi misurabile. Per misurare un angolo dobbiamo scegliere ununità di misura e confrontarla con langolo dato. Lunità di misura è il grado, cioè langolo pari alla 360° parte dellangolo giro. Si dice grado langolo che è la trecentosessantesima parte dellangolo giro. Langolo nullo misura 0° Langolo retto misura 90° Langolo piatto misura 180° Langolo giro misura 360°

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46 Una delle questioni più importanti e spesso confusa nei testi riguarda il confronto e la congruenza (uguaglianza) di angoli, il concetto di ampiezza di un angolo e la relativa misura. Da un punto di vista didattico, a questo livello scolare, la strada che sembra più pertinente da percorrere sia quella di assumere come primitivo il concetto di ampiezza ed introdurre il concetto di angoli congruenti come angoli aventi la stessa ampiezza, dopo aver presentato il confronto di angoli ricorrendo alla sovrapponibilità (ideale) ottenuta per trasporto mediante movimento rigido: solitamente nei testi si ricorre a rappresentazioni grafiche opportune e si suggeriscono concretizzazioni di ciò utilizzando angoli ottenuti per ritaglio di fogli di carta trasparente. Difficilmente si sottolineano le differenze tra le operazioni concrete, le rappresentazioni ed i concetti astratti.

47 Nella maggioranza dei testi, che ricalcano linsegnamento tradizionale, si parla di somma di angoli; sarebbe invece più opportuno parlare di somma delle ampiezze (così come sarebbe più opportuno parlare di somma di lunghezze e non di somma di segmenti).

48 La misura dellampiezza di un angolo è, ovviamente, legata alla misura della circonferenza: losservanza dellinvarianza del rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza rispetto al raggio porta ad assumere questo rapporto come misura dellangolo che insiste sullarco; questo porta ad esprimere le misure degli angoli in termini di numeri reali dellintervallo (0,2 ). Il rapporto fra la lunghezza della circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante: C/d= Ricordando che langolo al centro di ampiezza 360° corrisponde a tutta la circonferenza, si ha che: C:l=360°: = (l*360°):C

49 Comunemente tuttavia la misura degli angoli viene espressa in gradi, sistema di antichissima origine, nato dallosservazione del moto apparente del sole attorno alla terra. Da un punto di vista didattico è opportuno giustificare agli allievi la genesi di tale sistema di misure, ma è bene non soffermarsi tanto. Strumento di misura degli angoli rispetto al sistema decimale è il goniometro e di esso ne esistono varie versioni, le più economiche non vanno oltre langolo piatto e per lo più sono graduate da sinistra verso destra, sottintendendo, come riferimento, il verso orario di rotazione. Questo cozza con le usuali rappresentazioni degli angoli che sottintendono il verso antiorario di rotazione e non fa che aggiungere ostacoli al già difficile problema del controllo della giusta collocazione dello strumento.

50 CONCLUSIONI Per verificare il grado di assimilazione degli argomenti da parte degli allievi, sono necessari appositi esercizi da proporre agli alunni. Per esempio: Esercizi di disegno geometrico con luso di riga e compasso: Bisettrice di un angolo dato Divisione di un angolo retto in 3 parti Divisione di un angolo piatto in 3 parti

51 SCHEDA - Ora che gli alunni sappiano disegnare e riconoscere angoli acuti, retti, ottusi, piatti e giro, cerchiamoli guardando fuori dalla finestra, nei disegni e nelle fotografie. - Il primo esercizio invita gli alunni a segnare gli angoli presenti, non tutti, ma solo 4 per tipo: possiamo farli segnare nel modo classico e cioè tracciando un arco che collega i due lati dellangolo. - il secondo esercizio, invece, chiede agli alunni di osservare bene le figure disegnate e di scrivere i tipi di angolo presenti allinterno della figura: il quadro ha tutti e quattro gli angoli retti, un cartello di pericolo stradale li ha tutti acuti, mentre laltro li ha ottusi. - Questa scheda permette di iniziare a fare una riflessione sui tipi di angolo maggiormente presenti negli oggetti che ci circondano.

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