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1 Le proiezioni e la prospettiva Daniele Marini. 2 Proiezioni piane Albrecht Dürer: la prospettiva da un punto di proiezione, la griglia come guida.

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1 1 Le proiezioni e la prospettiva Daniele Marini

2 2 Proiezioni piane Albrecht Dürer: la prospettiva da un punto di proiezione, la griglia come guida

3 3 La prospettiva Rinascimentale Piero della Francesca e la costruzione geometrica della prospettiva piana. Sistematizzata anche da Leon Battista Alberti: La costruzione legittima

4 4 Hans Holbein: Gli Ambasciatori non ci sono solo le proiezioni piane, questo e un esempio di proiezione obliqua anamorfica proiezioni cartografiche (la sfera sul piano): proiezione di piani su superfici parametriche (il texturing)

5 Schemi costruttivi

6 6 Classificazione delle proiezioni piane

7 7 prospettica parallela

8 8 Esempi di proiezioni sul piano

9 9 Proiezioni ortogonali

10 10 Proiezioni assonometriche

11 11 Al variare dellangolo tra proiettori e piano si hanno: 63,5° CABINET 30° o 45° CAVALIERA Proiezioni oblique

12 12 Proiezioni prospettiche a 3 punti di fuga a 2 punti di fuga a 1 punto di fuga - prospettiva centrale prospettive accidentali

13 13 Frames Il frame è un contesto di: – sistema di riferimento –e trasformazioni geometriche associate Usualmente si distinguono due frame principali: –World frame, nel quale si descrivono e rappresentano gli oggetti modellati –Camera frame, nel quale si definisce il sistema di riferimento necessario alla creazione della proiezione

14 14 Camera frame Quasi tutti gli ambienti e le librerie adottano la metafora della macchina fotografica: la formazione dellimmagine piana a partire dal modello 3D avviene con un principio di proiezione simile a quello della fotografia Lobiettivo non è modellato (foro stenopeico) Il sistema di riferimento del camera frame si assume fisso: –Origine al centro del fotogramma –X crescente a destra –Y crescente in verticale –Z entrante o uscente dalla macchina fotografica

15 15

16 16 Prospettiva canonica Camera frame orientato come il world frame Asse ottico coincidente con asse z, entrante nellobiettivo Per portare una scena nella configurazione canonica è necessaria una catena di trasformazioni da applicare conoscendo i parametri principali

17 17 I parametri di controllo PRP Projection Reference Point (si chiama anche centro di proiezione COP) View Plane VPN View Plane Normal VUP View UP DOP Direction of Projection (parallela) VRP View Reference Point CW center of the window

18 18 Orientare il piano di proiezione

19 19 Definire la viewport e la window

20 20 Definire il centro di proiezione

21 Camera model Con questi parametri si può modellare il comportamento di una macchina fotografica professionale con obiettivo e piano della pellicola basculanti

22 22 Simulazione macchina basculante configurazione base:prospettiva canonica guardiamo loggetto dal basso: linee cadentiruota il dorso attorno a x linee cadenti corrrette

23 23 Se la proiezione è parallela

24 24 Proiezioni e matrici Per risolvere con matrici le proiezioni ambientiamo sempre il problema nello spazio di coordinate omogenee 4D La configurazione chiamata canonica prevede: –piano di proiezione sul piano xy –centro di proiezione sullasse z positivo

25 25 view orientation matrixDati VPN, VUP si ottiene la view orientation matrix V La forma della V è ottenuta componendo: –V=TR con T traslazione nel VRP, –R rotazione opportuna per orientare la view rispetto alla configurazione canonica Trasformazioni normalizzate

26 26 Matrice canonica di proiezione parallela ortogonale

27 27 z x y P (x,y,z) P(x v,y v ) Piano di proiezione La prospettiva risolta analiticamente

28 28 z y Piano di proiezione d P (x,y,z) yvyv y/y v = z/d da cui: y v = y/(z/d) x/x v = z/d da cui: x v = x/(z/d)

29 29 Matrice canonica di trasformazione prospettica

30 30 Dalle coordinate omogenee allo spazio 3D costruz. matricetrasformaz.divisione

31 31 Proiezione parallela generica Ricondursi alla configurazione canonica: normalizzazione –Convertire il volume di vista in una configurazione standard Proiettare il volume deformato Il volume canonico di vista (canonical view volume) per la proiezione parallela è normalizzato in -1,+1 usando una trasformazione di scala Il volume canonico definisce lo spazio entro il quale si trovano gli oggetti da trasformare e proiettare Traslare per portare la DOP sullasse z

32 32 traslazione al centro del view volume scalatura

33 33 Trasla origine del view volume nellorigine del view volume canonico Riscala il view volume P è la matrice di proiezione si introducon piani frontali e di sfondo per il clipping 3D: zmax = far zmin = near

34 34 Proiezioni parallele oblique Angoli del fascio di proiettori con la normale al piano di proiezione DOP y x z

35 35 Proiezioni parallele oblique portare la direzione di proiezione parallela a z, con trasformazione di shear relativa agli angoli rinormalizzare il view volume con scala e traslazione (come sopra) proiettare con la matrice ortografica

36 36 Matrice per la proiezione obliqua parallela si introduce una trasformazione di shear:

37 37 Angolo di visione e frustum

38 38 Altri schemi Lo schema illustrato permette di predisporre le matrici per librerie grafiche come OGL OGL offre un altro approccio: lookAt Nei simulatori di volo si adotta lo schema roll, pitch, yaw

39 39 LookAt E un metodo più diretto e più naturale: –la camera è localizzata in un punto e (eyepoint - o punto di vista) specificato nel world frame –La camera è orientata nella direzione individuata dal vettore congiungente e con il punto a (at point - punto osservato) specificato sempre nel world frame I punti e ed a individuano il VRP e la VPN

40 40

41 Camera Model

42 42 Roll (rot. z), Pitch (rot. x), Yaw (rot. y)


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