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INSTABILITA Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro dellanello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene. Se GH>1 il segnale di uscita,

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Presentazione sul tema: "INSTABILITA Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro dellanello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene. Se GH>1 il segnale di uscita,"— Transcript della presentazione:

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2 INSTABILITA Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro dellanello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene. Se GH>1 il segnale di uscita, ad ogni giro nell,anello si amplifica e quindi si ha una oscillazione che aumenta di ampiezza anche senza alcun ingresso G H U=UGH

3 INSTABILITA Qual è la situazione limite per linstabilità? si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e uguale a 1, e lo sfasamento è uguale a -180 o. NB Sfasare di 180 o corrisponde a moltiplicare per –1, poiché il nodo di confronto moltiplica a sua volta per –1, il segnale risulta uguale a se stesso e si automantiene!!!!

4 Punto critico modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a -180 o corrisponde al punto complesso modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a -180 o corrisponde al punto complesso-1+j0 punto critico tale punto è detto punto critico

5 Sistemi a sfasamento minimo Una condizione necessaria, ma non sufficiente, perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)H(s) siano a parte reale non positiva Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo

6 Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso. Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato. Margini di stabilità

7 G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Margine di fase Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo che può tollerare la funzione danello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Langolo che manca alla fase della funzione danello per raggiungere π in corrispondenza della pulsazione di cross-over, cioè della pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario. Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

8 G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Margine di guadagno Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione danello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Il sistema è stabile Rappresenta di quanto lordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω) sta al di sotto dellasse ω in corrispondenza della pulsazione.

9 Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dellunità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

10 CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over, per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π. Criterio di stabilità di Bode

11 co Un sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)H(s), alla pulsazione di taglio co, ha una fase con valore assoluto minore di 180°

12 Cosè co ? co è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 dB e quindi co è la pulsazione che si individua nellintersezione fra il diagramma di Bode del modulo e lasse delle pulsazioni

13 Cosè co ? Questo è il valore di co |G(s)H(s)| E questa è la fase della G(s)H(s) alla pulsazione co Cosè la pulsazione di crossover (o di taglio) co ?

14 Condizioni di stabilità In realtà, il criterio di Bode individua condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno)

15 Cosè il margine di fase? Il margine di fase può essere definito: m = 180° + ( co ) Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover Lindividuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nellesempio che segue

16 Cosè il margine di fase? |G(s)H(s)| Si considerino i diagrammi di Bode di una generica funzione G(s)H(s) si trova ( t ) In corrispondenza di co che, in questo esempio, vale -135° Il margine di fase m dellesempio considerato, vale dunque 180°-135°=+45° -90° -180° -135° ( t ) m

17 Condizioni di stabilità Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30° (m > 30°) Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (m < 0°)

18 Cosè il margine di ampiezza? Il margine di ampiezza può essere definito: m gdB = 0 - |G(s)H(s)| dB( =-180°) Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180° Lindividuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nellesempio che segue

19 Cosè il margine di ampiezza? |G(s)H(s)| Si considerino i diagrammi di Bode di una generica funzione G(s)H(s) si rileva il modulo del guadagno in dB In corrispondenza di = -180° che, in questo esempio, è negativo Il margine di ampiezza m gdB dellesempio considerato, è dunque positivo -180° |G(s)H(s)| dB( =-180°) m gdB

20 Condizioni di stabilità Concludendo, si può dire che un sistema di controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase m e di ampiezza m gdB sono entrambi positivi Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che m sia maggiore di 30° e che m gdB sia maggiore di dB


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