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Ottica geometrica e geometria simplettica Daniele Musso Relatore: Prof. Enrico Massa Genova 22/9/2005 Gli aspetti salienti dellottica lineare e dellottica.

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Presentazione sul tema: "Ottica geometrica e geometria simplettica Daniele Musso Relatore: Prof. Enrico Massa Genova 22/9/2005 Gli aspetti salienti dellottica lineare e dellottica."— Transcript della presentazione:

1 Ottica geometrica e geometria simplettica Daniele Musso Relatore: Prof. Enrico Massa Genova 22/9/2005 Gli aspetti salienti dellottica lineare e dellottica geometrica rivisitati utilizzando tecniche e strumenti matematici propri della geometria simplettica. Ottica lineare descritta con il metodo delle matrici. William Rowan Hamilton Formulazione Hamiltoniana basata sul principio variazionale di Fermat.

2 Ottica lineare e ottica gaussiana Introduzione dellasse ottico. Oggetti ottici rappresentati matematicamente da superfici ottiche. Lottica lineare è una teoria classica il cui ambito di applicazione è definito dalle seguenti ipotesi: Trascurabilità del carattere ondulatorio della radiazione elettromagnetica Indici di rifrazione costanti Ipotesi di linearità Ulteriore ipotesi per lottica gaussiana: Ipotesi di simmetria cilindrica

3 in cui è detto momento. Rappresentazione della relazione fra gli stati di un raggio a due quote diverse mediante una trasformazione lineare simplettica della coppia di parametri e. Definizione del formalismo Caratterizzazione dello stato di un raggio mediante i due parametri e variabili in. è simplettica

4 Sistemi ottici elementari Condizione iniziale a : Percorso in assenza di superfici ottiche Condizione finale a : Pongo Essendo lindice di rifrazione costante, il raggio si propaga in maniera rettilinea, risulta pertanto: Ponendo, la matrice di trasferimento dal punto al punto assume la forma

5 Superficie rifrangente Equazione della linea di separazione: Per lipotesi di simmetria cilindrica rispetto allasse ottico, è pari e. A meno di termini di ordine superiore al secondo avremo Con riferimento alla figura, sotto lipotesi di linearità, si ottiene Considerando i triangoli rappresentati in figura ; Confrontando e raccogliendo i risultati ottenuti si ricava

6 Si considera la legge di Snell linearizzata: Utilizzando le relazioni si ottiene vale a dire avendo definito il potere della superficie rifrangente La matrice di trasferimento dal punto al punto sarà pertanto

7 Il comportamento del generico sistema ottico è determinato dagli effetti del sistema stesso sullevoluzione dei raggi luminosi fra e, Nello spazio delle variabili e, tale evoluzione è descritta da una trasformazione appartenente al gruppo. Il gruppo è a sua volta generato dalle trasformazioni di tipo elementare dipende solo da e non dalla direzione del raggio stesso; i punti e sono detti coniugati. Anche i piani sono detti coniugati poiché formati da punti coniugati a due a due. dipende solo da e non dal punto di incidenza. Casi Notevoli

8 Lente sottile Per lente sottile si intende la successione di due diottri posti a distanza trascurabile luno dallaltro. Il problema associato alla lente sottile risulta dalla composizione di due problemi di singola superficie rifrangente. con La matrice associata al sistema in esame è pertanto

9 Fuochi della lente sottile Si considera ancora una lente sottile posta in un mezzo rifrangente uniforme la cui matrice associata è Si scelgono e in modo che viene detto fattore dingrandimento I piani sono coniugati e vale la seguente relazione

10 Formulazione Hamiltoniana dellottica gaussiana se Introduciamo la funzione iconale oppure Leq. (1.1) possono essere riscritte in termini delle derivate parziali di

11 la funzione iconale è additiva. da cui segue che Esprimendo in funzione di si ha che soddisfa le seguenti relazioni

12 Scegliendo la funzione iconale coincide con il cammino ottico Propagazione rettilinea con Matrice associata: La funzione iconale vale pertanto identica al cammino ottico per

13 Superficie ottica Superficie ottica: Il cammino ottico è: Utilizzando le relazioni si ha Identica alla funzione pur di porre

14 Legge di Snell e principio di Fermat Cammino ottico: Condizione di stazionarietà del cammino ottico: Utilizzando le relazioni si ottiene la legge di Snell:

15 Willebrord Snell (1580 – 1626) Claudio Tolomeo (~ 87 – 150 A.D.) Pierre Fermat (1601 – 1665) William Rowan Hamilton (1805 – 1865) Carl Friedrich Gauss ( )


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