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Il numero di cifre significative è il numero minore di cifre necessarie per esprimere una quantità con la precisione richiesta Il numero di cifre significative.

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Presentazione sul tema: "Il numero di cifre significative è il numero minore di cifre necessarie per esprimere una quantità con la precisione richiesta Il numero di cifre significative."— Transcript della presentazione:

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2 Il numero di cifre significative è il numero minore di cifre necessarie per esprimere una quantità con la precisione richiesta Il numero di cifre significative indica la precisione dellesperimento CIFRE SIGNIFICATIVE Statistica: concetti base

3 In pratica come cifre significative si indicano tutte le cifre certe più la prima incerta 278.4; 27.84·10 1 ; 2.784·10 2 ; 2784· Quattro cifre significative: Cinque cifre significative: · ·10 -3 ;

4 CALCOLI Addizione e sottrazione: il risultato finale non può avere più cifre significative, dopo la virgola decimale, dei dati con il minor numero di cifre significative dopo la virgola decimale: Moltiplicazione e divisione: il risultato finale non può avere più cifre significative di quante ne abbia il dato con il minor numero di cifre significative: x 4.52 = / = ·10 3 Logaritmi ed esponenti Il numero di cifre significative dellargomento deve essere pari a quello della mantissa: log 236 = = 5.557; =

5 Dati Codificati CODIFICA Una semplice operazione matematica che consente di semplificare i calcoli statistici Moltiplicazione/Divisione 0.51, 0.52, 0.47, 0.50,…51, 52, 47, 50, ….. X , 1.10, 1.03, 1.058, 10, 3, 5, ….. -1, X 100 Addizione / Sottrazione

6 TIPI DI ERRORE GROSSOLANISISTEMATICICASUALI accuratezza prossimità al valore vero precisione dispersione dei dati ottenuti intorno al valore medio

7 Errori casuali e sistematici StudenteRisultatoCommento (ml) A10.09Preciso 10.10Inaccurato B10.02Accurato 9.80Impreciso C 9.69Inaccurato 10.05Impreciso D10.02Accurato 9.97Preciso JC Miller, JN Miller; Statistics for analytical chemistry Ellis Horwood, 1988,

8 REGOLE PER LARROTONDAMENTO 1.Eliminare le cifre tutte insieme 2.Se la prime cifra da eliminare è minore di cinque, lultima cifra significativa non cambia 3.Se la prime cifra da eliminare è maggiore di cinque, lultima cifra significativa si aumenta di uno 4.Se la prima cifra da eliminare è cinque e le altre sono zeri: se lultima cifra significativa è pari, questa rimane invariata se lultima cifra significativa è dispari, questa viene aumentata di uno

9 ORGANIZZAZIONE E RAPPRESENTAZIONE DEI DATI Esempio: il classico lancio del dado Un insieme di 35 dati Si tratta di una VARIABILE DISCRETA: può assumere solo determinati valori

10 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Una prima classificazione dellinformazione è effettuata impiegando le distribuzioni di frequenza modalità Numero di volte in cui la modalità compare in una serie statistica Rapporto fra effettivo della modalità e effettivo della serie statistica Rappresentazione dei dati

11 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Rappresentazione dei dati

12 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Distribuzione della FREQUENZA CUMULATA dei punteggi ottenuti in 35 lanci di un dado

13 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA In presenza di VARIABILI CONTINUE è necessario suddividere il campo di variazioni in classi Ogni classe è delimitata da LIMITI DI CLASSE che ne definiscono lINTERVALLO Il valore assoluto della differenza dei limiti definisce l AMPIEZZA della classe La media aritmetica dei due limiti definisce il CENTRO della classe

14 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Esempio: determinazione di ione nitrato in acqua Un insieme di 50 dati

15 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA La definizione dellampiezza dellintervallo della classe deve essere scelto in modo da ottenere una rappresentazione che non abbia troppo o troppo poco dettaglio Gli intervalli delle classi devono avere tutti la stessa ampiezza La pratica porta a consigliare limpiego di un numero di classi variabile da 5 a 25 e, indicativamente, pari alla radice quadrata del numero di dati

16 Nellesempio dei dati del nitrato lintervallo della serie è 0.53 – 0.46 = 0.07 Il numero di dati è 50 Il numero di classi che si potrebbero scegliere è sette Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Guardando però la struttura dei dati si vede che per avere intervalli di classe identici conviene suddividere la serie in otto classi

17 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Questa suddivisione porta alla seguente rappresentazione grafica

18 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Riduciamo a quattro il numero di classi, in modo da mantenere costante il valore dellintervallo di classe

19 Questa suddivisione porta alla seguente rappresentazione grafica Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

20 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA Riduciamo a due sole classi

21 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

22 Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA La CURVA DELLE FREQUENZE CUMULATE viene costruita riportando sullasse delle ascisse il limite inferiore della prima classe e quello superiore della prima classe e di quelle successive. Lordinata è la frequenza cumulata

23 Rappresentazione dei dati VALORI CARATTERISTICI È possibile rappresentare una serie di dati in modo sintetico attraverso luso di indicatori di posizione La distribuzione dei dati può assumere diverse forme, riconducibili ad una forma a campana caratterizzate da tre parametri principali LOCALIZZAZIONE DELLA SERIE DI DATI DISPERSIONE DELLA SERIE DI DATI FORMA DELLA SERIE DI DATI

24 Rappresentazione dei dati Media, Mediana e Percentili MEDIA ARITMETICA Somma dei valori divisa per leffettivo della serie

25 Media La media aritmetica è uno dei più usati fra i valori caratteristici di tendenza centrale La media aritmetica di una serie di dati si ottiene dividendo la somma di tutti i valori della serie per il numero dei dati della serie Sergio Zappoli: Media, mediana e percentili

26 Mediana La mediana è quel valore della variabile statistica tale per cui la metà dei valori osservati presenta un valore inferiore e laltra metà un valore superiore La mediana, a differenza della media, è meno sensibile ai valori estremi della serie di dati e, talvolta, rappresenta meglio le condizioni medie di un sistema Media, mediana e percentili

27 Mediana Per calcolare la mediana si deve innanzitutto ordinare in senso crescente i valori osservati: Media, mediana e percentili

28 Mediana Se il numero di osservazioni è dispari, la mediana è il valore dellelemento che divide la serie in due gruppi Se il numero di osservazioni è pari, si individua un intervallo mediano. La mediana è la media aritmetica fra i due valori delimitanti tale intervallo Media, mediana e percentili

29 Quantili I quantili (o percentili) sono parametri di posizione che dividono una serie di dati in gruppi. La mediana è quel particolare quantile che divide la serie dei dati in due parti di uguale dimensione. Il quantile di ordine 0.98, o 98° percentile, divide la serie di dati in due parti: il 98% dei dati ha valore inferiore al quantile dato Media, mediana e percentili

30 Quantili Le procedure di calcolo dei percentili sono simili a quelle per il calcolo della mediana. Una misura più accurata del valore della mediana o dei percentile si ottiene per interpolazione. Media, mediana e percentili

31 Esempio Consideriamo una serie di 72 misure di SO 2 (µg/m 3 ) in atmosfera 26/07/9931/07/9916/08/99 Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora /07/9931/07/9916/08/99 Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Ora Media, mediana e percentili

32 9.1; 10.3; 10.3; 10.3; 10.3; 10.3; 10.3; 10.3; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 12.6; 13.8; 13.8; 13.8; 13.8; 13.8; 13.8; 13.8; 13.8; 13.8; 13.8; 14.9; 14.9; 14.9; 14.9; 14.9; 14.9; 14.9; 14.9; 14.9; 16.1; 16.1; 16.1; 16.1; 17.2; 20.7; 24.2 Esempio Ordiniamo la serie di dati in senso crescente 72 x 0,98 = Senza lapplicazione dellinterpolazione il 98° percentile è 20.7 Media, mediana e percentili

33 Esempio Media, mediana e percentili In realtà più la serie di dati aumenta più lassunzione della omogeneità della distribuzione dei dati nella classe diventa realistica Il 98° percentile è un valore intermedio fra 20.7 e 17.2, calcolato in modo da tenere conto del numero dei valori delle due classi nelle quali sono divisi i dati e dellampiezza dellintervallo nel quale ricade il percentile

34 Esempio Media, mediana e percentili Linterpolazione può essere effettuata per via grafica ingrandiamo questa zona, dove è compreso il valore del percentile Valore parametro Evento

35 Esempio 19.2 Media, mediana e percentili Valore parametro Evento

36 Grafico dei dati e dei parametri statistici

37 Rappresentazione dei dati VALORI CARATTERISTICI DI DISPERSIONE Campo o Intervallo di variazione Nellesempio dei dati del nitrato il campo di variazione è: Nellesempio dei dati di SO 2 campo di variazione è:

38 Varianza Consideriamo tre serie di dati di uguale media e numero di dati e calcoliamo la somma dei quadrati dei dati 13, 13, 13, 13, 13, 13, , 11, 12, 13, 14, 15, , 9, 10, 13, 16, 17, La somma dei quadrati dei dati cresce con la dispersione dei dati

39 Varianza Una delle proprietà della media è che la sommatoria degli scarti è uguale a zero Sviluppiamo il quadrato degli scarti:

40 Varianza Consideriamo ora che: che ci consente la scomposizione della somma dei quadrati dei dati in due termini

41 Varianza Vediamo cosa succede applicando la scomposizione ai nostri dati: Dipende dalla dispersione dei dati Dipende dalla media

42 Varianza Per normalizzare la misura di dispersione trovata, la sommatoria dei quadrati degli scarti, ne facciamo la media, dividendo per il numero N dei dati Tale valore di dispersione si definisce VARIANZA della serie di dati e si indica con il termine 2

43 Deviazione standard La DEVIAZIONE STANDARD della serie di dati è data dalla radice quadrata della varianza si indica con il termine

44 Coefficiente di variazione Il COEFFICIENTE DI VARIAZIONE della serie di dati è un indicatore relativo, ottenuto dal rapporto percentuale fra deviazione standard e media della serie e si indica con il termine CV

45 Box & Whisker Plot Rappresentazioni grafiche Box & Whisker Plot per le tre serie di dati

46 Box & Whisker Plot Rappresentazioni grafiche Box & Whisker Plot per i dati del nitrato

47 Distribuzione dei risultati per la determinazione del NO 3 Linsieme di queste 50 misure è detto: CAMPIONE è linsieme di tutte le possibili misure la POPOLAZIONE Rappresentazione dei dati DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

48 La distribuzione normale La legge di probabilità di Laplace-Gauss, si applica alle variabili statistiche le cui variazioni sono dovute allazione concomitante di numerose sorgenti di variazione indipendenti fra loro e i cui effetti si sommano senza che nessuno di essi abbia a prevalere MEDIA e la DEVIAZIONE STANDARD I parametri della distribuzione sono

49 La distribuzione normale Una forma particolarmente utile della distribuzione normale è quella nella quale viene introdotta la variabile ridotta Z Z ha media pari a zero e deviazione standard pari a uno. In questa distribuzione normale ridotta alla variabile X si sostituiscono gli scarti dalla media.

50 La distribuzione normale La funzione di distribuzione permette di 1.determinare la probabilità di ottenere un valore della variabile aleatoria X inferiore od uguale ad un determinato limite x 1 2.determinare la probabilità di ottenere un valore della variabile aleatoria X superiore ad un determinato limite x 1 3.Calcolare la probabilità di ottenere un valore della variabile aleatoria X compresa fra i limiti x 1 e x 2 La probabilità cumulata dellinsieme dei valori della distribuzione di probabilità è per definizione pari a 1

51 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

52 Tavole della distribuzione normale ridotta Quale è la probabilità che un elemento della popolazione sia > 1.96 ? Ovvero che = P (Z >1.96) ? Ovvero il 2.5%

53 Tavole della distribuzione normale ridotta La probabiltà trovata sulle tavole è quella segnata in rosso

54 La distribuzione normale: valori notevoli 5 % di probabilità di avere uno scarto dalla media superiore a % di probabilità di avere uno scarto dalla media superiore a 2.58 Inoltre…

55 La distribuzione della media e il teorema centrale limite Se si prendono tutti i possibili campioni, ognuno di dimensione n, da qualsiasi popolazione di media e deviazione standard, la distribuzione delle medie dei campioni avrà media x = e varianza 2 x = 2 /n e sarà distribuita normalmente se lo sarà la distribuzione di origine oppure tenderà ad essere normale per un numero grande di campioni.

56 Il teorema centrale limite Popolazione originaria Popolazione delle medie campioni di dimensione n=2 campioni di dimensione n=4 campioni di dimensione n=25

57 Il teorema centrale limite Popolazione originaria 2; 21; 12 ; 34; 35; 5; 9; 12; 23; 3 Media = 15.6 = 132.4

58 Estrazione (con reimmissione) di campioni di dimensione 2: 100 campioni Il teorema centrale limite Dalla popolazione originaria

59 Il teorema centrale limite Popolazione campionaria Media = 15.6 s = 66.2

60 Il teorema centrale limite Popolazione originaria Media = 15.6 = Popolazione campionaria Media = 15.6 s = 66.2 / s = / 66.2 = 2 s /n n=2 rappresenta la dimensione dei campioni estratti dalla popolazione di origine

61 La distribuzione di queste medie è detta distribuzione della media campionaria. La media di questa popolazione è la stessa di quella originale e la sua deviazione standard è detta: deviazione standard della media o errore standard della media, s.e.m. = Il teorema centrale limite

62 IL VALORE MEDIO, m, E UNA STIMA DEL VALORE VERO, SI DEVE DEFINIRE UN INTERVALLO ALLINTERNO DEL QUALE SI POSSA ASSUMERE CHE GIACCIA IL VALORE VERO TALE INTERVALLO E DETTOINTERVALLO DI CONFIDENZA I SUOI LIMITI SONO DETTI: LIMITI DI CONFIDENZA Confidenza

63 INTRODURRE LA SPIEGAZIONE DELLA SCELTA DELLINTERVALLO E DEL VALORE DI Z Coefficienti per il calcolo dei limiti di confidenza ( N>30) P% z Confidenza

64 Teoria dei piccoli campioni La distribuzione t di Student Dove B è la funzione beta data da:

65 La distribuzione t di Student

66

67 Più la popolazione si riduce più lincertezza introdotta usando s per stimare aumenta, allora: dove il valore di t dipende: 1) dal numero di gradi di libertà 2) dal livello di confidenza voluto La distribuzione t di Student

68 Limiti di confidenza: esempio Sette misure di pH: 5.12; 5.20; 5.15; 5.17; 5.16; 5.19; 5.15 Media: : Gradi di liberta: 7-1 = 6 Calcolo del limite di confidenza per P=0.95 ( =0.05) =0.025 quindi si cerca il valore di t per P = e DF = 6 Calcolo del limite di confidenza per P=0.99 ( =0.01) =0.005 quindi si cerca il valore di t per P = e DF = 6 t = t = sem: pH = ± 2.447· = 5.16 ± pH = ± 3.707· = 5.16 ± 0.04

69 TEST DI SIGNIFICATIVITÀ Quando si effettua un test di significatività si deve definire una ipotesi (ipotesi nulla,H 0 ) la cui verità è confermata o rigettata. Allipotesi nulla si contrappone lipotesi alternativa, H 1, che è la negazione dellipotesi nulla. TEST DI ACCURATEZZA: TEST t Confronto di una media sperimentale con un valore noto Confronto delle medie di due campioni TEST DI PRECISIONE: TEST F Confronto delle deviazioni standard di due serie di misure

70 TEST DI SIGNIFICATIVITÀ Ipotesi nulla, H 0 : H 0 : A = A Ipotesi alternativa, H 1 : H 1 : A A e non sono complementari

71 Errore di I e II tipo

72 TEST DI ACCURATEZZA: TEST t Confronto di una media sperimentale con un valore noto Il campione di dimensione n media m e varianza s 2, può considerarsi appartenete alla popolazione di media ?. Lipotesi nulla è che non vi sia differenza fra i due valori = m ± t (s/ n)t calc = (m- ) (s/ n) se |t| >t crit allora H 0 è scartata

73 Confronto delle medie di due campioni I due campioni indipendenti di dimensione n 1 e n 2, media m 1 e m 2 e varianza s 1 2 e s 2 2, possono considerarsi appartenenti alla popolazione di media = 1 = 2 ? Lipotesi nulla è che i due metodi diano lo stesso risultato TEST DI ACCURATEZZA: TEST t Se s 1 2 e s 2 2 sono omoscedastiche:

74 Se s 1 2 e s 2 2 sono eteroscedastiche non è possibile calcolare una varianza comune. Dove: t 1 è il t crit per (n 1 -1) df t 2 è il t crit per (n 2 -1) df Confronto delle medie di due campioni TEST DI ACCURATEZZA: TEST t Si applica il test di Cochran: Si confronta Con

75 I test che sono stati descritti sono detti a due code. Infatti la differenza fra le due medie può esistere in entrambe le direzioni. In alcuni casi può essere utile chiedersi se un determinato valore sia significativamente maggiore (o minore) di un altra. Un esempio può essere la resa di una reazione o lefficienza di una estrazione. In tutti questi casi sono più opportuni i test a una coda. In un test a una coda il t crit per P=0.05 è il valore che è superato con una probabilità del 5%. Per la simmetria della distribuzione della media, questa probabilità è la metà di quella che si otterrebbe in un test a due code, per cui il valore appropriato di t per il test a una coda si trova nella colonna di P=0.10. Test a una e a due code Test a una coda con = 0.05 si usa t = 1 – Test a due code con = 0.05 si usa t = 1 – /2 AMPLIARE QUESTA PARTE

76 Test a una e a due code: esempio

77 Valori di t per diversi gradi di libertà e limiti di confidenza. La probabilità per la variabile di essere fuori dellintervallo –t,t è pari ad.

78 Presentazione dei risultati

79 TEST DI PRECISIONE: TEST F Il test F considera il rapporto di due varianze: H 0 : le popolazioni da cui sono stati estratti campioni sono normali e le varianze delle popolazioni sono identiche. Se Fcalc > Fcrit, H 0 è rigettata scritto in modo che F > 1

80 Se si vuole verificare se due s differiscono significativamente: test a una coda test a due code Se si vuole verificare se un metodo è più preciso di un altro: TEST DI PRECISIONE: TEST F

81 DATI SOSPETTI: TEST Q di DIXON Si dispongono i dati in ordine crescente e si calcola il valore di Q: Il DIVARIO e lINTERVALLO, e di conseguenza il valore di Q, dipendono dalla dimensione del set di dati Il Q calc viene poi confrontato con tabelle che riportano i valori critici di Q per lintervallo di confidenza desiderato

82 DATI SOSPETTI: TEST Q di DIXON Dimensione campione da 3 a 7 Se Q calc > Q tab il dato sospetto andrebbe scartato Dato un insieme di n dati, la prima operazione è il loro ordinamento in ordine crescente Dimensione campione da 8 a 12 Dimensione campione > 13 oppure

83 DATI SOSPETTI: TEST Q di DIXON

84 Risultati determinazione Ni con DimetilGliossima

85 Test di normalità H 0 :le osservazioni appartengono ad una popolazione caratterizzata da una legge di probabilità normale TEST DI SHAPIRO-WILK ESEMPIO Prima serie di dati (n=16) : 90, 90, 80, 90, 92, 88, 90, 63, 70, 54, 78, 86, 99, 84, 56, 85 Seconda serie di dati (n=25): 19, 25, 26, 32, 35, 36, 38, 38, 41, 44, 44, 46, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 57, 58, 63, 64, 68, 76

86 Test di Shapiro Wilk: Serie 1

87

88 Dalle tavole di valori critici si legge per n=16 e = 0.05 (P=0.95) W = Siccome W < W abbiamo il 95% di probabilità di non sbagliare nellaffermare che la distribuzione NON È NORMALE

89 Test di Shapiro Wilk: Serie 2

90 Dalle tavole di valori critici si legge per n=25 e = 0.05 (P=0.95) W = Siccome W > W abbiamo il 95% di probabilità di non sbagliare nellaffermare che la distribuzione È NORMALE

91 Controllo di qualità Il controllo statistico di qualità fu introdotto da W.A.Shewart nel 1924 (Bell telephones) Quality improvement is the process of reducing the level of variability in a process so that it can be predicted consentono di mantenere in osservazione continua un sistema per rilevare variabilità nelle sue prestazioni Shewart ha introdotto le carte di controllo

92 Tipi di carte di controllo 1. Carte di controllo della tendenza centrale 2. Carte di controllo della dispersione 3. Carte di controllo di misure singole UWL UCL LWL LCL CL

93 Costruzione delle carte di controllo DEFINIRE A PRIORI: Parametro da esaminare Criterio nella scelta delle unità prodotte Frequenza ispezioni Misure da effettuare Unità di misura Strumenti di misura

94 Costruzione delle carte di controllo la media generale I parametri di controllo vanno determinati utilizzando un training set Campionamento del sistema effettuando almeno 100 osservazioni suddivise in campioni Si ottiene: le medie dei singoli campioni: il campo di variazione dei singoli campioni la media dei campi di variazione

95 Da Skoog, West, Holler: Chimica analitica SENZA CAMPIONE NON CI PUÒ ESSERE ALCUNA ANALISI Trattamento del campione

96 Il campione deve essere rappresentativo della popolazione di origine Campione aleatorio o casuale: gli elementi disponibili della popolazione di riferimento hanno la stessa probabilità di entrare a far parte del campione Gli elementi della popolazione vanno scelti in modo casuale ma seguendo regole precise CAMPIONAMENTO

97 I campioni si estraggono in base a diversi piani di campionamento Campionamento elementare (a stadi) Si estraggono a caso dalla popolazione di origine i singoli elementi che entrano nel campione Campionamento a grappoli Popolazione di origine ripartita in sottoinsiemi (grappoli) con un criterio di omogeneità Ogni grappolo è ununità primaria di campionamento. Campionamento sistematico In questo caso si ordinano e numerano gli elementi dellinsieme di partenza e si prelevano ad intervalli regolari. Il punto di partenza del campionamento dovrebbe essere scelto in modo casuale.

98 Esempio di tavola di numeri casuali

99 Uso dei numeri casuali Un numero casuale è un numero composto da cinque cifre, ciascuna delle quali è stata estratta, in modo aleatorio, da un insieme di dieci cifre (da 0 a 9) in modo che ogni cifra abbia una probabilità su dieci di essere estratta. A questo punto numeriamo i campioni (dando lo stesso numero di cifre a tutti i campioni). Si sceglie una pagina delle tavole e si sceglie in modo arbitrario una riga e una colonna da cui si comincia la lettura dei numeri. Si opta per quale delle cinque cifre deve essere letta e si cominciano a elencare i vari numeri mantenendo quelli che corrispondono ai campioni (per ottenere una serie di numeri casuali si può visitare il sito ).

100 Tipi di Campionamento: dal Decreto 13 Settembre 1999

101 Zone di Campionamento:

102

103

104 Campionamento sistematico 1.Un reticolo ideale determina la suddivisione della zona da campionare 2.I settori risultanti sono di uguali dimensioni. Il loro numero dipende dal dettaglio voluto 3.Allinterno di ogni UC si preleva casualmente un campione

105 Campionamento irregolare 1.Si scelgono i punti usando tabelle di numeri casuali 2.Si preleva il campione allinterno del punto

106 Campionamento non sistematico 1.Si scelgono i punti lungo un tracciato a X o W 2.Si preleva un campione elementare in ogni punto


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