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DAI NUMERI NATURALI AI RAZIONALI E OLTRE La misura.

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Presentazione sul tema: "DAI NUMERI NATURALI AI RAZIONALI E OLTRE La misura."— Transcript della presentazione:

1 DAI NUMERI NATURALI AI RAZIONALI E OLTRE La misura

2 L'aspetto di misura dei numeri naturali Un numero (naturale) può esprimere la quantità dei campioni di unità di misura in cui è stata suddivisa o può essere suddivisa, fisicamente o idealmente, una data grandezza. Nelle scienze sperimentali il risultato della misura non è un numero, ma un numero dimensionato, cioè accompagnato dall'indicazione dell'unità di misura utilizzata. In matematica lunità è sottintesa e la misura è un numero puro, inteso come rapporto tra la grandezza da misurare e lunità di misura

3 La misura è importante Dal punto di vista applicativo (es. esperienza quotidiana) MATEMATICA COME LINGUAGGIO DELLE SCIENZE (in questo caso spesso si parla di Misurazione) Dal punto di vista teorico (es. esperimenti mentali) MATEMATICA COME DISCIPLINA AUTONOMA

4 La misura è importante Dal punto di vista applicativo MATEMATICA COME LINGUAGGIO DELLE SCIENZE Dal punto di vista teorico MATEMATICA COME DISCIPLINA AUTONOMA Strumenti (misura indiretta) Campioni (misura diretta)

5 Nella scuola si possono (si devono) intrecciare i due percorsi MISURA INDIRETTA (lettura di strumenti) MISURA DIRETTA (didatticamente: premisura) Strumenti (misura indiretta) Campioni (misura diretta)

6 Nella scuola si possono (si devono) intrecciare i due percorsi MISURA INDIRETTA (lettura di strumenti) MISURA DIRETTA (didatticamente: premisura) Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta)

7 Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Osservazione di Oggetti e/o eventi Individuaz. di proprietà oggetto di misura Osservaz e uso di strum. di misura del quotidiano Individuazione di unitàIndividuazione delle propr. riferite agli strum. Descrizione dei procedim.: - congiunz. dei campioni - replicaz. dei gesti Descrizione dei procedim. di uso degli strumenti Conteggio dei campioni o dei gesti Lettura dei risultati Scrittura del risultato

8 Antiche unità – Ruolo del corpo Uso degli strumenti scientifici Approfondimenti: [BB 1992]

9 Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Costruz. del Risultato Conteggio dei campioni / gesti (unità di misura con multipli e sottomultipli) Lettura del Risultato numero che dipende dalla sensibilità dello strumento

10 Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Costruz. del Risultato Conteggio dei campioni / gesti (unità di misura con multipli e sottomultipli) Lettura del Risultato numero che dipende dalla sensibilità dello strumento

11 Che cosa si misura? NON gli oggetti ma loro proprietà ovvero grandezze associate agli oggetti (es. lunghezza, peso, …) Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta)

12 Replicando il campione (multipli e sottomultipli) si trova uno e un soloNumero (Che tipo di numero?) Lo strumento associa uno e un solo numero razionale dimensionato (espresso in forma decimale) 1,5 kg ; 2,8 m; 1° Data una grandezza Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta)

13 Strumenti (misura indiretta) Per approfondimenti epistemologici, vedi Carnap F., I fondamenti filosofici della fisica, Il Saggiatore

14 Campioni (misura diretta)

15 Campioni (misura diretta) Due problemi 1)Grandezze: come si definiscono le grandezze? 2) Numeri: che numeri si ottengono?

16 Grandezze come si definiscono le grandezze? Partiamo dal caso classico:LUNGHEZZE Consideriamo linsieme dei segmenti del piano (o dello spazio)

17 Partiamo dal caso classico:LUNGHEZZE Consideriamo linsieme dei segmenti del piano (o dello spazio)

18 Uguaglianza (o congruenza) di segmenti. Due segmenti a e b sono Uguali (o congruenti) a = b quando sono sovrapponibili, cioè tali che trasportando il primo sul secondo sia possibile farli coincidere, punto per punto, esattamente. LUNGHEZZE

19 Luguaglianza dei segmenti gode delle proprietà Riflessiva a = a LUNGHEZZE

20 Luguaglianza dei segmenti gode delle proprietà Riflessiva a = a Simmetrica Se a = b allora b = a LUNGHEZZE

21 Luguaglianza dei segmenti gode delle proprietà Riflessiva a = a Simmetrica Se a = b allora b = a Transitiva Se a = b e b = c Allora a = c (in breve) E una relazione di equivalenza LUNGHEZZE

22 Si può quindi ripartire linsieme dei segmenti del piano (spazio) in classi di equivalenza (congruenza) Ogni classe contiene tutti e soli i segmenti uguali (congruenti) a un segmento dato Una rappresentazione (ideale) di tutte le classi è data su una semiretta di origine O: ogni punto X della semiretta individua un segmento OX e quindi una classe di equivalenza. LUNGHEZZE

23 Le lunghezze sono le classi di equivalenza Espressioni linguistiche Un segmento a ha lunghezza A. Un segmento a sta nella classe di lunghezze A. La lunghezza A è rappresentata dal segmento a Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza Due segmenti non congruenti non hanno la stessa lunghezza e simili ……. Nel seguito indicheremo (senza più dirlo) con la stessa lettera ( minuscola o MAIUSCOLA ) il segmento a e la sua lunghezza A. Quando servirà indicheremo gli estremi del segmento: a = AB LUNGHEZZE

24 Ordinamento di segmenti (di lunghezze) Dati due segmenti diversi a e b si dice che a è minore di b o che b è maggiore di a scrivendo a a quando a è uguale ad una parte di b. Si usano le stesse espressioni per le lunghezze A LUNGHEZZE a b

25 Addizione di segmenti (di lunghezze) Dati due segmenti a e b a = AB b = BC (con A, B, C allineati e consecutivi, cioè con B compreso tra A e C) diciamo che AB + BC = AC (il segmento AC è somma dei segmenti AB e BC) LUNGHEZZE

26 Addizione di segmenti (di lunghezze) La somma di due lunghezze A B è la lunghezza C del segmento AC ottenuto sommando due segmenti allineati e consecutivi AB con lunghezza A e BC con lunghezza B. LUNGHEZZE

27 Alcune proprietà delle lunghezze ADDIZIONE Proprietà commutativa: A + B = B + A Proprietà associativa A + (B + C) = (A + B) + C ORDINAMENTO Proprietà transitiva se A < B e B < C allora A < C Proprietà di tricotomia: Date A e B vale una e una sola delle relazioni: A = BA < BB < A LUNGHEZZE

28 Vediamo un altro caso:PESI Consideriamo un insieme di oggetti ed una bilancia a due piatti

29 Equivalenza per peso. Due oggetti a e b sono equipesanti a b quando, posti sui piatti di una bilancia la mettono in equilibrio. PESI

30 Lequivalenza per peso degli oggetti gode delle proprietà Riflessiva a PESI

31 Lequivalenza per peso degli oggetti gode delle proprietà Riflessiva a Simmetrica Se a b allora b a PESI

32 Lequivalenza per peso degli oggetti gode delle proprietà Riflessiva a Simmetrica Se a b allora b a Transitiva Se a b e b c Allora a c PESI

33 Si può quindi ripartire un insieme di oggetti in classi di equivalenza (pesi) e poi procedere come nel caso delle lunghezze …. … definendo operativamente il confronto (ordinamento) e laddizione per mezzo della bilancia. Ad esempio: PESI

34 Nella situazione rappresentata dalla figura a lato diremo che il peso di a è minore del peso di b anche che il peso di b è maggiore del peso di a PESI ab

35 Nella situazione rappresentata dalla figura a lato diremo che la somma del peso di a e del peso b è uguale al peso di c E così via …. PESI a b c

36 Numeri: che numeri si ottengono? Un caso storico Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere: G = m S e H = n S (cioè 1/m G = 1/n H ) In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e H sono incommensurabili. Dire che G e H sono commensurabili equivale a dire che H = n / m G (n / m è una frazione – detta anche numero razionale)

37 Numeri: che numeri si ottengono? Un caso storico Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere: G = m S e H = n S (cioè 1/m G = 1/n H ) In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e H sono incommensurabili. Dire che G e H sono incommensurabili equivale a dire che non cè nessuna frazione – numero razionale – n/m tale che: H = n / m G

38 Un esempio Date due grandezze G e H, rappresentate ad esempio da due segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune? Vediamo qualche caso: 1.Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u. Lipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?

39 …. Nel senso comune 1.Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u. Lipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: Riportando lunità u su BC si verifica che BC = 5 u

40 Cè una argomentazione teorica 1.Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u. Lipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: Riportando lunità u su BC si verifica che BC = 5 u Teoricamente (Teorema di Pitagora): = 5 2 Sono commensurabili!

41 Un secondo esempio Date due grandezze G e H, rappresentate ad esempio da due segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune? Vediamo un altro caso: 2.Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. Lipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?

42 …. Nel senso comune 2.Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. Lipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: supponiamo che u sia il metro; immaginiamo di avere un righello graduato in dm e cm. Otteniamo: AB = AC = 1,00 m e BC = 1,41 m

43 …. Nel senso comune 2.Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. Lipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: ciò significa che: AB = AC = 100 cm e BC = 141 cm e il centimetro (1/100 di metro) è il sottomultiplo comune

44 Cè una argomentazione teorica? 2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. Lipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Proviamo a ragionare come nel caso precedente, utilizzando il Teorema di Pitagora. Se AB (= AC) e BC hanno un sottomultiplo comune s AB = m s e BC = n s. Per il Teorema di Pitagora AB 2 + AC 2 = BC 2 m 2 + m 2 = n 2 2 m 2 = n 2 …………………… (continua).

45 Cè una argomentazione teorica? …………………… (segue). 2 m 2 = n 2 cioè n 2 è divisibile per 2 (pari) e quindi: n è pure divisibile per 2 (pari) n = 2k e quindi: 2 m 2 = 4k 2 cioè: m 2 = 2k 2 cioè m 2 è divisibile per 2 (pari) m = 2h. Allora sia m che n sono pari, quindi, nella scomposizione in fattori primi, il fattore 2 compare in m 2 e in n 2 con esponente pari. Dunque nelluguaglianza: 2 m 2 = n 2 Il primo membro contiene il fattore 2 con esponente dispari, mentre il secondo membro contiene il fattore 2 con esponente pari. …. E questo non può accadere!

46 Cè una argomentazione teorica? Riassumendo Abbiamo dimostrato che Se AB e BC ( cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele) hanno un sottomultiplo comune s cè una contraddizione. Tutto il ragionamento si basa su presupposti solidi ed accettati: il Teorema di Pitagora e le proprietà della divisibilità nellinsieme dei numeri naturali. Dunque la contraddizione dipende dallavere supposto che: AB e BC abbiano un sottomultiplo comune

47 Abbiamo trovato una coppia di grandezze G ed H (rappresentate da cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele) per le quali non cè nessun numero razionale n / m che consente di scrivere: H = n/m G

48 Abbiamo trovato una coppia di grandezze G ed H (rappresentate da cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele) per le quali non cè nessun numero razionale n / m che consente di scrivere: H = n/m G Possiamo costruire infiniti esempi di segmenti incommensurabili con un segmento dato OA1. Nella figura che segue sono costruiti dei triangoli rettangoli con: OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A7 = ….. Per esercizio si può trovare in quali casi lipotenusa è commensurabile con OA1.

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