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Probabilità ed eventi casuali ( Prof. Daniele Baldissin)

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Presentazione sul tema: "Probabilità ed eventi casuali ( Prof. Daniele Baldissin)"— Transcript della presentazione:

1 Probabilità ed eventi casuali ( Prof. Daniele Baldissin)

2 Problema 1: Lancio di un dado classico ideale Risultati possibili: Probabilità associate:1/6 Somma delle probabilità: Probabilità di ottenere un numero pari con un lancio: Ci sono 3 possibilità su 6, perciò: Primo modo di ragionare Secondo modo di ragionare deve uscire o il 2 o il 4 o il 6, perciò:

3 Problema 2: Lancio di due dadi I risultati possibili sono coppie di numeri interi compresi tra 1 a 6. Si possono ottenere, per esempio, con una tabella: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) Se ci interessa la somma dei punti ottenuti in ogni lancio, al posto delle coppie inseriamo le somme

4 Problema 2: Lancio di due dadi La successione delle probabilità associate si dice anche distribuzione di probabilità. 1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36 Risultati possibili: Probabilità associate: Somma delle probabilità:

5 Grafi ad albero Si tratta di un grafico i cui rami rappresentano i possibili percorsi fra loro incompatibili dove, in ciascun tratto, è riportata la rispettiva probabilità. Vediamo un esempio pratico: Unurna contiene 10 palline verdi e 7 palline rosse. Si estraggono successivamente due palline, senza rimettere la prima nellurna. Qual è la probabilità che siano: a) dello stesso colore; b) di colore diverso; c) almeno una rossa?

6 Ecco come tale situazione può essere rappresentata con un grafo ad albero (V=verde, R= rossa)

7 Ad esempio, considerato il ramo a sinistra (VV), nel primo tratto figura la probabilità 10/17 che la prima pallina estratta sia verde, nel secondo la probabilità 9/16 che la seconda pallina sia verde nellipotesi che la prima sia verde (delle 16 palline ancora nellurna, solo 9 sono verdi). Così, nel ramo RV, nel primo tratto figura la probabilità 7/17 che la prima pallina estratta sia rossa, nel secondo la probabilità 10/16 che la seconda estratta sia verde nellipotesi che la prima pallina sia rossa (tra le 16 palline rimaste vi sono tutte e 10 le palline verdi). a) Per la regola della probabilità composta, la probabilità che entrambe le palline siano verdi, ossia che si verifichi levento VV, è 10/17 · 9/16 = 45/136. Analogamente, la probabilità che entrambe le palline siano rosse, ossia che si verifichi levento RR, risulta 7/17 · 6/16 = 21/136.

8 Quindi, la probabilità dellevento le palline sono dello stesso colore, ossia entrambe verdi o entrambe rosse, per la regola della probabilità totale, è 45/136+21/136 = 66/136 = 33/68. b) Per calcolare la probabilità dellevento le palline sono di colore diverso, anziché sommare la probabilità che la prima sia verde e la seconda rossa con quella che la prima sia rossa e la seconda verde, possiamo sfruttare quanto ottenuto in a) e applicare la regola della probabilità dellevento contrario; infatti levento le palline sono di colore diverso è contrario di le palline sono dello stesso colore, e quindi la sua probabilità è 1-33/68 = 35/68. c) La probabilità dellevento almeno una pallina è rossa è la somma delle probabilità dei tre eventi VR, RV, RR. Più rapidamente si può calcolare la probabilità dellevento contrario a VV (le palline sono entrambe verdi): 1-45/136 = 91/136.

9 Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di tre moneteSchema ad albero II moneta I moneta III moneta Risultati: TTTTTCTCTTCCCTTCTCCCTCCC Probabilità: 1/81/81/81/81/81/81/81/8 Somma probabilità:

10 Problema 5: Estrazione da unurna opaca Estraendo a caso una biglia, qual è la probabilità che sia bianca? Se in un'urna opaca si mettono 3 biglie nere e 3 bianche, la probabilità che estraendo una biglia a caso essa risulti bianca è evidentemente 3/6 ossia 1/2. Ma, se si avesse la possibilità di distribuire a piacimento le 6 biglie in 2 urne, sarebbe possibile aumentare la probabilità di estrarre una biglia bianca? Pr(bianca)

11 Problema 5: Estrazione da unurna opaca ? ? Soluzione Scelta dellurna Estrazione biglia Risultato:biancanerabiancanera Probabilità:

12 Problema 6: Il modello dellalbero A 1 ) Lalbero delle possibilità (caso simmetrico) su 2 su 4 su 8 B 1 ) Lalbero delle probabilità (caso di equiprobabilità) somma = 1

13 Problema 6: Il modello dellalbero Operazioni sullalbero delle probabilità + o Lungo i rami… si moltiplica e logica In orizzontale… si addiziona o logica


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