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ANGOLI ORIENTATI. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 2 DEFINIZIONE CLASSICA DI ANGOLO Langolo è la porzione di piano contenuta.

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1 ANGOLI ORIENTATI

2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 2 DEFINIZIONE CLASSICA DI ANGOLO Langolo è la porzione di piano contenuta tra due semirette con la stessa origine. a A b B - Lorigine comune O è detta vertice. - Le due semirette OA = a e OB = b sono dette lati. - Langolo viene indicato con la notazione AOB, oppure con una lettera minuscola dellalfabeto greco, per es.,,. Questa semplice definizione, tuttavia, contiene unambiguità. Essa non definisce quale delle due porzioni di piano è langolo a cui ci si riferisce. O Per eliminare questa ambiguità, occorre introdurre il concetto di: angolo orientato AOB ?

3 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 3 ANGOLO ORIENTATO Immaginando di far ruotare attorno al vertice O la semiretta a, partendo dalla posizione iniziale OA assunta come origine, fino a fermarla nella posizione finale OB, essa descrive una porzione di piano costituente langolo AOB. a A b B - OA = a è detto lato origine. - OB = b è detto lato estremo. - La rotazione oraria definisce langolo positivo AOB =. O + La semiretta a può ruotare intorno a O in due sensi opposti per andare a sovrapporsi a quella b: in senso orario, oppure in senso antiorario. Si conviene di considerare positivo il senso orario, negativo quello antiorario. - Nella notazione AOB, AO rappresenta il lato origine, OB quello estremo. negativo Se la semiretta origine a ruota intorno a O in senso antiorario, essa descrive una diversa porzione di piano che costituisce langolo negativo. -

4 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 4 ANGOLO ORIENTATO In questo modo viene eliminata lambiguità implicita nella definizione di angolo Langolo BOA = BO OA. Langolo BOA = è la parte di piano individuata dalla rotazione positiva di BO per sovrapporsi su OA. Langolo AOB AO OB. Langolo AOB = è la parte di piano individuata dalla rotazione positiva di AO per sovrapporsi su OB. a A b B O Se il lato origine OA dellangolo AOB va a sovrapporsi al lato estremo OB dopo aver decritto uno o più angoli giri completi, si ottiene un angolo con ampiezza maggiore dellangolo giro.

5 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 5 IL RADIANTE Gli angoli sono grandezze misurabili. Per misurare un angolo occorre in primo luogo fissarne lunità di misura. In matematica, lunità di misura è il radiante Esso è definito come langolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al suo raggio. In matematica, lunità di misura è il radiante. Esso è definito come langolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al suo raggio. A B O R R l Per l = R si ha: ANGOLO GIROANGOLO PIATTOANGOLO RETTO 2 R = 2 = 6 rad,28318… R = = 3 rad,14159… R = = 1 rad,57079… 2R 2

6 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 6 UNITÀ DI MISURA DEGLI ANGOLI unità di misura Il radiante è congeniale a considerazioni di carattere teorico, mentre in ambito pratico-applicativo si preferisce definire altre unità di misura degli angoli. Sistema sessagesimale:, Sistema sessagesimale: lunità è il grado sessagesimale, indicato con (°) e pari a 1/90 dell'angolo retto; i suoi sottomultipli sono: – il primo sessagesimale, (), 1/60 del grado, – il secondo sessagesimale, (), 1/60 del primo (1/3600 di grado). Un angolo viene, quindi, indicato: = 25° Sistema decimale: sottomultipli Sistema decimale: lunità di misura è la stessa del precedente sistema (gradi sessagesimali), mentre i sottomultipli sono decimi, centesimi, millesimi, ecc. di grado. Un angolo viene quindi indicato: = 218°,3456. Il sistema sessagesimale viene usato per facilitare i calcoli, in quanto le operazioni aritmetiche vengono eseguite con le familiari regole della numerazione decimale. Sistema centesimale: Sistema centesimale: lunità di misura [grado centesimale indicato con ( c ), ( g ) o (gon)], vale 1/100 dellangolo retto. I sottomultipli sono: – il primo centesimale, ( ), pari a 1/100 di grado; – il secondo centesimale, ( = ), pari a 1/100 di primo (1/ di grado). Un angolo viene scritto nel modo seguente: = 78 C =. Notiamo, però, che 87 = sono 87/100 di primo, quindi, 87/10000 di grado; in conseguenza di ciò, langolo centesimale viene di norma scritto nel modo seguente: 78 C,3987 (dunque il sistema centesimale si presenta in forma decimale).

7 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 7 TRASFORMAZIONE SESSAGESIMALI DECIMALI Conversione dal sistema sessagesimale al sessadecimale dividere Bisogna dividere i primi per 60 e i secondi per 3600, quindi si sommano le parti decimali ottenute al valore intero dei gradi. Consideriamo langolo di 48° 17 26: ° 17 26= 48° = 48°, Conversione dal sistema sessadecimale al sessagesimale moltiplicare Per eseguire questa conversione bisognerà moltiplicare per 60 la frazione di grado e la frazione di primi. Consideriamo langolo 48°, °, = 17, 43 0, = 26 per cui sarà 48°

8 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 8 TRASFORMAZIONE SESSAG. RADIANTI Conversione dal sistema sessagesimale a radiometrico Conversione dal sistema sessagesimale a radiometrico Conversione dal sistema radiometrico a sessagesimale Conversione dal sistema radiometrico a sessagesimale Lampiezza degli angoli rimane invariata, qualunque unità di misura si utilizzi; dunque langolo piatto espresso in radianti è equivalente allangolo piatto espresso in gradi sess. Esempio: ° = 142° = 142°, Esempio: ° = 142° = 142°,2605 Esempio: rad = 1 rad Esempio: rad = 1 rad,0000

9 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 9 TRASFORMAZIONE CENTESIMALE RADIANTI Conversione dal sistema centesimale a radiometrico Conversione dal sistema radiometrico a centesimale Esempio: c = 275 c, Esempio: c = 275 c,7615 Esempio: rad = 3 rad Esempio: rad = 3 rad,7720

10 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 10 TRASFORMAZIONE CENTESIMALE SESSAGESIMALE Conversione dal sistema centesimale a sessagesimale Conversione dal sistema sessagesimale a centesimale Esempio: c = 78 c, Esempio: c = 78 c,8412 Esempio: ° = 68° = 68°,3500 Esempio: ° = 68° = 68°,3500

11 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 11 TRASFORMAZIONE ANGOLI PICCOLI Per convertire in radianti un piccolo angolo espresso in secondi centesimali (poco usato per la praticità dei gradi centesimali) Talvolta è necessario convertire in radianti un angolo in forma sessagesimale espresso in secondi (perché molto piccolo); in questo caso può risultare comodo esprimere in secondi anche langolo piatto:


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