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FUNZIONI SENO & COSENO TANGENTE & COTANGENTE. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 2 DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Considerando langolo.

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1 FUNZIONI SENO & COSENO TANGENTE & COTANGENTE

2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 2 DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Considerando langolo AOB =, tracciamo un cerchio di raggio qualunque R = OA = OB e con centro sul vertice O dellangolo. B O R 1) dal punto B tracciamo il segmento perpendicolare al lato origine OA dellangolo AOB = ; allora il punto C di intersezione rappresenta la proiezione di B su tale lato; Costruzione grafica: 2) rimangono allora definiti i due segmenti BC e OC ; essi, di fatto, individuano il triangolo rettangolo OBC nel quale il raggio R = OB del cerchio è lipotenusa; 3) la lunghezza dei segmenti BC e OC varia al variare della posizione di B sulla circonferenza, dunque al variare dellampiez- za dellangolo al centro ; Le intersezioni del cerchio con le semirette dellangolo AOB definiscono larco AB in corrispondenza biunivoca con langolo al centro. A C 4) allora anche i rapporti tra i segmenti BC e OC con il raggio OB variano al variare dellangolo.

3 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 3 DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Dunque i precedenti rapporti sono funzioni dellangolo, e più precisamente: B O R il rapporto tra la lunghezza del segmento BC con il raggio R=OB prende il nome di seno dellangolo e viene indicato con la notazione: sen o sin A C il rapporto tra la lunghezza del segmento OC con il raggio R=OB prende il nome di coseno dellangolo e viene indicato con la notazione: cos Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni sen e cos sono numeri adimensionali (puri), ed essendo sia BC che OC minori di R, questi valori sono sempre compresi tra 0 e 1: -1 sin 1 -1 cos 1 Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni sen e cos sono numeri adimensionali (puri), ed essendo sia BC che OC minori di R, questi valori sono sempre compresi tra 0 e 1: -1 sin 1 -1 cos 1

4 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 4 DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Siccome il raggio R del cerchio non modifica i rapporti precedenti, è possibile adottare un cerchio di raggio unitario ( R = 1 ), che prende il nome di cerchio goniometrico. B O 1 R=1 Le definizioni di sen o cos possono essere riscritte in questo ambito, che di fatto semplifica la notazione: A C ATTENZIONE!!! la notazione precedente non deve ingannare; nella realtà le funzioni seno e coseno non sono segmenti, ma rimangono rapporti di segmenti. Tali rapporti nellam- bito del cerchio goniometrico presentano i denominatori uguali allunità. ATTENZIONE!!! la notazione precedente non deve ingannare; nella realtà le funzioni seno e coseno non sono segmenti, ma rimangono rapporti di segmenti. Tali rapporti nellam- bito del cerchio goniometrico presentano i denominatori uguali allunità. Aggiungiamo poi un sistema di riferimento cartesiano con origine in O e con lasse delle ordinate coincidente con il lato origine OA dellangolo. Y X sin cos

5 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 5 DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Immaginiamo di far descrivere al punto B lintero cerchio goniometrico partendo dalla posizione iniziale B A corrispondente a = 0 c. =0 cB A BC=0, OC=1 O 1 R=1 A sen 0 c = 0 cos 0 c = 1 0c0c0c0c 100 c 200 c 300 c 400 c =100 cC O BC=1, OC=0 sen 100 c = 1 cos 100 c = 0 sen 100 c = 1 =200 c BC=0, OC=–1 sen 200 c = 0 cos 200 c = -1 cos 200 c = 1 =300 c BC=–1, OC=0 sen 300 c = -1 cos 300 c = 0 sen 300 c = 1 =400 c =0 c BC=0, OC=1 sen 400 c = 0 cos 400 c = 1 I segni di seno e coseno nei 4 quadranti senocoseno I° Quadrante + + II° Quadrante + III° Quadrante IV° Quadrante Le funzioni seno e coseno sono periodiche con periodo 2.

6 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 6 VALORI di SENO e COSENO a 30° Consideriamo langolo AOB = 30° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico. Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen30° e OC il cos30°. B 30° O R=1 A sin 30° C cos 30° 30° R=1 B Prolungando il segmento BC fino a incontrare ulteriormente il cerchio in B, viene determinato langolo BOA che ha la stessa ampiezza di 30 °, pertanto dovrà anche essere BOB = 60°. Allora il triangolo BOB è anche equilatero, per cui anche BB = 1. Ricordando che in un triangolo equilatero unaltezza divide la base in due parti uguali, saranno CB = ½ e CB = ½; possiamo perciò scrivere: Il triangolo BOB è isoscele ( OB=1 e OB=1 ), pertanto gli angoli OBB e OBB sono uguali e ciascuno di 60°. 60° ½ ½

7 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 7 VALORI di SENO e COSENO a 60° Consideriamo langolo AOB = 60° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico. Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen 60 ° e OC il cos 60 °. B 60° O R=1 A sin 60° C cos 60° Tracciando il segmento AB, si viene allora a determinare il triangolo OAB. Allora il triangolo AOB è anche equilatero. Ricordando ancora che in un triangolo equilatero unaltezza divide la base in due parti uguali, saranno CA = ½ e CO = ½ ; possiamo perciò scrivere: Il triangolo OAB è isoscele ( OB = 1 e OA = 1 ), pertanto gli angoli OAB e OBA sono uguali e ciascuno di 60°. R=1 60° ½ ½ 1

8 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 8 VALORI di SENO e COSENO a 45° Consideriamo langolo AOB = 45° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico. Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen45° e OC il cos45°. B 45° O R=1 A sin 45° C cos 45° Prolungando il segmento BC fino a incontrare ulteriormente il cerchio in B, viene determinato langolo BOA che ha la stessa ampiezza di 45°, pertanto dovrà anche essere BOB = 90°, quindi il triangolo BOB è rettangolo. Allora BB è la diagonale di un quadrato di lato l, pertanto la sua lunghezza è BB = l 2 = 2. Essendo poi CB = BB/2 e CO = C, perché COB è isoscele, si ha: Il triangolo BOB è anche isoscele ( OB = 1 e OB = 1 ), pertanto gli angoli OBB e OBB sono uguali e ciascuno di 45°. 45° R=1 B ° Possiamo poi immaginare il triangolo BOB co me la metà di un quadrato di lato l = R = 1. 2/2 2/2

9 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 9 GRAFICI DELLE FUNZIONI I valori delle funzioni seno e coseno vengono calcolati con la macchina calcolatrice, con essi è possibile costruire i grafici di queste funzioni 100 C 200 C 300 C 400 C 0C0C +1 Il grafico della funzione seno si chiama sinusoide; per costruirlo occorre fissare una scala convenzionale per riportare gli angoli sulle ascisse (per es. nellintervallo 0 c -400 c e fissando un opportuno passo) e una per i valori delle funzioni (da -1 a +1) sullasse delle ordinate. Il grafico della funzione coseno si chiama cosinusoide; per costruirlo occorre procedere in modo analogo a quanto visto per la funzione seno. Se le scale convenzionali sono le stesse, i due grafici possono essere tracciati nella stessa rappre- sentazione. y = sen y = cos 50 c 250 c

10 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 10 DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE Considerando ancora langolo AOB =, tracciamo un cerchio di raggio qualunque R = OA = OB e con centro sul vertice O dellangolo B O R 1) Ripetiamo la costruzione grafica, già vista in precedenza, con la quale rimane definito il triangolo rettangolo OBC. A C 2) Consideriamo i rapporti tra i seg- menti BC e OC (e viceversa). Essi variano solo al variare dellangolo, e non al variare del raggio R

11 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 11 DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE Dunque i precedenti rapporti sono funzioni dellangolo, e più precisamente: Dunque i precedenti rapporti sono funzioni dellangolo, e più precisamente: B O R tangente tg tang Il rapporto (quando esiste) tra il segmento BC, opposto ad, e il segmento OC, adia- cente, viene definito come tangente dellan- golo e si indica con tg o tang. A C cotangente cotg Il rapporto (quando esiste) tra il segmento OC, adiacente ad, e il segmento BC, op- posto, viene definito come cotangente dellan- golo e si indica con cotg. Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni tg e cotg sono numeri adimensionali (puri), e variabili in tutto il campo reale: - h tg + h - h cotg + h Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni tg e cotg sono numeri adimensionali (puri), e variabili in tutto il campo reale: - h tg + h - h cotg + h

12 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 12 DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE Osservando i precedenti rapporti si ricava la ovvia relazione: Osservando i precedenti rapporti si ricava la ovvia relazione: B O R Consideriamo ancora i rapporti tra i segmenti BC e OC. Pensiamo ora di dividere sia il numeratore che il denominatore di questi rapporti per la stessa quantità OB = R A C sen cos tg cotg Ricordando poi la definizione di sen e cos, possiamo riscrivere le definizioni di tg e cotg in questo modo:

13 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 13 DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE Come già detto, il raggio R del cerchio non modifica i rapporti precedenti; è allora possibile adottare un cerchio di raggio unitario R=1 (cerchio goniometrico). O 1 R = 1 Anche le definizioni di tg e di cotg possono essere riscritte in questo ambito che, di fatto, semplifica la notazione. A Y X 1 R = 1 C B tg T cotg S H Conduciamo la tangente nel punto origine A. Prolunghiamo poi il lato estremo OB dell'angolo fino a intersecare nel punto T la retta precedente. Restano definiti i due triangoli rettangoli OBC e OTA. Questi triangoli sono simili, per cui si possono scrivere i seguenti rapporti di similitudine: Dunque, nellambito del cerchio goniometrico, la tangente dellangolo è rappresentata dal segmento AT : Con considerazioni analoghe si ottiene:

14 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 14 VARIAZIONE della TANGENTE Immaginiamo di far descrivere al punto B lintero cerchio goniometrico partendo dalla posizione iniziale B A corrispondente a = 0 c. =0 cB A BC=0, OC=1 O 1 R = 1 A tg 0 c = 0 0c0c0c0c 100 c 200 c 300 c 400 c =100 cC O BC=1, OC=0 non esiste tg 100 c = non esiste tg 100 c = h =200 c BC=0, OC=-1 tg 200 c = 0 =300 c BC=-1, OC=0 tg 300 c = non esiste ( Fh ) tg 300 c = Fh =400 c =0 c BC=0, OC=1 tg 400 c = 0 Però, quando l'angolo ha un valore di poco inferiore a 100 c, ma assai prossimo a 100 c, allora il segmento OC esiste ed è piccolissimo e positivo. Dunque in questo ambito il valore della tangente sarà un valore grandissimo e positivo (indicato come infinito +h). Quando poi l'angolo ha un valore di poco superiore a 100 c, ma assai prossimo a 100 c, allora il segmento OC esiste, è piccolissimo e negativo. Dunque in questo ambito il valore della tangente sarà un valore grandissimo e negativo (indicato come infinito –h). Pertanto, in modo convenzionale si usa scrivere: tg 100 c = h La funzione tangente è periodica con periodo (200 c ).

15 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 15 VARIAZIONE della COTANGENTE =100 c OC=0, BC=1 O 1 R = 1 A cotg 100 c = 0 cotg 0 c = h 0c0c0c0c 100 c 200 c 300 c 400 c =0 c B A OC=1, BC=0 non esiste cotg 0 c = non esiste cotg 100 c = 0 =200 c OC=-1, BC=0 cotg 200 c = non esiste ( h) cotg200 c = h =300 c OC=0, BC=-1 cotg 300 c = 0 =400 c =0 c OC=0, BC=1 cotg 400 c = non esiste ( h) Però, quando l'angolo ha un valore di poco superiore a 0 c, ma assai prossimo a 0 c, il segmento BC esiste ed è piccolissimo e positivo. Dunque in questo ambito il valore della cotangente sarà un valore grandissimo e positivo (indicato come infinito +h). cotg 0 c = h ( h) Quando poi l'angolo ha un valore di poco inferiore a 0c, ma assai prossimo a 0c, allora il segmento BC esiste, è piccolissimo e negativo. Dunque in questo ambito il valore della cotangente sarà un valore grandissimo e negativo (indicato come infinito -h). Pertanto, in modo convenzionale si usa scrivere: La funzione cotangente è periodica con periodo (200 c ).

16 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 16 SEGNI di TANGENTE e COTANGENTE Per valutare i che assumono nei vari quadranti, basta osservare che queste funzioni sono anche fornite dai rapporti tra seno e coseno dello stesso angolo, dunque è sufficiente valutare i segni di queste ultime funzioni nei vari quadranti. Per valutare i segni che tangente e cotangente assumono nei vari quadranti, basta osservare che queste funzioni sono anche fornite dai rapporti tra seno e coseno dello stesso angolo, dunque è sufficiente valutare i segni di queste ultime funzioni nei vari quadranti. O A 0c0c0c0c 100 c 200 c 300 c 400 c tangentecotangente I° Quadrante + + II° Quadrante III° Quadrante + + IV° Quadrante Intanto possiamo osservare che tangente e cotangente assumono sempre lo stesso segno. Questo è positivo quando seno e coseno presentano segni concordi (I° e III°). È invece negativo quando seno e coseno presentano segni discordi (II° e IV°).

17 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 17 VALORI di TANGENTE e COTANGENTE a 30° 60° 45° Ricordando i valori assunti dalle funzioni seno e coseno riferiti agli angoli 30°, 60°, 45°, è facile determinare i valori che assumono la e la in corrispondenza di tali angoli. Ricordando i valori assunti dalle funzioni seno e coseno riferiti agli angoli 30°, 60°, 45°, è facile determinare i valori che assumono la tangente e la cotangente in corrispondenza di tali angoli.

18 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 18 GRAFICI DELLA FUNZIONI I valori delle funzioni vengono calcolati con la macchina calcolatrice, con essi è possibile costruire i grafici delle loro funzioni I valori delle funzioni tangente e cotangente vengono calcolati con la macchina calcolatrice, con essi è possibile costruire i grafici delle loro funzioni 100 C 200 C 300 C 400 C Il grafico della funzione tangente si chiama tangen- toide; esso è caratterizzato da punti di indeterminazione a 100 C, 300 C, ecc. In corrispondenza di ciascuno di questi punti sono presenti asintoti. Il grafico della funzione cotangente si chiama cotan- gentoide; esso è caratterizzato da punti di indeterminazione a 0 C, 200 C, ecc. In corrispondenza di ciascuno di questi punti sono presenti asintoti. y = tg y = cotg 50 c 150 c 350 c

19 SVILUPPO DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

20 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 20 I TRIANGOLI RETTI La trigonometria serve a risolvere i triangoli, cioè permette di calcolare gli elementi incogniti quando se ne conoscono tre elementi, tra i quali deve sempre essere compreso almeno un lato (o un elemento lineare). B Convenzionalmente gli elementi del triangolo rettangolo sono individuati con la simbologia mostrata nella figura a fianco. A C a c b 100 c In un triangolo rettangolo un elemento è sempre noto (langolo retto: 90°; 100 c ; /2); pertanto la sua risoluzione richiede due elementi, di cui almeno uno deve essere un lato (comunque un elemento lineare). In un triangolo rettangolo gli angoli acuti e sono complementari, pertanto possiamo scrivere le seguenti relazioni: = 100 c – e = 100 c –

21 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 21 LA MODALITÀ DELLA COSTRUZIONE La costruzione che porta a definire tutte le funzioni goniometriche è sempre stata proposta in un contesto particolare. Tuttavia la stessa costruzione può essere eseguita anche in altri contesti senza mutare in alcun modo la generalità delle affermazioni fin qui enunciate. B O R A C B O R A C Non solo, ma osserviamo anche che in qualunque modalità avvenga la costruzione grafica, essa produce sempre un triangolo rettangolo (non importa come orientato). Osserviamo inoltre che anche il cerchio non è affatto indispensabile alla costruzione, ma viene tracciato unicamente per opportunità espositiva.

22 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 22 Dunque lelemento essenziale della costruzione grafica è solo il triangolo rettangolo; pertanto, considerando solo angoli acuti, possiamo riformulare le definizioni di seno e coseno riferendoci a un qualunque triangolo rettangolo, comunque orientato. RIDEFINIZIONE DI SENO E COSENO B A C a c b 100 c In un triangolo rettangolo: il seno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto allangolo e lipotenusa; il coseno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente allangolo e lipotenusa. In un triangolo rettangolo: il seno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto allangolo e lipotenusa; il coseno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente allangolo e lipotenusa. Considerando langolo acuto possiamo scrivere:

23 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 23 TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTI Dalla definizione di seno e coseno langolo acuto si ottiene: Dalla definizione di seno e coseno langolo acuto si ottiene: B A C a c b 100 c Dalla definizione di seno e coseno langolo acuto si ottiene: Dalla definizione di seno e coseno langolo acuto si ottiene: sin = cos sin = cos (100 c – ) cos = sin (100 c – ) cos = sin

24 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 24 ENUNCIATI DEI TEOREMI DEI T.R. B A C a c b 100 c in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dellipotenusa per il seno dellangolo opposto a quel cateto; in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dellipotenusa per il coseno dellangolo adiacente a quel cateto; in ogni triangolo rettangolo, la misura dellipotenusa è uguale al rapporto tra un cateto e il seno dellangolo opposto a questo cateto; oppure è uguale al rapporto tra un cateto e il coseno dellangolo a esso adiacente. Dalle precedenti relazioni è possibile formulare i seguenti enunciati:

25 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 25 Analogamente a quanto visto per le funzioni seno e coseno, possiamo riformulare le definizioni di tangente e cotangente riferendoci a un qualunque triangolo rettangolo, comunque orientato. RIDEFINIZIONE DI TG E COTG B A C a c b 100 c In un triangolo rettangolo: la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto allangolo e il cateto adiacente; la cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente allangolo e il cateto opposto. In un triangolo rettangolo: la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto allangolo e il cateto adiacente; la cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente allangolo e il cateto opposto. Considerando langolo acuto possiamo scrivere:

26 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 26 TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTI Dalla definizione di tg e cotg langolo acuto si ottiene: Dalla definizione di tg e cotg langolo acuto si ottiene: B A C a c b 100 c Dalla definizione di tg e cotg langolo acuto si ottiene: Dalla definizione di tg e cotg langolo acuto si ottiene: tg = cotg tg = cotg (100 c – ) cotg = tg (100 c – ) cotg = tg

27 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 27 ENUNCIATI DEI TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTANGOLI B A C a c b 100 c in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dellaltro cateto per la tangente dellangolo opposto a quel cateto; in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dellaltro cateto per la cotangente dellangolo adiacente a quel cateto. Dalle precedenti relazioni è possibile formulare i seguenti enunciati:


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