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PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI LIMITI DI UNA FUNZIONE Prerequisiti : - funzioni - intorni.

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Presentazione sul tema: "PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI LIMITI DI UNA FUNZIONE Prerequisiti : - funzioni - intorni."— Transcript della presentazione:

1 PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI LIMITI DI UNA FUNZIONE Prerequisiti : - funzioni - intorni

2 PRIMI CONCETTI Il limite di una funzione è un concetto matematico che consente di studiare landamento di una funzione nel suo dominio o in particolari punti non necessariamente appartenenti ad esso. LIMITI DI FUNZIONI 1/8

3 ESEMPI INTRODUTTIVI ESEMPIO 1/3 Assegnando alla x i valori 1, 2, 3, 4, 5, … osserviamo che i corrispondenti valori della funzione tendono al numero 1 senza mai oltrepassarlo ? Osservazione 1 Possiamo dire intuitivamente che la funzione, per valori della x 1, ha un LIMITE che non può oltrepassare x f(x)0 0,5 0,66 0, ? ,5 16, f(x) 1,2 1,1 1,08 1,06 1,04 1,01...x ESEMPIO 2/3 Assegnando alla x valori prossimi a 1, la funzione tende ad assumere valori sempre più grandi Osservazione 2 Il valore x=1 non fa parte del dominio della funzione LIMITI DI FUNZIONI 2/8

4 ESEMPI INTRODUTTIVI ESEMPIO 3/3 ? Osservazione 3 Comunque si scelga il numero positivo ε, lintorno di 4 ] 4 – ε, 4 +ε[ determina sempre un intorno H del punto c=2 x... 1,8 1,9 2 2,1 2,2... f(x)... 3,24 3, ,84... Assegnando alla x valori prossimi a c=2, la funzione tende ad assumere valori prossimi a 4 LIMITI DI FUNZIONI 3/ ε 4- ε ε ε 2 Un intorno H del punto 2 Cosa abbiamo ottenuto? Possiamo affermare che:

5 DEFINIZIONI Definizione 1 (limite finito in un punto finito) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE il numero l, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo ε, si può determinare un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad H D, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l|< ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε LIMITI DI FUNZIONI 4/8 l l +εl +ε l -εl -ε c f(x) x H si legge: limite per x che tende a c di f(x) Notazione

6 Definizione 2 (limite infinito in un punto finito) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE linfinto, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo M, si può determinare un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad H D, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x) | > M cioè le disequazioni: f(x) M LIMITI DI FUNZIONI 5/8 In particolare, se vale: f(x) > M allora f(x) < -M allora c M x H f(x) -M

7 Definizione 3 (limite finito in un punto allinfinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente allinfinito, ha per LIMITE l, e si scrive LIMITI DI FUNZIONI 6/8 Se la dis. è verificata da: x > N allora x < -N allora l x N f(x) l +εl +ε quando, comunque si scelga un numero positivo ε, è sempre possibile determinare un numero N>0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\>N ( ovvero x N ) risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l|< ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε l -εl -ε -N

8 Definizione 4 (limite infinito in un punto allinfinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente a, ha per LIMITE linfinto, e si scrive quando, comunque si scelga M > 0, si può determinare N > 0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\>N risulti soddisfatta la disequazione: |f(x) | > M cioè le disequazioni: f(x) M LIMITI DI FUNZIONI 7/8 M x N f(x) -M -N

9 Definizione 5 (limite infinito in un punto allinfinito) Nelle condizioni della precedente definizione, possiamo considerare i seguenti casi particolari: LIMITI DI FUNZIONI 8/8 f(x) < -Nx < -N f(x) > Mx < - N f(x) < - Mx > N f(x) > Mx > N graficoallorarisultase per ogni


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