Funzioni goniometriche IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito1.

Presentazione sul tema: "Funzioni goniometriche IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito1."— Transcript della presentazione:

1

2 Funzioni goniometriche IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito1

3 MISURA ANGOLI E ARCHI IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito2

4 Archi e angoli orientati Una circonferenza di raggio arbitrario può essere percorsa, da un punto P, in due versi opposti: antiorario (positivi archi e angoli al centro), orario (negativi archi e angoli al centro) A P O α -β-β IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito3

5 Sistema sessagesimale Si assume come unità di misura per gli angoli il grado che è la novantesima parte dell’angolo retto I suoi sottomultipli sono: il minuto primo e il minuto secondo IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito4

6 360° 270° 180° 90 ° 0° 315° 225° 135° 45° Senso antiorario IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito5

7 -360° -270° -180° -90 ° 0° -315° -225° -135° -45° Senso orario IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito6

8 Sistema circolare In goniometria, trigonometria e nel calcolo infinitesimale non si usa il sistema sessa- gesimale ma si preferisce usare il sistema circolare poiché è decimale. In tale sistema l’unità di misura è l’angolo radiante che è l'angolo al centro di una circonferenza,di raggio arbitrario,che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito7

9 Angolo di un radiante l = r r 1 rad IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito8

10 La misura di un angolo in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza di un arco di circonfe- renza sotteso dall‘angolo, e la lunghezza del raggio di tale circonferenza. misura di un angolo in radianti Img da http://it.wikipedia.org/wiki/Radiante IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito9

11 Lunghezza dell'arco di circonferenza La lunghezza di un arco di circonferenza è immediatamente ricavabile quando si lavora con gli angoli misurati in radianti; infatti da IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito10

12 Area del settore circolare αrαr l r IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito11

13 Misura angolo giro IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito12

14 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito13

15 Poiché tra angoli al centro ed archi esiste una corrispondenza biunivoca, per operare una conversione da radianti a gradi e viceversa, si utilizza la seguente proporzione: Ponendo nella seconda formula α r =1 si ottiene la misura in gradi di un angolo radiante: Passaggio da un'unità di misura all'altra IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito14

16 Angolo di un radiante l = r r IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito15

17 0  /6 2  /3  /4  /3 3  /4 5  /6   /2 7  /6 5  /4 4  /3 3  /2 7  /4 5  /3 11  /6 30° 45° 60°90°120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito16

18 0 -11  /6 -4  /3 -7  /4 -5  /3 -5  /4 -7  /6 -- -3  /2 -5  /6 -3  /4 -2  /3 -  /2 -  /4 -  /3 -  /6 -330° -315° -300°-270°-240° -225° -210° -180° -150° -135° -120° -90° -60° -45° -30° IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito17

19 Funzioni goniometriche IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito18

20 Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione seno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito19

21 Dato un triangolo rettangolo, il seno (abbreviato sin o, in italiano, sen) di un angolo è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell‘’ipotenusa. Tale rapporto varia al variare dell’angolo, per cui il seno è funzione dell’angolo x Definizione di seno x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito20

22 Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura. In questo caso la misura del cateto opposto all’angolo x è proprio il valore del seno di x 1 senx x IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito21

23 Per vedere come varia la funzione seno al variare dell’angolo, consideriamo una circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario, detta circonferenza goniometrica Circonferenza goniometrica e variazione del seno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito22

24 2π2π 3π/2 π π/2 0 Il seno nel I quadrante è positivo e passa da 0 a 1 Il seno nel II quadrante è positivo e passa da 1 a 0 Il seno nel III quadrante è negativo e passa da 0 a -1 Il seno nel IV quadrante è negativo e passa da -1 a 0 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito23

25   /2 0 22 3  /2 1 Grafico del seno(sinusoide) IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito24

26 -- 0 -2  -3  /2 1 -  /2 sinusoide IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito25

27 sinusoide   /2 0 22 3  /2 1 -- -2  -3  /2 -  /2 Notiamo che la funzione seno è periodica, cioè il grafico si ripete ad intervalli regolari di ampiezza 2π. Questo vuol dire che aggiungendo un multiplo di 2π all’angolo il valore della funzione non cambia valore IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito26

28  /2 5  /2 22 3  /27  /2 22 Periodicità del seno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito27

29 Periodicità del seno Dire che la funzione seno è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito28

30 Caratteristiche della funzione seno La funzione seno ha per dominio R e per codominio l’intervallo [-1;1]; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine per cui sen(-x)=-sen(x); è periodica di periodo 2π.   /2 0 22 3  /2 1 -- -2  -3  /2 -  /2 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito29

31 Funzione arcoseno La funzione seno non è invertibile perché non è biunivoca. Si possono restringere, in modo opportuno, il dominio e l’insieme di arrivo in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente scegliere un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito30

32 1  /2  -  /2 Restringiamo il dominio all’intervallo [-π/2;π/2] in cui la funzione è strettamente crescente e l’insieme di arrivo all’intervallo [-1;1]. In tali restrizioni la funzione è biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito31

33 Funzione arcoseno da http://it.wikipedia.org/wiki/Arcoseno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito32

34 Caratteristiche della funzione arcoseno La funzione arcoseno ha per dominio l’intervallo [-1;1]; e per codominio l’intervallo [-π/2; π/2]; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine per cui arcsen(-x)=-arcsen(x); f(-1)=-π/2; f(0)=0; f(1)=π/2 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito33

35 Il grafico della funzione arcoseno è simmetrico, rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, del grafico della funzione seno nell’intervallo [-π/2; π/2] Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni seno e arcoseno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito34

36 Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione coseno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito35

37 Dato un triangolo rettangolo, il coseno (abbreviato cos) di un angolo è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell‘’ipotenusa. Tale rapporto varia al variare dell’angolo, per cui il coseno è funzione dell’angolo x Definizione di coseno x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito36

38 Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura. In questo caso la misura del cateto adiacente all’angolo x è proprio il valore del coseno di x 1 senx x cosx IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito37

39 Quindi in un triangolo rettangolo di ipotenusa uguale a 1 il cateto opposto e il cateto adiacente all’angolo x misurano rispettivamente senx e cosx 1 senx x cosx IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito38

40 1 cosx x senx Prima relazione fondamentale IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito39

41 Per vedere come varia la funzione coseno al variare dell’angolo, conside- riamo sempre la circonferenza gonio- metrica Circonferenza goniometrica e variazione del seno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito40

42 cosx Il coseno nel I quadrante è positivo e passa da 1 a 0 Il coseno nel II quadrante è negativo e passa da 0 a -1 Il coseno nel III quadrante è negativo e passa da -1 a 0 Il coseno nel IV quadrante è positivo e passa da 0 e 1 2π2π 3π/2 π π/2 0 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito41

43   /2 0 22 3  /2 Grafico del coseno(cosinusoide) 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito42

44 Periodicità del coseno  33 22 0 22 22 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito43

45 Periodicità del coseno Dire che la funzione coseno è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito44

46 Caratteristiche della funzione coseno La funzione coseno ha per dominio R e per codominio l’intervallo [-1;1]; è una funzione pari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle y per cui cos(-x)=cos(x); è periodica di periodo 2π. 0 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito45

47 Funzione arcocoseno La funzione arcocoseno non è invertibile perché non è biunivoca. Si possono restringere, in modo opportuno, il dominio e l’insieme di arrivo in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente sceglie- re un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito46

48 0  1 Restringiamo il dominio all’intervallo [0;π] in cui la funzione è strettamente decrescente e l’insieme di arrivo all’intervallo [-1;1]. In tali restrizioni la funzione è biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito47

49 Funzione arcocoseno da http://it.wikipedia.org/wiki/Arcoseno IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito48

50 Caratteristiche della funzione arcocoseno La funzione arcocoseno ha per dominio l’intervallo [-1;1] e per codominio l’intervallo 0; π]; è sempre decrescente e non è mai negativa; f(-1)=π; f(0)=π/2; f(1)=0 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito49

51 Il grafico della funzione arcocoseno è simmetrico, rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, del grafico della funzione coseno nell’intervallo [0; π] Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni coseno e arcocoseno πx y 1 y=x π 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito50

52 Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione tangente IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito51

53 Dato un triangolo rettangolo, la tangente (abbreviato tg) di un angolo è definita come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto e del cateto adiacente all'angolo. Tale rapporto varia al variare dell’angolo, per cui la tangente è funzione dell’angolo x Definizione di tangente x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito52

54 Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura 1 cosx x senx IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito53

55 O A B H T AT : OA= BH: OH AT : 1 = senx : cosx tgx I triangoli OAT e OHB sono simili per cui si ha: Per vedere come varia la tangente basta vedere come varia AT: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito54

56 2π2π 3 π /2 π π/2 0° La tangente nel I quadrante è posi- tiva e passa da 0 a +∞ La tangente nel II quadrante è negativa e passa da -∞ a 0 La tangente nel III quadrante è positiva e passa da 0 a +∞ La tangente nel II quadrante è negativa e passa da -∞ a 0 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito55

57   /2 0 22 3  /2 Grafico tangente IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito56

58   /2 0 22 3  /2 Periodicità della tangente  /3 4  /3  7  /3  10  /3  IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito57

59 Periodicità della tangente Dire che la funzione tangente è periodica di periodo  (180 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di  (180 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito58

60 Caratteristiche della funzione tangente La funzione tangente ha per dominio: e per codominio tutto R ; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine y per cui tg(-x)=-tg(x); è periodica di periodo π. IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito59

61 Significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta Tracciamo una circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=mx α y=mx tgα 1 Il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse x IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito60

62 Funzione arcotangente La funzione arcotangente non è invertibile perché è solo suriettiva ma non iniettiva. Si può restringere, in modo opportuno, il dominio in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente scegliere un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito61

63  /2 0 22 3  /2 -  /2 Restringiamo il dominio all’intervallo ]-π/2;π/2[ in cui la funzione è stret- tamente crescente. In tale restrizione la funzione è biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito62

64  /2 0 -  /2 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito63

65  /2 0 -  /2 Caratteristiche della funzione arcotangente La funzione arcotangente ha per dominio tutto R e per codominio l’intervallo ]-π/2; π/2[; è sempre crescente; f(x)>0 per x>0; f(x)<0 per x<0; f(0)=0; IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito64

66 Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni tangente e arctangente IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito65

67 Consideriamo un angolo di ampiezza x di vertice O e semirette r ed s. Presi dei punti su r tracciamo le perpendicolari alla semiretta s. Si vengono, così, a formare dei triangoli rettangoli, tutti simili tra loro, in quanto hanno gli angoli congruenti; per cui si ha: x O r s P1P1 H1H1 P2P2 H2H2 P3P3 H3H3 Funzione cotangente IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito66

68 Poiché il triangolo rettangolo è arbitrario possiamo considerare un triangolo rettangolo di ipotenusa pari all’unità di misura 1 cosx x senx IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito67

69 O A B C T CE : 1 = 1 : tgx ctgx E CE : OA = OC : AT Per vedere come varia la tangente basta vedere come varia CE I triangoli OAT e OEC sono simili per cui si ha: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito68

70 O 2π2π 3π/2 π π/2 La cotangente nel I quadrante è positiva e passa da +∞ a 0 La cotangente nel II quadrante è negativa e passa da 0 a -∞ 0 Nel III e IV quadrante la funzione assume gli stessi valori del I e del II quadrante IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito69

71   /2 0 22 3  /2 Grafico cotangente -  /2 -- IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito70

72   /2 0 22 3  /2 Periodicità cotangente -  /2 --  /6 7  /6  -5  /6 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito71

73 Periodicità della cotangente Dire che la funzione cotangente è periodica di periodo  (180 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di  (180 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito72

74 Caratteristiche della funzione cotangente La funzione cotangente ha per dominio: e per codominio tutto R ; è una funzione dispari perché il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine y per cui ctg(-x)=-ctg(x); è periodica di periodo π. IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito73

75 Funzione arcocotangente La funzione arcotangente non è invertibile perché è solo suriettiva ma non iniettiva. Si può restringere, in modo opportuno, il dominio in modo da rendere la funzione biunivoca. E’ sufficiente scegliere un intervallo in cui la funzione sia sempre crescente o decrescente in senso stretto IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito74

76   /2 0 22 3  /2-  /2 -- Restringiamo il dominio all’intervallo ]0;π[ in cui la funzione è strettamente crescente e quindi biunivoca IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito75

77   /2 0 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito76

78  /2 0  IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito77

79 Caratteristiche della funzione arcocotangente La funzione arcotangente ha per dominio tutto R e per codominio l’intervallo ]0; π[; è sempre positiva e decrescente; f(0)=π/2;  /2 0  IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito78

80  /2 0   Simmetria rispetto alla bisettrice delle funzioni cotangente e arcocotangente IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito79

81 Secante di un arco IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito80

82 O x P S’ S H OS : OP = OP : OH ° ° OS : 1 = 1 : COSX OS = 1/ COSX SECX = 1/ COSX x I triangoli OPS e OPH sono simili per cui si ha: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito81

83  /2 0 22 3  /2 Grafico secante 5  /233 7  /2 1 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito82

84  /2 0 22 3  /2 Periodicità della secante 5  /233 7  /2 22 22 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito83

85 Periodicità della secante Dire che la funzione secante è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito84

86 cosecante di un arco IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito85

87 O x P S’ S H OS’ : OP = OP : PH OS’ : 1 = 1 : SENX OS’ = 1/ SENX COSECX = 1/ SENX x ° ° I triangoli OPS’ e OPH sono simili per cui si ha: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito86

88 -- -  /2 0  /2 3  /2 Grafico cosecante  3  /222 1 -3  /2 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito87

89 -  /2-- 0  /2 -3  /2 Periodicità della cosecante  3  /222 22 22 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito88

90 Periodicità della cosecante Dire che la funzione cosecante è periodica di periodo 2  (360 ° ) vuol dire che aggiungendo all’angolo un multiplo di 2  (360 ° ) si ottiene sempre lo stesso valore: IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito89

91 Schema per la conversione gradi-radianti Img da http://it.wikipedia.org/wiki/Radiante IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito90

92 ESERCIZI IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito91

93 Esercizio 1 Quanto vale l’area della zona colorata? 4 4 IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito92

94 2 2 Area verde = area quadrato di lato 2 – ¼ di cerchio di raggio 2 Area gialla = area quadrato di lato 4 – 8 area verde IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito93

95 Esercizio 2 Calcola la misura in gradi e in radianti, di un angolo al centro di una circonferenza il cui raggio è uguale a 5 cm e che sottende un arco lungo 23 cm 5 l=23 cm IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito94

96 Esercizio 3 Calcola la lunghezza di un arco di circonferenza con il raggio lungo 7 cm e che sottende un angolo uguale a 4,2 radianti 7 l αrαr IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito95

97 Esercizio 4 Un settore circolare ha un angolo al centro che misura 96° e l’area uguale a 60π. Determina la misura del raggio della circonferenza e dell’arco che è definito dal settore r l α IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito96

98 Fine presentazione IISS "E.Medi"Galatone a.s. 2012-2013 Prof. Giuseppe Frassanito97