DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall’insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali.

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1 DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall’insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. Multipli di un numero ESEMPIO M4M4 { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, … } I multipli del numero 4 costituiscono l’insieme Essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di un numero sono infiniti. I multipli di 2 costituiscono la successione dei numeri pari, tutti gli altri numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari. 1 La divisibilità

2 DEFINIZIONE. Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero (r = 0), diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo. Divisori di un numero ESEMPIO I divisori di un numero costituiscono un insieme finito, poiché il divisore più grande è sempre uguale al numero stesso. 186 3 4 4 resto 0 2 3 è divisore di 18 e 18 è divisibile per 3 4 non è divisore di 18 e 18 non è divisibile per 4 2 La divisibilità

3 I criteri di divisibilità CRITERIO. Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari. Divisibilità per 2 ESEMPIO 28 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra 8 è pari. CRITERIO. Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque. Divisibilità per 5 ESEMPIO 90 è divisibile per 5 perché termina con 0. 3 La divisibilità

4 CRITERIO. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (o di 9). Divisibilità per 3 e per 9 ESEMPIO 18 è divisibile per 3 (e per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 8 = 9, è un multiplo di 3 (e di 9). CRITERIO. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella di posto pari (o viceversa) è 0 o un multiplo di 11. Divisibilità per 11 ESEMPIO 209 è divisibile per 11 perché (2 + 9) – 0 = 11 15 è divisibile per 3 (ma non per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 5 = 6, è un multiplo di 3 (e non di 9). 4 I criteri di divisibilità La divisibilità

5 CRITERIO. Un numero è divisibile per 10, 100, 1000, … se termina rispettivamente con uno, due, tre, … zeri. Divisibilità per 10, 100, 1000 ESEMPIO 700 è divisibile:  per 100 perché termina con due zeri;  per 10 perché l’ultima cifra è uno zero. 5 I criteri di divisibilità La divisibilità

6 CRITERIO. Un numero è divisibile per 4 o per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4 o di 25, oppure sono due zeri. Divisibilità per 4 e 25 ESEMPIO 128 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre (28) sono divisibili per 4, infatti 28 : 4 = 7 475 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre (75) sono divisibili per 25, infatti 75 : 25 = 3 6 I criteri di divisibilità La divisibilità

7 Numeri primi e numeri composti DEFINIZIONE. Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. ESEMPIO 5 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 5. 11 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 11. 23 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 23. 12 Non è un numero primo perché è divisibile per altri numeri ( 2, 3, 4, 6 ) oltre all’ 1 e a se stesso. 7 La divisibilità

8 La scomposizione in fattori primi DEFINIZIONE. L’operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. ESEMPIO 1322 662 333 11 1 Divisori primi Quoti REGOLA. Per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero dato e i suoi divisori primi (in ordine crescente) fino ad ottenere come quoto uno. I divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza. 132 2 2 311 8 La divisibilità

9 CRITERIO. Due numeri sono divisibili tra loro se ciascun fattore del numero divisore è presente nella scomposizione del numero dividendo ed ha esponente minore o uguale a quello del fattore corrispondente. Criterio generale di divisibilità ESEMPIO REGOLA. Il quoziente di due numeri divisibili fra loro si ottiene moltiplicando tutti i fattori del dividendo aventi per esponente la differenza degli esponenti con cui compaiono nei due termini della divisione. 902 93 33 1 521602 2162 1082 54 5 2 327 9 3 1 3 3 Poiché tutti i fattori del divisore sono presenti fra i fattori del dividendo ed hanno esponente minore, possiamo affermare che 2160 è divisibile per 90. 2160 = 2 4  3 3  5 90 = 2  3 2  5 9 La divisibilità

10 DEFINIZIONE. Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) ESEMPIO 1216 D 12 { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } D 16 { 1, 2, 4, 8,16 } D 12, 16 { 1, 2, 4 } Il numero 4 è il maggiore dei divisori comuni tra i due numeri e viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.). M.C.D. (12, 16) = 4 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è divisore di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il M.C.D. dei numeri dati. 10 La divisibilità

11 ESEMPIO 625 D 12 { 1, 2, 3, 6 } D 16 { 1, 5, 25 } M.C.D. (6, 25) = 1 DEFINIZIONE. Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno 1 come M.C.D. 6 e 25 sono primi tra loro. 11 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) La divisibilità

12 REGOLA. Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente minore. Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.) attraverso la scomposizione in fattori primi ESEMPIO 4202 422 213 7 5 17602 1762 882 44 5 2 222 11 1 I fattori comuni con l’esponente minore delle tre scomposizioni sono 2 2 e 5. 1 7 2002 22 1 5252 M.C.D. (1760, 420, 200) = 2 2 5 = 20 1760 = 2 5  5  11 420 = 2 2  3  5  7 200 = 2 3  5 2 12 La divisibilità

13 DEFINIZIONE. Il m.c.m. di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi. Il minimo comune multiplo (m.c.m.) ESEMPIO 2 3 M2M2 { 2, 4, 6, 4, 8, 10, 12 … } M3M3 { 3, 6, 9, 12,15, 18, 21 … } Il numero 6 è il minore dei multipli in comune tra i due numeri, pertanto m.c.m. (2, 3) = 6 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è multiplo di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il m.c.m. dei numeri dati. CRITERIO. Se due o più numeri sono primi tra loro, il m.c.m. è dato dal prodotto dei due numeri. M 2,3 { 6, 12, 18, 24 … } 13 La divisibilità

14 Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente maggiore. ESEMPIO 525 1055 213 7 5 2102 213 77 1 5 1 7 7355 1473 49 7 77 1 m.c.m. (210, 525, 735) = 2  3  5 2  7 2 = 7350 I fattori comuni con l’esponente maggiore sono 3, 5 2 e 7 2, il fattore non comune è 2. 210 = 2  3  5  7525 = 3  5 2  7 735 = 3  5  7 2 14 La divisibilità