Aspetti Filosofici Parte I Considerando la forma provvisoria degli appunti, non citare o distribuire.

Aspetti Filosofici Parte I Considerando la forma provvisoria degli appunti, non citare o distribuire

Aspetti filosofici della meccanica quantistica (2004-2005) Mauro Dorato, Dipartimento di Filosofia, Università degli studi “Roma Tre”, via Ostiense 234, 00146, Roma, e-mail:dorato@uniroma3.it Tel. 06-54577523; Fax 06-54577340 Libri di testo: Ghirardi, G. (1997), I fondamenti concettuali e le implicazioni epistemologiche della meccanica quantistica in G. Boniolo (a cura di) Filosofia della fisica, B. Mondadori, Milano, pp.337-608; Laudisa F. (1998), Correlazioni pericolose, Il Poligrafo, Padova

Schema del corso Introduzione: il compito della filosofia della MQ Il dualismo onda-corpuscolo nell’esperimento delle due fenditure: i possibili limiti evolutivi nella comprensione (Feynman) Storia delle interpretazioni filosofiche, ovvero le posizioni filosofiche dei padri fondatori. Confronto tra l’apparato formale della MQ e quello della meccanica classica: il problema della misura Il dibattito Einstein-Bohr (1927-1935) La non-località e il teorema di Bell La teoria a variabili nascoste di Bohm Le altre interpretazioni della meccanica quantistica: Everett e i molti mondi I modelli di riduzione dinamica I teoremi limitativi della MQ: von Neumann (1932), Gleason (1957), Kochen-Specker (1967)

Introduzione Che cos’è la filosofia della meccanica quantistica?

Cominciamo con alcune citazioni che mostrano perché non possiamo essere realisti solo quando ci fa comodo….ovvero il lunedì, il mercoledì e il sabato (quando non utilizziamo la MQ)

To try to stop all attempts to pass beyond the present viewpoint of quantum physics could be very dangerous for the progress of science and would therefore be contrary to the lessons we may learn from the history of science. This teaches us, in effect, that the actual state of our knowledge is always provisional and that there must be, beyond what is actually known, immense new regions to discover Luis de Broglie, Prefazione a M. Born, Causality and Chance in Modern Physics “Quantum mechanics, that mysterious, confusing discipline, which none of us really understands but which we know how to use” M. Gell Mann, Questions for the Future, in The Nature of Matter, Wolfson College Lectures 1980, Clarendon Press, Oxford, quoted in Bohm-Hiley, The undivided universe, Routledge, 1993, p.1.

 I am going to tell you what nature behaves like…Do not keep saing to yourself, if you can possibly avoid it, “But how can it be like that?” because you will get “down the drain”, into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that. Feynman R. The Character of Physical Law, p. 129  The fact that an adequate philosophical presentation [of quantum mechanics] has been long delayed is no doubt caused by the fact that Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job was done fifty year ago. Gell Mann, M (1979), “What are the building blocks of matter?” in D. Huff and O. Prewitt (eds.) The Nature of the Physical Universe, New York, Wiley

 A discussion of the interpretation of quantum mechanics on any level beyond this almost inevitable becomes vague. The major difficulty involves the concept of “measurement”…I have taught graduate courses for over 20 years at Columbia, Stanford, Oxford and Yale, and for almost all of them have dealt with measurement in the following manner. On beginning the lectures I told the students “You must first learn the rule of calculation in quantum mechanics, and then I will tell you about the theory of measurement and discuss the meaning of the subject”. Almost invariably, the time allotted to the course run out before I had to fulfill my promise. Lamb, Willis, Premio Nobel, (1969), citato in Wheeler J.A. and Zurek W. (1983), Quantum Theory and Measurement, Princeton Univ. Press, Princeton, pp. xviii-xix)

Il problema essenziale che tratteremo ha a che fare con l’interpretazione di un formalismo matematico che funziona in modo straordinariamente preciso a scopi predittivi, ma che, come vedremo, non ci dice come può essere fatto il mondo, in modo che la teoria possa essere considerata almeno “approssimativamente vera”. Interpretare è un termine tecnico e qui significa “cercare di comprendere che cosa ci dicano le teorie fisiche intorno al mondo”; pur essendo un’attività tipicamente filosofica, questa attività ha visto coinvolti i migliori scienziati della tradizione occidentale, da Copernico a Galilei, da Boltzmann ad Einstein, da Schroedinger a Feynman e a Gell-Mann.

«la vera difficoltà sta nel fatto che la fisica è un tipo di metafisica… la fisica descrive “la realtà”; ma questa descrizione può essere completa o incompleta. E noi non sappiamo cosa sia “la realtà”, se non attraverso la descrizione fisica che ne diamo di essa.» Einstein a Schroedinger 19 giugno 1935

Uno sguardo al futuro e un invito ai filosofi… La gravità quantistica

In this essay I describe the present state of affairs in fundamental theoretical physics…. I believe that we are going through a period of profound confusion, in which we lack a general coherent picture of the physical world capable of embracing what, or at least most of what, we have learned about it. The “fundamental scientific view of the world of the present time is characterized by an astonishing amount of perplexity, and disagreement, about what time, space, matter, and causality are….General relativity and quantum mechanics are discoveries as extraordinary as the Copernican discovery. I believe they are, like Kepler’s ellipses and Descartes’ principle of inertia, fragments of a future science. I think that it is time to take them seriously, to try to understand what we have actually learned about the world by discovering relativity and quantum theory, and to find the fruitful questions. Maybe the Newtonian age has been an accident, and we will never again reach a synthesis. If so, a major project of natural philosophy has failed. But if a new synthesis is to be reached, I believe that philosophical thinking will be once more one of its ingredients. Due to the vastness of the problem involved, the generality and accuracy of philosophical thinking and it capacity to clarify conceptual premises are probably necessary to help physics out of a situation in which we have learned so much about the world, but no longer know what matter, time, space, and causality are. [C. Rovelli, “Half way through the woods”, The Cosmos of Science, eds. John Earman and John Norton (University of Pittsburgh Press, 1997), pp. 180-82 ]

Can philosophers really contribute to the project of reconciling general relativity and quantum field theory? Or is this a technical business best left to the experts? [.] General relativity and quantum field theory are based on some profound insights about the nature of reality. These insights are crystallized in the form of mathematics, but there is a limit to how much progress we can make by just playing around with this mathematics. We need to go back to the insights behind general relativity and quantum field theory, learn to hold them together in our minds, and dare to imagine a world more strange, more beautiful, but ultimately more reasonable than our current theories of it. For this daunting task, philosophical reflection is bound to be of help. [Baez, “‘Higher-Dimensional Algebra and Planck Scale Physics”. In C. Callender & N. Huggett (eds.), Physics Meets Philosophy at the Planck Scale. Cambridge University Press:177-195, p.177]

Sul compito di una teoria fisica

Oltre alla predizione dei fenomeni, il compito di una teoria fisica, visto da un punto di vista filosofico, è duplice: (1) Capire come è fatto il mondo interpretando il formalismo, e dunque fare ontologia, il che significa: domandarsi che cosa esiste e quali siano le sue proprietà sulla base della fisica (2) Cercare di comprendere come questa ontologia si rapporti alla nostra esperienza del mondo: per es., l’ontologia non può avere conseguenze che contraddicano l’esperienza.

“L’esperimento è solo un banale strumento. Il vero fine resta: comprendere il mondo. Limitare lo scopo della meccanica quantistica esclusivamente a render conto delle futili operazioni che eseguiamo nei nostri laboratori equivale a tradire la grande impresa” J.S. Bell, 1990, “Against measurement”, in Sixty-two years of uncertainty, Plenum Press New York

Le due domande principali che solleveremo durante il corso 1.Considerando il carattere statistico o probabilistico della MQ, è possibile completare la teoria introducendo qualche tipo di variabili nascoste che assegnino alle predizioni probabilisiche lo stesso ruolo che hanno in meccanica statistica? 2.Quando è possibile assegnare proprietà definite alle osservabili di un sistema quantistico?

Capitolo 1 I misteri della MQ racchiusi nell’esperimento delle due fenditure

“Things on a very small scale behave neither like particles nor like waves…all of direct, human experience and intuition applies to large object. We know how large objects will act, but things on a small scale just do not act that way. We choose to examine a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in classical terms and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality, it contains the only mystery” (Feynman, Lectures in physics, vol.3, p. 1)

Dobbiamo comparare tre esperimenti, uno con proiettili, uno con onde d’acqua e uno con elettroni. Cominciamo con i proiettili (1) P 12 =P 1 +P 2 rivelatore x Con questo apparato si può rispondere sperimentalmente alla domanda: “con quale probabilità P un proiettile che passa in uno dei due fori arriva in un punto dello schermo a distanza x dal centro?”Questa probabilità, che dipende dal numero di proiettili che colpiscono il punto x, è una funzione di x, P(x). Perché P 12 - che è la probabilità che i proiettili siano passati attraverso 1 o 2- è massima per x =0? Perché lì la somma di P 1 (foro 2 chiuso) e P 2 (foro 1 chiuso) è massima. In P 1 (P 2 ) il massimo è allineato con il primo (secondo) foro rispettivamente. schermo P(x) x 1 2

2) esperimento: onde d’acqua L’onda originale generata dalla sorgente è diffratta ai due fori, che originano un’altra serie di onde circolari che interferiscono. L’intensità del fenomeno risultante I 12 non è la somma delle intensità ricavabili dalla chiusura di uno dei due fori I i =|h i | 2 (h altezza dell’onda). Nei punti in cui ci sono massimi in I 12 le singole onde interferiscono costruttivamente, nei punti di minima interferiscono distruttivamente: I 12 = |h 1 | 2 + |h 2 | 2 +2 |h 1 | |h 2 | cos  con  differenza di fase tra I 1 e I 2 P(x) I 2 =|h 2 | 2 I 1 =|h 1 | 2 x assorbitore I 12 =|h 1 + h 2 | 2 2 1

P(x) P 2 =|  2 | 2 P 1 =|  1 | 2 x P 12 =|  1 +  2 | 2 2 1 3) Esperimento con elettroni 1)Se mettiamo due rivelatori dopo lo schermo con le fenditure, solo uno dei due scatta e mai entrambi contemporaneamente. 2) se abbassiamo la frequenza di emissione, il click non è meno forte, ma solo meno frequente: ogni elettroni arriva in un pacchetto e viene assorbito tutto e mai “a metà”. Sembrerebbe un comportamento da particella. E invece 3)la probabilità che gli elettroni arrivino a una certa distanza x dal centro, che è proporzionale al numero di arrivi in quel punto, è data dalla figura che avevamo trovato per le onde marine! Cannone di elettroni

Ne concludiamo che quando entrambe le fenditure sono aperte,gli elettroni si comportano come onde…  Il punto è però che quando vengono assorbiti, si localizzano in un punto piccolo dello schermo, come se fossero proiettili in miniatura (arrivano in un pacchetto discreto). Sembrerebbe dunque che passino o in una o nell’altra delle due fenditure.  Ma se fosse così, la curva complessiva dovrebbe essere ottenuta sommando le due curve P 1 e P 2 che si ottengono chiudendo prima una e poi l’altra delle due fenditure, ovvero contando gli elettroni che passano in una, e quelli che passano nell’altra, come nel caso dei proiettili (particelle)  Invece il risultato che si ottiene lasciando le due fenditure aperte non è ciò che si ottiene sommando i risultati relativi ai due casi in cui una delle due fenditure è chiusa: c’è interferenza:

Ci sono punti dello schermo nei quali arrivano meno elettroni quando sono aperte entrambe le fenditure che quando ne è aperta solo una: è come se chiudere una delle due fenditure aumentasse il numero di elettroni che passa per l’altra. D’altra parte, al centro del sistema la probabilità quando sono aperte entrambe le fenditure è assai più che la somma delle probabilità ottenibili tenendone una delle due chiusa. E allora sembra che chiudendone una delle due diminuisca il numero di elettroni che passa per l’altra. Entrambi gli effetti non possono essere spiegati supponendo che un elettroni entri in 1 e poi anche in 2 girando attorno allo schermo, o facendo altri percorsi complicati. Dunque è falso affermare che l’elettrone passi o nell’una o nell’altra delle due fenditure: lo stato di sovrapposizione non può essere interpretato come un “o” esclusivo. “Gli elettroni arrivano in pacchetti, come particelle, e la probabilità di arrivo di questi pacchetti è distribuita come l’intensità di un’onda. È in questo senso che un elettrone ‘si comporta talvolta come una particella e talvolta come un’onda” (Feynman, vol 3 p. 6).

Contro Feynman, si potrebbe però notare che nello stesso esperimento l’elettrone sembra comportarsi come un’onda e come una particella, in stadi diversi dell’evoluzione del sistema stesso. Ovvero, quando entrambe le fenditure sono aperte, un elettrone passa per entrambe, ed è quindi simile a un’onda d’acqua o a un campo esteso, ma quando colpisce lo schermo si comporta come una particella, e si localizza in suo punto preciso dello schermo collassando in un autostato della posizione. Tale versione dell’esperimento (“onda e particella”) richiede però di considerare il passaggio dallo stato di sovrapposizione che descrive il microsistema quando passa in entrambe le fenditure aperte ad uno solo dei due stati sovrapposti, che caratterizza una particella localizzata, come un processo fisico reale. Se provassimo a localizzare l’elettrone illuminandolo dietro una delle due fenditure, sapremmo per quale delle due fenditure è passato, eliminando però l’interferenza tipica delle onde

P’ 12 =P’ 1 +P’ 2 rivelatore x schermo P(x) x 1 2 Se osserviamo per quale fenditura è passato l’elettrone, anche quando le fenditure sono tutte e due aperte, l’elettrone si comporta in modo “particellare”: l’interferenza e dunque il suo carattere ondulatorio è svanito o distrutto. La distribuzione degli elettroni nei due casi, conclude Feynman, è diversa a seconda se guardiamo, e invece di andare in un punto di massimo di P 12 l’elettrone andrà in uno di minimo P’ 2 P’ 1

 Poiché il momento di un fotone p=h/  usando luce con lunghezza d’onda maggiore diminuiremo l’impatto con l’elettrone perché diminuiremmo p. Quindi disturberemo meno la traiettoria dell’elettrone (il suo momento) Ma a un certo punto, diminuendo p, non riusciremmo più a sapere per quale delle due fenditure è passato l’elettrone (posizione), e ciò avverrà quando la lunghezza d’onda della radiazione sarà dell’ordine della distanza tra le due fenditure. E allora ritroveremo il pattern ondulatorio dell’interferenza!  “È impossibile disegnare un apparato che determini per quale fenditura sia passato l’elettrone senza al tempo stesso distruggere il pattern dell’interferenza” PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE (Feynman, p. 9). In questa forma, si vede che l’elettrone è dotato di entrambe le nature (particellare e ondulatoria) in potenza, ma il tipo di natura evidenziato dagli esperimenti in atto è sempre uno dei due (particellare o ondulatorio) e mai entrambi.

Si può invece avanzare l’ipotesi di prima, ovvero che un insieme di elettroni identicamente preparati di fatto mostri sia il comportamento ondulatorio (interferenza) sia quello particellare, evidenziato dalla localizzazione discreta su un punto dello schermo. Per Bohm si può ipotizzare che le particelle passino o nell’una o nell’altra delle due fenditure, ma che siano guidate da un campo quantistico che passa per entrambe In ogni caso, lo stato di sovrapposizione delle posizioni nell’esperimento delle due fenditure non può interpretarsi mai come un “aut”, ma solo come un “vel”. Oppure, si può avanzare l’ipotesi che gli elettroni (pace le interpretazioni come quella di Bohm) in realtà passino in entrambe le fenditure, anche se il loro diametro “classicamente inteso” è assai più piccolo della distanza tra le fenditure: ovvero che non siano particelle, se non quando le vado a misurare! Processo di localizzazione causato dall’interazione con l’apparato di misura

lo stato del sistema è una sovrapposizione lineare di due stati che corrispondono, nella base delle coordinate spaziali, a funzioni d’onda che sono diverse da zero in due precise e limitate regioni dello spazio, regioni che sono disgiunte. Se uno schermo con due fenditure non registra l’arrivo di una particella, lo stato del sistema è una funzione di x che è diversa da zero solo nelle regioni corrispondenti alle due fenditure (lo schermo non ha intercettato la particella). Se l’apertura delle fenditure è  e  è la funzione caratteristica che vale 1 se la particella è passata nella fenditura i e 0 se è passata nell’altra. allora la funzione d’onda che descrive il passaggio nelle fenditure è incompatibile con l’idea che la particella sia passata nell’una o nell’altra delle due I due singoli stati normalizzati corrispondono alla situazione in cui possiamo dire che con certezza la particella è passata in una delle due fenditure; tale conoscenza distrugge però il fenomeno della sovrapposizione e quindi l’aspetto ondulatorio del fenomeno (l’interferenza). Come vedremo, la sovrapposizione dei due stati di posizione non è una miscela

Capitolo 2 Le posizioni filosofiche dei padri fondatori (1924-1926)

De Broglie e l’ipotesi ondulatoria della materia (1924) Heisenberg e la meccanica matriciale (1925) Schroedinger e la meccanica ondulatoria (1926) Born e le due leggi dinamiche di evoluzione (1926) Von Neumann e il teorema sull’impossibilità del determismo (1932)

La posizione di De Broglie

Il dualismo onda-corpuscolo di De Broglie “Nella sua tesi, presentata all’università di Parigi nel 1924, de Broglie era partito da un’idea che Einstein aveva suggerito — senza mai però svilupparla appieno e pervenire ad un lavoro pubblicato — su come andasse intesa l’associazione tra fotoni e onde elettromagnetiche. In base a questa idea, i campi elettrici e magnetici di un’onda elettromagnetica svolgono il ruolo di “campi fantasma” che in qualche modo “guidano” il moto dei fotoni nello spazio. De Broglie congetturò che dovessero esistere campi analoghi che guidano il moto delle particelle nello spazio: una particella di massa m e velocità v, e di conseguenza con impulso p = mv, è guidata da un’onda che (per piccole velocità rispetto alla luce) ha una lunghezza d’onda data dalla formula =h/p. (citato da Allori, Dorato, Laudisa, N. Zanghì, Metafisica Empirica, in corso di pubblicazione, Carocci,)

« Questa ipotesi fornì una prima spiegazione non ad hoc della regola di quantizzazione di Bohr: se quest’onda esiste, quando l’elettrone in un atomo di idrogeno si muove lungo un’orbita circolare stabile di raggio r, l’ onda deve essere stazionaria (le proprietà dell’atomo non mutano nel tempo se l’atomo non è radioattivo) e devono quindi essere soddisfatte le stesse condizioni in base a cui una corda di chitarra può vibrare: ovvero la lunghezza totale dell’orbita l =  r sia pari ad un multiplo intero di una lunghezza d’onda 2  r =n  con n=1,2,3,…n (si veda la figura di Zanghì nella pagina successiva): da cui, sostituendo la formula di de Broglie per la lunghezza d’onda, si ottiene mrv =nh/2 , n = 1, 2, 3,..., che è proprio la regola di quantizzazione di Bohr del momento angolare«. (Zanghì, ibid.)

Quando l’elettrone in un atomo di idrogeno si muove lungo un’orbita circolare stabile di raggio r devono essere soddisfatte le stesse condizioni che permettono la vibrazione di una corda di chitarra di lunghezza l: che la lunghezza totale dell’orbita, l = 2  r sia pari ad un multiplo intero di una lunghezza d’onda. Poiché la lunghezza d’onda decresce al crescere della massa, i corpi macroscopici non presentano aspetti ondulatori, visto che la lunghezza d’onda ad essi associata dovrebbe incontrare ostacoli assai più piccoli delle dimensioni che li caratterizzano

De Broglie influenzò moltissimo Schroedinger nella prima formulazione delle meccanica ondulatoria. In una lettera di Einstein a Lorentz del Dicembre del 1924, leggiamo: “…De Broglie ha fatto un tentativo molto interessante di interpretare le regole quantistiche di Bohr. Io credo che questo rappresenti il primo debole raggio di luce sul peggiore dei nostri enigmi nel campo della fsiica. Io stesso ho trovato qualcosa che punta nella stessa direzione.” Einstein non pubblicò i suoi risultati che però, come vedremo, influenzarono sia Schroedinger che Max Born, l’autore dell’interpretazione probabilistica della funzione d’onda. E poi, nel 1952, vennero riscoperti da David Bohm

La posizione di W. Heisenberg

Nel 1925, H. scrive: “è meglio …ammettere che l’accordo parziale delle regole quantistiche con gli esperimenti sia più o meno accidentale e provare a sviluppare una meccanica quantistica teorica, analoga alla meccanica classica, nella quale compaiano solo relazioni tra quantità osservabili”. Influsso dell’operazionismo di Einstein (1905) “Ueber quantentheoretische Umdeutung kinematischer and mechanischer Beziuhungen”, Zeitschrift der Physik, 43, 172-198 “Sulla reinterpretazione delle relazioni cinematiche e meccaniche operata dalla meccanica quantistica”

 Più tardi però H. cambiò opinione. Per H. la  non è solo uno strumento di calcolo, visto che egli si riferiva alle onde di probabilità come ad una “the quantitative formulation of the concept of  or, in the later Latin version, potentia, in Aristotle’s philosophy. The concept that events are not determined in a peremptory manner, but that the possibility or tendency for an event to take place has a kind of reality – a certain intermediate layer of reality, halfway between the massive reality of matter and the intellectual reality of the idea or the image- this concept plays a decisive role in Aristotle’s philosophy. In modern quantum theory this concept takes a new form; it is formulated quantitatively as probability and subject to mathematically expressible laws of nature” Heisenberg, “Planck’s discovery and the philosophical problems of atomic physics”, in On Modern Physics, Orion Press, London, 1961, pp.9-10

La posizione di E. Schroedinger (1926)

 All’inizio S. pensava che la funzione d’onda da lui scoperta corrispondesse, con il quadrato del suo modulo (che per Born fornisce la probabilità), alla densità di massa o di carica dell’elettrone cui è associata. L’elemento ontologico essenziale è per lui l’onda: Schroedinger pensava ad un’onda che, a causa di effetti di interferenza, al di fuori di una certa regione era nulla e simulava dunque il comportamento di una particella.  “Non si deve attaccare alcun significato essenziale al cammino dell’elettrone…e ancora meno alla posizione di un elettrone sul suo cammino [accenno a De Broglie?]…l’onda…non solo riempie tutto il cammino simultaneamente, ma si estende addirittura notevolmente in tutte le direzioni. Queste contraddizione è sentita così fortemente che si è persino posto in dubbio che quello che accade in un atomo possa inquadrarsi in uno schema spazio-temporale. Da un punto di vista filosofico, io considererei una decisione conclusiva in questo senso come una resa incondizionata. Infatti, poiché noi non possiamo assolutamente evitare di pensare in termini di spazio e tempo [Kant?], quello che non possiamo ricondurre a siffatti concetti, non possiamo comprenderlo affatto” (Ghirardi 1997, p.421)

Ben presto (1927) Heisenberg attaccò l’interpretazione puramente ondulatoria di Schroedinger. Si consideri un elettrone libero il quale al tempo t=0 si trova in uno stato la cui rappresentazione delle coordinate è una funzione gaussiana di ampiezza  x(0).  Se si parte con un’indeterminazione iniziale  x(0)  di 10 -5 cm, risolvendo l’equazione di Schroedinger, dopo un 1/3 di secondo il pacchetto che rappresenta l’elettrone libero occupa circa un Km =10 5 cm! La relazione tra l’indeterminazione iniziale e quella al tempo t è Dall’ultima formula sulla destra segue l’affermazione di cui sopra, facendo le sostituzioni

Ma misurare l’elettrone implica sempre localizzarlo, dice G. (1997, p.421); Questa non è però l’unica difficoltà: il fatto è invece che varie onde associate a n particelle richiedono uno spazio di configurazione n-dimensionale Lorentz preferiva l’interpretazione ondulatoria di Schroedinger finché si aveva a che fare con una sola particella: “so long as one only has to deal with the three coordinates x, y, z. If however, there are more than three degrees of freedom then I cannot intepret the waves and vibrations physically, and I must therefore decide in favor of matrix mechanics”(M. Jammer, The Philosophy of QM, p. 32).

Ma Jammer continua. “In rebuttal of this objection one could, of course, point out that in the treatment of a macromechanical system the vibrations, which undoubtely have real existence in the three dimensional space, are most conveniently computed in terms of normal coordinates in the 3n-dimensional space of Lagrangian mechanics.” Altre tre difficoltà di una lettura ondulatoria della  afferma Jammer, sono: (1)  è una funzione a valori complessi; 2)  dipende dal sistema di osservabili che viene impiegato per rappresentare il sistema;3)  è soggetta al mutamento discontinuo indotto dal processo di misura. Esercizio: secondo te, quali di queste difficoltà è seria?

La posizione di Max Born

 Per Schroedinger era necessario poter visualizzare i processi quantistici salvando la descrizione spaziotemporale (visualizzare e descrivere spaziotemporalmente qui sono sinonimi).  Born (1926) avanza l’interpretazione probabilistica del modulo quadro della funzione d’onda, affermando che essa è la densità di probabilità di trovare la particella in un certo punto se si esegue una misura di posizione su di essa. |  (x)|  non è dunque la probabilità che l’elettrone sia in una certa posizione, ma la probabilità che esso sia in una certa posizione in dipendenza del fatto che su di esso si è eseguita una particolare misura. Per Born, esistono solo particelle, non onde, e sono rivelate dagli esperimenti di scattering.  Come affermò Jordan, è l’osservatore che, “costringe l’elettrone ad assumere una posizione definita; in precedenza esso non era né qui né là”

 Interessante che nel 1954, quando Born prese il Nobel per i suoi contributi alla MQ, raccontò che esperimenti sulla collisione di elettroni “appeared to me as new proof of the corpuscolar nature of the electron” (Jammer 1974, p. 39). E nel saggio originale scrisse queste parole profetiche rispetto al problema della misura: “Die Bewegung der Partikel folgt Wahrscheinlichkeitsgesetzen, die Warhscheinlichkeit selbst aber breitet sich im Einklang mit dem Kausalgesetz aus”, (Il moto delle particelle segue le leggi della probabilità, ma la probabilità stessa si propaga invece in accordo con la legge della causalità) Born, Die Quantenmechanich der Stossvorgaenge, 1926, p.804.  Si noti che da questa frase si evince che per Born esistono due tipi di evoluzione dinamica delle particelle, una probabilistica che regola il moto delle particelle (all’atto di misura), una deterministica che regola la propagazione nel tempo dell’onda di probabilità (equazione di Schroedinger.).

 Sempre nel 1954, Born disse che applicò l’idea del “campo fantasma” di Einstein dai fotoni (in base alla quale l’intensità dell’onda fantasma che guida i fotoni – ovvero il quadrato dell’ampiezza – determina la probabilità di trovare un fotone) a tutta la materia. Ecco ancora l’idea di De Broglie-Einstein.  Per Born, le probabilità quantistiche non sono dovute all’ignoranza della situazione fisica (non sono come quelle della meccanica statistica): sono ontiche.  Contrariamente al punto di vista di Schroedinger,  per Born non descrive nulla di fisico, ma “solo la nostra conoscenza del sistema”. Così il fatto che  nell’interpretazione originaria di Schroedinger si sparpagliasse rapidamente non costituiva per lui alcuna difficoltà, perché  non denota nulla di reale. Analogamente, per Born il collasso della funzione d’onda non è una transizione fisica reale, ma solo un mutamento della nostra conoscenza.

 Ma la posizione particellarista di Born non da conto dell’autointerferenza di un singolo elettrone quando passa per uno schermo con due fenditure, ovvero richiede che il pattern ottenuto con due fenditure aperte sia “la somma” dei singoli patterns ottenuti con una sola delle due fenditure aperte, il che, come è noto, non è. Ne segue che la  rappresenta qualche cosa di fisico!

Il teorema di impossibilità di von Neumann Nessuna teoria predittivamente equivalente alla MQ può assegnare valori precisi (anche se sconosciuti, o nascosti e inaccessibili) a tutte le osservabili di un sistema fisico

(a)Se A e B sono operatori autoaggiunti, allora ogni loro combinazione lineare con arbitrari scalari reali è ancora un operatore autoaggiunto [1] (b)Se le osservabili A e B rappresentate da A e B sono osservabili del sistema, allora c’è un’osservabile C rappresentata da C : [2] (c) Se A è limitato, il sistema è in uno stato  P  è il proiettore sullo stato , e il valore medio <  Tr(P   è simbolizzato da , allora vale [3]

Indichiamo ora i valori di A, B e C con v(A), v(B), v(C) rispettivamente e consideriamo una “variabile nascosta” V che li determini. Nell’ottica di una teoria che assegna valori definiti a tutte le variabili fisiche, i valori medi misurati dalla MQ saranno medie sui vari valori nascosti ma definiti v(A), In generale però, i valori medi “banali”, calcolati sui valori posseduti V = v(A) non coincideranno con [4] Se però richiediamo che anche gli V obbediscano alla regola lineare [3] che vale per i valori medi, abbiamo [5] v(C) = αv(A) + βv(B).

La [5], insieme alle altre, è un’assunzione indispensabile del teorema di von Neumann contro la possibilità di variabili nascoste o contro l’esistenza di stati a dispersione nulla, dove la dispersione è definita come il valor medio dell’operatore (B - ) 2, ovvero la media pesata con la probabilità |c j | 2 del quadrato dello scarto tra l’esito b j e il valor medio di B. Assumendo infatti che  i c i  i ; e che  B  i =b i  i

Il teorema, che non vedremo in dettaglio (cfr., I fondamenti matematici della meccanica quantistica, capitolo 4, Il Poligrafo, 1998) è logicamente corretto, e se fossero vere le premesse, la conclusione sarebbe ineccepibile Il punto è che la [5] è irragionevole quando le tre osservabili in questione non formano un insieme compatibile, ovvero simultaneamente misurabile. Il primo ad aver mostrato perché la [5] è irragionevole nel caso di operatori non simultaneamente diagonalizzabili è stato J.S. Bell nel 1966, dando il seguente semplicissimo controesempio con le componenti di spin lungo x e y, che come noto, obbediscono alla relazione [6] [  x,  y ]=2i  z e permutazioni cicliche di queste

Controesempio di J.S. Bell Sia A = σ x e B = σ y, allora l’operatore C C = (σ x + σ y )/2 1/2 corrisponde all’osservabile della componente dello spin lungo la direzione che biseca l’angolo dato da x e y. Poiché tutte le componenti dello spin, in opportune unità di misura, hanno come valori possibili solo ±1, ne segue che una teoria a variabili nascoste deve assegnare ad A, B, C solo i valori ±1, e lo stesso deve fare con i valori certi che le osservabili assumono come funzioni delle variabili nascoste (valori medi triviali). Questo implica che la (5) non possa essere soddisfatta, dato che

Come afferma Bell: “A measurement of a sum of noncommuting observables cannot be made by combining trivially the result of separate observations on the two terms – it requires a quite distinct experiment. For example, the measurement of  x must be made with a suitable oriented Stern-Gerlach magnet. The measurement of  y would require a different orientation, and that of (  x +  y ) a third and different orientation…There is no reason to demand it [addivity] individually of the hypothetical dispersion free states, whose function is to reproduce the measurable peculiarities of quantum mechanics when averaged over. (Bell, Speakable and unspeakable in QM, 1987, p.4)

A causa dell’enorme prestigio di von Neumann, questo teorema contro la possibilità di variabili nascoste fu ritenuto per vari anni la prova decisiva dell’impossibilità del determinismo, fino a quando Bohm nel 1952 e poi Bell nel 1964 ne mostrarono l’infondatezza, o meglio, la mancanza di generalità, il primo con un controesempio costituito da una nuova teoria fisica, il secondo con l’argomento appena visto. Vedremo poi che Gleason (1957) e Kochen- Specker (1967) rimediano a questo problema supponendo che la [5] valga solo per osservabili compatibili, fatto che non è messo in discussione nemmeno dai teorici delle variabili nascoste.

Capitolo 3 Cenni sull’apparato formale della MQ in confronto con quello della meccanica classica

Confronto mecc.classica m. quantistica Spazio degli stati Spazio delle fasi  a 6 dimensioni Spazio di Hilbert H Stato puroPunto nello spazio delle fasi Vettore normalizzato in H Osservabile A f A :   R Operatore autoaggiunto A: H  H Valori possibili di osservabili Codominio della funzione a valori reali f A (un continuum di valori) (i) A ha spettro discreto e ha autovettori: i valori possibili sono gli autovalori di A (ii) A ha spettro continuo Domanda sperimentale “la misura di A è in  ”  Sottoinsieme di  f A -1 (   Sottospazio L o proiettore di H L A   H Risposta alla domanda sperimentale Risposta sì/no sì se e solo se f A (   Risposta probabilistica P v (A,  v|P A  

In meccanica classica lo stato di un sistema costituito da n particelle che si muovono in uno spazio 3-dimensionale ad un certo tempo t è specificato completamente dalle 3n posizioni e dalle 3n velocità a quel tempo particolare (le “osservabili” del sistema). In una parola, si ha bisogno di uno spazio 6n dimensionale, detto spazio delle fasi. Un punto  dello spazio delle fasi  corrisponde allo stato della particella a un tempo t, ed è specificato da 6n numeri reali, mentre una curva in  che passa per  è COMPLETAMENTE specificata dalla leggi del moto e dallo stato  e rappresenta l’evoluzione temporale del sistema (la successione temporale dei suoi stati).  tempo Spieghiamo la tavola di sinistra: RIPASSO DI MECCANICA CLASSICA 

Riscriviamo la parte destra della tavola (I postulati della MQ) 1)A ogni sistema fisico è associato uno spazio di Hilbert H 2)Gli stati di un sistema individuale S sono vettori normalizzati di H che, nell’ipotesi di completezza della teoria, danno un’informazione massimale 3)Le osservabili fisiche (posizione, momento, energia..) sono operatori autoaggiunti NB (o hermitiani) di H. 4)I soli possibili esiti della misura di un’osservabile A sono gli autovalori associati allo spettro dell’operatore autoaggiunto associato A. NB Un operatore A è autoaggiunto se non solo vale A= A † sul dominio in cui A è definito (hermiticità), ma si ha in più che i loro domini coincidono

5)Esiti delle misure di osservabili Se l’osservabile A ha spettro discreto  quantizzazione. La misura può dare come risultato solo uno degli n autovalori v i associato all’autovettore |v i > dell’operatore hermitiano A, con la probabilità data dal modulo quadro della proiezione dello stato del sistema |  sull’autovettore |v i >: natura facit saltus Se l’insieme dei valori (lo spettro) di A è continuo, tutti i punti dei reali sono valori possibili  al massimo possiamo determinare la probabilità che il valore v dell’osservabile misurato sia in un intervallo piccolo a piacere  perché un procedimento di misura infinitamente accurato è impossibile

Preparazione All’istante t=0 si misura un insieme completo di osservabili commutanti A,B,C Allora lo stato iniziale  del sistema  è proprio (l’autovettore) normalizzato  comune alle osservabili commutanti in questione 

L’evoluzione deterministica, lineare, e unitaria dell’equazione di Schroedinger  t  condizione iniziale  Determinismo: la soluzione dell’equazione differenziale del primo ordine nella variabile temporale esiste ed è unica: lo stato finale  t f  è fissato univocamente da  La corrispondenza tra stato iniziale e stato finale è 1-1

2) linearità: l’operatore hamiltoniano H che corrisponde all’energia è lineare, ovvero se la soluzione   (t) corrisponde a   (0) e la soluzione    (t) corrisponde a   (0), allora per ogni a e b nel campo complesso C, un’arbitraria combinazione lineare delle condizioni iniziali: a   (0)+b   (0) evolve nella stessa (o coincide con la) combinazione lineare dei loro singoli evoluti, ovvero a   (t)+b    (t). Questa è l’unica soluzione corrispondente alle condizioni iniziali date (in altre parole, l’operatore preserva gli stati di sovrapposizione)

Il principio di sovrapposizione è il cuore della meccanica quantistica e per Dirac (The Principles of Quantum Mechanics, 1930, pp.10-18) rappresenta la maggiore differenza con la meccanica classica: “the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory” (Dirac, ibid., p. 14) Esso afferma che dati due stati possibili di un sistema,   e    ogni loro combinazione lineare    a   + b   con due arbitrari scalari a e b di C è ancora un possibile stato del sistema.

Una parentesi sulle conseguenze concettuali dovute all’esistenza di stati di sovrapposizione

Completezza della descrizione quantistica: ogni elemento della realtà fisica è colto dal formalismo della teoria: “every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory” (EPR, Phys Rev.1935 p.777) Nell’interpretazione standard, il formalismo viene considerato come completo. Ovvero la conoscenza del vettore di stato (uno stato puro) viene considerata come massimale, per cui l’informazione che esso contiene è completamente esauriente. Ne segue per es. che una sovrapposizione (un “and”) non è mai interpretabile come una disgiunzione esclusiva, (“aut”). Sia  lo stato del sistema preparato con spin lungo x uguale a +1(in opportune unità di misura). Questa osservabile è la combinazione lineare dei due autovettori relativi a  z

Ci si può chiedere se il nostro elettrone possiede anche una proprietà di avere spin definito lungo z oltre a quella data di avere spin nella direzione x. Nel caso della sovrapposizione di due autovettori di spin z, si può mostrare che non è così. Se l’insieme di risultati E fosse quantisticamente inomogeneo, una miscela, avremmo la probabilità epistemica che un sistema individuale scelto a caso abbia probabilità ½ di avere spin z = 1 e ½ di avere spin z=-1, dove gli autostati del sistema potrebbero essere a z e b z e si potrebbe pensare che ogni membro individuale dell’insieme possiede oggettivamente un preciso valore per l’osservabile spin lungo z, cosicché una percentuale p + =1/2 dei sistemi siano nello stato a z e il resto nello stato b z (con p - =1/2). Poiché ogni membro dell’insieme E è in uno di questi due stati, lo sviluppo di questi stati in termini degli autostati di  x è

Entrambi questi stati danno probabilità ½ per i due possibili esiti di misura, contro l’ipotesi che lo stato del sistema sia tale che la probabilità di trovare  x =1 è 1. Ne segue che non è possibile che il sistema abbia valori definiti per  z e che sia in una miscela di stati rispetto a  z se è in uno stato definito rispetto a  x Ne segue che nello stato di sovrapposizione, il + che lo caratterizza non è interpretabile con una disgiunzione, che andrebbe bene per le miscele: non è vero che il sistema è o in uno stato o nell’altro, e nemmeno che non è in nessuno dei due stati. In un certo senso il sistema “è in entrambi gli stati”, anche se nella misura ne troviamo solo uno dei due, visto che gli stati sono ortogonali. Questo argomento vale per osservabili non commutanti, come sono le due componenti di spin lungo x e lungo z. E’ quindi possibile distinguere sperimentalmente uno stato puro (sovrapposizione) da una miscela statistica.

 Si può azzardare l’ipotesi che è questa proprietà dei sistemi quantistici che spinse Bohr a formulare il principio che i contrari sono complementari (contraria sunt complementa): osservabili mutuamente incompatibili nella misura (mutually exclusive in measurement) sono tuttavia entrambi presenti, ma solo in potenza, in un certo stato, e sono quindi entrambi necessari per la descrizione del sistema (jointly exhaustive for the description of the system). I microsistemi quindi non sono né onde né particelle  Ecco anche l’origine della lettura disposizionalistica di Heisenberg:«Such a probability function [i.e. the statistical algorithm of quantum theory] combines objective and subjective elements. It contains statements on possibilities, or better tendencies (“potentiae in Aristotelian philosophy), and such statement are completely objective, as they don’t depend on any observer…the passage from the “possible” to the real takes place during the act of observation» (Heisenberg 1958, Physics and Philosophy, p. 67-69)

Un’altra importante implicazione concettuale è tratta da Ghirardi (1996, p. 401) “la teoria implica che non si possano attribuire “troppe” proprietà a un sistema fisico individuale: se la particella ha, per esempio, la proprietà di avere un “preciso spin lungo l’asse x” allora non possiede proprietà relative alla componente dello spin in altre direzioni. Il fatto che nel caso classico possa essere impossibile conoscere perfettamente lo stato del sistema non implica che quest’ultimo non abbia proprietà definite per ogni stato che definisce in modo massimale il sistema stesso. E’ per questo che le probabilità di cui parla la fisica classica sono epistemiche o dipendenti dalla nostra ignoranza. Ecco la differenza, secondo l’interpretazione standard, con la MQ. Due osservazioni che qualificano questa asserzioni di Ghirardi: Per i bohmiani, tutte le probabilità della MQ non relativistica sono epistemiche. Ma la teoria bohmiana della MQ relativistica è non ancora sufficientemente sviluppata… L’assunzione che per un qualunque stato  esiste sempre un’osservabile di cui tale stato è autovettore con un preciso autovalore ci garantisce però che il sistema possiede sempre qualche proprietà in modo oggettivo. Ciò è evidente nel caso di una particella in un arbitrario stato di spin  : è sempre possibile trovare una direzione n rispetto alla quale  è autovettore con autovalore 1 (G. p. 402)

 Unitarietà: Se U(0, t) è l’operatore lineare che fa evolvere lo stato iniziale da  (0) a  (t), |  (t)> = U(0, t)|  (0)> Esso risulta unitario e preserva quindi la norma del vettore di stato Se H è l’osservabile energia, allora l’operatore unitario è dato dalla seguente funzione nel senso di Dirac

Una rappresentazione geometrica dei due processi della MQ

b1b1 b2b2 b3b3  t)    0) a 2 a3a3 a1a1       1.Un operatore autoaggiunto A in R 3 individua tre versori (autovettori) ortogonali  i : se la misura dà a 2 allora prepariamo il sistema in     0) 2.L’operatore di evoluzione temporale è unitario, e quindi preserva la norma del vettore di stato  che compie una rotazione sulla superficie della sfera unitaria (la linea blu indicata in figura) 3 Se ora vogliamo misurare un’altra osservabile B, che ha autovettori   la probabilità di trovare b i è il modulo quadro della proiezione di  (t) sui tre nuovi, versori 4 Solo se  (t) è allineato con uno dei tre nuovi assi la misura ha esito certo salto quantico, o collasso di  in  i

b1b1 b1b1 b3b3      P 1 B  t)  el caso degenere, in cui per esempio l’autovalore b 1 associato all’osservabile B corrisponde ad un autospazio a 2 dimensioni (il piano     ), la probabilità che B=b 1 è il modulo quadro della proiezione di  t) sul piano in questione. P[B=b 1 |  t)]=|P 1 B  t)| 2 = Questo risultato si generalizza a autospazi di dimensione qualunque K La misura fa passare dallo stato  alla sua proiezione normalizzata P 1 B  t)/|P 1 B  t)|: il cambiamento discontinuo del vettore di stato ci porta nell’autospazio (     ) ma come rappresentante degli infiniti vettori del piano si sceglie proprio P 1 B  t)/|P 1 B  t)|(misura morale, o cambiamento minimo)  t)

Nel caso di spettro continuo dell’operatore B, abbiamo che la probabilità che misurando l’osservabile si trovi un valore compreso tra c e c+  è Esito in (c,c+  Lo stato  viene trasformato nella proiezione normalizzata sull’autovarietà (c, c+  corrispondente all’esito ottenuto Esito b j Caso discreto Caso continuo

|c   c c  Dato un vettore di stato  t), la probabilità di ottenere un risultato (autovalore) compreso tra c e c+  appartenente allo spettro continuo di un osservabile B è l’area sottesa dalla funzione |c(    che esprime la proiezione del vettore di stato sull’autovettore improprio corrispondente all’autovalore  Questa formula rappresenta geometricamente l’area sottesa dalla funzione | c(  | 2 nell’intervallo (c, c+  Siano  le autofunzioni improprie dell’operatore 

Stati puri e miscele La preparazione è una misura di un’osservabile, che ci porta in un’autovarietà che può essere (i) monodimensionale (autovettore) e allora abbiamo un’informazione massimale (preparazione “accurata”), ovvero uno stato puro, oppure (ii) si ottiene una famiglia discreta o continua di stati e allora non sappiamo esattamente in quale degli stati della famiglia il vettore di stato originario viene trasformato dalla misura

Esistono dunque probabilità che dipendono da mancanza di informazione sullo (ignoranza dello) stato iniziale del sistema, che può essere fisicamente non-omogeneo, e che nascono in connessione con la preparazione del sistema : chiamiamo tali probabilità epistemiche e sono relative alle cosiddette miscele Altre probabilità, quelle che caratterizzano la teoria in modo più proprio, non dipendono da informazioni colmabili in linea di principio: sistemi identicamente preparati (stati puri) e soggetti a misura danno esiti diversi con certe probabilità. Questi sistemi si chiamano quantisticamente omogenei e le probabilità ad essi relative si dicono non- epistemiche o “ontiche”

Se la preparazione di un sistema quantistico non può essere gestita in modo accurato, dobbiamo considerare diversi stati iniziali    dove  l’indice corre su un certo insieme  Ogni risultato di preparazione ha una certa probabilità p(  p(  è la frazione di sistemi fra loro tutti identici e descritti dallo stato iniziale   . I diversi insiemi di sistemi corrispondenti alla variazione dell’indice  si chiamano miscele e sono fisicamente non omogenei: le miscele sono quindi somme pesate di stati puri Una misura non selettiva (in cui non si selezionano i risultati di una misurazione) trasforma uno stato puro in una miscela.

Per esempio, un sistema in sovrapposizione di spin in su lungo x e in giù lungo x è uno stato puro, e le sue probabilità sono ontiche o non- epistemiche, ciò che implica che il microsistema non ha alcuna proprietà oggettiva di spin lungo x. Se la sovrapposizione fosse interpretata come una miscela, cosa non legittima, dovremmo dire che il 50% dei sistemi ha la proprietà definita di avere spin lungo x in su, e il 50% ha la proprietà di avere spin lungo x in giù e le probabilità in questione sono solo epistemiche, rappresentando la nostra ignoranza del reale stato del sistema.

Capitolo 4 Il problema fondamentale della MQ: la misura

Cenni preliminari sul problema della misura 1)L’evoluzione temporale di un sistema quantistico che non sia disturbato (“non-misurato”) è deterministica, visto che è regolata dall’equazione di Schroedinger, che è deterministica. 2)Ma per conoscere qualcosa di un microsistema, lo dobbiamo ovviamente sempre misurare con un rivelatore macroscopico. Nel processo di misurazione, ogniqualvolta lo stato del sistema non è un autostato dell’osservabile, interviene l’algoritmo fondamentalmente probabilistico (o indeterministico) della teoria.

Tale ricetta probabilistica (algoritmo), fenomenologicamente e predittivamente molto efficiente, prescrive che per un’osservabile B relativa a un operatore autoaggiunto B (per es., con spettro discreto), per il quale B|v i >= b i |v i >, i possibili esiti di misura dell’osservabile B sono gli autovalori b i relativi agli autovettori v i. Allora, se so che lo stato del sistema prima della misura (al tempo t) è  t), tale stato mi da informazioni irriducibilmente probabilistiche quando non è autostato dell’osservabile: la probabilità condizionata P di trovare b i misurando B se lo stato è  t), è P[B = b i |  t)] = | | 2 = |P v i  t)| 2 (P vi  è la proiezione del vettore di stato sull’autovettore v i )

Ecco un primo problema della MQ. Non solo ci sono due evoluzioni - una deterministica e lineare una indeterministica e possibilmente non-lineare - ma per una delle due (quella indeterministica) possediamo solo una ricetta di calcolo e non una descrizione fisica approfondita di che cosa accada quando un microsistema in sovrapposizione interagisce con un macrosistema. Due naturali domande….

1) Che cosa descrive la , oltre a essere uno strumento predittivo estremamente efficace? Non la nostra conoscenza del sistema, come viene comunemente ma erroneamente attribuito a Heisenberg Pauli e Dirac (Jammer 1974, 373) altrimenti le probabilità in gioco in MQ sarebbero epistemiche, ovvero dipendenti dalla nostra ignoranza e uno stato puro non darebbe informazione massimale. Ma una sovrapposizione non è una miscela di stati! 2) Perché la probabilità di trovare un certo autovalore è proprio il modulo quadrato della proiezione del vettore di stato sul autovettore dell’osservabile? Ovvero perché l’algoritmo funziona?

Si genera qui una situazione che potrebbe essere analoga a quella che si verificò quando Boltzmann fondò la meccanica statistica classica. Perché non provare a spiegare in modo “più profondo” perché le leggi fenomenologiche della MQ funzionano, così come Boltzmann spiegò perché funzionavano quelle della termodinamica osservativa?

Altre domande sulla misura Il formalismo quantistico è in grado di descrivere il mondo classico (o macroscopico)? Il processo di misura è qualcosa di fisico o rappresenta solo un aumento di conoscenza (informazione)? Nella seconda ipotesi le probabilità quantistiche sono epistemiche, contro l’ipotesi di completezza! Se la misurazione è un processo fisico, come far convivere le due evoluzioni della teoria (lineare e deterministica e reversibile per i sistemi non misurati), indeterministica e irreversibile e possibilmente non lineare per quelli misurati? A causa dell’interferenza, le probabilità per i vari esiti di misura non sono la somma delle probabilità dei termini della sovrapposizione

Tre ragionevoli ipotesi con una conclusione assurda! 1.È possibile preparare microstemi in stati di sovrapposizione, per esempio di spin z su e spin z giù (spin in su lungo l’asse x) 2.Poiché i componenti di un sistema macroscopico sono costituiti da elettroni, protoni, etc. il principio di sovrapposizione ha validità generale e governa l’interazione di ogni sistema, macroscopico o microscopico che sia (ovvero, si suppone che non ci sia collasso e che la teoria sia completa, cosicché le sovrapposizioni si riferiscano ad assenza di proprietà oggettive) 3.L’evoluzione temporale del sistema quantistico è sempre lineare Conclusione lo stato finale del sistema+apparato è entangled, e i due termini della sovrapposizione corrispondono a situazioni macroscopicamente distinte, che noi non osserviamo mai! Mostriamo questa conclusione

Supponiamo, come von Neumann, che l’apparecchio si possa preparare in un preciso stato quantistico |  0 >  = def “pronto a misurare F” e che un microsistema sia in un autostato f r dell’osservabile F. Allora dopo un certo tempo, dovuto al processo di misura, l’apparecchio registrerà f r andando nella posizione finale |  r > perfettamente correlata all’autostato iniziale |f r > Adesso consideriamo un microsistema    che inizialmente non è in un autostato di F e che si può sviluppare nella serie di autostati dell’osservabile Evoluzione lineare Come volevasi dimostrare, lo stato finale è una sovrapposizione macroscopica di stati ortogonali: ecco il problema quantistico della misura!

Come risolve l’interpretazione standard questa imbarazzante situazione? con il postulato di riduzione….

“When we measure a real dynamical variable  the disturbance involved in the act of measurement causes a jump in the state of the dynamical system. From physical continuity, if we make a second measurement of the same dynamical variable  immediately after the first, the result of the second measurement must be the same as the first. Thus, after the first measurment has been made, there is no indeterminacy in the result of the second. Hence, after the first measurement is made, the system is in an eigenstate of the dynamical variable  the eigenvalue it belongs to being equal to the result of the first measurement. This conclusion must still hold if the second measurmenty is not actually made. In this way we see that a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured, the eigenvalue this eigenstate belongs to being equal to the result of the measurement (Dirac, The Principles of QM, 1958, p.36) Per Dirac, la relazione esistente tra autovettore e autovalore e l’ipotesi di continuità fisica implicano, insieme alla completezza della teoria, l’esistenza di un postulato per il collasso della funzione d’onda (Barrett, The Quantum mechanics of Minds and World, Oxford, p.30)

Il postulato della riduzione del pacchetto asserisce che la probabilità di osservare il sistema macroscopico nello stato  r  è |c r | 2 ; questo postulato però contraddice l’ipotesi di evoluzione lineare universale che si è fatta sinora e dunque l’ipotesi che il processo evolutivo sistema + apparato sia governato dalla equazione lineare e deterministica di Schroedinger. Nelle ipotesi che abbiamo fatto, e concedendo le idealizzazione id Von Neumann, la teoria quantistica standard non è però in grado di spiegare perché osserviamo risultati definiti. In una filosofia strumentalista, interessata solo alle predizioni, tutto questo non è un problema: non ci si domanda cosa sia il “jump” di cui parla Dirac, quando e come avvenga, e addirittura se avvenga Ma per un realista è un problema, perché dall’ipotesi di linearità e completezza segue che la MQ non può governare i processi di misura. E se la soluzione è, come Dirac e Von Neumann prescrivono, adottare due principi di evoluzione (il che equivale a dire che la MQ ha una validità limitata) sorge la domanda….

Visto che abbiamo bisogno di due descrizioni, qual è la separazione tra mondo classico e mondo quantistico? Si può rispondere che la separazione è vaga e contestuale. Ma allora diventa vaga e contestuale anche l’interpretazione della teoria, o addirittura la teoria stessa; vedremo inoltre che è l’interpretazione di Bohr a richiedere una separazione netta e chiara tra i due mondi

Le presupposizioni del ragionamento precedente sono forse troppo idealizzate? Se così fosse il problema della misura potrebbe diventare uno pseudo- problema.Analizziamole

Le 4 ipotesi di una misura ideale secondo Von Neumann è possibile preparare un macrosistema che serva a una misura (un apparecchio) in un preciso stato quantistico  0 si possono trascurare le interazioni tra l’apparecchio e l’ambiente, che possono generare un apparente collasso della funzione d’onda in una delle componenti di una sovrapposizione gli stati finali dell’apparecchio corrispondenti a percezioni distinte sono ortogonali lo stato finale dell’apparecchio è perfettamente correlato con lo stato iniziale del microsistema

1)L’apparecchio è macroscopico e non se possono gestire o conoscere tutti gli infiniti gradi di libertà: ne segue che l’asserzione che esso sia in un preciso stato quantistico   è insensata. (1)’Contro-obiezione: è vero che l’apparecchio, ogni volta che si ripete l’esperimento, sarà in un (micro)“stato” diverso dello spazio di Hilbert cui corrisponde (pensa all’analogia con un punto dello spazio delle fasi), ogni “microstato” corrispondente alla lettura che è stata rilevata (MACROSTATO):“insiemi di apparecchi identici apparterranno a quella varietà infinitamente degenere [macrostato] che corrisponde all’autovarietà macroscopica che ci interessa” (corrispondente a “indice che punta su 0”) (Ghirardi, 519). Analogamente dicasi per lo stato finale dell’apparecchio dopo l’evoluzione temporale dovuta alla misura: è irrilevante sapere quale stato preciso occupi l’apparecchio all’inizio e alla fine. Distinzione tra epistemico ed ontologico

2) Gli stati finali dell’apparecchio non risultano mai ortogonali e gli apparecchi non sono ideali (Primas 1990) 2)’ contro-obiezione: se ipotizziamo che sia possibile eseguire con una certa attendibilità misure che portano a stati macroscopicamente distinguibili, allora un macrosistema sarà in una sovrapposizione di stati che avranno proiezioni diverse da zero sulle autovarietà corrispondenti. Gli stati finali, insomma, possono essere anche visti come “quasi-ortogonali” ma il punto è che i risultati di misura corrispondenti sono comunque mutuamente esclusivi! 3) Correlazione tra sistema e ambiente: per discuterla introduciamo la catena di von Neumann

La catena di von Neumann: usare un altro apparecchio B (e poi ancora un altro, per es. un osservatore cosciente) per misurare il risultato del primo A: così non dobbiamo preoccuparci del problema di quando avviene la riduzione Questa catena, in cui tutti gli indici degli apparati di misura sono correlati, garantisce coerenza tra tutte le possibili misure, e suggerisce una soluzione “pragmatica” del problema della misura. Facciamo le seguenti osservazioni: 1) è garantito una sorta di principio di corrispondenza psicofisica, per cui il confine tra osservatore e cosa osservata è arbitrario. Infatti, non importa per l’osservatore quando cessa di valere il principio di sovrapposizione (se prima o durante l’osservazione umana), perché egli comunque percepisce il mondo come privo di sovrapposizioni macroscopiche.

2) Le predizioni fatte dalla teoria, che devono comunque essere verificate da un essere umano, non dipendono da quando interviene quello che von Neumann chiama il processo 1 (il collasso). Tuttavia, come nota Barrett, egli non ha mostrato che quando esattamente avviene il processo sia empiricamente irrilevante (The quantum mechanics of minds and worlds, p. 51). Il fatto che la teoria non lo specifichi la rende in un certo senso incompleta, come riconobbe Wigner, che infatti affermò che il collasso è reso possibile da esseri dotati di coscienza. Questa tesi completa la teoria, ma in un modo extrafisico 3) poiché distinguere una sovrapposizione da una miscela statistica in pratica è tanto più difficile quanto più è complesso il sistema in esame, invocando la correlazione dell’apparato all’ambiente si può cercare di argomentare che tutto avviene come se la riduzione avvenisse, anche se di fatto essa non avviene mai e la teoria ha validità illimitata!

Ovvero, si possono sostituire le equazioni esatte della teoria, che prevedono una sovrapposizione in contrasto con la nostra esperienza, con approssimazioni che portano a stati in accordo con essa. Ma questo, nella storia della scienza, non è mai avvenuto! Ma come può una teoria corretta ma senza significato acquistare significato solo grazie a un’approssimazione? Von Neumann non a caso rifiutò questa soluzione. Si noti che nel caso che ci interessa, l’impossibilità di mettere in evidenza sovrapposizioni di stati macroscopici non deriva dall’ipotesi che l’insieme di osservabili che possono essere misurate non coincida con l’insieme di osservabili autoaggiunte dello spazio di Hilbert, ma da difficoltà pratiche insormontabili.

Un argomento basato sulla analogia termodinamica/MSC (G-B) 1C le leggi reversibili classiche sono le leggi corrette di natura 1Q ll principio di sovrapposizione ha validità illimitata 2C in circostanze appropriate, le leggi termodinamiche sono corrette “de facto” -----------------Ne segue, per analogia 2Q in circostanze appropriate, il processo irreversibile di riduzione, e la sostituzione di uno stato puro con una miscela, sono “di fattocorretti”

Zurek prova che a causa delle interazioni con l’ambiente, in un sistema macroscopico in sovrapposizione, gli elementi fuori diagonale della matrice dell’operatore statistico diventano assai piccoli e tali rimangono per tempi paragonabili al tempo di ricorrenza di Poincaré. Ma 1Q, a differenza di 1C, ci costringe ad affermare che il risultato di una misura su un insieme di sistemi identici falsificherebbe non solo le nostre affermazioni sul futuro remoto fatte sulla base di 2Q, ma anche quelle sul presente. Questo non avviene con 1C e 2C: se vogliamo descrivere un gas nel futuro remoto dobbiamo usare 1C (perché il gas torna arbitrariamente vicino al valore del punto presente), ma ciò è compatibile con il fatto che ora la maggioranza di gas in un ensemble vada irreversibilmente verso l’equilibrio

Capitolo 5 Il dibattito Bohr Einstein e le sue varie fasi

La posizione filosofica di Bohr La preminenza del linguaggio della fisica classica: poiché gli eventi del mondo quantistico devono essere amplificati da apparati classici, la fisica classica rimane un prerequisito per poter parlare del mondo quantistico Per Bohr i microsistemi esistono (egli è un realista sulle entità, ma un antirealista sulle teorie): le proprietà non dinamiche dei microsistemi, massa carica e spin sono intrinseche ad essi, ma il possesso di quelle dinamiche è puramente relazionale e dipende dall’esperimento che intendiamo condurre

Il principio di complementarietà (in base al quale i concetti della fisica classica, se applicati al mondo quantistico, sono mutuamente esclusivi e congiuntamente esaustivi) per Bohr vale per ogni dominio dell’indagine empirica, anche in biologia e nelle scienze umane (“I quanti e la vita”). La complementarietà (mutual exclusive and jointly exhaustive) non riguarda tanto e solo l’aspetto onda e corpuscolo applicato all’ontologia della MQ ma ha a che fare anche e soprattutto con la complementarietà tra descrizione spazio-temporale del mondo e l’applicazione delle leggi causali di conservazione: “il contrario di una verità profonda è ancora una verità profonda”. Ecco una buona sintesi del principio di complementarietà di Bohr“Matter should be regarded as having potentialities for developing either comparatively well-defined causal relationships between poorly defined events or comparatively poorly defined causal relationships between comparatively well-defined events, but not both together.” (Bohm, Quantum Theory, 1951, p.157).

Molti dei cosiddetti problemi filosofici della MQ per Bohr sono dovuti all’applicazione al mondo quantistico di categorie classiche che funzionano solo in un altro ambito (appunto quello classico). In questo senso il linguaggio della fisica classica è la condizione trascendentale per poter parlare del mondo quantistico. E la misura diventa una categoria essenziale della fisica Mentre Ghirardi sottolinea, in modo forse eccessivo, il debito di Bohr nei confronti del neopositivismo logico (=enfasi sul linguaggio), in realtà nel suo pensiero c’è anche una certa componente kantiana, soprattutto considerando quel che si è appena scritto sulle condizioni “sine quibus non”. Il mondo quantistico considerato in sé è un noumeno, e se proviamo a descriverlo utlizzando categorie classiche prima e indipendentemente dall’esperimento, otteniamo antinomie e contraddizioni.

Per Bell, la vaghezza della separazione tra classico e quantistico è il problema principale della interpretazione standard di Bohr Bohr ha due possibili risposte a questa critica, che è alla base della presentazione di teorie alternative alla MQ ortodossa: (1) non è possibile specificare in modo chiaro e una volta per tutte la separazione tra classico e quantistico, dato che la distinzione è irrimediabilmente vaga e contestuale, ovvero dipende dall’esperimento in questione; (2) lo strumento di misura classico e il microsistema quantistico sono non-separabili a causa del quanto di azione, che lega, nella sua indivisibilità, i due sistemi in ogni scambio energetico. Si noti però che la seconda risposta sembra suggerire un trattamento unificato del micro e macro, che Bohr non ritiene possibile

Bohr e il realismo scientifico Il ruolo indispensabile dell’indivisibilità del quanto d’azione: ogni correlazione tra microsistemi e macrosistemi (interazione causale) lo presuppone, ma per Borh la sua discontinuità, o atomizzazione, rende impossibile la descrizione nello spazio e nel tempo dell’interazione stessa. E’ a causa dell’indivisibilità del quanto di azione (energia x tempo) che non possiamo assegnare energia e momento ben definiti a un sistema da una parte e simultaneamente descriverlo spaziotemporalmente dall’altra: in più, i due sistemi non hanno realtà indipendente. A causa della finitezza del quanto di azione, segue infatti che “poiché nell’osservazione dei fenomeni [atomici], non possiamo trascurare l’interazione tra l’oggetto e lo strumento di misura, la questione delle possibilità di osservazione viene di nuovo in primo piano. Così, qui incontriamo, in una nuova luce, il problema dell’oggettività dei fenomeni, che ha sempre attatto così tanta attenzione nelle discussioni filosofiche” (Bohr, 1929, Il quanto di azione e la descrizione della natura, citato in Faye, p.137) Due letture di Bohr sul ruolo della Y. Bohr viene a volte presentato come un antirealista sulla teorie: la funzione di una teoria fisica è solo quella di specificare predizioni empiriche su ciò che si può osservare; la Y non descrive nulla, anche se le particelle esistono.

D’altra parte, in un’altra interpretazione del pensiero di Bohr, Bohr e i fisici che lo seguono ritengono che la MQ sia completa, ovvero che il vettore di stato fornisca una descrizione accurata e completa della realtà fisica di un sistema, malgrado tale descrizione non assegni valori simultaneamente definiti a grandezze come posizione e momento o tempo e energia, o a grandezze in sovrapposizione. Ciò significa che, come abbiamo visto molte volte, uno stato quantistico di sovrapposizione come questo (che se valesse l’interpretazione “a ignoranza” si riferirebbe al fatto che c’è una “pallina” o nella scatola A o in B ma noi non sappiamo dove) implica invece che prima della misura la pallina non è né in A né in B, né in nessuna delle due e che quando guardiamo è trovata in A o in B con probabilità 1/2

Cioè, l’interpretazione “a ignoranza” o epistemica delle probabilità quantistiche in questo senso non funziona, perché in uno stato scritto così ci sono effetti di interferenza: le proprietà disposizionali di uno stato in sovrapposizione non sono quelle tipiche di uno stato in cui la pallina è definitamente in A o in B. Nella misura in cui c’è una certa tensione tra il sostenere che una teoria non ha capacità descrittiva e il sostenere che essa è completa, Bohr non può essere descritto come un antirealista sulle teorie (contro Jan Faye, Niels Bohr, His heritage and legacy, Kluwer)

Ripasso Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg Ricordiamo che lo scarto quadratico medio di A è Il prodotto dello scarto o indeterminazione delle due quantità A e B per un insieme statistico associato a uno stato puro  sarà allora Poiché gli operatori A- e B- sono entrambi simmetrici, si possono portare a destra del prodotto scalare Questo passaggio dipende dalle proprietà del prodotto scalare e dal fatto che il modulo di un numero complesso è maggiore del modulo della parte immaginaria

Indicando con le parentesi graffe il commutatore tra A- e B- si ha Poiché e sono numeri, essi commutano con qualunque operatore, ciò che spiega perché l’espressione a sinistra nella formula qui sopra si riduce a quella a destra. Per es., poiché il commutatore tra posizione e quantità di moto vale ih/2  si ha In relatività lo spazio x è legato al tempo t come l’impulso p è legato all’energia E

L’indeterminazione tempo-energia implica la conservazione dell’energia. Se lo stato del sistema coincide al tempo t=0 con un autofunzione propria dell’energia, ovvero se  (0)=  j ove H|  j> = E j |  j > allora il sistema evolve in questo modo: in cui l’esponenziale è l’operatore unitario (al posto dell’hamiltoniana H abbiamo messo il suo valore E j ). Ciò implica che la probabilità di trovare l’esito E j in una misura dell’energia è 1. Ma se l’energia è perfettamente definita, allora il tempo è indeterminato, cioè l’energia si mantiene uguale a se stessa assai a lungo.

Heisenberg non derivò le sue relazioni nel modo visto ma propose argomenti più qualitativi. (Ghirardi,1997, pp 413-4) Immagine geometrica del foro di ampiezza  x: non conosciamo la posizione della particella lungo x ma la componente verticale del momento p x è perfettamente definita, perché è nulla z x Se restringiamo l’ampiezza della fenditura fino a renderla paragonabile a quella della lunghezza d’onda =h/p associata all’elettrone, allora abbiamo un’indeterminazione piccola della posizione x dell’elettrone, ma il suo momento p x è non nullo a causa della diffrazione (immagine allargata del foro), in modo che il prodotto  x  p x > h/4  diffrazione

  z =-1  z = +1  x =+1  x =-1 Spin e indeterminazione Le proiezioni di  lungo gli assi degli autovettori danno, attraverso il quadrato dei loro moduli, la probabilità di ottenere i vari esiti per l’osservabile spin. Nella figura, tutte le proiezioni sono non nulle

 z = +1  x =+1  x =-1  z = -1 Per rendere “quasi determinato” il valore di  z si deve partire da uno stato quasi parallelo ai due autovettori di  z (un suo autostato), ma in questo caso le due componenti di  x tendono a (2) 1/2 /2 e si ha dunque una massima indeterminazione per l’osservabile  x (e viceversa). Il valor medio tra i due soli esiti (1 e –1) è 0, = 0, mentre lo scarto quadratico medio vale, secondo la formula già vista, proprio 1, che è il massimo  x  [    p i ( a- ) 2 ] 1/2 = 1/2  1/2(1-0) 2 + 1/2(-1-0) 2 ] 1/2 = 1 

Capitolo 6 Le critiche di Einstein alla meccanica quantistica, ovvero il dilemma tra incompletezza e non- località

your formulation of quantum mechanics “is certainly imposing…but an inner voice tells me that it is not yet the real thing (Einstein a Born 1926, 91) Nel 1927 (5 conf. Solvay), E. avanza due interpretazioni della  r) o dell’onda De-Broglie-Schroedinger, che in questo esperimento si suppone colpisca la lastra fotografica simultaneamente ma che poi si trova localizzata in un punto specifico r, di cui la |  r) | 2 determina solo la probabilità, in funzione dell’intensità dell’onda in quel punto. Sorgente e - Pellicola fotografica semisferica

I) incompletezza della teoria, ovvero, la meccanica quantistica non descrive i processi singoli di diffrazione dell’onda e poi di localizzazione, ma si riferisce a insiemi statistici di particelle non tutte nello stesso stato, ognuna delle quali con condizioni iniziali diverse. Le probabilità sarebbero allora epistemiche e i punti di localizzazione si riferirebbero alla probabilità che in r ci sia qualche particella dell’insieme; II) non-località: la meccanica quantistica descrive processi singoli ed è quindi completa, ma l’onda elettronica si trova in un istante su tutta la lastra e l’istante successivo è localizzata in un punto, in contraddizione con la relatività, dato che ogni singolo processo elementare deve agire simultaneamente su due o più punti distinti dello schermo, con un meccanismo che fa andare a 0 l’ampiezza in tutti i punti del fronte d’onda tranne che in uno. Le due ipotesi

“Se |  r)| 2 fosse semplicemente considerata la probabilità che un processo elementare si trovi in un certo luogo a un certo istante, potrebbe succedere che lo stesso processo elementare agisca in due o più punti dello schermo. Ma l’interpretazione secondo la quale |  r)| 2 esprime la probabilità che questa particella si trovi in un certo luogo presuppone un meccanismo molto particolare di azione a distanza che impedirebbe all’onda distribuita in modo continuo nello spazio di agire in due luoghi dello schermo…Se si lavora soltanto con le onde di Schroedinger, l’interpretazione II di |  r)| 2 implica a mio avviso una contraddizione con il postulato di relatività” Einstein in Bohr, Collected Works, vol. 6, p. 102 Molti storici hanno insistito non su questo dilemma, ma sulle critiche di Einstein al principio di indeterminatione di Heisenberg. Come sono connessi questi due fatti? Vediamo la critica al principio di Heisenberg

Le critiche di Einstein (al principio di indeterminazione?) (1927) S1S2 Un fascio monocromatico (con particelle di uguale impulso iniziale sparate una alla volta) investe uno schermo mobile: applicando la conservazione del momento, si potrebbe determinare in quale fenditura passa la particella in S2, senza distruggere l’interferenza. Si violerebbe così il principio di indeterminazione di Heisenberg: se il primo schermo si sposta verso il basso, la particella andrà verso la fenditura in alto di S2, e viceversa z

E’ solo l’interazione delle particelle con S 1 che può deviare la loro traiettoria, visto che prima avevano momento perpendicolare nullo (p z =0). In linea di principio, anche se praticamente è quasi impossibile, è possibile per Einstein misurare il rinculo dell’apparecchio verso l’alto o verso il basso senza influire sul moto della particella e stabilire quindi per quale fenditura questa passa. Bohr risponde che o si fissa S1 ad una base, e allora si sa con precisione dove è la fenditura, oppure, per stabilire il verso del suo rinculo (in alto o in basso) si deve avere un schermo sospeso con molle e si deve poter misurare con estrema precisione la componente della velocità lungo z. Ma allora, a causa del principio di indeterminazione di Heisenberg, si deve avere una corrispondente indeterminatezza nella posizione dello schermo lungo z. Si deve allora mediare su tutte le posizioni dello schermo S1 che rientrano nella indeterminazione della posizione, ciò che corrisponde a fare una media di tutte le possibili figure di interferenza che corrispondono ad ogni posizione. Fare tale media comporta distruggere la figura di interferenza!

Scrive Bohr:” risulta decisivo che, contrariamente ai veri e propri strumenti di misura, questi corpi [vale a dire il diaframma S1], assieme alle particelle, costituirebbero, nel caso in esame, il sistema cui deve applicarsi il formalismo quantistico. Per quanto riguarda la precisazione delle condizioni sotto le quali si può correttamente applicare il formalismo, risulta essenziale che si tenga conto di tutto il dispositivo sperimentale” (cit. in Ghirardi, p.426).  Si noti che però Bohr, che respinge l’obiezione di E., considera il diaframma macroscopico S1, solo perché utilizzato nella misura, come tale da cadere sotto l’applicazione del formalismo quantistico. Sebbene sia un corpo chiaramente di dimensioni che rientrano nella fisica classica. Il suo argomento potrebbe essere difeso affermando che solo un corpo quantistico può misurare il rinculo. Ma questa risposta esige di sapere a quali scale possiamo usare la fisica classica e a quali no: e questo è proprio il problema posto dalla tutta la filosofia di Bohr.

 Ambiguità della separazione classico/quantistico (J. Bell). Bohr direbbe, con termine più benevolo, “constestualità della separazione”. Il punto è che se tutti i sistemi fisici, anche quelli macroscopici classici, possono essere descritti dalla MQ, non ci si può più avvalere della separazione classico/quantistico per evitare il problema della misura.  Per questo Bohr, conscio del problema, scrive:”..si deve aver ben chiaro che – oltre che nella descrizione della disposizione nello spazio e nel tempo degli strumenti che formano l’apparato sperimentale – l’uso non ambiguo di concetti spazio-temporali nella descrizione dei fenomeni atomici va interamente limitato alla registrazione di osservazioni che si riferiscono a immagini su una lastra fotografica o ad analoghi effetti praticamente irreversibili di amplificazione, come la formazione di una goccia d’acqua attorno a uno ione in una camera a nebbia (Ghirardi, ibid.)  La nozione di irreversibile (e non più di macroscopico) diventa sinonimo di classico

Ecco il legame tra il dilemma incompletezza/non-località non colto dagli interpreti e il principio di indeterminazione, legame che non si evince affatto dal resoconto di Bohr nel volume in onore di E. di Schilpp, che in parte non capisce la critica di Einstein. E questo punto non viene colto nemmeno da vari libri recenti su Bohr: il fatto essenziale è chela particella e il diaframma, sia per B che per E, sono un sistema composto, e in più inseparabile, a causa del fatto che tra le grandezze del sistema valgono le relazioni di indeterminazione di Heisenberg. Non possiamo dire che la particella ha una posizione definita se la velocità lungo z del diaframma è non nulla; viceversa, se la velocità lungo z della particella è non nulla, questo comporta che la posizione del diaframma sia indeterminata, proprio perché deve essere definito il suo momento verticale. Il punto centrale che muove E. a criticare il Principio di H. ha quindi a che fare con la non-separabilità di sistemi spazialmente distanti che obbediscano al principio di H. Bohr non capisce il legame tra principio di indeterminazione e non-separabilità, malgrado teorizzi e comprenda forse per primo la seconda. Ma la non-separabilità per Bohr riguarda le condizioni di possibilità dell’attribuzione di una proprietà a un microsistema (è l’inevitabilità dell’apparato di misura) e e non coinvolge minimamente la non-località spaziotemporale, che E. invece coglie molto bene per primo.

In un saggio non pubblicato del 1927, studiato da D. Belousek in SHPMP, 1996, 27, E. deriva una sorta di equazione di Hamilton-Jacobi quantistica, in cui l’energia cinetica complessiva del sistema è la somma dell’energia cinetica assegnata alle sue n componenti, e tale che la velocità di ogni componente è determinata a ogni istante e contribuisce all’energia complessiva del sistema. “l’assegnazione di moti completamente determinati a soluzioni dell’equazione differenziale di Schroedinger è, almeno dal punto di vista formale, possibile tanto quanto lo è l’assegnazione di moti determinati dell’equazione di Hamilton-Jacobi della meccanica classica” (Einstein, in Belousek 1996) Ma poi ritira la pubblicazione, perché si rende conto che due sottosistemi qualsiasi in questo schema sarebbero entangled, cioè il moto di uno dipenderebbe strettamente da quelle dell’altro e lui rifiuta tale non-separabilità non-locale.

L’argomento di E. si può allora ricostruire così. Supponiamo che si misuri la velocità e il verso del moto di S1: allora, tramite il principio di conservazione dell’impulso, possiamo calcolare l’impulso della particella lontana senza disturbarla; per il principio di H., la particella dovrà avere una posizione indefinita. Ma se avessimo invece deciso di misurare la posizione dello schermo dopo l’interazione con la particella, avremmo reso indefinito l’impulso della particella. Le due variabili non sono simultaneamente misurabili, naturalmente, ma come fa la realtà delle proprietà della particella lontana (posizione e impulso) a dipendere dal tipo di misura che decidiamo di effettuare sullo schermo, che può essere separato da intervalli di tipo spazio dalla particella?

L’argomento della scatola e del fotone (Solvay 1930) La presentazione standard è la seguente: Einstein considera una scatola contenente radiazione elettromagnetica, dotata di un orologio che fa aprire una fessura dalla quale può uscire radiazione ad un tempo fissato. Se ipotizziamo che idealmente T  0, e che dall’apertura sia uscito un solo fotone, pesando la scatola prima e dopo la fuoriscita della particella, mediante la formula E= mc 2 si può determinare, oltre al tempo, anche l’energia emessa dalla scatola attraverso l’espulsione del fotone, in contraddizione con la formula dell’indeterminazione tempo-energia  T  > h/2 , ( 1 )

Ghirardi, Un’occhiata alle carte di Dio, p. 145 La risposta di Bohr utilizza il principio di equivalenza della Relatività generale. Al solito, per determinare il peso della scatola, la velocità lungo la verticale dell’indicatore deve essere nulla, e quindi si finisce con l’avere una posizione lungo la verticale assai indefinita. Questa incertezza si traduce in una indefinitezza del peso, e perciò dell’energia Unruh e Opat, nell’American Journal of Physics, 1979, mostrano che la risposta di Bohr può evitare il ricorso al principio di equivalenza, che sfrutta l’incertezza nella posizione dell’orologio per affermare che diventa incerta la sua quota e quindi la scansione temporale dell’orologio

Come risposta, Bohr deriva la disuguaglianza (1) Bohr usando queste formule: E = m c 2, (2)  p  q > h, (3)  p < Tg  m, (4)  T/T= (1/c 2 )g  q. (5) Sia T l’intervallo corrispondente al tempo necessario per le procedure di peso,  m l’accuratezza nella procedura di peso. L’impulso m  v=  p<F  mg  gc -2  per la (2)  La disuguaglianza nella (4) per Bohr si giustifica perché l’indeterminazione nel momento  p è minore dell’impulso totale dato dalla procedura di peso  p <  gc -2  p < gc -2  T c 2 /g  q da cui seguono le relazioni di indeterminazione per tempo e energia h/2  <  p  q <  T

Spieghiamo la (5):g  q è energia potenziale, nel nostro caso, differenza di potenziale legata all’incertezza nella posizione; il red-shift gravitazionale implica che l’orologio posto in basso nel campo gravitazionale vada più lentamente. Nell’esperimento di Briatore e Leschiutta (1975), si trovò che un orologio a Torino dopo 68 giorni perdeva 2,4.10 -6 s. rispetto a quello sul Plateau Rosa. Se l è la differenZa di quota, la differenza tra gli intervalli di tempo è data dalla formula  T’-  gl/c 2 )

Un critica contemporanea all’esperimento mentale del fotone nella scatola “ Indeed, if the shutter is open during a vanishing time interval (for just one photon to escape, Einstein thought) then the electromagnetic pulse must be very sharp, ideally a Dirac delta. According to classical electrodynamics, the Fourier components of such a pulse involve a wide spectrum of frequencies. Therefore the electromagnetic pulse does not have a precisely defined frequency. On the other hand the unique escaping photon should have, according to Einstein, a precisely defined energy, that is, a precisely defined frequency (E = h ) in contradiction with the sharp pulse. At least in 1949, Einstein was well aware of this contradiction as he stated that “...indivisible point-like localized quanta of the energy h (and momentum h /c)...contradicts Maxwell’s theory” [6]. We know today that the photon concept is compatible with Maxwell’s theory provided that we abandon the simultaneous requirement of point-like localization and precise energy-momentum.” (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant-ph/9910040 v1 8 Oct 1999 ). Per gli autori, il fotone ipotizzato da Einstein non può esistere

This is a hybrid set involving classical mechanics (4), special relativity (2), quantum mechanics (3) and general relativity (5). … this hybrid mixture is precisely the root of the weakness of the argument... However, in order to provide a proof of the inequality, the relations (2) to (5) must be valid and the symbols used in these formulas must have the same meaning as the one in the inequality (1). We will see that these two requirements are not satisfied by Bohr’s reply ( de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant-ph/9910040 v1 8 Oct 1999) In Bohr’s reply to Einstein, T is the “interval of balancing procedure”, m is the “weighing... accuracy”, q is the “position... accuracy” and p is the “minimum latitude in the control of the momentum of the box”. In these definitions there is a mixture of classical uncertainties and quantum indeterminacies. (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant- ph/9910040 v1 8 Oct 1999)

The first difficulty that we find with Bohr’s argument is that the symbol T has not the same meaning in the set of relations (2) to (5) as in relation (1). In Einstein’s argument, T is the indeterminacy in the moment of escape of the “photon” (more precisely, the time-width of the electromagnetic pulse) and in Bohr it means the indeterminacy in the balancing time of the box during the weighing procedure. These indeterminacies need not be the same. The weighing of the box can, indeed, be made a long time after the escape of the electromagnetic pulse. We have here sufficient reason to take Bohr’s reply as inconclusive. (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant- ph/9910040 v1 8 Oct 1999)

Ma anche in questo caso, il punto che stava a cuore ad Einstein è completamente diverso: riguardo all’incontro Solvay del 1930, gli storici hanno troppo insistito sulla ricostruzione di Bohr. In una lettera di Eherenfest a Bohr del 9.7.1931 leggiamo: “[Einstein] mi disse che già da molto tempo non dubitava più delle relazioni di indeterminazione, e che perciò egli non aveva assolutamente inventato “la scatola a lampo di luce pesabile “contra” le relazioni di indeterminazione, ma per uno scopo completamente diverso” In Howard D. (1990), Nicht sein kann was nicht sein darf or the prehistory of EPR, 1909-1935, in Sixty-Two Years of Uncertainty, a cura di A. I. Miller, New York, Plenum Press

Vedi Laudisa (1998), p. 46: nella stessa lettera Ehrenfest descrive una variante dell’esperimento della “scatola a fotone pesabile”, in cui una macchina emette un proiettile, che viene riflesso da uno specchio posto a grande distanza (separazione di tipo spazio). Dopo l’emissione, lavorando solo sulla macchina, è possibile predire due valori non commutativi, a seconda di ciò che scegliamo di misurare Dice Ehrenfest: “E’ interessante chiarire il fatto che il proiettile, che si muove già isolato e ‘per conto proprio’, deve essere pronto a soddisfare predizioni non commutative molto diverse, senza sapere ancora quale di queste predizioni verrà fatta”.

Ovvero potrei misurare il tempo di andata e ritorno del proiettile o la sua energia, senza in alcun modo influenzarlo. Devo quindi assumere che entrambe le quantità sono misurabili, a meno di non far dipendere la realtà delle proprietà del proiettile da ciò che faccio sulla scatola, a distanza. In nuce, c’è EPR, e comunque di nuovo la questione della non-separabilità tra macchina e proiettile, che invoca il problema della completezza. Se scegliessi di misurare l’osservabile E sulla macchina avrei una funzione d’onda  pro di un certo tipo, senza influenzare la realtà a distanza del proiettile a causa del postulato di relatività; ma se scegliessi di misurare T, avrei una funzione d’onda diversa  ’ pro, senza che la realtà a distanza del proiettile sia modificata. Poiché esistono due diverse rappresentazioni della medesima realtà, il rapporto tra funzione d’onda e sistema rappresentato non è biunivoco ed esiste dunque incompletezza, nella misura in cui per la completezza la biunivocità tra funzione d’onda e realtà è CNES (c’è un elemento di realtà che non è descritto dalla teoria, che si riferisce allo stesso elemento).

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