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ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE B. STRINGHER- UDINE Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia.

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1 ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE B. STRINGHER- UDINE Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia Anno scolastico 2008/2009

2 Introduzione Definizione di limite, definizione topologica e grafico Definizione limite destro e limite sinistro e grafico

3 Per limite di una funzione Y = f(x) per X tendente ad un certo valore che indichiamo con X 0, si intende il valore che la funzione tende a raggiungere quando alla variabile indipendente X attribuiamo i valori che si avvicinano sempre più a X 0.

4 Lim f(x)= L xx o Una funzione ammette limite L per xx o quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di x o, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. IL Ǝ Ix o :f(Ix o )CIL Y a l 0aX0X0 b X

5 Una funzione ammette limite L per x + quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. IL Ǝ I+ :f(I+ )CIL Lim f(x)= L x + 0 X Y Ill +

6 Una funzione ammette limite L per x - quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. IL Ǝ I- :f(I- )CIL Lim f(x)= L x - Y X 0 - Ill

7 Una funzione ammette limite L per x quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. IL Ǝ I :f(I )CIL Lim f(x)= L x Y X0 I - I +

8 Una funzione ammette limite + per x x o quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di x o, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. I+ Ǝ Ix o :f(Ix o )CI+ Lim f(x)= + xx o I x o 0 Y X I +

9 Una funzione ammette limite + per x + quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Lim f(x)= + x + I+ Ǝ I+ :f(I+ )CI+ Y X 0 I +

10 Una funzione ammette limite + per x - quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. I+ Ǝ I- :f(I- )CI+ Lim f(x)= + x - 0 X Y I + I -

11 Una funzione ammette limite + per x quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. I+ Ǝ I :f(I )CI+ Lim f(x)= + x 0 I + I - Y X

12 Una funzione ammette limite - per x x o quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di x o, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. I- Ǝ Ix o :f(Ix o )CI- Lim f(x)= - x x o 0 Y X xoxo I x o I -

13 Una funzione ammette limite - per x + quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. I- Ǝ I+ :f(I+ )CI- Lim f(x)= - x + Y X 0 I - I +

14 Una funzione ammette limite - per x - quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. I- Ǝ I- :f(I- )CI- Lim f(x)= - x - Y X 0 I -

15 Una funzione ammette limite - per x quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. I- Ǝ I :f(I )CI- Lim f(x)= - x Y X 0 I - I +

16 Una funzione ammette limite per x x o quando, preso un qualsiasi intorno di, esiste almeno un intorno di x o, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di. I Ǝ Ix o :f(Ix o )CI Lim f(x)= x x o Y X 0 I - I + I x o

17 Una funzione ammette limite per x + quando, preso un qualsiasi intorno di, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di. I Ǝ I+ :f(I+ )CI Lim f(x)= x + X Y 0 I + I -

18 Una funzione ammette limite per x - quando, preso un qualsiasi intorno di, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di. I Ǝ I- :f(I- )CI Lim f(x)= x - Y X 0 I + I -

19 Una funzione ammette limite per x quando, preso un qualsiasi intorno di, esiste almeno un intorno di, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di. I Ǝ I :f(I )CI Lim f(x)= x Y X 0 I - I +

20 Essendo L 1 L 2 diremo che per xx o contemporaneamente da destra e da sinistra, la funzione non presenta un unico limite. Una funzione può ammettere un certo limite per xx o quando esiste il limite destro, esiste il limite sinistro e i due valori sono coincidenti.

21 Y X 0 Y= f(X) n m axoxo I x o I n Y X 0 Y= f(X) L2L2 L1L1 f (x o ) = n axoxo b I x o I L 2

22 Introduzion Definision di limits, definision topologiche e grafiche Definision di limit diestri e sinistri e grafiche

23 Par limit di une funzion Y = f(x) par X tindint a un cert valôr che indichin cun X 0, si intindt il valôr che le funzion tind a raggiungi cuànt a le variabile indipendent X e attribuin i valôrs che si avisinin simpri di pui a X 0.

24 Lim f(x)= L xx o IL Ǝ Ix o :f(Ix o )CIL Une funzion e amet el limit L par x x o cuànd, cjapat un cualsiasi intorn di L, esist amàncul un intorn di x o, par dutes les x dal qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L. Y a l 0aX0X0 b X

25 Lim f(x)= L x + IL Ǝ I+ :f(I+ )CIL Une funzion e amet el limit L par x + cuànd, cjapat un cualsiasi intorn di L, esist amàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L. 0 X Y Ill +

26 Lim f(x)= L x - IL Ǝ I- :f(I- )CIL Une funzion ammet limit L par x - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di L, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L. Y X 0 - Ill

27 Lim f(x)= L x IL Ǝ I :f(I )CIL Une funzion ammet limit L par x cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di L, esist almàncul un intorn di, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L. X0 I - I + Y

28 Lim f(x)= + x x o I+ Ǝ Ix o :f(Ix o )CI+ Une funzion ammet limit + par x x o cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di x o, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. I x o 0 Y X I +

29 Lim f(x)= + x + I+ Ǝ I+ :f(I+ )CI+ Une funzion ammet limit + par x + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y X I + 0

30 Lim f(x)= + x - I+ Ǝ I- :f(I- )CI+ Une funzion ammet limit + par x - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. 0 X Y I + I -

31 Lim f(x)= + x I+ Ǝ I :f(I )CI+ Une funzion ammet limit + par x cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. 0 I + I - Y X

32 Lim f(x)= - x x o I- Ǝ Ix o :f(Ix o )CI- Une funzion ammet limit - par x x o cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di x o, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. 0 Y xoxo I x o I - X

33 Lim f(x)= - x + I- Ǝ I+ :f(I+ )CI- Une funzion ammet limit - par x + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. Y X 0 I - I +

34 Lim f(x)= - x - I- Ǝ I- :f(I- )CI- Une funzion ammet limit - par x - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. Y X 0 I -

35 Lim f(x)= - x I- Ǝ I :f(I )CI- Une funzion ammet limit - par x cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. Y X 0 I - I +

36 Lim f(x)= x x o I Ǝ Ix o :f(Ix o )CI Une funzion ammet limit par x x o cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di, esist almàncul un intorn di x o, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di. Y X 0 I - I + I x o

37 Lim f(x)= x + I Ǝ I+ :f(I+ )CI Une funzion ammet limit par x + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di. X Y 0 I + I -

38 Lim f(x)= x - I Ǝ I- :f(I- )CI Une funzion ammet limit par x - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di. X 0 I + I - Y

39 Lim f(x)= x I Ǝ I :f(I )CI Une funzion ammit limit par x cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di, esist almàncul un intorn di, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di. Y X 0 I - I +

40 Essind L 1 L 2 e disin che par x x o contemporaneamentri di diestri e di sinistre, le funzion no presente un unic limit. Une funzion e po ameti un cert limit par x x o cuànt cal esist el limit diestri, esist el limit sinistri e i doi valôrs e son coincidens.

41 X 0 Y= f(X) xoxo I n Y X 0 Y= f(X) L2L2 f (x o ) = n axoxo b n m I x o Y I n I L 2 a L1L1

42 Introduction Definition of limit, definition topologies and graph Definition of right limit, left and graph

43 For limit of a function Y = f(x) for X tending about at some value to denote by X 0, means the value that the function tends to reach when we attach to the independent variable X values that were close to more X 0.

44 Lim f(x)= L xx o One function admits limit L for x x o when, taken any around of L, there is at least one around of x o, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. IL Ǝ Ix o :f(Ix o )CIL Y a l 0aX0X0 b X

45 One function admits limit L for x+ when, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. IL Ǝ I+ :f(I+ )CIL Lim f(x)= L x + 0 X Y Ill +

46 One function admits limit L for x- when, taken any around of L, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. IL Ǝ I- :f(I- )CIL Lim f(x)= L x - Y X 0 - Ill

47 One function admits limit L for x when, taken any around of L, there is at least one around of, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. IL Ǝ I :f(I )CIL Lim f(x)= L x Y X0 I - I +

48 One function admits limit + for xx o when, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. I+ Ǝ Ix o :f(Ix o )CI+ Lim f(x)= + xx o I x o 0 Y X I +

49 One function admits limit + for x+ when, taken any around of +, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Lim f(x)= + x + I+ Ǝ I+ :f(I+ )CI+ Y X 0 I +

50 One function admits limit + for x- when, taken any around of +, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. I+ Ǝ I- :f(I- )CI+ Lim f(x)= + x - 0 X Y I + I -

51 One function admits limit + for x when, taken any around of +, there is at least one around of, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. I+ Ǝ I :f(I )CI+ Lim f(x)= + x 0 I + I - Y X

52 One function admits limit - for xx o when, taken any around of -, there is at least one around of x o, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. I- Ǝ Ix o :f(Ix o )CI- Lim f(x)= - x x o 0 X xoxo I x o I - Y

53 One function admits limit - for x + when, taken any around of -, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. I- Ǝ I+ :f(I+ )CI- Lim f(x)= - x + Y X 0 I - I +

54 One function admits limit - for x - when, taken any around of -, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. I- Ǝ I- :f(I- )CI- Lim f(x)= - x - Y X I - 0

55 One function admits limit - for x when, taken any around of -, there is at least one around of, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. I- Ǝ I :f(I )CI- Lim f(x)= - x Y X 0 I - I +

56 One function admits limit for x x o when, taken any around of, there is at least one around of x o, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of. I Ǝ Ix o :f(Ix o )CI Lim f(x)= x x o Y X 0 I - I + I x o

57 One function admits limit for x + when, taken any around of, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of. I Ǝ I+ :f(I+ )CI Lim f(x)= x + X Y 0 I + I -

58 One function admits limit for x - when, taken any around of, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of. I Ǝ I- :f(I- )CI Lim f(x)= x - Y X 0 I + I -

59 One function admits limit for x when, taken any around of, there is at least one around of, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of. I Ǝ I :f(I )CI Lim f(x)= x Y X 0 I - I +

60 Being L 1 L 2 say that for x x o simultaneously from right and left, the function doesnt have a single limit. A function can admit to a certain limit for x x o when there is a limit right, there is the left limit and the two values are coincident.

61 Y X 0 Y= f(X) n m axoxo I x o I n Y X 0 Y= f(X) n m axoxo I x o I n Y X 0 Y= f(X) L2L2 L1L1 f (x o ) = n axoxo b I x o I L 2

62 Einführung Definition der Limit, Definition topologica und Chart Definition der Limit Rechts, Limit Links und Chart

63 Limit für eine Funktion Y = f(x) für X Tendenz zu einem bestimmten Wert zur Bezeichnung von X 0, ist der Wert, dass die Funktion der Regel zu erreichen wenn auf die unabhängige Variable X befestigen die Werte, die sich immer enger zu X 0.

64 Lim f(x)= L xx o Eine Funktion räumt Limit L für x x o wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von x o, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. IL Ǝ Ix o :f(Ix o )CIL Y a l 0aX0X0 b X

65 Eine Funktion räumt Limit L für x + wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. IL Ǝ I+ :f(I+ )CIL Lim f(x)= L x + 0 X Y Ill +

66 Eine Funktion räumt Limit L für x - wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. IL Ǝ I- :f(I- )CIL Lim f(x)= L x - Y X 0 - Ill

67 Eine Funktion räumt Limit L für x wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. IL Ǝ I :f(I )CIL Lim f(x)= L x Y X0 I - I +

68 Eine Funktion räumt Limit + für x x o wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von x o, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. I+ Ǝ Ix o :f(Ix o )CI+ Lim f(x)= + xx o I x o 0 Y X I +

69 Eine Funktion räumt Limit + für x + wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. Lim f(x)= + x + I+ Ǝ I+ :f(I+ )CI+ Y X 0 I +

70 Eine Funktion räumt Limit + für x - wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. I+ Ǝ I- :f(I- )CI+ Lim f(x)= + x - 0 X Y I + I -

71 Eine Funktion räumt Limit + für x wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. I+ Ǝ I :f(I )CI+ Lim f(x)= + x 0 I + I - Y X

72 Eine Funktion räumt Limit - für x x o wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von x o, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. I- Ǝ Ix o :f(Ix o )CI- Lim f(x)= - x x o 0 X xoxo I x o I - Y

73 Eine Funktion räumt Limit - für x + wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. I- Ǝ I+ :f(I+ )CI- Lim f(x)= - x + Y X 0 I - I +

74 Eine Funktion räumt Limit - für x - wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. I- Ǝ I- :f(I- )CI- Lim f(x)= - x - Y X I - 0

75 Eine Funktion räumt Limit - für x wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. I- Ǝ I :f(I )CI- Lim f(x)= - x Y X 0 I - I +

76 Eine Funktion räumt Limit für x x o wann, getroffen beliebig eine Runde von, es gibt mindestens eine Runde von x o, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der. I Ǝ Ix o :f(Ix o )CI Lim f(x)= x x o Y X 0 I - I + I x o

77 Eine Funktion räumt Limit für x + wann, getroffen beliebig eine Runde von, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der. I Ǝ I+ :f(I+ )CI Lim f(x)= x + X Y 0 I + I -

78 Eine Funktion räumt Limit für x - wann, getroffen beliebig eine Runde von, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der. I Ǝ I- :f(I- )CI Lim f(x)= x - Y X 0 I + I -

79 Eine Funktion räumt Limit für x wann, getroffen beliebig eine Runde von, es gibt mindestens eine Runde von, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der. I Ǝ I :f(I )CI Lim f(x)= x Y 0 I - I + X

80 Wobei L 1 L 2 sagen dass x x o gleichzeitig von der rechten und links, die Funktion nicht ein einziges Limit. Eine Funktion kann Einige Limit zugeben für x x o wenn es ist eine Limit rechts, es ist die linke Limit und die beiden Werte sind gleichzeitig.

81 Y X 0 Y= f(X) L2L2 L1L1 f (x o ) = n axoxo b I x o I L 2 Y X 0 Y= f(X) n m axoxo I x o I n


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