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Numeri e geometrieA cura della prof. Lidia Vanzetti ELEMENTI DI STORIA DELLA MATEMATICA … Le cose meravigliose che imparate a conoscere nella scuola sono.

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1 numeri e geometrieA cura della prof. Lidia Vanzetti ELEMENTI DI STORIA DELLA MATEMATICA … Le cose meravigliose che imparate a conoscere nella scuola sono opera di molte generazioni; sono state create in tutti i paesi della terra a prezzo di infiniti sforzi e dopo un appassionato lavoro A. Einstein Vai al sommario Guida per la navigazione

2 numeri e geometrie terzo - secondo millennio a.C. Gli egizi 3000 a.C.: numeri geroglifici in Egitto (Sistema additivo in base 10. Uso delle frazioni )frazioni Nasce la geometria 1650 a.C.: papiro di Rhind (Rotolo largo circa 30 cm e lungo 5,46 m, contiene decine di problemi di vario genere. Acquistato nel 1858 in una località balneare sul Nilo da un antiquario scozzese, Henry Rhind, a cui deve il nome, è talvolta indicato come il Papiro di Ahmes, in onore dello scriba che lo aveva trascritto). Vai al sommario

3 numeri e geometrie La matematica in grecia La civiltà greca raggiunge la massima espansione sotto il regno di Alessandro Magno. Nella storia della matematica greca distinguiamo: il periodo classico (600– 300 a.C.) (preeuclideo), il periodo ellenistico (300 a.C.– 600 d.C.) I primi matematici greci testimoniano i contatti con la civiltà egizia e con quella babilonese: usavano un sistema di numerazione additivo e utilizzavano labaco (adottato poi dai Romani) per i calcoli più complessisistema di numerazione Vai al sommario

4 numeri e geometrie matematicI greci … Il primo ad introdurre l'astrazione nell'insieme di conoscenze geometriche tramandato da Babilonesi ed Egizi è TALETE di Mileto ( a.C.). Prima di lui "geometria" significava "agrimensura" e gli enti geometrici erano intesi come oggetti materiali. Talete si interessa in particolare delle figure geometriche e delle loro proprietà (similitudine). PITAGORA di Samo ( a.C.). Viaggia molto, si occupa di geometria e delle proprietà dei numeri. Fonda a Crotone la Scuola Pitagorica. Con Pitagora la matematica diventa una scienza: le scoperte vengono dimostrate. Gli si attribuisce il famoso teorema.proprietà dei numeriteorema La Scuola dei Pitagorici influenzerà il pensiero greco molto a lungo, lasciando in eredità un modo di pensare "rigoroso" secondo il quale vengono prima definiti i termini, poi formulati i principi ed infine dimostrati i teoremi. Nel V sec a.C., quando ancora la matematica non è una disciplina rigorosa, si sono già dimostrati molti teoremi geometrici Vai al sommario

5 numeri e geometrie la geometria razionale in grecia I risultati raggiunti dalla cultura matematica dellepoca nel campo della geometria vengono riuniti e organizzati in un unico sistema capace di contenere una vasta gamma di conoscenze Gli elementi geometriche: Gli elementi di EUCLIDE (300 a.C.), esposizione sistematica della geometria di quel tempo, che si conclude con le proprietà dei poliedri regolari.poliedri regolari N.B.: Nella geometria euclidea si assume, assecondando l'intuizione, che, data una retta r e un punto P fuori di essa, ci sia una e una sola retta parallela ad r passante per P. Tale assunzione è il V postulato di Euclide. Vai al sommario

6 numeri e geometrie … matematicI greci ARCHIMEDE di Siracusa (287– 212 a.C.) ARCHIMEDE Si occupa di geometria, aritmetica, fisica (in particolare statica) ERATOSTENE di Cirene ( a.C.) Effettua la prima misurazione della circonferenza terrestre. circonferenza terrestre Viene ricordato soprattutto per il famoso crivello di Eratostene. crivello di Eratostene ERONE (100 a.C.) Compie studi di geometria e di fisica Vai al sommario

7 numeri e geometrie Verso il rinascimento Lalgebra, anziché la geometria, viene a trovarsi al centro degli interessi dei matematici, che si sfidano a risolvere questioni e problemi di vario tipo.sfidano a risolvere questioni e problemi Tra i matematici italiani ricordiamo: Leonardo Pisano detto Fibonacci ( )Fibonacci E nota la sua serie di numeriserie di numeri Luca Pacioli ( ) frate matematico che nella sua opera De Divina Proportione (1509) indaga sullapplicazione della sezione aurea in tutti i campi (matematica, arte, biologia, musica). I disegni del suo libro sono opera di Leonardo da Vinci (poliedri regolari)sezione aurea poliedri regolari Nicolò Fontana detto Tartaglia ( ) Espone la regola per la risoluzione delle equazioni di terzo grado, primo atto della matematica moderna. Ricordiamo il noto triangolo di Tartagliatriangolo di Tartaglia Vai al sommario

8 numeri e geometrie 1600 – Renè Descartes (1596 – 1650) – avvio della geometria analitica (piano cartesiano) Eulero (1707 – 1783) C. F. Gauss (1777 – 1855) C. F. Gauss – contributi allo sviluppo delle geometrie non euclidee – teorema fondamentale dellalgebra Vai al sommario

9 numeri e geometrie Recenti Sviluppi Gauss fu il primo ad avere una chiara visione di una geometria coerente, in cui il V postulato di Euclide fosse sostituito dalla sua negazione. Si fondarono, in seguito, nuove geometrie, non euclidee, sulla base di formulazioni assiomatiche. La geometria si interessa alle trasformazioni: isometriche e non isometriche (similitudini, omotetie, affinità, proiettività, topologie)topologie Si sviluppano, inoltre, altri campi: la logica, la teoria degli insiemi, i frattali di Mandelbrot, 1975, …)frattali Vai al sommario

10 numeri e geometrie Locchio di horus Presso gli antichi Egizi le frazioni 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 erano indicate con simboli che, composti insieme, danno l'occhio del dio Horus. Il mito dellocchio di Horus : secondo unantica leggenda Horus, figlio di Iside e di Osiride, volle vendicare la morte del padre, ucciso dal fratello Seth. Nella lotta Horus perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth, a meno di una piccola parte. Locchio di Horus fu considerato un potente amuleto; al simbolo vennero attribuiti poteri magici con significati diversi nei vari campi del sapere.

11 numeri e geometrie In matematica il simbolo fu scomposto in sei parti e ad esse si fecero corrispondere le sei frazioni unitarie più frequenti, quelle corrispondenti agli inversi delle prime sei potenze di 2: = 1/2 = 1/4 = 1/8 = 1/16 = 1/32 = 1/64 La somma delle parti differisce dallunità di 1/64. Ad ogni parte dellocchio si fece corrispondere un senso; nellordine: il tatto (1/64), il gusto (1/32), ludito (1/16), il pensiero (1/8), la vista (1/4) e lolfatto (1/2). La costruzione del simbolo segue una precisa regola. I sensi erano ordinati quindi secondo limportanza loro attribuita, a seconda cioè dellenergia utilizzata per ricevere una particolare sensazione. Tutti i dati ricevuti erano lalimento della conoscenza. Vai al sommario

12 numeri e geometrie Sistemi di numerazione Per rappresentare i numeri gli Egizi utilizzavano sette simboli geroglifici per 1, 10, 100, 1000, 10000, , , combinati tra loro con un sistema additivo Es.: = In Grecia ci sono stati due sistemi principali di numerazione: uno, forse il più antico, detto il sistema attico, l'altro detto sistema ionico (o alfabetico). Entrambi i sistemi erano in base dieci, ma il primo, più primitivo, era basato su un semplice schema iterativo come quello della più antica numerazione geroglifica egiziana. I Romani usavano sette lettere dellalfabeto I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000 combinate tra loro con un sistema additivo/sottrattivo

13 numeri e geometrie Il nostro sistema di numerazione Sistema decimale posizionale I 10 simboli (da 0 a 9) sono scritti in notazione posizionale. Tale notazione, che compare presso gli Indiani (500 d.C.), viene ripresa e diffusa dagli Arabi a seguito delle loro guerre di conquista (VIII sec). Viene dunque introdotto lo zero. In Italia il miglior matematico del XII-XIII sec, Leonardo Pisano detto Fibonacci, diffonde le regole per scrivere i numeri come gli Arabi, ma solo nel XVI secolo le cifre arabe vengono definitivamente accettate dalle autorità. Fibonacci Vai al sommario

14 numeri e geometrie I numeri – proprieta Numeri primi : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Numeri triangolari : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … ( 1 ; 1 +2 =3; 3 +3 =6; 6 +4 =10; =15; …) Numeri quadrati : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, … ( 1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; 6 2 ; …)

15 numeri e geometrie I numeri triangolari Un numero triangolare è un numero figurato che rappresenta un triangolo (ad esempio di punti, di fagioli …) Ogni numero si ottiene dal precedente aggiungendo una fila I numeri triangolari sono: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …

16 numeri e geometrie I numeri quadrati Ecco i numeri quadrati : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … Proprietà: Qualunque numero quadrato è la somma di due numeri triangolari consecutivi 1+3=4, 10+15=25, 21+28=49 … Ogni numero quadrato si trova sommando i successivi numeri dispari 1+3= =9 …….. Vai al sommario

17 numeri e geometrie Teorema di pitagora Dato un triangolo rettangolo ABC retto in C, risulta: AB 2 = AC 2 + BC 2 Vai al sommario

18 numeri e geometrie archimede Partecipò alla difesa di Siracusa contro l'assedio romano durante la I e la II Guerra Punica. (Macchinari bellici di sua invenzione, come ad esempio un artiglio meccanico in grado di ribaltare le imbarcazioni nemiche, oppure gli "specchi ustori). Archimede è probabilmente il primo fisico matematico. Si racconta che abbia scoperto la legge fisica del galleggiamento dei corpi, nota come Principio di Archimede, mentre faceva un bagno (correndo poi nudo per le strade e gridando "eureka!" - "ho trovato!") Diede impulso alla statica, enunciò il principio di equilibrio delle leve. Dimostrò che il rapporto fra la circonferenza e il suo diametro è uguale al rapporto fra l'area del cerchio e il quadrato del raggio. Oggi indichiamo con π questo rapporto, numero di cui Archimede fornì un valore con un errore di approssimazione molto piccolo Vai al sommario

19 numeri e geometrie Eratostene e la misura della Terra Convinto che la terra sia rotonda, E. trova il modo per misurarne la circonferenza, studiando le ombre che egli osserva in due particolari città: Alessandria dEgitto e Syene. Alessandria, alla foce del Nilo, e l'attuale Assuan, allora chiamata Syene, si trovano in una posizione geografica che è cruciale : Syene si trova 'quasi' sul Tropico del Cancro e Alessandria si trova a 800 Km a nord di Syene, 'quasi' sullo stesso meridiano terrestre Lo strumento di cui si serve Eratostene è Semplicemente un banale bastone piantato verticalmente in un terreno pianeggiante: lo gnomone. Studiando l'ombra che si genera si possono seguire i movimenti del Sole.

20 numeri e geometrie Durante il giorno, il momento in cui l'ombra è più corta corrisponde a mezzogiorno. Il giorno in cui a mezzogiorno l'ombra è più corta è il solstizio d'estate ; sei mesi dopo, l'ombra a mezzogiorno è la più lunga ed è il solstizio d'inverno. Infine si può stabilire in ogni momento l'altezza del Sole, ossia l'angolo β che i suoi raggi formano con la linea dell'orizzonte, confrontando la lunghezza del bastone AH con la sua ombra BH. Nella città di Syene, il giorno del solstizio d'estate, a mezzogiorno, il bastone non dà ombra, il che significa che i raggi del Sole cadono perpendicolarmente al terreno: il Sole si dice che è allo zenit.

21 numeri e geometrie Nello stesso giorno, alla stessa ora, E. misura l'altezza del Sole nella città di Alessandria. Poiché sa che in quel momento il Sole è perfettamente perpendicolare a Syene, ottiene l'angolo tra la verticale ad Alessandria e la verticale a Syene. Questo angolo è esattamente quello formato dal raggio della Terra che ha per estremo Alessandria e dal raggio che ha per estremo Syene. L'angolo risulta essere 1/50 dell'intera circonferenza, in gradi 7° e 12'. Eratostene deduce dunque che la circonferenza della Terra deve essere 50 volte la distanza tra Alessandria e Syene. Poiché la distanza tra le due città è stadi (circa 800 km attuali), deduce per la circonferenza terrestre la misura di stadi (circa km attuali). Vai al sommario

22 numeri e geometrie Il crivello di eratostene E' uno dei primi esempi di algoritmo, di procedimento applicato alla determinazione dei numeri primi minori di un numero n. Supponiamo, ad esempio, di voler trovare i numeri primi minori di 100. Scriviamo tutti i numeri compresi tra 2 e 100 in una tabella: 2, 3, 4, 5, ………. n, ………… 100 Ora cancelliamo tutti i multipli di 2, poi tutti i multipli di 3 (nota che alcuni, quelli pari, sono già scomparsi), poi tutti i multipli di 5 (quelli rimasti, almeno), infine tutti i multipli di 7 rimasti.

23 numeri e geometrie Quelli rimasti sono tutti i numeri primi compresi tra 2 e 100. Il primo successivo, cioè 11, non va utilizzato, perché i suoi multipli minori di 100 sono: 22 che è anche multiplo di 2, 33(3), 44(2), 55(5), 66(2), 77(7), 88(2), 99(3). Poiché mi interessa l'intervallo , devo usare il crivello solo con i numeri primi il cui quadrato è minore di 100. N.B.: Il crivello è un particolare setaccio, il significato del nome è chiaro: abbiamo setacciato i numeri da 2 a 100 finché non sono rimasti soltanto i numeri primi. Vai al sommario

24 numeri e geometrie Sfide matematiche … problemi UN PROBLEMA dal Liber Abaci di Fibonacci: la scacchiera Un problema antichissimo è legato al gioco degli scacchi. Si racconta che il suo inventore, Sissa, chiese come ricompensa un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza, otto per la quarta, e così via sempre raddoppiando fino a giungere all'ultima casella della scacchiera, la sessantaquattresima. Fibonacci non menziona la leggenda, ma calcola in il numero di tutti i chicchi di grano. Un numero con così tante cifre non dice niente ed è difficile farsi un'idea della sua enormità. Per farsi un'idea, Leonardo si chiese: quante navi si possono riempire se ognuna di esse porta 500 moggi pisani, che pesano 24 sestari ognuno, con un sestario composto di 140 libbre, ognuna di 12 once, le quali a loro volta valgono ciascuna 25 denari, che pesano ciascuno 24 grani di frumento. Il risultato è stupefacente: si caricherebbero navi, cioè più di un miliardo e mezzo.

25 numeri e geometrie Conigli e numeri di Fibonacci UN PROBLEMA dal Liber Abaci di Fibonacci: come una famiglia di conigli si può sviluppare in circostanze ideali. Supponiamo di avere una coppia di conigli (maschio e femmina) e supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai e che la femmina produca sempre una nuova coppia (un maschio ed una femmina) ogni mese dal secondo mese in poi. Il problema posto da Fibonacci fu: quante coppie ci saranno dopo un anno? Alla fine del primo mese ci sarà ancora 1 coppia. Dopo i due mesi la femmina produce una nuova coppia, per cui ci sono 2 coppie di conigli. Dopo un altro mese la femmina iniziale produce una seconda coppia, quindi ci sono 3 coppie in tutto. La femmina originale continua a produrre ogni mese una nuova coppia e la femmina nata due mesi prima produce la sua prima coppia. Abbiamo così 5 coppie...…… Il numero delle coppie di conigli all'inizio di ciascun mese sarà 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Vai al sommario

26 numeri e geometrie La serie di fibonacci La successione 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.... si chiama serie di Fibonacci e i numeri che la compongono sono detti numeri di Fibonacci. Ciascun termine della serie si ottiene sommando i due termini immediatamente precedenti : 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8, … La serie di Fibonacci ha rivelato molteplici e diversa proprietàproprietà ed entra naturalmente in natura e nell'arte.naturanell'arte La sequenza di Fibonacci è senz'altro la serie di numeri più conosciuta, soprattutto per la sua semplicità, per le sue caratteristiche e per le sue proprietà. Vai al sommario

27 numeri e geometrie proprietà della serie di fibonacci Ecco alcune proprietà che ha questa sequenza: Sommando i primi n numeri di Fibonacci ed aggiungendo 1, il risultato è sempre uguale al numero (n+2) o di Fibonacci, ovvero al numero che si trova due posizioni dopo l'ultimo addizionato. Ad esempio sia n=5: sommando i primi 5 numeri di Fibonacci si ottiene 12, aggiungendo 1 ottengo 13, che è uguale al VII (n+2) numero di Fibonacci. Se invece di sommare tutti i numeri se ne sommano uno si ed uno no, il risultato è sempre uguale al numero successivo all'ultimo addizionato. Ad esempio sommando i numeri di posto dispari tra i primi 9, si ottiene: = 55 che è il decimo numero della serie. La somma dei quadrati di due numeri consecutivi della serie, dà ancora un numero di Fibonacci: la sua posizione nella sequenza si ottiene dalla somma delle altre due, essa è proprio la (n + n+1) a. Ad esempio: il quarto numero è 3, il quinto 5. La somma dei due quadrati è = = 34, ovvero il nono ( 4+5=9) numero. Vai al sommario

28 numeri e geometrie Una proprietà inaspettata dei numeri di Fibonacci è che, via via che si procede nella serie, il rapporto tra uno di essi e quello che lo precede si avvicina sempre più al numero irrazionale Φ = 1, detto numero aureonumero aureo 2:1 = 2 3:2 = 1,5 5:3 = 1,66666… 8:5 = 1,6 13:8 = 1,625 21:13 = 1,615384… … 89:55 = 1, … …

29 numeri e geometrie I numeri di fibonacci... Unaltra situazione, stavolta geometrica, che conduce ai numeri di Fibonacci, è connessa con la costruzione di quadrati adiacenti. Partiamo da un quadrato di lato 1, e sul lato di questo costruiamo un secondo quadrato adiacente, anch'esso di lato 1. I due quadrati formeranno un rettangolo 2×1, e quindi il prossimo quadrato adiacente sarà di lato 2. Insieme ai precedenti, questo quadrato formerà un rettangolo 3×2, sul quale poggerà un quadrato di lato 5. Continuando si forma una sequenza di quadrati, i cui lati sono i numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Tracciando in ogni quadrato un quarto di cerchio come nella figura, si ottiene una spirale, forma che si ritrova in certe conchiglie.spirale

30 numeri e geometrie In natura... Osservando la natura si scoprono forme che sono espressioni di eleganza e armonia e che obbediscono a leggi matematiche. I numeri di Fibonacci si ritrovano nella posizione delle foglie e dei petali dei fiori, nelle ramificazioni di alcune piante, nella disposizione dei semi nei girasoli e delle squame nelle pigne. Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi luna con laltra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e passiamo di foglia in foglia in senso orario o antiorario, il numero di foglie che conteremo prima di trovare una foglia sopra quella di partenza corrisponde sempre ad un numero di Fibonacci. Nell'immagine abbiamo due esempi.

31 numeri e geometrie... In natura …Il libro della natura è scritto coi caratteri della matematica Galileo Galilei La crescita di questa pianta segue lo schema qui disegnato. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Le conchiglie sono un altro esempio della presenza dei numeri di Fibonacci in natura. Vai al sommario

32 numeri e geometrie... Nellarte Il rapporto aureo viene assunto come canone di perfezione. Esso riveste un ruolo importante già nellarchitettura greca e nella pittura, soprattutto nel Rinascimento. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) costruisce le proporzioni del corpo umano sulla base della sezione aurea La Sectio Aurea acquista così il carisma della bellezza estetica. Vai al sommario

33 numeri e geometrie La sezione aurea Definizione classica di sezione aurea: dato il segmento AB, si chiama sezione aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente. In figura indichiamo con C il punto che divide il segmento AB nelle due parti richieste Risulta: AB : AC = AC : CB Si può verificare che AB/AC = 1,618… Luca Pacioli Questo rapporto, chiamato 'Divina proportione ' da Luca Pacioli, viene detto più tardi rapporto aureo' o 'numero d'oro. 'numero d'oro Il rapporto aureo era già noto a Pitagora, ma è stato Euclide a darne una prima rigorosa definizione matematica. Il trionfo del numero d'oro avverrà nel Rinascimento, con un interesse di matematici e artisti che perdura ancora oggi.

34 numeri e geometrie Rettangolo aureo Si chiama " rettangolo aureo il rettangolo in cui il rapporto tra le sue dimensioni è uguale al numero aureo (le dimensioni sono cioè in rapporto aureo). Esteticamente risulta essere il rettangolo più armonioso Osserviamo che partendo da un rettangolo aureo e tagliando da questo un quadrato, quello che rimane è ancora un rettangolo aureo, più piccolo. L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei. Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi otteniamo una spirale che si ritrova spirale sovente in natura. Essa mantiene la stessa forma, quando continua ad allargarsi. Certe conchiglie di molluschi (nautilus) hanno proprio questa forma (che non cambia quando la conchiglia cresce). Vai al sommario

35 numeri e geometrie Triangolo di tartaglia Il triangolo di Tartaglia (detto anche triangolo di Pascal) è un metodo, o meglio una costruzione, per ottenere i coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) n. Le prime righe del triangolo di Tartaglia sono le seguenti:

36 numeri e geometrie … Proprietà Il triangolo di numeri continua … ed è isoscele, quindi simmetrico La fila laterale più esterna è costituita da tanti 1 La fila successiva è costituita dalla successione N dei numeri naturali La fila ancora dopo (1, 3, 6, 10, …) dai numeri triangolari Se osserviamo le file di numeri orizzontali, troviamo che la somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del numero 2 Vai al sommario

37 numeri e geometrie Gauss All'età di sette anni Carl Friedrich Gauss cominciò a frequentare la scuola elementare e le sue potenzialità furono subito notate. Un aneddoto racconta che l'insegnante, per mettere a tacere l'allievo, gli ordinò di calcolare la somma S di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede la risposta esatta, essendosi accorto che sommando i numeri tra di loro opposti si ottiene sempre la stessa somma: 1, 2, 3, 4, 5, …………………. 96, 97, 98, 99, =101, 2+99=101, 3+98=101, ecc… per 50 volte. Dunque S = = 5050 Vai al sommario

38 numeri e geometrie I frattali In prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell' autosimilitudine : ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente. Questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito. Presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita. Quest'ultimo fatto lo possiamo facilmente verificare per il fiocco di neve (curva di Kock) che contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, ed è di lunghezza infinita. Un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale. I frattali sono in grado di rappresentare egregiamente una gran varietà di oggetti e fenomeni della Natura: non solo un tratto di costa, ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia ne sono alcuni esempi.

39 numeri e geometrie La curva di kock Questa curva è stata 'inventata' dal matematico svedese H. von Kock nel E' un esempio di curva chiusa di area finita, ma di perimetro infinito. Si ottiene come limite di una serie di curve spezzate, definite in modo ricorsivo. Si comincia con un triangolo con lati di lunghezza 1. A metà di ciascun lato si aggiunge un nuovo triangolo il cui lato misura 1/3 di quello precedente. La sua area è finita, sicuramente minore di quella del cerchio circoscritto alla curva. Il suo perimetro è infinito. Infatti, il perimetro del primo triangolo è 3; quello della seconda figura si ottiene sommando i 12 lati di lunghezza 1/3, quindi 12·1/3, ossia 4; quello della terza 48·1/9; e così via. Il perimetro si ottiene dalla formula 3· 4/3· 4/3· 4/3·... Vai al sommario

40 numeri e geometrie Lanello di Möbius L'anello di Möbius (1858) è una superficie che ha una sola faccia. Ecco come costruire un anello di Möbius : 1) ritagliamo una striscia di carta (o di cartoncino morbido) di circa 5 cm x 60 cm 2) tenendola per le estremità diamole una torsione di 180° 3) pieghiamola in modo da formare un anello, uniamo le estremità e le incolliamo

41 numeri e geometrie Per capire la sua singolare proprietà si può mettere a confronto un anello di Moebius con una solita superficie cilindrica. La superficie cilindrica ha due facce: quella esterna e quella interna. Se tracciamo una linea continua lungo tutta la faccia interna di un cilindro, ci ritroveremo al punto di partenza dopo aver descritto una linea chiusa che giace interamente sulla faccia interna del cilindro. Sul nastro o anello di Moebius, invece, si può disegnare una linea continua dall'una e dall'altra parte, senza mai staccare la matita dalla carta. Per questa proprietà il nastro di Moebius è stato assunto come simbolo dell'infinito. Vediamo (di seguito) come un artista del 900, ESCHER, ha rappresentato questa strana superficie:ESCHER

42 numeri e geometrie C.M.Escher, Striscia di Moebius II, xilografia, 1963 Vai al sommario

43 numeri e geometrie MAURITS CORNELIS ESCHER Escher Escher (1898 – 1972), artista olandese, si interessò, tra laltro, della tassellazione del piano e delluso delle simmetrie Vai al sommario

44 numeri e geometrie I solidi platonici Solido platonico è sinonimo di poliedro regolare e si definisce come poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti. Gli angoloidi di un poliedro regolare hanno la stessa ampiezza. Esistono soltanto 5 poliedri regolariEsistono soltanto 5 poliedri regolari: il tetraedro lesaedro lottaedro il dodecaedro l'icosaedro

45 numeri e geometrie … I solidi platonici tetraedro regolare: le sue facce sono 4 triangoli equilateri; 4 sono i vertici e 6 gli spigoli cubo o esaedro regolare: ha 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli ottaedro regolare: le sue 8 facce sono triangoli equilateri; ha 6 vertici e 12 spigoli. dodecaedro regolare: ha 12 facce pentagonali, 20 vertici, 30 spigoli. icosaedro regolare: ha 20 facce che sono triangoli equilateri, 12 vertici e 30 spigoli.

46 numeri e geometrie Una dimostrazione Perché sono solo cinque i poliedri regolari?solo cinque Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari. Infatti in ogni vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo stesso piano, quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Analizziamo i vari casi, a partire dal poligono regolare con il minor numero di lati, il triangolo equilatero. Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 60° = 180°) ottenendo un tetraedro regolare, 4 facce (4 x 60° = 240°) ottenendo un ottaedro regolare e 5 facce (5 x 60° = 300°) ottenendo un icosaedro regolare. Non possono convergere più di cinque facce (6 x 60° = 360°, il che non è possibile perchè non è < 360°, così 7 x 60 °= 420°, ecc…) Ogni angolo di un quadrato misura 90°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90 = 270) ottenendo un cubo. Non possono convergere più di tre facce (4 x 90 = 360, il che non è possibile, così 5 x 90 = 450, ecc…) Ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108 = 324) ottenendo un dodecaedro regolare. Non possono convergere più di tre facce (4 x 108 = 432, il che non è possibile, ecc…) Ogni angolo di un esagono regolare misura 120° e quindi 3 facce che si incontrassero in un vertice risulterebbero sullo stesso piano (3 x 120° = 360°). Dunque esistono solo 5 tipi di poliedri regolari. c.v.d.

47 numeri e geometrie … I solidi platonici Le regolarità dei poliedri regolari sono straordinariamente suggestive: questo ha fatto sì che venissero ampiamente studiati fin dall'antichità. Essi furono oggetto di studio di Pitagora e del filosofo Platone, il quale associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, allottaedro laria, allicosaedro lacqua, mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma delluniverso. Furono poi studiati con ben maggiore razionalità dai geometri greco- alessandrini. Le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli Elementi di Euclide. Nel Rinascimento i cinque solidi, simbolo di bellezza e di perfezione, vennero illustrati da Leonardo da Vinci nel De Divina Proporzione di Luca Pacioli.De Divina Proporzione Vai al sommario

48 numeri e geometrie Sommario TitoloLink: argomento 1 Home pageGuida alluso Sommario 2 III-II millennio a.C. Locchio di Horus 3 Matematica in Grecia Sistemi di numerazione 4 Matematici greci … Proprietà dei numeri Teorema di Pitagora 5 La geom. razionale I poliedri regolari (o solidi platonici) 6 … Matemat. greci Archimede Misura circonf. terra Crivello di Eratostene TitoloLink: argomento 7 Verso il Rinascimento Sfide e problemi La serie di Fibonacci: proprietà, in natura, nellarte Sezione aurea Triangolo di Tartaglia Gauss 9 Recenti sviluppi Frattali Topologia: lanello do Moebius Escher 48 Sommario 49 Guida 50 Fine

49 numeri e geometrie Guida Per la navigazione Dopo la prima diapositiva (home page) ne vengono presentate 8 che ripercorrono alcune delle tappe della storia della matematica. Con un semplice clic del mouse si passa da ciascuna pagina alla successiva. Ognuna delle 8 pagina offre documenti di approfondimento a cui si accede cliccando sulle parole calde (attive al passaggio del mouse) o direttamente dal sommario. Per la consultazione è utile tener conto dei comandi seguenti: = vai alla diapositiva precedente = home = vai alla diapositiva successiva = fine = approfondimento a conclusione di ciascun documento di approf., cè sempre un collegamento per tornare alla pagina di provenienza: = torna alla diapositiva di provenienza = vedi indice Vai al sommario

50 numeri e geometrie …Se lo studio della matematica ha un alto valore formativo, quello della storia della matematica ha,in più, un orizzonte interdisciplinare T. Viola Proporre agli alunni della scuola secondaria di I grado le questioni matematiche nel loro sviluppo storico, stimola nei ragazzi la motivazione ad avvicinarsi al fascino di una disciplina, la matematica, troppo spesso poco amata perché poco conosciuta. A cura di Lidia Vanzetti, docente di matematica presso la S.M.S. B. Alfieri di Carignano (TO) Parte del materiale (soprattutto immagini) è tratto dai siti web consultati. Di questi si dà una ragionata sitografiasitografia fine

51 numeri e geometrie sitografia /02_02_lez.html I siti indicati e i link in essi presenti sono stati consultati entro il 20 agosto 2006


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