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Menù. Le curve nella storia Galileo e la catenaria Jacob Bernoulli Joachim Jungius Lesperienza della catenella e altreLesperienza della catenella e.

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3 Le curve nella storia Galileo e la catenaria Jacob Bernoulli Joachim Jungius Lesperienza della catenella e altreLesperienza della catenella e altre FISICA: La statica della catenaria Derivazione della catenaria da una conica: catenaria come luogo dei fuochi di una parabolaDerivazione della catenaria da una conica: catenaria come luogo dei fuochi di una parabola Grafici di funzioni La catenaria come funzione cartesiana: equazione differenziale e risoluzioneLa catenaria come funzione cartesiana: equazione differenziale e risoluzione Funzioni iperboliche Studio del coseno iperbolico Altre vie per arrivare alla catenaria Cerchio osculatore ed evoluta; pseudosfera di BeltramiCerchio osculatore ed evoluta; pseudosfera di Beltrami Clinoide e VelariaClinoideVelaria Applicazioni in ARCHITETTURA La catenaria nella vita quotidiana Gaudì e Alvaro SizaGaudì Alvaro Siza Larco di Torino La catenaria: introduzione storica

4 Gli storici ritengono che la geometria sia nata in Egitto. Gli agrimensori egizi tracciavano con le funi le due linee più semplici e più importanti: la retta, tendendo una fune tra due punti, ed il cerchio, facendo ruotare uno di tali punti attorno allaltro, che rimane fisso. Presso i Greci la geometria diventa sistema. Gli Elementi di Euclide (300 a.C.) sono organizzati secondo il metodo assiomatico - deduttivo, fondato su concetti primitivi, definizioni, assiomi o postulati, teoremi. I problemi classici (duplicazione del cubo, trisezione dellangolo, quadratura del cerchio) non vengono risolti con riga e compasso. I geometri greci inventano nuove curve, con le quali risolvere i tre problemi (quadratrice, cissoide, ecc.). Apollonio (III-II sec a.C.) studia le coniche, come sezioni di una superficie conica con un piano: circonferenza, parabola, ellisse, iperbole. Cartesio (sec. XVII) definisce il piano cartesiano ed in esso rappresenta le coniche come equazioni di secondo grado in due incognite. In generale, ad unequazione algebrica F(x,y) = 0 si può collegare una curva: il luogo dei punti le cui coordinate (x,y) soddisfano tale equazione. Le curve si possono costruire per punti, risolvendo equazioni. Viceversa le equazioni si possono risolvere intersecando due curve. Nasce il calcolo differenziale con Newton e Leibnitz (fra 600 e 700) Il problema di trovare la tangente ad una curva in un punto, ossia la determinazione della retta che approssima meglio di ogni altra una curva data nelle vicinanze di un suo punto, porterà alla scoperta del calcolo differenziale Nascono le equazioni differenziali (Cauchy e Gauss, 800) Il problema inverso consiste nel trovare una curva conoscendo una relazione fra i punti e le tangenti relative. Si ottengono equazioni che legano le variabili ed i loro differenziali: sono dette equazioni differenziali. Con esse emergono le curve trascendenti (non esprimibili con equazioni algebriche): si rifanno alle funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche. menù next

5 La Catenaria Introduzione storica La curva che si forma fissando le due estremità di una catena flessibile e omogenea è detta catenaria. Lo studio della catenaria ha origini relativamente recenti rispetto a quelli di altre curve, come la cissoide, la concoide o la cicloide. Tale curva compare infatti per la prima volta negli scritti di Galileo nel 1638.

6 Il primo ad analizzare la catenaria fu Galileo. Egli pensava, però, che fosse una parabola, probabilmente a causa delle numerose analogie con essa. Entrambe infatti hanno un vertice, un asse di simmetria verticale e sono entrambe continue e differenziabili ovunque. Lampiezza della curva, inoltre, aumenta sempre più man mano che ci si allontana dal punto più basso, senza però mai dare origine ad una linea verticale. backnext menù

7 Matematico tedesco, nacque a Lubecca nel 1587 e morì ad Amburgo nel Nellopera Geometria empyrica, Joachim Jungius dimostrò che la catenaria non è una parabola e che Galileo aveva commesso un errore. Quale curva fosse e quale equazione la rappresentasse rimaneva però un problema aperto. Fu uno dei primi ad usare gli esponenti per rappresentare le potenze e usò la matematica come modello per le scienze naturali. nextback menù

8 La sfida di Bernoulli Nel 1690 Jacob Bernoulli, attraverso una rivista scientifica, lanciò la sfida agli insigni matematici del tempo invitandoli a risolvere il problema. La risposta arrivò contemporaneamente da diversi matematici e fisici: Huygens, Leibnitz, Johan Bernoulli, lo stesso Jacob Bernoulli, Herman, Gregory. Nello studio di questo come di altri problemi, quello della brachistocrona, il problema delle tangenti di Leibnitz, quello della velocità istantanea, vennero introdotti nuovi metodi che costituirono le basi di quel calcolo che fu poi detto infinitesimale. Nel 1690 Jacob Bernoulli, attraverso una rivista scientifica, lanciò la sfida agli insigni matematici del tempo invitandoli a risolvere il problema. La risposta arrivò contemporaneamente da diversi matematici e fisici: Huygens, Leibnitz, Johan Bernoulli, lo stesso Jacob Bernoulli, Herman, Gregory. Nello studio di questo come di altri problemi, quello della brachistocrona, il problema delle tangenti di Leibnitz, quello della velocità istantanea, vennero introdotti nuovi metodi che costituirono le basi di quel calcolo che fu poi detto infinitesimale.

9 Nato nel 1654 nella città svizzera di Basilea da una famiglia altolocata, Jacob Bernoulli nel 1671 si laureò in filosofia nella locale università. Nel contempo si interessava alla matematica e allastronomia. In Olanda lavorò a fianco di famosi scienziati, tra i quali Hooke, Boyle e Hudde. Di ritorno in Svizzera, Bernoulli insegnò meccanica allUniversità, in una serie di importanti lezioni sul comportamento dei fluidi (ricordiamo il teorema di Bernoulli). La famiglia Bernoulli è stata per la matematica quello che la famiglia Bach è stata per la musica. nextback menù

10 A differenza di altri tempi, oggi abbiamo a disposizione tanti strumenti informatici per tracciare curve, ad esempio il foglio elettronico Excel, il software Derive, il linguaggio di programmazione Pascal. back menù

11 Ci siamo dotati di diversi tipi di catene (per peso e lunghezza) e le abbiamo fissate a due supporti posti a uguale quota. Abbiamo tracciato le curve descritte dalle diverse catene su un foglio millimetrato posto verticalmente sul piano delle catene stesse.

12 A questo punto, studiando i grafici ottenuti, si è osservato che catene di peso diverso ma uguale lunghezza descrivevano la stessa curva.

13 La CATENARIA è detta anche CURVA FUNICOLARE: è la curva secondo cui si dispone una catena o una fune omogenea e ben flessibile, appesa a due punti estremi. La lunghezza della fune, evidentemente maggiore della distanza tra gli estremi stessi, si suppone grandissima rispetto al diametro della fune; questultima si chiama perciò spesso filo e la catenaria è la curva di equilibrio di un filo pesante. La catenaria viene così associata ad un sistema fisico materiale ad una dimensione. Ora, su di un elemento generico del filo, compreso tra i punti di ascisse curvilinee s e s+ds agiscono tre forze: 1. la forza attiva F*ds; 2. la tensione dellestremo s+ds: T(s+ds); 3. la tensione nellestremo inferiore s : -T(s); La condizione necessaria e sufficiente per lequilibrio è espressa dallannullarsi della risultante di codeste tre forze (la condizione deve essere soddisfatta per ogni elemento dellarco AB). Questa condizione permette di calcolare la sua equazione. menù

14 Partendo dalla riproduzione su cartoncino di una parabola, abbiamo proiettato sullasse delle ascisse punti tra loro equidistanti appartenenti ad essa. Ruotando la conica fino a farla coincidere con le proiezioni abbiamo segnato lo spostamento della posizione del fuoco. Infine unendo i suddetti punti abbiamo verificato che la curva che se ne originava era una catenaria. Questa viene vista come luogo dei fuochi di una parabola che rotola lungo una retta orizzontale. Anche in questo usando il calcolo differenziale possiamo trovare lequazione del luogo: si tratta di un coseno iperbolico. METODO EMPIRICO next menù

15 IL FUOCO DI UNA PARABOLA VOLVENTE LUNGO UNA RETTA ORIZZONTALE DESCRIVE UNA CATENARIA back menù

16 COSENO IPERBOLICO Si definisce coseno iperbolico di x, e si indica con il simbolo coshx, la funzione: definita su tutto lasse reale e sempre positiva. Si osserva subito che per ogni x R il valore del coseno iperbolico di x è la media aritmetica tra i numeri e x ed e -x ; inoltre la funzione è pari. Ne deriva il seguente grafico: next menù

17 SENO IPERBOLICO Si definisce seno iperbolico di x, e si indica con il simbolo senhx, la funzione: definita su tutto lasse reale. Anche senhx è una combinazione lineare delle due funzioni e può considerarsi per ogni x R il valore medio tra e x e -e -x. Poichè risulta per ogni x R, la funzione è dispari, ovvero simmetrica rispetto allorigine. Ne deriva il seguente grafico: back menù

18 Come visto lequazione della catenaria è una FUNZIONE IPERBOLICA, equivalente al COSENO IPERBOLICO, la cui equazione è: Abbiamo assegnato ad a tre valori arbitrari, ovvero: next menù

19 Abbiamo studiato separatamente le tre funzioni y 1, y 2, y 3. I risultati raggiunti sono stati i seguenti: Dom(y 1 ) = Dom(y 2 ) = Dom (y 3 ). y 1, y 2, y 3 sono funzioni pari, cioè simmetriche rispetto all asse y. Vi è ununica intersezione con lasse y: il punto dincontro coincide con il vertice della curva e ha ordinata uguale al parametro a. Mediante il calcolo differenziale si conferma lesistenza di un minimo (coincide con il vertice), calcolando la derivata prima della funzione. Ancora la derivata prima ha permesso di evidenziare gli intervalli di crescenza o decrescenza. Infatti, la singola funzione decresce in ] -; 0 [ e cresce in ] 0; + [. La derivata seconda ha stabilito che le tre catenarie volgono la concavità verso lalto. nextback...e ci siamo chiesti come varia il grafico del coseno iperbolico al variare del parametro a... menù

20 Sono stati tracciati i tre grafici nello stesso piano cartesiano e avviato un confronto tra gli stessi. Losservazione porta ad affermare che: diminuendo (o aumentando) i valori del parametro a > 0 diminuisce (o aumenta) lapertura della curva e diminuisce (o aumenta) lordinata del vertice (y v scorre sullasse y dallalto verso il basso o viceversa). back menù

21 Cerchio osculatore ed evoluta Pseudosfera di Beltrami Clinoide Velaria next menù

22 Considerando una curva, la tangente approssima landamento del tratto della curva; Per approssimare meglio landamento si possono utilizzare altre curve; ad esempio la circonferenza; Il suo raggio è perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza; La curvatura della curva è inversamente proporzionale al raggio del cerchio osculatore; quindi, a curve ampie corrispondono raggi maggiori e a curve più strette corrispondo raggi minori; La circonferenza che approssima meglio landamento è detta CERCHIO OSCULATORE nextback menù

23 Verso la fine degli anni sessanta del XIX secolo, il dibattito sulle geometrie non euclidee è particolarmente acceso. Eugenio Beltrami Saggio di interpretazione della geometria non euclidea Lallora giovane matematico italiano Eugenio Beltrami, in seguito alla pubblicazione di una memoria risalente a Gauss nella quale si ipotizzava un nuovo modo di intendere la geometria, pubblica il suo Saggio di interpretazione della geometria non euclidea. Beltrami aveva trovato allinterno della geometria euclidea una superficie di rotazione, la pseudosfera, che poteva essere interpretata come un modello euclideo di geometria non euclidea. Alla superficie aveva dato il nome di pseudosfera perché ha curvatura costante come una sfera ma di segno negativo. Per capire come avviene questa traduzione (ovvero linterpretazione della pseudosfera come modello di geometria piana non euclidea) occorre introdurre la nozione di geodetica. Nel piano il percorso più breve che unisce due punti si trova sulla retta passante per i due punti. Estendendo questo concetto alle superfici, il percorso più breve che unisce i due punti della superficie si trova su di una linea, generalmente curva detta geodetica. nextback menù

24 nextback TRATTRICE DI F. MINDING Ruotando la curva trattrice attorno al suo asintoto si ottiene la PSEUDOSFERA DI BELTRAMI LA TRATTRICE menù

25 Tuttavia, alcuni matematici hanno perplessità circa il ragionamento di Beltrami. Tuttavia, alcuni matematici hanno perplessità circa il ragionamento di Beltrami. Il punto più debole dell'argomentazione sta nel fatto che il modello ha valore locale e non può rappresentare globalmente la geometria non euclidea. Infatti, tra le infinite forme che una superficie pseudosferica può assumere si conosce l'espressione analitica solo di qualche caso particolare. In particolare la pseudosfera di Beltrami non è regolare e non può rappresentare interamente il piano non euclideo. TRADUZIONE back menù

26 LA TRATTRICE Huygens La curva trattrice fu studiata da Huygens, si tratta di una curva di origine fisico-matematica che gode della proprietà equitangenziale, ciò significa che i segmenti di tangenza compresi tra i punti della curva e le intersezioni di questi col suo asintoto hanno lunghezza costante. Larea compresa tra la trattrice e il suo asintoto è finita. Quando la trattrice ruota lungo lasintoto dà origine ad una pseudo-sfera, una superficie di curvatura negativa, usata da Beltrami nel 1868 nellambito delle geometrie non euclidee. Premesso che levoluta di una curva è il luogo geometrico dei centri dei suoi cerchi osculatori, otteniamo come evoluta della trattrice la curva catenaria; il rapporto tra la trattrice e la catenaria è percepibile dalle rette perpendicolari alla prima che risultano tangenti alla seconda. LEVOLUTA della trattrice è la curva catenaria!!! menù

27 Dal greco inclinare, la CLINOIDE è la curva che registra linclinazione di qualche fenomeno Lequazione cartesiana della curva è: Con b=0 o con c=0 si ha una CURVA ESPONENZIALE Con b=c=a/2 si ha una CURVA CATENARIA nextback La catenaria è un caso particolare di clinoide menù

28 La velaria è la curva formata di profilo da un drappo rettangolare di vela sottoposta alla pressione del vento, a prescindere dalla gravità. Fu studiata per prima da Giacomo Bernoulli, che riuscì a definirla mediante unequazione differenziale che riuscì a risolvere, scoprendo infine che back la VELARIA non è altro che una CATENARIA ruotata di 90° menù

29 Sebbene la maggior parte delle volte non se ne sia consci, la catenaria è presente nella nostra vita quotidiana in numerose forme. Fra queste citiamo brevemente: I cavi tra i piloni dellelettricità e quelli dei piloni della funivia, se questa si trova ad una delle due estremità. I cavi elettrici per la ferrovia. Collane senza pendenti al collo delle persone. Il profilo di una vela rettangolare, quando è completamente gonfia con il vento perpendicolare. PONTI sospesi: prima di venire collegate alla strada le funi assumono la forma di una curva catenaria; una volta realizzati i punti di collegamento esse diventano parabole (come aveva detto Galileo). Esempio: il Golden Gate Bridge in California. Il rivestimento della struttura del dirigibile ha la forma di una catenaria. next menù

30 Il profilo del Gateway Arch di St.Louis è una curva simmetrica della catenaria rispetto ad un asse orizzontale. Alta 192 metri, la struttura ha per sezione un triangolo equilatero, di grandezza decrescente verso la sommità della struttura. Simboleggiante la porta aperta dal presidente Jefferson verso ovest, il Gateway Arch di St.Louis, costruito nel 1947 dallarchitetto Eero Saarinen, sfrutta una particolare proprietà della catenaria: il peso della struttura viene interamente scaricato sulla tangente alla stessa e dunque sugli estremi, conferendo ulteriore stabilità allinsieme. La Catenaria nella vita quotidiana Il GATEWAY ARCH di ST. LOUIS back menù

31 In una ragnatela, a causa della loro igroscopia, i fili sono carichi di goccioline, e piegandosi sotto il peso, sono divenute altrettante catenarie. La vita del ragno di J.H. Fabre La catenaria è uno degli elementi architettonici più semplici e naturali utilizzati nellarte. next menù

32 Brunelleschi aveva costruito i modelli a corda blanda della Cupola di Santa Maria del Fiore a Firenze, che sono sostanzialmente lutilizzo della catenaria nella costruzione dei modelli di volte rovesciate. nextback menù

33 Sempre a Firenze è piuttosto evidente lapplicazione della catenaria al Ponte di Santa Trìnita. nextback menù

34 Un altro esempio di catenaria applicata allarchitettura si trova a Londra : la Cattedrale di St. Paul. Realizzata nel XVIII sec., la cupola di questa cattedrale è una delle più mastodontiche applicazioni dellarco di catenaria. nextback menù

35 Cattedrale di St. Paul di Christopher Wren a Londra. back menù

36 Nonostante le applicazioni della catenaria siano numerose, in Architettura nessuno è mai stato in grado di utilizzarla con così tanta frequenza, abilità e consapevolezza come Gaudì. next menù

37 Geometria della Natura Uno degli esempi più frequenti e più semplici dellapplicazione di questa Nuova Geometria ci viene offerto dall arco catenario. Gaudì ha sempre lavorato isolato; non appartiene ad alcun movimento, o scuola, o stile, o tempo: ha sempre cercato la sua ispirazione nella Natura, in particolare in quella del Mediterraneo. Inoltre curava di persona ogni dettaglio del progetto che gli veniva assegnato, fino al compimento. Accanto alla grande capacità di osservazione, Gaudì aveva anche la qualità di privilegiare sempre lassoluta funzionalità delle cose che realizzava. Egli riteneva che la forma più funzionale fosse anche la più bella. Mentre gli architetti hanno sempre utilizzato la geometria euclidea, in quanto facile da disegnare, Gaudì, utilizzando la Geometria della Natura, fatta di superfici tridimensionali composte (come il paraboloide iperbolico, liperboloide, il conoide, lelicoide e larco catenario), diventa senza dubbio un architetto unico nel suo genere. Uno degli esempi più frequenti e più semplici dellapplicazione di questa Nuova Geometria ci viene offerto dall arco catenario. NOTE BIOGRAFICHE nextback menù

38 Gaudì non utilizza larco classico, ma l arco catenario. Questo arco si ottiene rovesciando la catenaria e sostituendo il suo percorso con le pietre e i mattoni. La caratteristica fondamentale di quest arco è che la linea di pressione è uniformemente distribuita su tutta la superficie, e corrisponde esattamente con la linea della catenaria. Ciò vuol dire che con il minimo materiale si ottiene la massima resistenza. In questo senso larco catenario è funzionale, ma è anche piacevole, e lo è proprio in virtù della sua funzionalità e spontaneità. Gaudì utilizza larco catenario molto frequentemente, in ogni sua opera, e dedica ad esso anche numerosi studi. nextback menù

39 Per la realizzazione della Sagrada Famiglia, Gaudì fa ampio uso dellarco catenario, per la cui realizzazione allestisce un atelier, allinterno del cantiere stesso, il quale contiene i modelli di studio per le colonne e le volte. nextback menù

40 Casa Battilò Casa Milà Gaudì utilizza larco catenario, non solo per gli esterni, ma anche per gli interni, assieme a tutti gli altri elementi della sua geometria della natura. back menù

41 Architetto portoghese, nacque a Matosinhos (Porto) nel Studiò alla Escola de Belas Artes (scuola superiore di Belle Arti) a Porto e fu allievo e collaboratore di Fernando Tavora; oggi è direttore della ricostruzione del Chiado a Lisbona. Ha vinto numerosi premi internazionali tra cui il premio Pritzker nel 1992 e il Premio Nazionale di Architettura dallassociazione degli Architetti Portoghesi nel next menù

42 IL PADIGLIONE DEL PORTOGALLO ALLEXPO 98 A LISBONA La Piazza Cerimoniale di fronte al padiglione è un ampio spazio coperto delimitato da due grandi portici che sostengono la copertura di cemento armato; Siza cerca di risolvere le difficoltà tecniche dovute al peso della visiera lasciando che per la forza di gravità essa assuma la forma di una catenaria. nextback menù

43 IL CAPANNONE VITRA A WEIL AM RHEIN (GERMANIA) Per collegare la palazzina del Campus Vitra con i fabbricati del M.I.T. (di Mies van der Rohe) Álvaro Siza realizza una pensilina, la quale, grazie ad una copertura mobile, riesce ad adattarsi alle condizioni atmosferiche. Questa copertura conserva la curvatura impressa dalla capriata che la sostiene. Larmonia dello sbalzo deriva proprio dalla congiunzione formale tra la catenaria degli sforzi, la capriata e la curva della pensilina. back menù

44 Sono stato in viaggio distruzione a Torino e… ho cercato catenarie ovunque! Quando sono arrivato al Lingotto ho visto apparire un lungo ponte sospeso ed un grandissimo arco rosso! ARCO E PONTE SOSPESO VERSO IL LINGOTTO INGRESSO AL VILLAGGIO OLIMPICO, TORINO CI CHIEDIAMO DUNQUE: LARCO ROSSO E UNA CATENARIA ROVESCIATA? CI CHIEDIAMO DUNQUE: LARCO ROSSO E UNA CATENARIA ROVESCIATA? Dati tecnici: h assoluta dellarco: 85 m h dellarco in posizione inclinata: 65 m larghezza ai piedi dellarco: 55 m menù


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