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Progetto lauree scientifiche Unità 3 numeri complessi e poligoni regolari A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica F. Enriques.

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1 Progetto lauree scientifiche Unità 3 numeri complessi e poligoni regolari A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica F. Enriques Università degli Studi di Milano

2 -1 non è un quadrato in R Poiché non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia -1, i matematici hanno inventato il attribuendogli la proprietà desiderata: i 2 = -1

3 un nuovo insieme numerico Linsieme dei numeri reali viene ampliato con gli oggetti a + i b numeri reali dove a e b sono numeri reali. = a + i b si chiama il numero a + i b è definito dalla coppia (a, b) di numeri reali. Denotiamo con il nuovo insieme. è unestensione di

4 la struttura algebrica di luguaglianza operazioni Definito il nuovo insieme di numeri, dovremmo definire luguaglianza e le operazioni tra numeri complessi....ma questo lo sapete! Allora passiamo oltre...

5 rappresentazione sul piano Poiché il numero complesso = a + i b è definito dalla coppia di numeri reali (a, b) può essere rappresentato sul piano: Come se a+ib fosse il punto di coordinate (a,b) ! coordinate (a,b) !

6 coordinate polari ( ; ) distanza rotazione Nel piano cartesiano, un punto P può essere individuato dalla sua distanza ( 0) dallorigine O e dalla rotazione antioraria che il semiasse positivo delle ascisse deve Ne ho già sentitoparlare? compiere per sovrapporsi ad OP (angolo orientato). Figura

7 dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane abbiamo il punto P di coordinate polari (, ) vogliamo le sue coordinate cartesiane Qui serve la trigonometria! x = cos y = sen (x, y) sono le coordinate cartesiane del punto P. Figura

8 dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari Adesso, però, fate voi! Elevando al quadrato le precedenti relazioni e sommandole ricaviamo il raggio: Mettendole a rapporto ricaviamo invece langolo:

9 la forma polare di = a + i b Il numero complesso individua il punto P (a, b): se P ha coordinate polari (, ): modulo si chiama modulo di argomento si chiama argomento di è un numero positivo è definito a meno di multipli di 2. Attenzione!

10 la forma trigonometrica di = a + i b Se (, ) sono le coordinate polari del punto P (a, b), con le formule di passaggio a = cos b = sen il numero complesso = a + i b si scrive anche in questo modo: a + i b = (cos + i sen )

11 forma trigonometrica e prodotto Fare i conti con i numeri complessi in forma trigonometrica è interessante… Dati i numeri complessi = a + i b = (cos + i sen ) Che gusti! forse è comodo con le formule della trigonometria si ottiene = (cos ( + ) + i sen ( + ))

12 forma trigonometrica e potenze Applica la formula del prodotto per calcolare n interessante... Ottieni: 2 = = (cos ( + ) + i sen ( + )) = = 2 (cos 2 + i sen 2 ) 3 = 2 = 2 (cos (2 + ) + i sen (2 + )) = = 3 (cos 3 + i sen 3 ) e così via fino a n = n (cos n + i sen n )

13 potenze di un numero di modulo 1 = cos + i sen = cos + i sen E ora lavora con i numeri di modulo = 1 le potenze successive 2 = cos 2 + i sen 2 3 = cos 3 + i sen 3 …..… n = cos n + i sen n 1 sono numeri di modulo 1, 2, 3,..., n e argomento, 2, 3,..., n

14 , 2, 3, …, n i punti del piano che rappresentano i numeri complessi, 2, 3, …, n in coordinate polari sono: Questi punti si trovano tutti sulla circonferenza unitaria di centro O e sono alla stessa distanza e sono alla stessa distanza luno dallaltro. U 1 (1, ), U 2 (1, 2 ), U 3 (1, 3 ), …, U n (1, n ) Figura potenze di un numero di modulo 1


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