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1 I magnifici cinque a cura di Renata Rizzo 2006 N.B. per leggere i collegamenti ipertestuali sono necessari i software Cabri II plus v.1.2.5. e Cabri.

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1 1 I magnifici cinque a cura di Renata Rizzo 2006 N.B. per leggere i collegamenti ipertestuali sono necessari i software Cabri II plus v e Cabri 3D v.1.1.

2 2 I solidi di Platone ovvero i poliedri regolari Tetraedro Esaedro o Cubo Ottaedro Dodecaedro Icosaedro a.C.

3 3 Tra le figure piane Si chiamano regolari i poligoni che sono ad un tempo equilateri cioè con i lati tutti congruenti e equiangoli cioè con gli angoli tutti congruenti

4 4 Si possono disegnare poligoni regolari con qualsiasi numero di lati Al limite se i lati sono infiniti il poligono diventa un cerchio

5 5 I poliedri regolari invece sono solo 5 Perché? Inoltre le facce dei poliedri sono solo TRIANGOLI EQUILATERI QUADRATI PENTAGONI REGOLARI Tra i solidi:

6 6 In Grecia nel V secolo a.C……… Impara dapprima le quattro radici di tutte le cose: laria, la terra, il fuoco e lacqua. Questi elementi sono eterni: come potrebbero infatti morire dato che non cè nessun luogo che ne sia privo? Sono laria, la terra, il fuoco e lacqua che, mescolati insieme, danno le forme e i colori di tutte le cose mortali. Empedocle 400 a.C.

7 7 Così pensavano gli antichi e Platone circa un secolo dopo Empedocle, legò i quattro elementi base delluniverso a quattro poliedri regolari: FuocoTetraedro AriaOttaedro Terra Esaedro Acqua Icosaedro

8 8 TETRAEDRO 4 vertici 4 facce triangolari 6 spigoli Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per il tetraedro: = Cioè: 8 = 8

9 9 Lo sviluppo piano del TETRAEDRO Le 3 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 60° x 3 = 180°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

10 10 Per gli antichi il TETRAEDRO era il simbolo del FUOCO

11 11 Scambiando le facce con i vertici si ottiene uno strano effetto Dentro il tetraedro se ne forma un altro chiamato DUALE

12 12 OTTAEDRO 6 vertici 8 facce triangolari 12 spigoli Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per il lottaedro: = Cioè: 14 = 14

13 13 Lo sviluppo piano dell OTTAEDRO Le 4 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 60° x 4 = 240°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

14 14 Per gli antichi l OTTAEDRO rappresentava l ARIA

15 15 ESAEDRO o CUBO 8 vertici 6 facce quadrate 12 spigoli Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per il cubo: = Cioè: 14 = 14

16 16 Lo sviluppo piano dell ESAEDRO Le 3 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 90° x 3 = 270°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

17 17 Per gli antichi il CUBO rappresentava La TERRA

18 18 Scambiando le facce con i vertici anche in questo caso si ottiene uno strano effetto Dentro il cubo si forma un ottaedro DUALE

19 19 E dentro lOTTAEDRO si forma un CUBO DUALE

20 20 lOTTAEDRO ha 6 vertici 8 facce Il CUBO invece ha: 8 vertici 6 facce Il numero delle facce e dei vertici è invertito Infatti: Cioè:

21 21 ICOSAEDRO 12 vertici 20 facce triangolari 30 spigoli Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per l icosaedro: = Cioè: 32 = 32

22 22 Lo sviluppo piano dell ICOSAEDRO Le 5 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 60° x 5 = 300°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

23 23 LICOSAEDRO era considerato il simbolo dellACQUA

24 24 DODECAEDRO 20 vertici 12 facce pentagonali 30 spigoli Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per l icosaedro: = Cioè: 32 = 32

25 25 Lo sviluppo piano del DODECAEDRO Le 3 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 108° x 3 = 324°< 360° Si può quindi piegare e richiudereformando un solido

26 26 Dio si giovò del dodecaedro regolare per decorare l UNIVERSO Platone

27 27 Scambiando facce e vertici del DODECAEDRO compare …… LICOSAEDRO DUALE

28 28 Scambiando facce e vertici dell ICOSAEDRO compare …… il DODECAEDRO DUALE

29 29 Il DODECAEDRO ha 20 vertici 12 facce LICOSAEDRO ha: 12 vertici 20 facce Il numero delle facce e dei vertici è invertito Infatti: Cioè:

30 30 Le straordinarie proprietà geometriche dei poliedri regolari hanno sempre affascinato luomo lungo tutta la sua storia. Ecco alcuni esempi:

31 31 Leonardo da Vinci illustrò un trattato del matematico Luca Pacioli con questi disegni

32 32 Il grande artista olandese M.C. Escher ( ) ha realizzato moltissime litografie e xilografie in cui compaiono i poliedri regolari. Quattro solidi

33 33 Ordine e disordine

34 34 Rettili

35 35 Tre solidi

36 36 Molto suggestiva è anche limmagine di questo quadro del pittore surrealista spagnolo Salvator Dalì ( ) raffigurante lultima cena sovrastata da una cupola trasparente a forma di dodecaedro regolare.


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