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Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado Prof.ssa Oriana Pagliarone.

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Presentazione sul tema: "Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado Prof.ssa Oriana Pagliarone."— Transcript della presentazione:

1 Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado Prof.ssa Oriana Pagliarone

2 ax=b 2ax=b 2 ax=bc x 2 =cx 2 =c x 2 +bx=c (area)x 2 +bx=c x 2 +bx=c (segmento) x 2 +10x=39x 2 +bx=cx 2 +10x=39 x 2 +c=bx (segmento) x =90xx 2 +c=bxx =90x x 2 +c=bx (area) x 2 +21=10xx 2 +c=bxx 2 +21=10x x 2 -bx=c (area) x 2 -3x=10x 2 -bx=cx 2 -3x=10 x 2 -bx=c (segmento)x 2 -bx=c

3 ax=b 2 b a t t 2 2 X b2b2 ax

4 ax = bc a c b X D E F G H L M N o DE=ML DO=MN I triangoli DEO e MNL sono uguali I parallelogrammi DELM e DONM sono equivalenti( DOLM in comune) Il rettangolo DEFG è equivalente al parallelogramma DELM (stessa base DE e stessa altezza DG) Il rettangolo MNHG è equivalente al parallelogramma DONM (stessa base MN e stessa altezza MG) I rettangoli DEFG e MNHG sono equivalenti bc = ab + MNHG = ab + DEFG = ax x = AE ax bc A

5 X 2 = C H 1 A B D C X BH 2 = AH HD X 2 = 1 C X =±C D AH=1 HD = C

6 x 2 +bx-c=0 x 2 +bx=c esempio x 2 +10x-39=0 aggiungo 5 2 x 2 +10x =39+25 (x+5) 2 = 64 X+5=8 x=8-5= X2X2 5x 3 X=3 e ora ………

7 Ora possiamo anche costruire il rettangolo di area 39 x 2 +10x = 39 Sapendo che x=3 e che x(x+10)= Abbiamo costruito il rettangolo di area 39 39

8 x 2 +bx=c x 2 + bx + b 2 /4 = b 2 /4 + c (x+b/2) 2 = b 2 /4 + c x = -b/2 ± (b 2 /4 + c) (trascurando la soluzione negativa -b/2 - (b 2 /4 + c)) x = -b/2 + (b 2 /4 + c) E ora la costruzione geometrica …. b>0,c>0

9 x 2 +bx = c Costruisci il quadrato di lato (b 2 /4+c) Costruisci il quadrato di lato b/2 Larea in giallo è = b 2 /4 +c – b 2 /4 = c b/ (b 2 /4+c) x = (b 2 /4+c) – b/2 x r r x2x2 Larea totale del quadrato e dei due rettangoli gialli è sempre c Per cui c = x(b/2) + x 2 + x(b/2) = x(b/2 + x + b/2)= = x(b+x) = x 2 + bx x 2 + bx = c Sposta il rettangolo r

10 x 2 +c=bx AB=90 Scompongo AB in AD=70 e DB=20 in modo che AD DB = 1400 e costruisco DF=1400 Costruisco M punto medio di AB AM=MB=45 e in M costruisco MC=DF MD=MB-DB=45-20=25 EM=MD=25 AE=20 EC=( )=2025=45 EC=CD=45=AB/2 E e D sono le intersezioni di AB con la circonferenza di raggio AB/2 e centro C A B D F x =90x C M E Quindi : Costruisco AB=90,il punto medio M, costruisco in M perpendicolarmente il segmento MC =1400 Costruisco la circonferenza di raggio AB/2 e centro C Costruisco le intersezioni E e D della circonferenza con AB AD e DB sono le soluzioni

11 x =90x = x X=20 1° soluzione X2X2

12 x =90x x2x X=70 2° soluzione

13 x 2 +c=bx Soluzione b>0, c>0 x 2 – bx = -c x 2 – bx +b 2 /4 = b 2 /4 –c (x-b/2) 2 = b 2 /4 –c x-b/2 = ±(b 2 /4 –c) x = b/2 ±(b 2 /4 –c) Costruiamo geometricamente le soluzione

14 x 2 +c=bx A B b Costruire AB=b e traslare PL =c in MT con M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio b/2 e centro T che interseca in E e D il segmento AB c c Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà c H K L P M T E D b/2 EM = (b 2 /4-c) x 1 = b/2 - (b 2 /4-c) = AM-EM = AE x 2 = b-x 1 = AB-AE = EB AE e EB sono le soluzioni

15 x 2 +c=bx x 2 +21=10x Soluzione b>0, c>0 x 2 – bx = -c x 2 – bx +b 2 /4 = b 2 /4 –c (x-b/2) 2 = b 2 /4 –c x-b/2 = ±(b 2 /4 –c) x = b/2 ±(b 2 /4 –c) costruiamo geometricamente le soluzione per b=10 c=21 x =10x x=5±2=3 x 1 =3 x 2 =7

16 Costruiamo il quadrato di lato 5 Costruiamo il quadrato di lato 2 Togliendo il quadrato di lato 2 al quadrato di lato 5 si ottiene una figura di area 25-4= x X2X2 2 Spostiamo il rettangolo x(5-x) Aggiungiamo il quadrato di x 5-x X X 2 +21=10X 21 Costruzione di x 2 +21=10x

17 x 2 +21=10x 10 10x-x 2 =21 -10x+x 2 = x+x 2 =25-21 (5-x) 2 =4 5-x=±2 Vediamo ora 5-x=2 x=3 Costruendo il quadrato di lato 5 e togliendo il quadrato di lato (5-x), si ottiene il rettangolo x(5-x) di lato x cercato x2x2 x x55-x X E ora la 2 a soluzione x=7

18 x 2 +21=10x 2° soluzione 10x-x 2 =21 x(10-x)=21 -10x+x 2 = x+x 2 = (x-5) 2 =4 x-5= 2 x=7 x x 5 X-5 x x 10-x Semplificando ….

19 semplificando Disegniamo il quadrato di area 4 che è il quadrato di x-5, aggiungendo il segmento di lunghezza 5 otteniamo x =2+5 =7 4 X-55 x

20 x 2 +c=bx Soluzione b>0, c>0 x 2 – bx = -c x 2 – bx +b 2 /4 = b 2 /4 –c (x-b/2) 2 = b 2 /4 –c x-b/2 = ±(b 2 /4 –c) x = b/2 ±(b 2 /4 –c) Costruiamo geometricamente le soluzione

21 In generale: costruiamo X=b/2-((b2/4)-c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 Costruiamo il quadrato di lato ((b 2 /4)-c) Togliendo il quadrato di lato ((b 2 /4)-c) al quadrato di lato b/2 si ottiene una figura di area b 2 /4 –(b 2 /4 -c)= c b/2 ((b2/4)-c) x b X2X2 Spostiamo il rettangolo x(b/2-x) Aggiungiamo il quadrato di x b/2-x X X 2 +c=bX C X=b/2-((b 2 /4)-c) b/2-x x

22 Costruiamo x=b/2+(b 2 /4 –c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 b/2 Costruiamo il quadrato di lato (b 2 /4 –c) (b 2 /4 –c) Costruiamo il segmento (b 2 /4 –c) (b 2 /4 –c) Larea gialla è = b 2 /4 –(b 2 /4 –c)=c C X= b/2 + (b 2 /4 –c) X Costruiamo il quadrato di x x x Spostiamo c trasformandolo nel rettangolo r1 + r2 r1 r2 b/2-(b 2 /4 –c) X- (b 2 /4 –c) =b/2 X+b/2 - (b 2 /4 –c) = b/2+b/2=b b x 2 +c = bx

23 x 2 -bx=c x 2 -bx=c con b>0, c>0 x 2 -bx+b 2 /4=b 2 /4+c (x-b/2) 2 = b 2 /4+c x – b/2 = ± (b 2 /4+c) x =b/2 ± (b 2 /4+c) x = b/2 + (b 2 /4+c) essendo (b 2 /4+c) > b/2 la soluzione x = b/2 - (b 2 /4+c) è negativa e la scartiamo per la rappresentazione grafica

24 x 2 -bx=c Costruisci il quadrato di lato (b 2 /4+c) (b 2 /4+c) Costruisci il quadrato di lato b/2 b/2 Prolunga il lato del primo quadrato di un segmento lungo b/2 b/2 x = b/2 + (b 2 /4+c) x La zona gialla ha area c: infatti b 2 /4+c –b 2 /4 = c C x – b = b/2 + (b 2 /4+c) –b/2 –b/2= = (b 2 /4+c) –b/2 x -b 1 b/2 x Il rettangolo giallo di area x(x-b) = c è quello cercato

25 10 X 2 -3x=10 Ripeti la dimostrazione precedente nel caso particolare b=3 c=10 Costruisci il quadrato di lato (b 2 /4+c)= (3 2 /4+10) = 49/4= 7/2 Costruisci il quadrato di lato b/2=3/2 La differenza delle aree dei due quadrati è 49/4 -9/4=40/4 =10 ( larea della zona gialla) Aggiungi il segmento b/2=3/ / /2 x X = b/2 + (b 2 /4+c) = = 3/2 + (3 /4+10) = = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5 r x – b = 5-3 = 2 2 x 2 -3x =10 x(x-3)=10 5 2=10 x

26 x 2 -3x=10 x(x-3) = 10 x (x-3) = 52 x=5 x x 3 x =5 Una soluzione ingenua…….

27 x 2 -3x=10 x 2 -3x + 9/4=10+9/4 (x-3/2) 2 =49/4 (x-3/2) 2 =(7/2) 2 costruiamo il quadrato di area 49/4, aggiungiamo al lato 3/2,otteniamo x 49/4 7/2 x-3/2 3/2 x

28 x 2 -bx=c x 2 -bx +b 2 /4= b 2 /4 +c (x-b/2) 2 = b 2 /4 +c x-b/2 =± (b 2 /4 +c) x=b/2 + (b 2 /4 +c) e allora… La soluzione x= b/2- (b 2 /4 +c) è negativa

29 x 2 -bx=c A B b Costruire AB=b e traslare PL =c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= (b 2 /4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB c c Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà c H K L P M T E b/2 TM = (b 2 /4+c) = MD AM= b/2 AD = b/2 + (b2/4+c) x 1 = b/2 + (b 2 /4+c)=AD AD è la soluzione positiva b/2 (b 2 /4+c) D c

30 x 2 +bx=c x 2 + bx + b 2 /4 = b 2 /4 + c (x+b/2) 2 = b 2 /4 + c x = -b/2 ± (b 2 /4 + c) (trascurando la soluzione negativa -b/2 - (b 2 /4 + c)) x = -b/2 + (b 2 /4 + c) E ora la costruzione geometrica …. b>0,c>0

31 x 2 +bx=c A B b Costruire AB=b e traslare PL =c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= (b 2 /4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB c c Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà c H K L P M T E b/2 TM = (b 2 /4+c) = MD BM= b/2 BD = (b2/4+c) - b/2 x 1 = (b 2 /4+c)- b/2 = BD BD è la soluzione positiva b/2 (b 2 /4+c) D c

32 Animazione flash ax=b 2Animazione flash ax=b 2 Animazione flash ax=bc Animazione flash x 2 =cAnimazione flash x 2 =c Animazione flash x 2 +bx=cAnimazione flash x 2 +bx=c Animazione flash x 2 +c=bxAnimazione flash x 2 +c=bx Animazione flash x 2 +21=10xAnimazione flash x 2 +21=10x Animazione flash x 2 -3x=10Animazione flash x 2 -3x=10


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