La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

A cura di Ivana Niccolai1 I numeri celebri Dai numeri naturali ai numeri complessi 13/09/2004.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "A cura di Ivana Niccolai1 I numeri celebri Dai numeri naturali ai numeri complessi 13/09/2004."— Transcript della presentazione:

1 A cura di Ivana Niccolai1 I numeri celebri Dai numeri naturali ai numeri complessi 13/09/2004

2 A cura di Ivana Niccolai2 Un tentativo…genealogico Lalbero dei numeri, liberamente tratto dal libro I numeri celebri di Luciano Cresci, rappresenta un tentativo di indicare schematicamente soltanto le principali suddivisioni dei numeri, senza alcuna pretesa di esaustività, anzi sono stati trascurati rametti vari, per evitare di complicare la raffigurazione.

3 A cura di Ivana Niccolai3 Precisazioni Ogni diramazione, visibile nellalbero dei numeri (che compare nella seconda diapositiva), rappresenta un sottoinsieme proprio della diramazione precedente. Ipotizzo sicuramente futuri sviluppi nellambito della ricerca matematica, grazie ai quali potranno sorgere nuove diramazioni…

4 A cura di Ivana Niccolai4 I numeri naturali N Sono i numeri interi positivi. Zero è un numero naturale? A tale domanda, Mario Ferrari, dellUniversità di Pavia, risponderebbe che cè il diritto di libertà. Noi lo collochiamo tra i numeri naturali, ma chi non è daccordo è libero di non collocarlo. Georg Cantor ha affermato: Lessenza della matematica è la libertà.

5 A cura di Ivana Niccolai5 I numeri cardinali Linsieme dei numeri naturali è un insieme infinito: il numero cardinale di tale insieme non è un intero naturale e si dice numero transfinito; la potenza dellinsieme dei numeri naturali si dice potenza del numerabile, o semplicemente si dice che linsieme dei numeri naturali è numerabile. Un insieme si dice finito se il suo numero cardinale è un numero naturale, altrimenti si dice infinito. Il numero cardinale, o potenza di un insieme A, è la classe degli insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con A.

6 A cura di Ivana Niccolai6 Esempio Quando si considera, ad esempio, il numero naturale 9, sintende un insieme composto da 9 elementi e 9 rappresenta la cardinalità dellinsieme 9.

7 A cura di Ivana Niccolai7 Numeri tranfiniti Il numero cardinale dellinsieme dei numeri naturali è un numero transfinito. Cantor stabilì di chiamare aleph 0 il numero cardinale dellinsieme costituito da uninfinità di elementi che possano essere contati.

8 A cura di Ivana Niccolai8 Comè possibile numerare un insieme infinito? (1/3) Il termine numerabile è dovuto al fatto che, se un insieme qualunque A è numerabile, stabilendo una corrispondenza biunivoca tra A e linsieme dei numeri naturali, si possono numerare gli elementi di A. Consideriamo, ad esempio, linsieme A formato da tutti i numeri quadrati: 1, 4, 9,16…Essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali: … …

9 A cura di Ivana Niccolai9 Qualunque sia il numero quadrato, esisterà sempre uno e un solo numero naturale corrispondente: quindi i numeri quadrati si possono numerare alla stessa stregua dei numeri naturali. Comè possibile numerare un insieme infinito? (2/3)

10 A cura di Ivana Niccolai10 Perciò, anche linsieme dei numeri quadrati, che è un sottoinsieme dei numeri naturali, ha lo stesso numero cardinale dellinsieme di questi ultimi. Se ne deduce che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottinsieme, cioè con una sua parte. Comè possibile numerare un insieme infinito? (3/3)

11 A cura di Ivana Niccolai11 I numeri ordinali transfiniti Si dice numero ordinale il numero associato a un insieme ordinato che caratterizza, oltre alla quantità degli elementi che lo compongono, anche lordine in cui gli elementi sono disposti. E Georg Cantor ( ) ad aver esteso allinfinito anche gli ordinali, creando così i numeri ordinali transfiniti.

12 A cura di Ivana Niccolai12 Primo principio Sono due i principi che presiedono alla generazione degli ordinali Il primo principio è il seguente: di ogni ordinale a si può fare il successore, indicato con a + 1 Indicando con 0 il più piccolo ordinale e applicando ripetutamente tale principio, si ottiene una successione di ordinali: 0, 1, 2, 3,…,n…

13 A cura di Ivana Niccolai13 Il numero omega Georg Cantor aggiunge il numero omega ( ω) definendolo così: Un nuovo numero, che indichiamo con omega,…, che possiamo immaginare come il limite a cui tendono i numeri n, che cioè deve essere dichiarato superiore a ogni numero n.

14 A cura di Ivana Niccolai14 Secondo principio Il numero ω supera la successione infinita degli ordinali finiti e termina, quindi, con un numero infinito, o transfinito.

15 A cura di Ivana Niccolai15 Applicazione del primo principio Applicando il primo principio,che presiede alla generazione degli ordinali, otteniamo la successione: 0,1, 2, 3,…,n,…, ω, ω +1, ω +2…, ω +n…

16 A cura di Ivana Niccolai16 Applicazione del secondo principio Passando al secondo principio che presiede alla generazione degli ordinali, si ottiene: lim (ω +n), che si indica con ω+ω = ω*2 Si dice ω*2 e non 2*ω, in quanto negli ordinali transfiniti le proprietà commutative usuali dellaritmetica non sono più valide.

17 A cura di Ivana Niccolai17 Spiegazione (1/2) Se sommo un numero finito, per esempio 1, a un numero infinito come ω, il risultato sarà ancora ω ; mentre se sommo 1 non a ω, ma partendo da ω, ho ω +1. Quindi la proprietà commutativa non è più valida.

18 A cura di Ivana Niccolai18 Spiegazione (2/2) Se si considera 2* ω, cioè ω coppie dellordinale 2, poste bene ordinate una dietro laltra, si ottiene un insieme ordinato il cui numero ordinale è ω. Se, invece, si considera un ordinale costituito da due ω, uno dietro laltro, si ottiene lordinale ω + ω, che si indica con ω *2

19 A cura di Ivana Niccolai19 I numeri primi Un numero naturale p>1 è primo se ha esattamente due divisori I primi numeri della serie sono: 2, 3, 5, 7, 11…

20 A cura di Ivana Niccolai20 I numeri composti Un numero naturale p è composto se ha più di due divisori. Un record appartiene al numero 7560, che vanta ben 64 fattori divisori e, nellambito di tutti i numeri fino a , il suo record è imbattuto, anche se eguagliato da 9240.

21 A cura di Ivana Niccolai21 I numeri fattoriali Sono contrassegnati dal punto esclamativo: n fattoriale si scrive n! Il simbolo fu introdotto nel 1808 in Germania da Christian Kramp, a significare lo stupore per la rapidità con cui il fattoriale di n cresce al crescere di n.

22 A cura di Ivana Niccolai22 I numeri perfetti Un numero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori, inclusa lunità, ma escluso il numero stesso 6 e 28, ad esempio, sono numeri perfetti, perché: 6 = =

23 A cura di Ivana Niccolai23 I numeri poligonali Il nome di questi numeri poligonali deriva dalle disposizioni di punti che sono state studiate almeno fin dai tempi di Pitagora (circa 540 a.C.) Tali numeri comprendono: i numeri triangolari, i numeri quadrati, i numeri pentagonali, ecc.

24 A cura di Ivana Niccolai24 I numeri triangolari Sono esprimibili mediante la formula: n*(n+1)/2 Quindi i primi numeri della serie sono: 1, 3, 6, 10, 15, 21…

25 A cura di Ivana Niccolai25 I numeri quadrati Ogni numero quadrato n 2 è la somma di due numeri triangolari successivi. Esempi rispettivamente con n=4; n=5; n=6 : 4 2 = 16 = = 25 = = 36 =

26 A cura di Ivana Niccolai26 I numeri pentagonali Sono dati dalla formula: n*(3n – 1)/2 I primi numeri della serie sono: 1, 5, 12, 22, 35… Ogni numero pentagonale può essere ottenuto dalla somma di tre numeri triangolari: 5 = = = Ecc.

27 A cura di Ivana Niccolai27 Numeri esagonali e numeri eptagonali I numeri esagonali sono dati dalla formula: n*(2n – 1) I primi numeri della serie sono: 1, 6, 15, 28, 45… I numeri eptagonali sono dati dalla formula: n*(5n – 3)/2 I primi numeri della serie sono: 1, 7, 18, 34…

28 A cura di Ivana Niccolai28 I primi numeri della serie dei numeri esagonali ed eptagonali

29 A cura di Ivana Niccolai29 I numeri interi relativi Z I numeri naturali costituiscono un sottoinsieme proprio di un insieme più generale, che è quello dei numeri interi relativi, cioè dei numeri contraddistinti dal segno positivo o negativo. Anche linsieme dei numeri interi relativi è numerabile.

30 A cura di Ivana Niccolai30 I numeri razionali Q (1/2) I numeri razionali si compongono di una parte intera e di una parte decimale, il periodo, formato da un numero finito di cifre, che si ripete indefinitamente. Se il periodo è 0, il numero decimale si dice limitato,(e il periodo non si scrive); se il periodo è diverso da 0, il numero si dice illimitato periodico. I numeri razionali sono esprimibili mediante un rapporto di interi, quindi mediante frazioni. Linsieme dei numeri razionali è numerabile.

31 A cura di Ivana Niccolai31 I numeri razionali Q (2/2) La potenza dellinsieme dei numeri razionali è ancora numerabile, è cioè la stessa dellinsieme dei naturali. (Come è stato dimostrato da Georg Cantor, i due insiemi si possono contare e possono, quindi, essere messi in corrispondenza biunivoca).

32 A cura di Ivana Niccolai32 I numeri irrazionali (1/2) I numeri irrazionali sono numeri non interi e non esprimibili mediante un rapporto di interi. La scoperta dellesistenza di grandezze tra loro non confrontabili numericamente, cioè incommensurabili, sconvolse i pilastri concettuali della scuola pitagorica, che riteneva i numeri interi come misura di tutte le cose. I pitagorici si resero conto che il rapporto tra il lato di un quadrato e la sua diagonale non può essere espresso da numeri interi.

33 A cura di Ivana Niccolai33 I numeri irrazionali (2/2) Il rapporto tra la diagonale d di un quadrato e il suo lato a, cioè d/a vale V 2, che non è esprimibile come rapporto di due numeri interi.

34 A cura di Ivana Niccolai34 I numeri reali R (1/2) I numeri razionali e irrazionali costituiscono nel loro insieme i numeri reali. Un numero reale x si dice algebrico se è soluzione di unequazione del tipo: a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 = 0 dove ogni a j (j = 1,...,n)è un intero Un numero reale non algebrico si dice trascendente e necessariamente esso è un numero irrazionale.

35 A cura di Ivana Niccolai35 I numeri reali R (2/2) Georg Cantor ( ) ha dimostrato che sono i numeri irrazionali trascendenti, presenti in numero infinito in qualsiasi intervallo prefissato, a conferire ai reali la densità necessaria per generare una potenza maggiore del numerabile; quindi linsieme dei numeri reali non è più numerabile. La presenza dei numeri irrazionali trascendenti nel corpo dei numeri reali fa sì che la potenza del loro insieme sia la potenza del continuo, maggiore della potenza del numerabile. La cardinalità dellinsieme dei numeri reali è espressa dal numero cardinale aleph 1.

36 A cura di Ivana Niccolai36 I numeri trascendenti (1/2) Il numero trascendente non è un numero algebrico, quindi non è soluzione di unequazione algebrica con coefficienti razionali e con un numero finito di termini. Nel 1873 Charles Hermite ( ) ha dimostrato che il numero e, base dei logaritmi naturali,definito come e=lim (n ) (1+1/n) n non poteva essere la soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali.

37 A cura di Ivana Niccolai37 I numeri trascendenti (2/2) Nel 1882 è stato Carl Ferdinand Lindermann ( ) a raggiungere la prova che anche π è trascendente: infatti non può essere il risultato di unequazione algebrica. Aleph-uno è la potenza di Infinito associata ai numeri irrazionali trascendenti.

38 A cura di Ivana Niccolai38 Numeri reali Aleph- zero SCHEMA di sintesi, relativo ai NUMERI REALI Non interi Aleph-uno Razionali Aleph-zero Irrazionali Aleph-uno Algebrici Trascendenti Aleph-zero Aleph-uno Naturali

39 A cura di Ivana Niccolai39 I numeri complessi C (1/2) E stato C.F.Gauss ( ) a coniare il terminenumeri complessi per quei numeri a coppia a+bi dove a e b sono numeri reali, e i= V -1 si definisce unità immaginaria. Essendo i = V-1, ne consegue che i 2 = (V-1) * (V-1) = -1 i 3 = i 2 * i = -1 * i = - i a + bi e a – bi si dicono numeri complessi coniugati; il loro prodotto è uguale a (a + bi)(a – bi)=a 2 + b 2

40 A cura di Ivana Niccolai40 I numeri complessi C (2/2) Linsieme dei numeri complessi può essere pensato sia come unestensione dei reali, sia come unestensione degli immaginari e raccoglie le proprietà caratteristiche degli uni e degli altri (inoltre rende possibile lesecuzione delloperazione di radice, senza restrizioni).

41 A cura di Ivana Niccolai41 I numeri infinitesimi e iperreali (1/4) E stato lamericano Abraham Robinson ( ) a sviluppare negli anni sessanta la non-standard analysis che introduce, a fianco dei numeri reali, i numeri iperreali, comprendenti anche i numeri infinitesimi.

42 A cura di Ivana Niccolai42 Alcune informazioni base saranno sufficienti per introdurre linnovativa impostazione di A. Robinson. Si parte dagli infinitesimi: un infinitesimo (limitandoci ai positivi) è un numero maggiore di zero e inferiore a qualsiasi numero reale positivo. Rispetto a Leibniz, secondo il quale gli infinitesimi erano delle variabili, Robinson attribuisce agli epsilon la dignità di numeri ben determinati: la categoria dei numeri iperreali è linsieme dei reali e degli infinitesimi. Gli infinitesimi vengono, così, promossi a numeri veri e propri e si può parlare di due numeri iperreali infinitamente vicini se la loro differenza è rappresentata da un numero infinitesimo. I numeri infinitesimi e iperreali (2/4)

43 A cura di Ivana Niccolai43 I numeri infinitesimi e iperreali 3/4 Un numero iperreale finito ha la forma a + dove a è un consueto numero reale ed un infinitesimo. Intorno a un numero iperreale a finito esiste un alone di numeri infinitesimi, che costituiscono linsieme dei numeri a+. Tale insieme viene detto, in omaggio a Leibniz, monade ed è indicato con µ(a).

44 A cura di Ivana Niccolai44 Per i numeri iperreali valgono le stesse operazioni dei reali; ma il cosiddetto assioma di Archimede (che afferma: Dato un numero reale a, esiste un numero intero n tale che na è maggiore di qualsiasi altro numero reale b.) nellanalisi non–standard deve essere abbandonato. I numeri infinitesimi e iperreali 4/4

45 A cura di Ivana Niccolai45 I numeri immaginari I (1/3) Fu Raffaele Bombelli (sec. XVI) a fornire per primo lidea di pensare a ununità immaginaria detta i, tale che il suo quadrato fosse lunità negativa, cioè i 2 = - 1. Bombelli fornì anche regole algoritmiche su tale entità. Ancora nel 1702 Leibniz esplicitava, forse, limbarazzo dei matematici riguardo a questa idea «assurda» di un quadrato negativo, dal momento che egli scriveva a proposito del numero immaginario: Miracolo dellanalisi, mostro del mondo ideale, quasi anfibio tra essere e non essere.

46 A cura di Ivana Niccolai46 Un numero immaginario è il prodotto tra un numero reale e lunità immaginaria. Ad esempio: i, 6i, (8/5)i, sono tutti numeri immaginari. Anche 0 si può pensare come 0i, quindi come numero immaginario. I numeri immaginari I (2/3)

47 A cura di Ivana Niccolai47 Per comprendere lentità di tali numeri, analizziamo i rispettivi quadrati dei numeri che sono stati scelti ad esempio: (6i) 2 = 36*(-1) = - 36 (ì*8/5) 2 = i 2 *64/25 = (-1)*64/25 = -(64/25) I numeri immaginari I (3/3)

48 A cura di Ivana Niccolai48 Operazioni elementari in I In I si possono anche definire le solite operazioni elementari. Basterà trattare i come se fosse una qualsiasi lettera e dunque applicare le regole scolastiche del calcolo letterale, non dimenticando che i 2 = -1 Esempi: Addizione: 6i + 7i = 13i Sottrazione: 6i – 7i = - i Moltiplicazione: 6i*3i = 18i 2 = -18 Divisione: 6i / 3i = 2

49 A cura di Ivana Niccolai49 I quaternioni (1/2) Lestensione a una terza dimensione delle proprietà peculiari del piano complesso impegnarono a lungo lirlandese William Rowan Hamilton ( ): il passaggio dai numeri complessi a+ib a terne ipercomplesse a+ib+jc, essendo i e j operatori simili, eluse per oltre dieci anni i suoi tentativi, non per loperazione di somma, facile, ma per la moltiplicazione.

50 A cura di Ivana Niccolai50 I quaternioni (2/2) Nel 1843 ebbe lilluminazione, mentre passeggiava con la moglie: doveva usare quaterne numeriche a+bi+cj+dk invece di terne, con a, b,c,d numeri reali e i, j, k aventi la stessa proprietà di i, cioè: i 2 =j 2 =k 2 =-1 e, sacrificando la proprietà commutativa della moltiplicazione, fare inoltre: ij = k, ma ji = -k e ki = j e ik = -j Le quattro unità 1, i, j, k e le loro opposte –1, -i, -j, -k formano un gruppo dellottavo ordine non commutativo, detto gruppo dei quaternioni.

51 A cura di Ivana Niccolai51 Ottetti o numeri di Carley Sulla scia di Hamilton (che fu il primo a presentare un lavoro completo sui quaternioni), è fiorita tutta una serie di nuove algebre, tra cui lalgebra di Arthur Cayley (1821 – 1895), brillante studente a Cambridge, che formulò una teoria con 7 radici immaginarie di –1, creando così un algebra di numeri a otto dimensioni. Tali numeri, chiamati ottetti o numeri di Cayley, sono utilizzati nello studio di spazi a n dimensioni.


Scaricare ppt "A cura di Ivana Niccolai1 I numeri celebri Dai numeri naturali ai numeri complessi 13/09/2004."

Presentazioni simili


Annunci Google