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1 Algebra Booleana Generalità In quasi tutti i tipi di calcolatori elettronici le informazioni vengono elaborate in forma digitale, ossia i segnali elettri-

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Presentazione sul tema: "1 Algebra Booleana Generalità In quasi tutti i tipi di calcolatori elettronici le informazioni vengono elaborate in forma digitale, ossia i segnali elettri-"— Transcript della presentazione:

1 1 Algebra Booleana Generalità In quasi tutti i tipi di calcolatori elettronici le informazioni vengono elaborate in forma digitale, ossia i segnali elettri- ci che le rappresentano possono assumere due soli valori distinti. I circuiti che eseguono queste elaborazioni sono chiamati circuiti logici e presentano, appunto, la caratteristica di operare con segnali binari. Vengono pertanto rea- lizzati con dispositivi che possono assumere solo due stati diversi: diodi in conduzione o non, transistor in satura- zione o in interdizione, ecc.... Per il funzionamento del circuito logico non è importante conoscere il valore numeri- co del segnale binario, ma basta rilevarne il livello; in genere questo può essere indicato con 0 ed 1 o con L ed H (Low = basso, High = alto). Il funzionamento di un tale circuito può quindi essere descritto da un punto di vista logico senza preoccuparsi della sua struttura fisica; allo scopo può essere utilizzata lalgebra di Boole (G. Boole, ). Lalgebra di Boole, o algebra binaria, è infatti una logica matematica basata su due diverse situazioni che si escludono reciprocamente. Per variabile booleana si intende una qualunque grandezza che può assumere due soli stati (interruttore aperto o chiuso, affermazione vera o falsa, lampada accesa o spenta, livello di tensione alto o basso, diodo in conduzione o non, ecc...). Ai due diversi livelli logici vengono associati i simboli 0 ed 1. Le generiche variabili vengono identificate da lettere (per esempio a, b, c ; A, B, C, ecc ) e, ad ognuno dei due stati logici che possono assumere, può essere associato, arbitrariamente, il valore 0 o 1. Nel 1938 Shannon applicò le regole dellalgebra di Boole alla progettazione di circuiti di commutazione a relè, at- tribuendo i valori 1 e 0 ai due stati fisici di questi due dispositivi. Questo metodo è tuttora utilizzato per lanalisi e la sintesi dei circuiti in quanto consente di esplicitare a mezzo di funzioni booleane le connessioni dei circuiti e le operazioni da esse eseguite.

2 2 Funzioni booleane Una funzione booleana, infatti, fornisce unuscita logica in corrispondenza di ogni combinazione dei livelli delle variabili dingresso. Le operazioni fondamentali dellalgebra di Boole sono le seguenti: - AND o prodotto logico - OR o somma logica - NOT o negazione, complementazione AND o prodotto logico Si consideri la seguente proposizione logica: vado in barca se viene anche Marco ed è bel tempo La gita in barca è condizionata dallavverarsi di entrambi le condizioni poste - Se si assegnano alle variabili i valori 0 ed 1 si può scrivere: Q (1 = vado in barca, 0 = non vado in barca) A (1 = viene Marco, 0 = non viene Marco) B (1 = è bel tempo, 0 = è cattivo tempo) dove A e B sono le variabili indipendenti e Q quella dipendente

3 3 Le n variabili possono assumere 2 n configurazioni diverse; nella tabella della verità riportata nella figura sotto- te vengono prese in considerazione le quattro (2 2 ) combinazioni con il corrispondente livello assunto dalla variabile dipendente. Nella figura è altresì riportato un circuito ad interruttori per realizzare una porta AND ed il simbolo grafico della stessa secondo gli standard USA e I.E.C.. Lequazione logica (prodotto logico) che sintetizza le combinazioni riportate nella tabella è la seguente: Q = A x B La Q si trova al livello alto solo se entrambe le variabili indipendenti A e B assumono questo livello. Si può gene- ralizzare lequazione al caso di n variabili e dire che Q vale 1 se, e solo se, tutte le n variabili valgono 1.

4 4 Or o somma logica - Si consideri la seguente proposizione logica: la barca a vela si muove se cè vento o se remo Affinché la barca si muova è sufficiente che si verifichi una sola delle due condizioni sopra enunciate. Se, anche in questo caso, si assegnano alle variabili i valori 0 ed 1 si può scrivere: Q (1 = la barca si muove,0 = la barca non si muove) A (1 = cè vento,0 = non cè vento) B (1 = io remo,0 = io non remo), Dove A e B sono variabili indipendenti e Q quella dipendente. Nella figura seguente è riportata la tabella della verità della proporzione logica in esame nella quale si evidenzia che Q è a livello basso (0) solo se entrambe le variabili indipendenti sono a livello 0. Nella figura è altresi riportato un circuito ad interruttori per realizzare una porta OR e i due simboli grafici della stessa porta secondo gli standard USA e I.E.C.

5 5 Lequazione logica (somma logica) che sintetizza le combinazioni riportate nella tabella della verità è la seguente: Q = A + B Si può generizzare lequazione al caso n variabili e dire che Q vale 1 se una sola delle n variabili vale 1. Per le funzioni AND ed OR, prima esaminate, valgono le seguenti proprietà: 1) Commutativa A * B * C = C * A * B A + B + C = C + A + B 2) Associativa( A * B ) * C = A * ( B * C ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3)DistributivaA * ( B + C ) = ( A * B ) + ( A * C ) A + ( B * C ) = ( A + B ) * ( A + C ) Le proprietà precedenti, come tutti i teoremi dellalgebra booleana, possono essere verificate confrontando le tabelle della verità di ogni relazione.

6 6 NOT o negazione, complementazione Si consideri la seguente proposizione logica: vado in barca se non piove I valori delle variabili sono: Q (1 = vado in barca, 0 = non vado in barca) A (1 = piove, 0 = non piove) Dove A è la variabile indipendente e Q quella dipendente. A queste condizioni corrisponde la seguente equazione algebrica: Q = Ā A livello simbolico, per negare una grandezza si deve soprassegnare il simbolo. Ovviamente una doppia negazione riporta alla variabile non negata. = A = A Nella figura riportata qui di seguito è rapresentato un circuito a relè per realizzare una porta NOT e I due simboli grafici della stessa porta secondo gli standard USA e I.E.C.

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