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Teoria dei codici correttori d'errore Fondatore: Richard W. Hamming Articolo: Error Detecting and Error Correcting Codes (1950)Error Detecting and Error.

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1 Teoria dei codici correttori d'errore Fondatore: Richard W. Hamming Articolo: Error Detecting and Error Correcting Codes (1950)Error Detecting and Error Correcting Codes In ogni trasmissione digitale possono avvenire errori. Es. ricezione da sonde spaziali o satelliti: canale molto disturbato, segnale molto debole errori frequenti. Es. riproduzione musica o immagini digitali: supporto fisico danneggiato. Senza metodi efficaci e veloci di correzione degli errori non darebbe possibile ricevere informazioni dallo spazio, usare un lettore di CD o un telefonino! Es. graffio di alcuni millimetri sulla superficie di un CD non pregiudica l'ascolto grazie a codice di Reed - Solomon, in grado di correggere 'raffiche' di errori consecutivi di notevole lunghezza. Es. Telefoni cellulari GSM e satelliti: interferenze gestite utilizzando codici convoluzionali. Applicazioni nei campi più diversi: dalle telecomunicazioni alla biologia molecolare

2 Gestione errore su 1 bit in sequenze di bit. Codice di ripetizione: Ripeti ciascun bit 3 volte Se uno dei bit è erroneamente invertito, viene riconosciuto e corretto durante la decodifica del suo blocco di 3 bit Inefficiente: rapporto tra i bit attuali e i bit totali è solo 1/3 (per memorizzare/comunicare 1MB si memorizzano/inviano 3Mb) Codifica Hamming (7,4) Sequenza di bitsuddividisa in porzioni da 4 bit. Sia b il vettore che rappresenta una di tali porzioni, e codifichiamo b come bG a 7 bit, (operazioni modulo 2) Il tasso è 4/7, molto migliore. Vedremo che corregge 1 errore

3 A=alfabeto A n =insieme di sequenze di n simboli su A Definizione. La distanza di Hamming tra x e y in A n è d(x, y)=numero di coordinate i t.c. x i diverso da y i es. d(0110,0011)=2 La distanza di Hamming è una metrica: d(x, y) = d(y, x) d(x, z) < d(x, y) + d(y, z) d(x, y) = 0 sse x=y

4 Definizione: Un codice a correzione di errore è un sottoinsieme C di A n. La distanza minima di C è (minimo su tutte le coppie di parole diverse in C) d(C)=min d(x,y) Definizione: C è e error detecting se può rilevare

5 Definizione: Un codice a correzione di errore è un sottoinsieme C di A n. La distanza minima di C è (minimo su tutte le coppie di parole diverse in C) d(C)=min d(x,y) Definizione: C è e error detecting se può rilevare 2t+1, C e 2t error detecting e t error correcting Dim. d(C)=2t+1 sequenza a distanza <2t da parola codice non è in C 2t error detecting d(C)= 2t+1 sequenza r a distanza t da ogni altra p.c. (vale disug. triangolare) prendendo la p.c. più vicina a r correggiamo t errori t error correcting r t y x t1

6 Parametri: q = |A| n = lunghezza delle parole codice k = lunghezza del messaggio (lunghezza pre-codifica) = log q |C| d = d(C) Si vuole: valori grandi di k e d, e valori piccoli di n. Possiamo anche cercare di massimizzare il tasso del codice k/n codice a correzione di errore con questi parametri codice (n, k, d) q.

7 Trasmissione su canali rumorosi: confronto tra Teoria di Hamming e Teoria di Shannon (Visione ad Alto Livello) Scopo: Shannon: massimizzare il tasso e minimizzare la probabilità di decodifica errata. Fornisce: funzioni di codifica e decodifica Hamming: massimizzare il tasso e numero errori corretti. Fornisce: codice (funzioni di codifica e decodifica efficienti) Modello derrore: Shannon: random. Hamming: avversariale (caso peggiore). In Pratica: Risultati di Shannon ottimali ma non costruttivi Teoria dei codici: non ottimali ma efficienti e veloci

8 Codici a correzione di errore Applicazioni in vari campi: matematica e informatica. Es.: Trasmissione affidabile Memorizzazione su supporti soggetti a guasti (es. CD graffiato) Complessità: per pseudo-randomness, hardness amplification, probabilistically checkable proofs. Crittografia: schemi di condivisione segreti, sistemi crittografici. Matematica combinatoria e ricreativa.

9 Esempio: Derandomizzazione di algoritmi Definizione: A= algoritmo randomizzato (usa n random bits indip.) A volte basta indipendenza limitata. Pairwise independence sufficiente derandomizzazione possibile: Invece di y di n bits random (A corretto prob scegliere y con successo =p>0) run A per ogni y in S ( A corretto esiste y con successo) Algoritmo Deterministico A running time T(A)= O(|S|T(A)) vogliamo S piccolo Teroria dei codici Esiste S dimensione O(n)

10 Codici lineari Alfabeto= A = campo finito (es. {0,…,q-1}, q primo, operazioni mod q) codice è lineare esiste una matrice di controllo parità H (n-k x n) su A tale che C è lo spazio nullo di H, cioè C = {y | Hy T = 0} C lineare è un sottospazio lineare di A n x, y є C x + y є C x є C, a є Σ ax є C. C lineare generato da una matrice G (k x n): righe = insieme massimale di parole codice linearmente indipendenti = base spazio lineare. Codice = {x | x=aG}

11 Codice di Hamming n=2 l -1 Codice = spazio nullo di H = {x | Hx T =0} Numero parole codice = ESEMPIO n=7= l=3, k=4, numero parole codice =16

12 Definizione w(x) = peso di Hamming di x = numero componenti di x non nulle w(C)= min x in C w(x) Lemma Dato codice lineare C w (C)= min numero colonne linearmente dipendenti di H Dim. H ha r colonne l.d. in posizioni i 1,…,i r esistono a 1,...,a r tali che Esiste parola codice di peso r:

13 Lemma Dato codice lineare C w (C)= min numero colonne linearmente dipendenti di H Per codici di Hamming il peso minimo di una parola è 3: Tutte colonne non nulle min num colonne l.d. >1 Tutte colonne diverse c+c non nullo min num colonne l.d. >2 In H tutti vettori date c,c esiste in H colonna c=c+c c + c+ c =0 min num colonne l.d. è 3

14 Lemma Dato codice lineare C, w (C) = d(C) Dim. Corollario Un codice lineare C corregge t errori se w (C)= d(C) > 2t+1 CODIFICA/DECODIFICA?

15 D(C)=3 corregge 1 errore Siano c=(c 0,…,c n-1 )=parola codice, r=(r 0,…,r n-1 )=sequenza da decodificare CODIFICA/DECODIFICA dei Codici di Hamming cr r=c+e, e i =1 sse errore in posizione i Hr T =H(c+e) T =Hc T +He T =He T 0 errori r=c e=0 Hr T =H0 T =0 1 errore posizione i r=c+ 010…0)=c+e i Hr T =He i T= i DECODIFICA: Calcola sindrome s=Hr T se s=0 output r se s= i output r+e i Se si sono avuti >2 errori?

16 INPUT: bit di informazione= blocco di k=2 l -l-1 bits Vogliamo codifica sistematica: bit di informazione in primi k bit della p.c. Proprietà Se scegliamo H=[A | I n-k ] allora G=[I k | A T ] Dim. Dobbiamo mostrare che CODIFICA dei Codici di Hamming CODIFICA SISTEMATICA: input a=(a 0,…,a k-1 ) output parola codice c=aG c=(a 0,…,a k-1,c k,…,c n-1 )

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