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Rivelatori di Particelle1 Lezione 6 Perdita di energia Abbiamo introdotto la perdita di energia per collisioni, che avviene tramite scattering coulombiani.

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1 Rivelatori di Particelle1 Lezione 6 Perdita di energia Abbiamo introdotto la perdita di energia per collisioni, che avviene tramite scattering coulombiani sugli elettroni del materiale. Questo è alla base di molti apparati usati per rivelare particelle cariche. Andremo ora un po più in dettaglio: dE/dx Range Risalita relativistica (b min /b max ) e saturazione Fluttuazioni della perdita di energia Energia critica

2 Rivelatori di Particelle2 Lezione 6 Perdita di energia Per una singola collisione a parametro dimpatto b: La perdita di energia non dipende dalla massa della particella incidente Dipende dalla carica e dalla velocità della particella incidente Dipende dallinverso della massa del bersaglio favorito il trasferimento di energia agli elettroni atomici Va come 1/b 2 grandi per piccoli b 2 Indichiamo con il trasferimento di energia per un singolo urto e con E la perdita di energia totale.

3 Rivelatori di Particelle3 Lezione 6 Perdita di energia N Zdnb b+dbdx Una particella veloce che attraversa la materia vede elettroni a varie distanze dal suo percorso. Se abbiamo N atomi per unità di volume con Z elettroni per atomo, il numero di elettroni dn che si hanno fra b e b+db in uno spessore dx di materia sarà: se vogliamo la perdita di energia dE/dx dovremo integrare su tutti i possibili parametri dimpatto, ovvero: Nellipotesi che ho un parametro dimpatto minimo e massimo.

4 Rivelatori di Particelle4 Lezione 6 Perdita di energia Introducendo il numero di Avogadro N 0 : Osserviamo che la perdita di energia dipende solo dalla carica (z 2 ) e dalla velocità 1/v 2 del proiettile, non dalla sua massa M. Vediamo ora di ricavare i valori minimo e massimo del parametro dimpatto b.

5 Rivelatori di Particelle5 Lezione 6 Perdita di energia b min >0 in quanto E max non può divergere. Per collisioni frontali ho parametro dimpatto minimo e massimo di energia trasferita: E max =T max =2( )mc 2 ma: z e

6 Rivelatori di Particelle6 Lezione 6 Perdita di energia Per ricavare b max osserviamo che lelettrone è in realtà legato ad un atomo per poterlo considerare libero il tempo di collisione deve essere minore del tempo di rivoluzione, ma t coll ~b/v dove con si intende la frequenza di rivoluzione dellelettrone.

7 Rivelatori di Particelle7 Lezione 6 Perdita di energia Osserviamo: b max. Un trattamento, sempre classico, ma più corretto (Bohr) considera gli elettroni come degli oscillatori armonici b max. Il risultato è comunque praticamente lo stesso: Il termine di Bohr (- 2 /2) è una piccola correzione; I = energia media di eccitazione della targhetta. Questa formula ottenuta classicamente è valida per particelle incidenti pesanti ( o nuclei), per particelle più leggere dobbiamo usare una trattazione quantistica.

8 Rivelatori di Particelle8 Lezione 6 Perdita di energia La formula di dE/dx ricavata classicamente è comunque perfettamente adeguata per alcune osservazioni: 1.Picco di Bragg cura del cancro. 1.Picco di Bragg: la maggioranza della perdita di energia si ha verso la fine del percorso dove la velocità della particella è più piccola cura del cancro. x dE/dx

9 Rivelatori di Particelle9 Lezione 6 Perdita di energia 2.Range: 2.Range: le particelle perdono energia e poi si fermano range Dato un fascio monocromatico la profondità alla quale le particelle iniziali sono ridotte alla metà si chiama range medio. Il range rappresenta la distanza attraversata dalla particella ed è diversa dallo spessore attraversato a causa dello scattering multiplo. È misurato in g/cm 2 o in cm. (vedi

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11 Rivelatori di Particelle11 Lezione 6 Perdita di energia Legge di scala (Range). Supponiamo di conoscere il range di 1 protone come f(E/M) il range di una particella con energia E è : Le relazioni range energia sono spesso espresse R(E)=(E/E o ) n. e.g. il range in metri di protoni di bassa energia nellaria puo essere approssimato con n=1.8 e E o =9.3 MeV.

12 Rivelatori di Particelle12 Lezione 6 Perdita di energia Cenni sulla trattazione quantistica di dE/dx. Abbiamo trascurato: 1.Gli scambi di energia sono discreti modifica di b max. Il risultato classico di scambi di energia possibili su un continuo è sbagliato, ma, in media, viene praticamente corretto. 2.Natura ondulatoria delle particelle e principio dindeterminazione modifica di b min. Lanalogo quantistico di b min è b min ~ħ/p. Bethe ricavò : Dove T max è la massima energia incidente trasferibile in una singola collisione ed I il potenziale di ionizzazione medio.

13 Rivelatori di Particelle13 Lezione 6 Perdita di energia dE/dx: Osserviamo che dE/dx: i.Dipende dalla carica della particella incidente (z 2 ). (interazione Coulombiana). ii.Per crescente decresce come 1/ 2 raggiungendo un minimo per ~3÷4 e poi risale in quanto log( 2 ) domina. (risalita relativistica). iii.Dipende dal potenziale di ionizzazione medio del materiale. ( I dipende da Z, per Z20 I/Z~10 eV. (Per una lista delle proprietà elettromagnetiche degli elementi vedi Fernow pag. 39 e figura prossima diapositiva)

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16 Rivelatori di Particelle16 Lezione 6 Perdita di energia Effetto densità. plateau di Fermi. La salita relativistica satura crescendo plateau di Fermi. In materiali densi la polarizzazione del dielettrico del materiale altera i campi della particella incidente dai valori nello spazio vuoto a quelli caratteristici di campi macroscopici in un dielettrico. La polarizzazione del mezzo agisce da schermo e modifica il massimo parametro dimpatto. Questo fenomeno è chiamato effetto densità in quanto dipende dalla densità del mezzo. Più denso è il mezzo tanto prima si raggiunge il plateau di Fermi la salita relativistica è più importante nei gas che nei liquidi e nei solidi. La formula di Bethe Block diventa: E funziona fino al % per particelle fino al nucleo di per Per basse velocità ( ~0.05) non è più valida in quanto non sono più valide molte delle assunzioni di Bethe Block.

17 Rivelatori di Particelle17 Lezione 6 Perdita di energia dE/dx per composti e miscugli. Una buona approssimazione della perdita di energia per composti e miscugli è data dalla regola di Bragg (vedi range) Dove w 1, w 2 …. Sono le frazioni in peso 1, 2 ….del composto: Possiamo definire dei valori efficaci come segue: E riscrivere la dE/dx in termini dei valori efficaci.

18 Rivelatori di Particelle18 Lezione 6 Perdita di energia Particelle della stessa velocità hanno praticamente la stessa dE/dx in materiali diversi, se escludiamo lidrogeno. È presente una piccola diminuzione della perdita di energia allaumentare di Z. In pratica, la maggioranza delle particelle relativistiche hanno una perdita di energia simile a quella del minimo MIP (minimum ionizing particle). La perdita di energia è normalmente espressa in termini della densità di area dS= dx e le particelle ionizzanti al minimo perdono in media 1.94 MeV/(gr/cm 2 ) in He, 1.08 in Uranio e ~4 MeV/(gr/cm 2 ) in H 2.

19 Rivelatori di Particelle19 Lezione 6 Perdita di energia Fluttuazioni della perdita di energia. Ricordiamo che la perdita di energia dE/dx (Bethe Block) è un valore medio. La reale perdita di energia per una particella che attraversa del materiale fluttua a causa della natura statistica delle sue interazioni con i singoli atomi del materiale.

20 Rivelatori di Particelle20 Lezione 6 Perdita di energia Gli apparati sperimentali (granularità limitata) non misurano, ma lenergia E depositata in uno strato di spessore finito x. E è il risultato di un certo numero i di collisioni con trasferimenti di energia E i e sezioni durto d /dE. d dW~1/W 2 tendo a trasferire piccole quantità di energia la distribuzione della perdita di energia è tendenzialmente asimmetrica con una coda verso le alte energie. Gli eventi in cui ho una grossa perdita di energia sono associati alla produzione di e di rinculo ad alta energia ( rays ) la distribuzione della perdita di energia è tendenzialmente asimmetrica con una coda verso le alte energie.

21 Rivelatori di Particelle21 Lezione 6 Perdita di energia Fluttuazioni della perdita di energia…. Assorbitori spessidistribuzione Gaussiana Assorbitori spessi teorema del limite centrale distribuzione Gaussiana Assorbitori sottili LandauVavilov Assorbitori sottili Landau se molto sottili, Vavilov se poco sottili. Straggling functions in silicon for 500 MeV pions, normalized to unity at the most probable value p/x. The width w is the FWHM. Bibliografia Fernow (Introduction to experimental particle physics)

22 Rivelatori di Particelle22 Lezione 6 Fluttuazioni di dE/dx Assorbitori spessi: limite gaussiano. Per assorbitori relativamente spessi la distribuzione della perdita di energia è gaussiana. Ciò deriva direttamente dal teorema del limite centrale: la somma di N variabili casuali, ciascuna che segue la stessa distribuzione statistica diventa distribuita gaussianamente nel limite di N. Se consideriamo come variabile casuale la E, cioè lenergia persa in una collisione singola ed assumiamo che in ogni collisione la velocità del proiettile non è cambiata (in maniera apprezzabile) in modo che (p) è costante lenergia totale persa è la somma di tutte le E, tutte con la stessa distribuzione.

23 Rivelatori di Particelle23 Lezione 6 Assorbitori spessi Se il materiale è spesso (ma non troppo) o denso N è grande quindi vale il teorema del limite centrale e la perdita totale di energia W è distribuita secondo una gaussiana Essendo x lo spessore del materiale, W la perdita di energia nellassorbitore, la perdita di energia media, e la deviazione standard.

24 Rivelatori di Particelle24 Lezione 6 Assorbitori spessi Bohr ha calcolato la deviazione standard 0 per particelle non relativistiche: Dove N è il numero di Avogadro, la densità, A il peso atomico e Z il numero atomico del materiale. Estesa a particelle relativistiche diventa: Attenzione: Abbiamo assunto che la perdita di energia W è piccola rispetto ad E (energia iniziale) in modo che la velocità del proiettile non cambia se il materiale è molto spesso questo non è più vero e quanto detto sopra non vale.

25 Rivelatori di Particelle25 Lezione 6 Assorbitori sottili Assorbitori sottili. Nel caso di assorbitori sottili (o poco densi) N non è così grande da far valere il teorema del limite centrale. Il calcolo diventa estremamente complicato a causa di trasferimenti di grosse quantità di energia (raggi delta) in una singola collisione avrò una distribuzione di perdite di energia con una coda verso le alte energie, cioè asimmetrica.

26 Rivelatori di Particelle26 Lezione 6 Assorbitori sottili La probabilità che una particella incidente di energia E perda energia compresa fra W e W+dW attraversando un dx infinitesimo è: Dove n a =N 0 /A= numero di atomi per unità di volume, d /dW= sezione durto differenziale per la particella incidente di perdere energia W in una singola collisione con un atomo. La probabilità totale di una collisione di perdere qualunque W nellinfinitesimo dx sarà: q si chiama rate di ionizzazione primaria.

27 Rivelatori di Particelle27 Lezione 6 Assorbitori sottili Semplice se dx è infinitesimo, ma complicato per dx finito. Consideriamo un fascio di N particelle di energia E. Sia (W,x) la probabilità che una particella perda unenergia fra W e W+dW dopo avere attraversato uno spessore x. La forma di può essere determinata considerando come varia quando le particelle attraversano un ulteriore spessore dx. Il numero di particelle con perdita di energia fra W e W+dW cresce perché qualcuna che ad x aveva perso meno energia di W colliderà e perderà unenergia fra W e W+dW in dx. Il numero di particelle con perdita fra W e W+dW diminuisce perché alcune particelle che avevano già perso lenergia giusta prima del tratto dx ne perderanno ancora e quindi ne perdono di più di W+dW.

28 Rivelatori di Particelle28 Lezione 6 Assorbitori sottili Se assumiamo che le collisioni che avvengono successivamente sono statisticamente indipendenti, che il mezzo assorbitore è omogeneo e che la perdita totale di energia è piccola rispetto allenergia della particella incidente: Cioè: Equazione integro-differenziale molto difficile da risolvere. Le differenze nelle soluzioni derivano essenzialmente dalle assunzioni fatte sulla probabilità (W) cioè dal trasferimento di energia per collisione singola. Ciascuno dei calcoli teorici ha un suo limite di validità ed una particolare zona di applicabilità a seconda del valore di un parametro k= /E max ( rappresenta lenergia al di sopra della quale avrò almeno un raggio delta = kz 2 (Z/A)(1/ 2 )x essendo x lo spessore attraversato).

29 Rivelatori di Particelle29 Lezione 6 Assorbitori sottili Teoria di Landau Valida per /E max <0.01 Assunzioni: Perdita di energia piccola rispetto al massimo possibile in una singola collisione ( /E max piccolo) Perdita di energia grande se paragonata allenergia di legame degli elettroni (elettrone libero). Si trascurano quindi le piccole perdite di energia dovute alle collisioni lontane.

30 Rivelatori di Particelle30 Lezione 6 Teoria di Landau Con queste assunzioni può essere fattorizzata come segue: è il taglio sulla minima energia persa.

31 Rivelatori di Particelle31 Lezione 6 Teoria di Landau La funzione universale f L ( ) può essere espressa come segue: Valutando f L ( ) si ottiene per il valore più probabile per la perdita di energia: = correzione per effetto densità e FWHM=4.02

32 Rivelatori di Particelle32 Lezione 6 Assorbitori sottili Teoria di Vavilov Valida per 0.01


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