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1 Concetti base della finanza Rendimento delle azioni, obbligazioni e attività reali: valore attuale scontato; rendimento sul periodo dinvestimento (holding.

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1 1 Concetti base della finanza Rendimento delle azioni, obbligazioni e attività reali: valore attuale scontato; rendimento sul periodo dinvestimento (holding period return); Funzione di utilità e curve di indifferenza: utilità attesa; incertezza e rischio; curve di indifferenza; preferenze intertemporali; Scelte dinvestimento fisico e livello ottimale di consumo

2 2 Rendimento delle azioni ecc. - 1 Interesse semplice vs. interesse composto es. un tasso del 10% annuo è minore di un tasso del 5% semestrale (che dà interessi sugli interessi): 1*(1+0,10) = 1,10 < (1,05)*(1,05) = (1,05) 2 = 1,1025 Ma come si calcola in generale il valore finale di un investimento quando cambia la frequenza con la quale si compongono i tassi di interesse? Consideriamo un ammontare x investito per n anni al tasso di interesse R per ogni anno. Se interessi composti una sola volta allanno: (1)

3 3 Rendimento delle azioni ecc. - 2 Ma se invece che una volta allanno, i tassi di interesse si compongono m volte allanno: (2) E si può mostrare che andando verso la composizione continua: (3) Ove exp = 2,71828 è la e dellesponenziale studiata in matematica

4 4 Rendimento delle azioni ecc. - 3 Esempio delleffetto di una composizione del tasso di interesse sempre più frequente: Frequenza diValore di 100 a fine anno composizione (R = 10% annuo) Annuale (m=1)110,00 Trimestrale (m=4)110,38 Settimanale (m=52)110,51 Giornaliera (m=365)110,517

5 5 Rendimento delle azioni ecc. - 5 Il Valore Attuale Scontato (VAS) Se rs (n) è il tasso dinteresse annuale su un investimento privo di rischio per n anni, il valore futuro di x tra n anni con interesse composto annualmente è: Ne segue che dovremmo essere indifferenti tra ricevere con certezza VF n tra n anni e avere x oggi ovvero, in termini formali, il valore attuale scontato di VF n è:

6 6 Rendimento delle azioni ecc. - 6 Supponendo ora che il tasso di interesse privo di rischio sugli n anni sia costante e pari a r (curva per scadenza dei tassi di interesse piatta) il VAS di una serie di incassi VF i (i= 1, 2,.., n) privi di rischio è dato da:

7 7 Rendimento delle azioni ecc. - 7 Progetto di investimento fisico Consideriamo un progetto di investimento fisico, es. una nuova fabbrica, da cui si prevede di ricevere un flusso di incassi (profitti) di VF i (i= 1, 2,.., n). Supponiamo che il costo capitale del progetto, pagato inizialmente (a t=0),sia CK. Allora limprenditore investirà nel progetto se: VAS CK ovvero, in termini di valore attuale netto (VAN) deve valere: VAN = VAS – CK 0 Se VAN=0 i profitti del progetto sono appena sufficienti a ripagare il capitale (montante e interessi). Se VAN>0 ci sono profitti positivi.

8 8 Rendimento delle azioni ecc. - 8 Al crescere del costo dei fondi (r) VAN cala per dato VF i. Esiste un valore di r=y (10% in figura) per cui VAN=0, detto tasso interno di rendimento (TIR) dellinvestimento:

9 9 Rendimento delle azioni ecc. - 9 Ora rimuoviamo lipotesi di r costante e diciamo che i flussi a 1 anno (VF i ) sono scontati con rs (1), quelli a 2 anni con rs (2) e così via, il VAS è dato da: ove δ i = (1 + rs (i) ) -i sono i fattori di sconto e gli rs (i) sono tassi di interesse a pronti (spot) applicati ai flussi di cassa sui periodi rs (1) =0-1 anno, rs (2) = 1-2 anni e così via. Ma linvestimento fisico non è privo di rischio e il fattore di sconto è il tasso spot privo di rischio rs (i) più un premio al rischio rp (i) : δ i = (1 + rs (i) + rp (i) ) -i ma qui serve un modello per il premio al rischio (CAPM)

10 10 Rendimento delle azioni ecc Se non ci sono opportunità di profitto sistematiche da fare acquistando e vendendo azioni tra investitori razionali ben informati, allora il prezzo di mercato effettivo delle azioni P t deve essere uguale al valore fondamentale V t, cioè al VAS dei dividendi futuri attesi. Per esempio, se P t < V t allora gli investitori dovrebbero acquistare le azioni sottovalutate e, quindi, realizzare guadagni in conto capitale a mano a mano che P t si innalza verso V t. In un mercato efficiente, tali opportunità di profitto dovrebbero essere prontamente eliminate. È chiaro che V t non può essere calcolato direttamente per confrontarlo con P t perché i dividendi attesi (e i fattori di sconto) non sono osservabili.

11 Scelte in condizioni di rischio Per rappresentare le scelte in condizione di rischio utilizziamo lotterie o giochi. Supponiamo che ci siano due possibili stati del mondo: cè il sole o piove, ogni stato del mondo ha probabilità 0.5 di verificarsi.

12 Descrizione di un albero decisionale (giochi o prospetti rischiosi) Nodi aleatori Rami Outcomes (risultati)

13 La Teoria dellUtilità attesa Sviluppata da Von Neumann e Morgestern (1944) si basa su alcuni importanti assiomi che permettono di ordinare le preferenze, riportiamo i 5 rilevanti: 1)Comparabilità (Completeness): questo assioma stabilisce che un individuo è sempre in grado di paragonare, stabilendo un ordine di preferenza o indifferenza, diversi prospetti rischiosi e mutualmente escludentesi

14 Transitività Se un individuo preferisce il prospetto rischioso x al prospetto y, e il prospetto y al prospetto z allora preferirà x a z.

15 Indipendenza forte Si supponga di dover scegliere tra due giochi: il gioco A=(x,z; α, (1-α)) e il gioco B=(y,z; α, (1-α); Se un individuo considera x equivalente a y allora considera i due prospetti rischiosi equivalenti, se invece preferisce x a y preferirà il prospetto A al prospetto B (common consequence effect). Lassioma afferma che nel confrontare i due prospetti si concentra lattenzione sui risultati che non sono comuni.

16 Misurabilità Si supponga che il prospetto rischioso x sia preferito a y il quale è a sua volta preferito a z. Allora ci può essere ununica probabilità α per la quale il prospetto rischioso formato da x e z è equivalente a y. Quindi ci può essere un unico equivalente certo che è compreso tra i risultati x e z del prospetto rischioso.

17 Ordinabilità Supponiamo che esista il seguente ordine di preferenze: x>y>z e x>u>z Vale a dire u e y sono due esiti entrambi compresi tra x e z, attribuendo a z ed a x diverse probabilità, è possibile trovare un prospetto equivalente a y e uno equivalente a u. Se A=(x,z;α 1 (1- α 1 ) è equivalente a y e B= (x,z;α 2 (1- α 2 ) è equivalente a u, se α 1 > α 2 allora A>B

18 Funzione di Utilità attesa La teoria dellUtilità attesa si basa sullipotesi di non sazietà in base alla quale lutilità marginale della ricchezza è sempre positiva. Le funzioni di utilità devono rispettare i 5 assiomi sopra citati. La funzione può essere usata per ordinare i giochi rischiosi, lutilità attesa dei giochi rischiosi è la seguente: UA=p i U(W i ) Combinazione lineare dellutilità e delle probabilità

19 19 Utilità e curve di indifferenza - 4 Latteggiamento verso il rischio dipende da: U(W) < 0 avverso al rischio (curva U concava) U(W) = 0 neutrale al rischio (curva U retta) U(W) > 0 amante del rischio (curva U convessa) Il grado di avversione al rischio si misura sul grado di concavità della funzione di utilità, il valore di U(W): R A (W) = -U(W)/U(W) indice assoluto di Arrow-Pratt R R (W) = R A (W) W indice relativo di Arrow-Pratt Lavversione assoluta (relativa) al rischio è decrescente se al crescere di W si investe di più in attività rischiose.

20 20 Utilità e curve di indifferenza - 5


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