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Laboratorio di Ottica ed Elettronica Introduzione alle esperienze di OTTICA Università del Piemonte Orientale Amedeo Avogadro Facoltà di Scienze Matematiche,

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1 Laboratorio di Ottica ed Elettronica Introduzione alle esperienze di OTTICA Università del Piemonte Orientale Amedeo Avogadro Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Fisica Luciano Ramello

2 Indice Introduzione alle sorgenti luminose Richiami di ottica geometrica e ottica fisica Esperimenti in laboratorio: –Indice di rifrazione di un prisma –Lunghezza focale di una lente –Misure con luce polarizzata –Diffrazione con reticoli e fenditure –Misure con spettrometro a reticolo

3 Su cosa vogliamo sperimentare? Proprietà della luce (colore, lunghezza donda, polarizzazione) Proprietà di alcune sorgenti luminose (laser: coerenza, polarizzazione; lampada spettrale: spettri a righe) Proprietà di alcuni materiali/strumenti ottici: –Indice di rifrazione (vetri) –Lunghezza focale (lenti) –Potere rotatorio (sostanze in soluzione) –Dimensioni (reticoli, fenditure)

4 Sorgenti Luminose (1) Sorgenti a spettro continuo: –Sole: T 5800 K –filamento di W riscaldato in ampolla sotto vuoto, T = 2000–3000 K –radianza spettrale: B λ W cm -2 nm -1 sr -1 –la radianza dipende poco dalla lunghezza donda (spettro di corpo nero con λ max nellinfrarosso) –le sorgenti a spettro continuo sono preferibili per la spettroscopia in assorbimento (a) Nernst glower (ZrO 2, YO 2 ) (b) filamento di W (c) lampada D 2 (d) lampada ad arco (e) lampada ad arco con riflettore Legge di Wien: λ max =(2.898 mm K)/T es: λ max =0.001 mm a T=2898 K

5 livello fondamentale per lelettrone esterno dellatomo di sodio primo livello eccitato Sorgenti Luminose (2) Sorgenti con spettro a righe: –Lampade spettrali (es. lampada al sodio) Na = atomo idrogenoide Z=11: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 principali transizioni nel visibile: 3p 3s, λ = e nm N. Bohr (1912): = (E 2 -E 1 )/h λ = c/ = hc/(E 2 -E 1 ) hc = 2 ·197 eV.nm Bunsen e Kirchhoff (1859): scoperta degli spettri a righe –grado di monocromaticità: fino a 1 parte per milione –radianza spettrale B λ W cm -2 nm -1 sr -1

6 Sorgenti Luminose (3) Sorgenti laser: –elevata monocromaticità: fino a 1 parte per miliardo –elevata radianza spettrale B λ > 10 4 W cm -2 nm -1 sr -1 –Esempio: laser a He-Ne tubo di vetro a scarica riempito con 80% He, 20% Ne; livello eccitato E 3 dellelio metastabile, lenergia di eccitazione viene trasferita per collisione al neon il livello E 2 del neon diventa più popolato del livello E 1 (inversione di popolazione) in queste condizioni avviene lemissione stimolata –ottima coerenza spaziale: fino a centinaia di km –elevata direzionalità –elevata focalizzazione: fino a W cm -2 Einstein (1917): legge dellemissione stimolata

7 Sorgenti Luminose (4) E3E3 E2E2 E1E1 Laser a He – Ne Principio di funzionamento: pompaggio dellHe, collisioni, inversione di popolazione del Ne, emissione stimolata E 3 : eV E 2 : eV

8 Ottica Geometrica Principi dellottica geometrica stabiliti da Euclide Limiti di applicabilità dellottica geometrica: –Propagazione in linea retta (raggi): trascuriamo la diffrazione –Raggi indipendenti: trascuriamo linterferenza Se necessario/possibile si usa lapprossimazione di Gauss: raggi parassiali (quasi paralleli allasse ottico) sin α tg α α (per α < 10° lerrore è < 0.5 per mille) Legge della riflessione: i = r Legge della rifrazione (W. Snel / R. Descartes / P. de Fermat): n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2 (n i = c/v i ) valori di n (λ=589.3* nm): aria, 1.33 acqua, quarzo, 1.52 vetro crown, vetro flint, 1.77 zaffiro, 2.42 diamante I primi due esperimenti (misura di indice di rifrazione di prismi; misura di lunghezza donda di lenti) sono incentrati sul fenomeno della rifrazione *) lunghezza donda media della luce gialla della lampada a vapori di sodio sin(10°) = ° = rad tan(10°) =

9 Legge della rifrazione: breve storia Claudio Tolomeo (II sec. d.C.) riporta nel cap. V dellOttica tre tabelle con (presunte) osservazioni dellangolo di rifrazione per angoli di incidenza a intervalli di 10° tra 10° e 80°, per le coppie aria-acqua, aria-vetro, acqua- vetro –sembra che i dati siano stati interpolati in modo che le differenze seconde risultino costanti (legge parabolica) –la motivazione primaria di Tolomeo (e in seguito Alhazen, Keplero) era la descrizione della rifrazione atmosferica per correggere le osservazioni astronomiche Thomas Harriot ottiene la legge della rifrazione attorno al 1602 ma non la pubblica (esiste un resoconto in un manoscritto di J. Pell al British Museum) Willebrord van Roijen Snel (Snellius) scopre la sua legge nel 1621 (ma viene pubblicata solo nel 1703 da Huygens) Cartesio pubblica la legge della rifrazione nel 1637 (aveva avuto accesso alle carte di Snel?) nel suo libro sullOttica Fermat dimostra che la legge della rifrazione può essere dedotta dal principio di minimo tempo (1662)

10 Prisma: metodo della deviazione minima Doppia rifrazione attraverso un prisma: δ = (i - r) + (i – r) = i + i – (r + r) α + (90°-r) + (90°-r) = 180° da cui: α = r + r, δ = i + i – α la condizione di deviazione minima si ha quando dδ = 0 ovvero: (di + di) = 0 derivando le leggi di Snell relative alle due superfici si ottiene: di/di = (cos i / cos i) (cos r / cos r) dr/dr -1 = { + 1 } (-1) La soluzione è: i = i, r = r = α/2, δ min = 2i – α Sperimentalmente si misura δ min e si ricava lindice di rifrazione da: n = sin((δ min + α)/2)/sin(α/2)

11 Analisi degli errori di misura su n Scegliamo come esempio α = 60°, δ min = 40°; avremo i = ½ (δ min +α) = 50°, n = sin 50° / sin 30° = Lerrore relativo su n è: Δn/n = 1/n { |n/δ min | Δδ min + |n/α| Δα } –il coefficiente del primo termine è: 1/n |n/δ min | = ½ cotg((δ min +α)/2) = –il coefficiente del secondo termine è: 1/n |n/α| = ½ cotg((δ min +α)/2) - ½ cotg(α/2) = Se per es. Δδ min = 1° = π/180 = rad: ( Δn/n) 1 = x = 7.3 Daltra parte se Δα = 5 = rad: ( Δn/n) 2 = x = 0.65

12 Dati di riferimento su indici di rifrazione Lindice di rifrazione dipende dalla lunghezza donda, per i materiali più comuni e nellambito del visibile n decresce allaumentare di λ (dispersione della luce) D (giallo)I valori di n per alcuni materiali alle lunghezze donda di alcune righe di Fraunhofer: D (giallo) del sodio, C (rosso) ed F (blu) dellidrogeno sono riportate in tabella; lindice dispersivo o numero di Abbe V (inverso del potere dispersivo) è definito come: V = (n D -1) / (n F -n C ) con V che assume tipicamente valori compresi fra 20 e 80 per i vetri. Legge approssimata di Cauchy per la dipendenza di n da λ (vale unicamente nel visibile, mentre nellIR e nellUV si notano deviazioni): n(λ) = A + B/λ 2 mat.quarzo fusovetro BK7crown K5crown BaK4flint BaF10flint SF10 A B ( m 2 ) MaterialeBlu (486.1 nm) Giallo (589.3 nm) Rosso (656.3 nm) Acqua Vetro crown Vetro flint (tipico) Disolfuro di carbonio

13 Lenti sottili Formula della lente sottile: 1/p + 1/q = 1/f p = distanza oggetto q = distanza immagine 1/f = (n-1)(1/r 1 -1/r 2 ) f = distanza focale r 1, r 2 raggi di curvatura delle superfici sferiche (nellesempio r 1 > 0: centro di curv. in regione R, r 2 0) n = indice di rifrazione del vetro Mediante una costruzione grafica che utilizza un raggio passante per il fuoco, un raggio parallelo allasse ottico e un raggio passante per il centro della lente è possibile ottenere la distanza e la dimensione laterale dellimmagine regione V regione R sup. 1 sup. 2 Esempi con lente biconvessa: oggetto a distanza > 2F: immagine reale capovolta e rimpicciolita oggetto tra 2F e F: immagine reale capovolta e ingrandita

14 Misura di lunghezza focale y : f = y : (q-f) ; G = y/y = (q-f)/f = … = q/p y : f = y : (p-f) ; G = f / (p-f) Esprimiamo p e q in funzione di f e G: p = f + f/G q = f + fG Definiamo a = p+q e ricaviamo: a = f (2 + G + 1/G) [lente sottile] Sperimentalmente: cerchiamo di ottenere un valore definito di G, misuriamo a, ricaviamo f; lerrore sarà dato dalla deviazione standard di una serie di misure ripetute f = f (lente equiconvessa) s p s q

15 Lente spessa (1) Le lenti spesse, e in generale i sistemi ottici centrati, sono rappresentabili mediante due piani principali separati da una distanza δ: In questo caso la relazione tra a e p, q è diversa dal caso precedente: a = p+q+δ = f (2 + G + 1/G) + δ per cui servono almeno 2 misure a due diversi ingrandimenti G 1 e G 2 per ricavare f e δ : a 1 = f (2 + G 1 + 1/G 1 ) + δ a 2 = f (2 + G 2 + 1/G 2 ) + δ le distanze p (oggetto) e q (immagine) sono riferite risp. al piano principale primario P e a quello secondario P; le distanze focali (qui entrambe = f) sono anchesse misurate a partire dai piani principali. P P y y

16 Lente spessa (2) Potenza di una lente spessa: dove d è la distanza A 1 A 2 e P 1, P 2 sono le potenze dei singoli diottri: nel caso della figura si ha: r 1 > 0, r 2 < 0

17 Dati costruttivi delle lenti Dati costruttivi sui parametri (in mm) di alcune lenti biconvesse in vetro crown, dal catalogo della ditta EALING: tipofdiametroBFLnCTET|r 1 |=|r 2 | Biconv. crown Biconv. crown Biconv. crown FFL = front focal length BFL = back focal length CT = center thickness ET = edge thickness

18 Polarizzazione della luce Le onde elettromagnetiche sono polarizzate trasversalmente alla direzione di propagazione (verificabile facilmente mediante antenne per microonde oppure onde radio) Polarizzazione per riflessione (specchio dacqua, arcobaleno) quando θ riflessione +θ rifrazione = 90° legge di Brewster (1812): θ riflessione =arctg(n) –ad es. per n = 1.50: θ riflessione = 56.3°, θ rifrazione = 33.7° Lamina analizzatrice (ad es. Polaroid): trasmette solo una componente E y = E cosθ assorbendo E x, lintensità trasmessa è proporzionale a E 2 cos 2 θ: –Se θ è casuale (luce non polarizzata) I(θ)=½I 0 –Se θ è costante (luce polarizzata) vale la legge di Malus: I(θ) = k E 2 cos 2 θ È possibile utilizzare una lamina Polaroid (costituita da microcristalli di solfato di iodochinino) anche per produrre la polarizzazione della luce

19 Misura del potere rotatorio Alcune sostanze in soluzione (costituite da molecole asimmetriche) sono capaci di ruotare il piano di vibrazione delle onde luminose: α = k c l con α = angolo di rotazione (ad es. in gradi sessagesimali) k = potere rotatorio specifico c = concentrazione (ad es. in g di soluto per ml di soluzione) l = lunghezza del tubo (ad es. in dm) La misura dellangolo di rotazione può servire a determinare il potere rotatorio specifico di una sostanza, oppure - nota la sostanza - per determinarne la concentrazione sostanzapotere rotatorio specifico [gradi.ml/(g.dm)] chiralità saccarosio+66.5destrogira glucosio (destrosio)+52.8destrogira fruttosio (levulosio)-93.0levogira maltosio+138.2destrogira

20 Misure con luce polarizzata Sorgente luminosa: laser He-Ne; polarizzatore/analizzatore: lamina Polaroid Misuratore di potenza luminosa: Digital Power Meter 815 della Newport con sensore 818-SL a silicio –Verifica della legge di Malus con tubo contenente acqua distillata (non è otticamente attiva) –Misura del potere rotatorio di zuccheri in soluzione acquosa un polarimetro a prisma

21 Esempio di analisi dei dati Potenza misurata (in mW) per angoli di 0, 10, 20, …, 350 gradi Fit del tipo NLSF con la funzione Sinesqr di Origin (categoria: Waveform) con 3 parametri liberi (il parametro w può anche essere fissato a 180°, se gli angoli x sono espressi in gradi)

22 Note sul fit NLSF con Origin Quando la funzione teorica dipende in modo NON LINEARE da uno o più parametri è necessario usare il Nonlinear Least Squares Fitter (NLSF) di Origin mediante il menu: Analysis -> Non-linear Curve Fit –Y = a*sin(X)+b*X^2 : la dip. dai parametri a, b è lineare: si può usare il metodo della regressione lineare –Y = a*sin^2(X-b) : la dip. dal parametro b non è lineare: va usato NLSF Gli errori di misura da indicare nel fit di Origin sono del tipo Instrumental weights: w i =1/ i 2, dove i sono gli errori di misura sui valori y i, immagazzinati in una colonna di tipo error bar (select Column:Set as Y Error) che deve essere selezionata per il fit insieme alle colonne X (angolo) e Y (intensità luminosa) La bontà del fit può essere valutata in diversi modi: –Valore del chi-quadro diviso per il numero di gradi di libertà (dof) = numero di punti – numero di parametri liberi (fit buono se 2 /dof è circa 1) –Valore di R-square (R^2) = (SYY-RSS)/SYY (SYY è la somma dei quadrati totale e RSS la somma dei quadrati dei residui; fit buono se R^2 è vicino a 1) –Confronto grafico tra i dati e la curva –Plot dei residui (dal pannello NonLinear Curve Fitting: Action -> Results, bottone Residue plot) –Informazioni più dettagliate si ottengono con il bottone Param. Worksheet

23 Diffrazione della luce Quando un fascio luminoso incontra un ostacolo (fenditura, schermo opaco) di dimensioni lunghezza donda avviene la diffrazione: i raggi si incurvano in prossimità dellostacolo Una situazione semplice da analizzare è la diffrazione di Fraunhofer: sorgente lontana dalla fenditura (oppure fascio molto collimato: laser) e schermo lontano dalla fenditura (si può ottenere lo stesso risultato con una lente) ovvero R > a 2 /λ [R = min(dist1,dist2)] Si avrà sempre un massimo di intensità luminosa nel punto P 0 dello schermo di fronte al centro della fenditura Considerando un generico punto P 1 dello schermo: –il raggio centrale r 2 determina langolo θ –i raggi r 1 e r 2 provenienti dal bordo superiore e dal centro della fenditura saranno in opposizione di fase se la differenza di cammino è ½ λ, perciò P 1 sarà un punto di minimo (interferenza completamente distruttiva) se: a sinθ = λ (più in generale: a sinθ = nλ, n=1,2,…) fenditura rettangolare di area ab, con a << b

24 Osservazione della diffrazione (1) Il calcolo della intensità luminosa in funzione dellangolo θ per una fenditura di ampiezza a fornisce: I(θ) = I 0 (sinα/α) 2, α = (πa/λ)sinθ La larghezza della figura di diffrazione (data dallangolo θ per cui α = π: sinθ = λ/a) è inversamente proporzionale allampiezza a della fenditura La misura della figura di diffrazione permette (nota λ) di ricavare lampiezza a

25 applet diffrazione Osservazione della diffrazione (2) Nel caso di una fenditura circolare si ha un disco luminoso centrale (disco di Airy, 1836) e il primo cerchio scuro corrisponde a un angolo sinθ = 1.22 λ/a La diffrazione limita la precisione delle osservazioni con strumenti ottici; per diminuire il diametro del disco di Airy –nei telescopi si aumenta lapertura a –nei microscopi si diminuisce λ: ottico UV microscopio elettr. La figura di diffrazione da una fenditura rettangolare di ampiezza data a dipende dalla lunghezza donda λ utilizzata:

26 Due fenditure: interferenza e diffrazione doppia fenditura singola fenditura

27 Reticoli di diffrazione (1) Un reticolo è costituito da N fenditure identiche (di ampiezza a) ricavate su un supporto rigido con un passo d I massimi principali si hanno quando cè interferenza costruttiva tra tutte le onde provenienti dalle diverse fenditure, ovvero quando la differenza di cammino ottico tra due fenditure successive è un multiplo intero della lunghezza donda: d Equazione dei massimi principali: d sinθ = mλ, m=0, ±1, ±2, …

28 Reticoli di diffrazione (2) I massimi principali (equazione: d sinθ = mλ, m=0, ±1, ±2, …) allaumentare del numero di fenditure N diventano più netti: la distanza angolare δθ 0 tra il massimo centrale e il primo minimo è determinata da Ndsin(δθ 0 ) = λ δθ 0 λ / (Nd); per un massimo generico si ha δθ λ/(Nd cosθ) Il vantaggio principale del reticolo è la presenza di massimi molto netti Il reticolo di diffrazione è utilizzato negli spettrometri (misura di θ misura diretta di λ) dove ha quasi sempre rimpiazzato il prisma (che ha una relazione più complicata tra θ e λ) N=9

29 Dispersione e potere risolutivo Le due caratteristiche principali di un reticolo di diffrazione sono la dispersione D ( a quali angoli trovo le diverse λ?) e il potere risolutivo R (qualè la minima Δλ che riesco a risolvere?) Dispersione D = Δθ / Δλ = m / (d cosθ) : dipende dalla distanza tra le fenditure d e dallordine m, ma non dal numero di fenditure N Potere risolutivo: si chiede che il massimo di ordine m della 1 a riga spettrale cada sul primo minimo della 2 a riga [Δθ = D Δλ = mΔλ/(d cosθ) deve essere pari a λ/(Nd cosθ)] R = λ / Δλ = Nm : per m e d fissati (quindi con dispersione fissata) si può aumentare il potere risolutivo aumentando il numero di fenditure N

30 Misure di lunghezza donda La misura della lunghezza donda di un laser può essere eseguita inviando il fascio laser su un reticolo di diffrazione e osservando i massimi di intensità luminosa corrispondenti ai vari ordini (m = 0 per il massimo centrale, m = ± 1, m = ± 2, …) Gli angoli corrispondenti ai massimi vengono ricavati per triangolazione dalla misura della distanza reticolo – schermo (ovvero riga graduata) e della posizione di ciascun massimo sullo schermo È necessario controllare lallineamento (perpendicolarità del reticolo e dello schermo rispetto al fascio), per esempio verificando la simmetria tra le posizioni dei massimi dello stesso ordine a destra e a sinistra

31 Misure di diffrazione Per osservare la diffrazione si invia il fascio laser su varie fenditure (rettilinee e circolari, di apertura fissa o variabile) Anche un questo caso è importante verificare lallineamento del sistema di misura Per una stima dellapertura di una fenditura è opportuno rilevare la posizione dei minimi di intensità luminosa, mediante uno schermo ovvero un foglio di carta millimetrata posto su un telaietto Gli angoli corrispondenti ai minimi possono essere calcolati per triangolazione conoscendo la distanza fenditura - schermo

32 Misure con lo spettrometro Lo spettrometro permette una misura accurata di angolo (la precisione nominale è 1 ovvero 1/60 di grado) che, abbinata a un reticolo di diffrazione, permette di determinare le lunghezze donda con buona precisione La luce proveniente da una sorgente luminosa S (lampada spettrale) viene collimata da una fenditura e focalizzata sul reticolo R dal cannocchiale C Attraverso loculare montato sul cannocchiale O losservatore è in grado di centrare con precisione una determinata riga di emissione; in seguito langolo θ viene letto sulla scala graduata D con laiuto di un nonio È opportuno effettuare misure dei massimi del primo e secondo ordine, sia a destra che a sinistra, per controllare lallineamento del sistema

33 Spettro del sodio (Na) I livelli energetici del sodio (Na) hanno una struttura simile a quelli dellidrogeno, con limportante differenza che i livelli con lo stesso numero quantico principale (n) ma diverso numero quantico orbitale ( ) non hanno la stessa energia: E(3s) < E(3p) < E(3d) Le principali transizioni nella parte visibile dello spettro sono la riga D a nm e la riga a nm (molto meno intensa) La riga D (valore medio λ=589.3 nm) è in realtà un doppietto dato che il livello 3p è sdoppiato a causa dellaccoppiamento spin-orbita tra il momento angolare orbitale ( = 1) e lo spin dellelettrone Con lo spettrometro a reticolo il doppietto è ben visibile al secondo ordine di diffrazione

34 Spettro dellelio (He) Latomo di He ha due elettroni, si considera che uno solo possa trovarsi in uno stato eccitato: –He: 1s 2 –He eccitato: 1s 1 2p 1 etc. Ci sono due serie di livelli, quella di singoletto 1 L J (S=0) e quella di tripletto 3 L J (S=1); differiscono per lorientazione degli spin dei due elettroni ovvero per lo spin totale S Il livello fondamentale 1s può essere occupato da due elettroni solo se hanno spin antiparalleli, S=0 n 2S+1 L J n = numero quantico princ. S = spin L = mom. ang. orb. J = mom. ang. tot. Alcune righe dellHe (nm) w (5 1 D2 1 P) w s (4 3 D2 3 P) m (4 3 S2 3 P) m (4 1 D2 1 P) s (5 1 S2 1 P) w (4 1 S2 1 P) s (3 3 D2 3 P) m (3 1 D2 1 P) s=strong, m=med, w=weak

35 Spettri di Zn, Cd, Hg Gli spettri di He, Zn, Cd, Hg sono abbastanza simili dato che si tratta in ogni caso di atomi con due elettroni nello strato più esterno: –He: 1s 2 –Zn: 4s 2 –Cd: 5s 2 –Hg: 6s 2 Come nel caso dellHe ci sono due serie di livelli, quella di singoletto 1 L J (S=0) e quella di tripletto 3 L J (S=1); si considera che uno solo dei due elettroni si trovi in uno stato eccitato Tuttavia i livelli energetici di Zn, Cd, Hg hanno una struttura più complicata di quelli di He a causa della interazione spin- orbita; inoltre sono possibili per Zn, Cd, Hg transizioni tra stati di singoletto e stati di tripletto Hg Alcune righe dellHg (nm) m (7 3 S3 3 P 2 ) m (7 1 S6 3 P 1 ) * s (7 1 D6 1 P) w (7 1 P7 1 S) s (7 3 S6 3 P 0 ) s (6 3 D6 1 P) * s (6 1 D6 1 P) s=strong, m=med, w=weak * triplet-singlet transition


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