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Nella lezione precedente: n Abbiamo visto come simmetrizzare le equazioni di Maxwell introducendo cariche e correnti magnetiche n abbiamo introdotto il.

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Presentazione sul tema: "Nella lezione precedente: n Abbiamo visto come simmetrizzare le equazioni di Maxwell introducendo cariche e correnti magnetiche n abbiamo introdotto il."— Transcript della presentazione:

1 Nella lezione precedente: n Abbiamo visto come simmetrizzare le equazioni di Maxwell introducendo cariche e correnti magnetiche n abbiamo introdotto il teorema di dualità, che permette di scrivere la soluzione in presenza di sole sorgenti magnetiche dalla conoscenza di quella in presenza di sole sorgenti elettriche n Introdotto i muri magnetici, e visto come nella realtà certi problemi di simmetria possano essere affrontati ipotizzando tali muri n Abbiamo utilizzato il teorema di dualità per calcolare il campo irradiato da un dipolo magnetico elementare, ed identificato nella spira lantenna che realizza tale radiatore n abbiamo introdotto il teorema di equivalenza, sfruttando il teorema di unicità

2 Nella lezione precedente: n Abbiamo introdotto il teorema delle immagini n Abbiamo quindi scritto i campi in funzione dei potenziali in presenza di sorgenti elettriche e magnetiche, usando il principio di sovrapposizione degli effetti n Abbiamo dato una prima classificazione delle antenne (filiformi, planari, ad apertura, a riflettore, schiere) n Introdotto alcuni parametri caratteristici: u caratteristica o diagramma di radiazione u densità di potenza irradiata u intensità di radiazione u direttività u guadagno u larghezza di banda u polarizzazione u impedenza di ingresso u efficienza di radiazione

3 Parametri caratteristici: impedenza di ingresso n Labbiamo già incontrata parlando del dipolo n Il sistema generatore+antenna in trasmissione ha quindi il circuito equivalente Vg VAVA IAIA ZAZA ZgZg n E la massima potenza irradiata è quindi

4 Parametri caratteristici: impedenza di ingresso n In ricezione invece equivalente Thevenin ZLZL A A V0V0 ZAZA ZLZL

5 Regioni di campo n Campo vicino reattivo: fino a circa R= Nel caso del dipolo è circa /6 n Campo vicino radiativo (o regione di Fresnel): regione intermedia in cui esiste ancora una componente radiale e il campo dipende da r; non esiste in radiatori piccoli n Campo lontano (o regione di Fraunhofer): domina 1/r, componenti lungo r trascurabili; limite a circa

6 Campo lontano n Sappiamo che le distribuzioni di campo approssimano localmente onde piane; nel caso più generale le onde piane sono n Vediamo come: esplicitiamo n Dove E 0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

7 Campo lontano: Onde piane in direzione arbitraria n Lequazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari n Concentriamoci sulla prima e sostituiamo lespressione generale per londa piana n Cioè, il vettore donda k che ha modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a k x, k y, k z

8 Onde piane in direzione arbitraria n Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana che si propaga lungo una direzione generica:

9 Campo lontano: Onde piane in direzione arbitraria n In generale quindi E ed H per unonda piana saranno n Come verificare che sono onde piane? Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che n Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si algebrizzano Sia E che H ortogonali a k

10 Onde piane in direzione arbitraria n Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima n ovvero Dove è limpedenza donda del mezzo: generalizza lespressione che avevate trovato per una direzione

11 Campo lontano n In particolare nel nostro caso k è diretto lungo r n Ora possiamo sfruttare il fatto che in campo lontano le onde sono localmente piane per algebrizzare anche le equazioni del potenziale n Per cui

12 Campo lontano: esempio dipolo Hertziano n Lunico impiccio è trasformare le coordinate cartesiane in sferiche: introduciamo una matrice di trasformazione del tutto generale n Avevamo visto nella prima lezione che n È una matrice di trasformazione molto comoda: se applicata su un vettore cartesiano restituisce il vettore in coordinate sferiche

13 Campo lontano: esempio dipolo Hertziano n Da cui n Nel nostro caso A è diretto lungo z, quindi n Per cui ritroviamo banalmente A r =A z cos A =-A z sin A Avendo trascurato le componenti i r per lipotesi di campo lontano

14 Campo a grande distanza (ma non campo lontano) Possiamo fare approssimazioni meno spinte, che valgano anche in zona di Fresnel: prendiamo lespressione del potenziale vettore P V r r r-r J(r) dV A grande distanza: Per cui possiamo approssimare: nel denominatore La funzione esponenziale invece necessita di una approssimazione migliore (è rapidamente oscillante) Infine considereremo il vettore r-r circa parallelo ad r

15 Campo a grande distanza (ma non campo lontano) quindi funzione scalare solo di r Funzione vettoriale f( )

16 Teorema di reciprocità n Potentissimo teorema, conseguenza diretta delle equazioni di Maxwell per mezzi isotropi, lineari e passivi n nel suo senso più semplice, un teorema di reciprocità stabilisce che la risposta di un sistema ad una sorgente non cambia se si scambiano sorgente e misuratore della risposta n In senso più generale, i teoremi di reciprocità pongono in relazione una risposta ad una sorgente -risposta dovuta ad una seconda sorgente- con la risposta alla seconda sorgente, dovuta alla prima… n Il teorema di reciprocità per le equazioni di Maxwell è molto fecondo: è alla base del Metodo dei Momenti (Harrington), alle proprietà di ortornormalità dei modi di una guida ecc.

17 Teorema di reciprocità Consideriamo due insiemi di sorgenti armoniche J a, M a e J b,M b, alla stessa frequenza, nello stesso mezzo; indichiamo inoltre con E a,H a i campi prodotti dalle sole sorgenti a, ed E b,H b quelli prodotti dalle sorgenti b; scriviamo le equazioni di Maxwell nelle due situazioni Moltiplichiamo (scalarmente) la prima per E b e lultima per H a, e sommiamo

18 Teorema di reciprocità n Ora, solita identità n Scambiando a e b si ha anche n Sottraiamo luna allaltra…. n Integriamo in un volume V, delimitato da una superficie S ed applichiamo il th. Della divergenza

19 Teorema di reciprocità n Nel caso di superficie distante dalle sorgenti, sappiamo che n Per cui i due termini a primo membro si cancellano. Resta quindi n I termini di sopra si definiscono reazioni n Per cui il teorema diventa semplicemente

20 Teorema di reciprocità n Che possiamo leggere dicendo che del campo a alla sorgente b è uguale alla reazione del campo b alla sorgente a n Se consideriamo unantenna filiforme n Per cui n Supponiamo di considerare per esempio a e b due antenne, e di schematizzare il collegamento tra loro con una rete sue porte, per esempio una matrice Z n Ebbene, la relazione di reciprocità implica evidentemente che

21 Teorema di reciprocità n Quanto detto ovviamente non vale solo per le antenne ( e di fatto si estende senza grosse difficoltà ad ogni tipo di antenna) e dimostra che ogni rete cistruita da materia isotropa e lineare ha matrice di impedenza simmetrica n Limplicazione più importante per le antenne è che i diagrammi di radiazione in ricezione o trasmissione sono identici. In pratica il comportamento in trasmissione ed in ricezione sono indistinguibili n Per dimostrare questultima affermazione dobbiamo prima riconsiderare il diagramma di radiazione: esso può anche essere definito come la tensione (funzione angolare, ovviamente) ai capi dei terminali dellantenna dovuta ad unonda piana che incide su di essa

22 Teorema di reciprocità n Se si ha quindi unantenna in trasmissione a, e si muove intorno ad essa unantenna in ricezione b, la tensione ricevuta ai capi dellantenna in ricezione sarà n Dove V b è la tensione a vuoto; la caratteristica di radiazione sarà il rapporto tra V b ed il suo valore max

23 Teorema di reciprocità n Se ora invece si pone al centro lantenna in ricezione (ora indicata come a) e si muove quella in trasmissione (b), la tensione a vuoto sarà n E la caratteristica di radiazione sarà n Tuttavia essendo Z 21 =Z 12, la caratteristica risulta la stessa

24 Altezza efficace In zona lontana sappiamo che il campo decresce come 1/r n Se nellantenna è possibile individuare facilmente dei morsetti ai quali si possa misurare una corrente di riferimento Io (come nelle antenne filiformi), si può porre n E la funzione vettoriale h (dimensionalmente una lunghezza) prende il nome di altezza efficace n Per il dipolo elementare o Hertziano, essendo Laltezza efficace sarà: n La caratteristica o laltezza efficace descrivono totalmente landamento angolare del campo irradiato

25 Altezza efficace in ricezione Consideriamo unantenna filiforme su cui incida perpendicolarmente unonda piana, con il campo elettrico polarizzato lungo lasse del filo n La tensione indotta nel gap dipende dal campo elettrico incidente ed è certamente proporzionale, così si può porre n h è laltezza efficace in ricezione Più in generale, se il campo incide con un angolo diverso da 90° e con polarizzazione arbitraria, sarà utile definire EiEi HiHi Il teorema di reciprocità consente di dimostrare che laltezza efficace in ricezione è uguale a quella precedentemente introdotta (in trasmissione)

26 Altezza efficace Noto il campo elettrico incidente sullantenna, laltezza efficace consente il calcolo della tensione ai capi del carico: infatti varrà il circuito equivalente Thevenin Laltezza efficace è poi facilmente legata alla direttività: infatti ZLZL ZLZL ZgZg

27 Fattore di Antenna (AF) Simile allaltezza efficace, ma consente il calcolo diretto della tensione indotta ai capi del carico, supposto noto (solitamente 50 Quindi non si misura ora la tensione a vuoto, ma quella con lantenna chiusa sul carico

28 Area efficace Quando lindividuazione di una corrente di riferimento non è semplice o è artificiosa (come nelle antenne ad apertura) si preferisce far riferimento alle potenze Si introduce allora una quantità che lega la densità di potenza incidente S i sullantenna con la potenza disponibile sul carico (condizione di massimo adattamento) P L : larea efficace A tale che Ora vale per la densità di potenza incidente Mentre per la massima potenza consegnata al carico Quindi Essendo Ri la parte reale dellimpedenza di ingresso dellantenna

29 Area efficace dove abbiamo definito Fattore di depolarizzazione o efficienza di polarizzazione, che varia tra 0 ed 1 Si noti però che così larea efficace dipende non solo dalle caratteristiche dellantenna, ma anche dalla polarizzazione del campo incidente Si è soliti quindi adottare come definizione il caso di efficienza 1 (in pratica massimo trasferimento di potenza e massima efficienza di polarizzazione) In tal modo la potenza ceduta ad un carico adattato risulta

30 Relazione tra Area Efficace e Guadagno Il guadagno abbiamo visto è il rapporto tra la densità di potenza irradiata in una direzione e la densità di potenza che irradierebbe se fosse isotropica e senza perdite ma sappiamo che il campo è legato allaltezza efficace da per cui il guadagno diventa

31 Relazione tra Area Efficace e Guadagno ricordando la relazione tra guadagno ed altezza efficace si ottiene limportantissima relazione

32 Implicazioni: Il collegamento radio Problema fondamentale: calcolo della potenza ricevuta P r dallantenna ricevente quando sia nota la potenza trasmessa dalla trasmittente P t Soluzione: formula del collegamento Antenna trasmittente Antenna ricevente Sia il guadagno dellantenna trasmittente allangolo con cui vede lantenna ricevente La densità di potenza che incide sullantenna ricevente è quindi

33 Implicazioni: Il collegamento radio Sia larea efficace dellantenna ricevente allangolo con cui vede lantenna trasmittente La potenza trasferita ad un carico adattato (in adattamento di polarizzazione) sarà Nel caso più generale in cui il collegamento non sia nello spazio libero, di introduce un fattore di attenuazione F

34 Antenne filiformi: sottile rettilinea Useremo la sovrapposizione degli effetti immaginando che lantenna sia la sovrapposizione di tanti dipoli elementari di lunghezza dz: il campo lontano risulta quindi dalla sovrapposizione di z +L -L dz r r' ' P supporremo di essere in campo lontano, cioè ed utilizziamo le approssimazioni introdotte allinizio della lezione

35 Antenne filiformi: sottile rettilinea ovvero Quindi Infine considereremo il vettore r circa parallelo ad r (e quindi circa ) Nel denominatore Nellesponenziale denominatore

36 Antenne filiformi: sottile rettilinea Se avessimo usato lespressione approssimata per il potenziale vettore? Ricordando Non sarebbe cambiato nulla: infatti..come prima...

37 Antenne filiformi: Osservazioni Possiamo definire, come fatto nel caso delle onde piane E riscrivere (visto che la corrente è non nulla solo sullantenna) E lintegrale risulta fondamentalmente una trasformata di Fourier della corrente: quindi il campo lontano è legato alla trasformata di Fourier della corrente

38 Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen Come determinare la corrente? Bisogna far riferimento al meccanismo con cui alimenteremo lantenna Immaginiamo di avere un generatore di tensione bilanciato, e di applicare tale tensione ad un taglio infinitesimo dellantenna Per quel che abbiamo detto parlando dellaltezza efficace, il campo elettrico applicato sarà l l 2a z Ipotizziamo poi, di nuovo, lantenna sottile, ovvero con rapporto 2l/a >150 In particolare, si è soliti introdurre un parametro definito parametro di snellezza che per unantenna sottile deve essere maggiore di 10

39 Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen In tali condizioni, potremo considerare tutta la corrente concentrata sullasse del cilindro Imponendo che il campo elettrico tangenziale sia nullo tranne che nel gap, dove vale quanto assegnato, si ottiene una equazione integrale (in cui la corrente è sotto il segno di integrale) Nellipotesi di antenna sottile (quindi anche il potenziale vettore orientato solo lungo z) ed usando le approssimazioni di campo lontano per il potenziale vettore, si ottiene una versione particolare dellequazione integrale, equazione integrale di Hallen La soluzione (approssimata) di tale equazione fornisce per la corrente con

40 Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen Si noti che limpedenza di ingresso dellantenna verrebbe puramente immaginaria! Come se non irradiasse del resto appare come limpedenza di ingresso di un tratto di linea in circuito aperto con impedenza caratteristica Questo avviene perché nellequazione di Hallen abbiamo usato le formule per il campo lontano, ed il risultato è unapprox accettabile per il campo lontano ma non per limpedenza di ingresso

41 Schematizzazione di unantenna Del resto possiamo immaginare lantenna come limite di una linea di trasmissione in circuito aperto fin tanto che i due conduttori sono vicini, leffetto delle correnti allesterno si cancella quando i conduttori si allontanano del campo viene irradiato, ma la distribuzione di corrente rimane simile (sinusoidale)


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