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OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008/2009. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 22 ELEMENTI DI GONIOMETRIA PQ=sen OQ cos RS=tg sen /cos O P Q R S.

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1 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008/2009

2 OLIMPIADI DI FISICA a.s ELEMENTI DI GONIOMETRIA PQ=sen OQ cos RS=tg sen /cos O P Q R S

3 OLIMPIADI DI FISICA a.s ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA CB = AC sen AB = AC cos CB = AB tg AB = BC tg A B C

4 OLIMPIADI DI FISICA a.s CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI (geometria euclidea) 1° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno rispettivamente congruenti due lati e langolo compreso. 2° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli. 3° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno congruenti i lati corrispondenti

5 OLIMPIADI DI FISICA a.s RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) Un triangolo rettangolo è completamente risolto se sono noti: 1.I due cateti 2.Un cateto e lipotenusa 3.Un cateto e un angolo acuto 4.Lipotenusa e un angolo acuto

6 OLIMPIADI DI FISICA a.s RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 1°; noti i due cateti r 2 =x 2 +y 2 y/x = tg = arctg y/x= tg -1 y/x x/y = tg = arctg x/y= tg -1 x/y A B C x y r

7 OLIMPIADI DI FISICA a.s RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 2°; noti un cateto e lipotenusa x 2 = r 2 - y 2 ; y 2 = r 2 - x 2 x = r cos x = r sen cos = sen = x/r = sen -1 x/r = cos -1 x/r A B C x y r

8 OLIMPIADI DI FISICA a.s RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 3°; noti un cateto e langolo acuto x = r cos r = x/ cos y/x = tg ; y= x tg A B C x y r

9 OLIMPIADI DI FISICA a.s RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 4°; noti lipotenusa e langolo acuto x = r cos y = r sen A B C x y r

10 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Con lavvento della fisica galileana viene abbanonata lidea della ricerca dellessenza della forza puntando lattenzione sugli effetti delle forze sui corpi materiali. Lintroduzione del concetto di forza ha come conseguenze: possibili deformazioni dei corpi vincolati moto non rettilineo e non uniforme

11 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Spesso lazione di una forza provoca delle deformazioni trascurabili rispetto allo spostamento, tale effetto porta ad introdurre il concetto di corpo rigido esteso (cioè un corpo le cui dimensioni spaziali variano in maniera trascurabile in seguito allazione della forza). Tale concetto è puramente astratto ma utile per trattare lequilibrio statico dei corpi.

12 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Inoltre, è necessario introdurre anche i concetti di corpo libero e corpo vincolato. Per corpo libero si intende un corpo che non ha alcuna limitazione direzionale legata al moto, mentre per corpo vincolato si intende un corpo a mobilità ridotta.

13 OLIMPIADI DI FISICA a.s

14 OLIMPIADI DI FISICA a.s AZIONE DI FORZE SU UN CORPO RIGIDO Nel caso in cui su un corpo rigido agiscono più forze esso si muoverà lungo la risultante F1F1 F2F2 FRFR

15 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Nel caso in cui la risultante F R fosse nulla il centro di massa del corpo rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme F i =0

16 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO La condizione F i =0 non è sufficiente a garantire lequilibrio del corpo rigido. Infatti applicando una coppia di forze (antiparallele, stesso modulo) il moto di rotazione del corpo subirà una variazione. F1F1 F2F2

17 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza La rotazione del corpo è dovuto al Momento M. Il modulo del momento rispetto ad un punto è dato dal prodotto del modulo della forza F per il braccio b. F O B b

18 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza Nel caso di un corpo esteso sottoposto allazione di una forza F che forma con il corpo un angolo con la sua direzione, si ha: M = F sen b F b

19 OLIMPIADI DI FISICA a.s EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo in quiete permanga in equilibrio statico sia rispetto alla traslazione sia rispetto alla rotazione, è: F i =0 M i =0 i = 1,2,3,4,5 ……. Equazioni cardinali della statica

20 OLIMPIADI DI FISICA a.s PROBLEMA 1 Un cubetto di massa m è poggiato sul piano orizzontale, sia inoltre il coefficiente di attrito statico con la superficie di contatto con il piano. Una sbarra di massa M=2m e di lunghezza l è incernierata ad una estremità A e forma un angolo con la perpendicolare al piano orizzontale, come mostrato in figura.figura Il contatto in B tra la sbarra e il cubetto, privo di attrito, si trova ad una distanza da A pari a 4/5 l. Trovare il coefficiente di attrito statico in funzione dellangolo, che permetta al sistema di mantenersi in quiete.

21 OLIMPIADI DI FISICA a.s Figura AB =4/5 l A B P F

22 OLIMPIADI DI FISICA a.s Applicazione equazioni cardinali l /2 Mg sen = F 4/5 l F cos = (mg + F sen ) M=2m F= 5/8 Mg sen mg sen F cos = (mg + F sen ) F= mg sen 5/4 mg sen cos = (mg + mg sen 2 ) 2°

23 OLIMPIADI DI FISICA a.s ………….. 5/4 mg sen cos = (mg + mg sen 2 ) 5/4 sen cos = (1 + 5/4 sen 2 ) =5 sen cos / ( sen 2 )

24 OLIMPIADI DI FISICA a.s Considerazioni…….. La relazione trovata per il coefficiente di attrito statico = 5 sen cos / ( sen 2 ) evidenzia: dipendenza solo dal rapporto tra le masse dellasta e del blocchetto; dipendenza dal rapporto della lunghezza l dellasta e del tratto AB e non dalla lunghezza l; indipendenza dalla forma del blocchetto (parallelepipedo); indipendenza da g.

25 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° caso Riscrivendo le precedenti equ. cardinaliequ. cardinali l /2 Mg sen = F 4/5 l F cos = (mg + F sen ) Per un generico rapporto tra le masse M/m= H Per un generico rapporto tra AB ed l AB/l=K Si ha:

26 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° caso l /2 Mg sen = F K l F cos = (mg + F sen ) AB/l=K M/m=H F= (Mg sen 2K F cos = (mg + F sen ) F= H mg sen 2K H/2K) mg sen cos = (mg + H/2K) mg sen 2 )

27 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° caso H/2K) mg sen cos = (mg + H/2K) mg sen 2 (H/2K) sen cos = (+ H/2K) sen 2 H sen cos / ( 2K + H sen 2 )

28 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° Lasciando inalterate tutte le precedenti condizioni, ma variando le dimensioni del blocchetto ci si troverebbe nella situazione della figura successiva …….

29 OLIMPIADI DI FISICA a.s °caso figura AB/l= 4/5 1 > cos 1 < cos Il coefficiente di spinta diminuisce A B 1

30 OLIMPIADI DI FISICA a.s °problema Tre cubetti di masse m 1,m 2,m 3 sono disposti su un piano inclinato come in figura. Siano 1, 2, 3 i coefficienti di attrito statico tra le superfici del piano inclinato e quelle dei tre blocchi rispettivamente, con 1 > 2 > 3. Trovare il valore dellangolo limite per cui lintero sistema si mantiene in condizioni statiche, in funzione dei coefficienti dattrito e delle masse. Trovare, inoltre, lespressione delle forze che si esercitano tra le pareti a contatto dei corpi.figura

31 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° problema …… figura 1 > 2 > F1F1 F2F2

32 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° problema Il sistema rimane statico finché il corpo 1 resta in quiete. Forza risultante sul cubetto 1 lungo il piano inclinato: m 1 g sen +F 1 – 1 m 1 g cos = 0 Poiché 1 > 2 > 3 i corpi 2 e 3 superano le condizioni limite prima del corpo 1. F 1 modulo della forza risultante su 1, lungo il piano, dovuta alla spinta di 2 e 3: F 1 = (m 2 +m 3 ) g sen – ( 2 m m 3 )g cos

33 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° problema Da cui: m 1 g sen +(m 2 + m 3 ) g sen – ( 2 m m 3 )g cos – 1 m 1 g cos = 0 (m 1 +m 2 + m 3 )sen – ( 1 m m m 3 ) cos =0 (m 1 +m 2 + m 3 )sen = ( 1 m m m 3 ) cos Da cui si ottiene: tg = ( 1 m m m 3 ) / (m 1 +m 2 + m 3 ) (media pesata sulle masse)

34 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° problema F 2 modulo della forza risultante tra i corpi 2,3: F 2 = m 3 g sen – 3 m 3 g cos Le condizioni di equilibrio per i tre corpi sono: ?????

35 OLIMPIADI DI FISICA a.s ° problema m 1 g sen + F 1 – 1 m 1 g cos m 2 g sen +F 2 –F 1 – 2 m 2 g cos m 3 g sen -F 2 – 3 m 3 g cos 1 2 3

36 OLIMPIADI DI FISICA a.s Considerazioni Affinché il sistema sia in equilibrio statico nel caso: a) 1 > 2 > 3 si deve avere (m 2 +m 3 ) g sen – F 1 – ( 2 m m 3 )g cos da cui F 1 (m 2 +m 3 ) g sen – ( 2 m m 3 )g cos Sostituendo in (*) m 1 gsen +(m 2 +m 3 )gsen –( 2 m m 3 )gcos – 1 m 1 gcos m 1 sen +(m 2 +m 3 )sen –( 2 m m 3 )cos – 1 m 1 cos (m 1 +m 2 +m 3 )sen –( 1 m m m 3 )cos tg ( 1 m m m 3 ) / (m 1 +m 2 + m 3 )

37 OLIMPIADI DI FISICA a.s Problema 2 Dalla condizione di equilibrio (*) m 1 g sen + F 1 – 1 m 1 g cos si ha F 1 =( 1 cos –sen m 1 g inoltre F 1 =(m 2 +m 3 ) g sen – ( 2 m m 3 )g cos Dalla (**) si ha: F 1 (sen – 2 cos m 2 g +F 2 sostituendo (m 2 +m 3 )sen –( 2 m m 3 )cos (sen – 2 cos m 2 +F 2 Dalla (***) si ha: F 2 = m 3 g sen – 3 m 3 g cos

38 OLIMPIADI DI FISICA a.s Considerazioni: b) Nel caso in cui 1 > 3 > 2 si possono presentare due sottocasi: b 1 ) i corpi 2 e 3 superano langolo limite prima del corpo 1 e si rientra così nel caso a) b 2 ) linsieme dei corpi 1 e 2 supera langolo limite prima del corpo 3.

39 OLIMPIADI DI FISICA a.s Considerazioni: m 2 g sen – 2 m 2 g cos m 1 gsen – 1 m 1 gcos m 1 +m 2 sen = ( 1 m m 2 ) cos tg = ( 1 m m 2 ) / (m 1 +m 2 ) Media pesata sulle masse m 1,m 2

40 OLIMPIADI DI FISICA a.s Considerazioni C) Nel caso in cui 2 > 3 > 1 il corpo 1 non risente delle azioni dei corpi 1 e 2 per cui: tg = 1

41 OLIMPIADI DI FISICA a.s Considerazioni d) Nel caso in cui 2 > 1 > 3 si possono presentare due sottocasi: d 1 ) linsieme dei corpi 2 e 3 supera langolo limite prima del corpo 1 e si rientra nel caso a) d 2 ) il corpo 1 supera langolo limite prima dellinsieme dei corpi 2 e 3 e si rientra nel caso c).

42 OLIMPIADI DI FISICA a.s Considerazioni e) Nel caso in cui 3 > 2 > 1 si rientra nel caso c) tg = 1 f) Nel caso in cui 3 > 1 > 2 linsieme dei corpi 1 e 2 supera la condizione limite prima del corpo 3 e si rientra nel caso b).

43 OLIMPIADI DI FISICA a.s Problema 3

44 OLIMPIADI DI FISICA a.s m1m1 m3m3 m2m2 x y d αβ m1m1 m3m3 m2m2 x y d αβ m1m1 m3m3 m2m2 x y d αβ m1m1 m3m3 m2m2 x y d αβ m1m1 m3m3 m2m2 x y d αβ m1m1 m3m3 m2m2 x y d αβ


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