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La discussione matematica Una macchina nuova Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche 11 novembre 2013Autori: R.

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1 La discussione matematica Una macchina nuova Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche 11 novembre 2013Autori: R. Garuti

2 Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche 11 novembre 2013Autori: R. Garuti

3 11 novembre 2013Autori: R. Garuti SCOPO: Riflettere sui propri processi di pensiero al fine di produrre una analisi a priori del problema che si propone agli studenti Individuare, per quanto possibile, i nodi cognitivi del problema proposto Orchestrare una discussione matematica

4 11 novembre 2013Autori: R. Garuti Lanalisi a priori È LANALISI CHE, A PRIORI, LINSEGNANTE DEVE FARE DEL PROBLEMA CHE PONE AGLI STUDENTI. Non sempre è completa, ma serve per avere elementi per guidare la discussione collettiva

5 11 novembre 2013Autori: R. Garuti Una discussione matematica è una polifonia di voci articolate su un oggetto matematica (concetto, problema, procedura, ecc) che costituisce un motivo dellattività di insegnamento apprendimento (Bartolini Bussi, 1995) DISCUSSIONE MATEMATICA

6 11 novembre 2013Autori: R. Garuti DISCUSSIONE MATEMATICA

7 11 novembre 2013Autori: R. Garuti Come è fatta la macchina? Cosa fa la macchina? Perché lo fa? Le tre fasi dellesplorazione

8 11 novembre 2013Autori: R. Garuti Lo sforzo è quello di descrivere i nostri processi esplorativi Parte pubblicaParte privata

9 11 novembre 2013Autori: R. Garuti AL LAVORO ( 20)

10 11 novembre 2013Autori: R. Garuti Simulazione della discussione 1 Come è fatta la macchina? - due punti fissi - due aste di uguale lunghezza - la distanza fra i due punti fissi è uguale alla lunghezza dellasta che congiunge le due aste che si incrociano - …… -……..

11 11 novembre 2013Autori: R. Garuti 2. Cosa fa la macchina? - dove si mettono le mine? - esploro una configurazione particolare (rettangolo) - esploro diverse configurazioni - sembra una ellisse (metodo giardiniere) - Ci sono anche due crf (compasso piano) - la macchina ha 1 solo grado di libertà, disegna una curva stabilita -…….

12 11 novembre 2013Autori: R. Garuti 3. Perché lo fa? -la caratteristiche dellellisse è: la somma delle distanze dai fuochi è costante. - AP+PB è costante -- come sono PD e PB?

13 11 novembre 2013Autori: R. Garuti 4. Cosa succederebbe se …? -Se sposto i due punti fissi ottengo sempre una ellisse? --se le aste non fossero uguali…?

14 11 novembre 2013Autori: R. Garuti ISTITUZIONALIZZAZIONE 1.Come si costruisce un antiparallelogramma Compasso di Van Schooten

15 11 novembre 2013Autori: R. Garuti Parallelogramma e antiparallelogramma

16 11 novembre 2013Autori: R. Garuti 2. Cosa fa Disegna una ellisse di fuochi O e A

17 11 novembre 2013Autori: R. Garuti 3. Perché lo fa? I triangoli ABC e ADC sono congruenti perché hanno tre lati congruenti (AC in comune e CB=AD perché aste congruenti e lo stesso per AB e CD congruenti per costruzione). Allora gli angoli ACB e DAC sono congruenti (corrispondenti nei due triangoli ) e quindi CPA è un triangolo isoscele. Quindi si può dire che PD e PB sono congruenti perché differenza di lati congruenti. Quindi AP+ PB= lunghezza asta AD che è costante. Dimostrare che AP+PD è costa nte

18 11 novembre 2013Autori: R. Garuti Diversi tipi di discussione A.Discussione di un problema A1. Discussione di soluzione (vedi semini A2 Discussione di bilancio (vedi tre cerchi) B. Discussione di concettualizzazione: cosè un numero pari, cosa è un grafico?

19 19 Disegna un cerchio di raggio 4 cm tangente ai cerchi dati [sono disegnati due cerchi di raggi 2 cm e 3 cm, con distanza tra i centri di 7 cm]. Spiega chiaramente il metodo che utilizzi in modo che altri possano usarlo. Spiega con cura perché il metodo funziona. paderno- VIII Un problema di costruzione geometrica Soluzione Metodo Giustificazione Es. DISCUSSIONE DI BILANCIO

20 20paderno- VIII 2009 Testi individuali utilizzati per il confronto durante la discussione matematica [ Canio] Ho aperto il compasso di 4 cm e ho cercato il punto adatto per poter combaciare i due cerchi con quello costruito dal sottoscritto. Ho unito i tre punti e ho trovato un triangolo. Il mio metodo funziona perché è stato fatto regolarmente, con tutti e tre i punti esatti. Procedimento per tentativi giustificato empiricamente. Soluzione

21 21paderno- VIII 2009 [Francesco] Procedimento:traccio una riga che passi da A e B partendo da A traccio un raggio che si prolunga al di fuori della circonferenza lungo 7 cm (somma dei raggi). Partendo da b traccio un raggio che oltrepassa la circonferenza che sia di 6 cm (somma dei due raggi). Sposto i raggi fino a trovare il loro punto di incontro che poi sarà il centro del cerchio tangente. Il mio metodo funziona perché la misura dei due segmenti è uguale alla somma dei due raggi e i punti di tangenza sono allineati con i centri. Il metodo si basa su considerazioni teoriche che però non si concretizzano nella soluzione con il compasso Metodo Giustificazione

22 22paderno- VIII 2009 [Annalisa] Per disegnare un cerchio di raggio 4 tangente agli altri due ho proceduto in questo modo ho unito con una retta A e C punto in C e apro il compasso della lunghezza della somma dei raggi (2+4=6) e traccio un archetto; punto in C e apro il compasso della somma dei raggi (4+3=7) e traccio un arco che si incroci con quello di prima; trovo così il punto B che sarà il centro del cerchio che devo costruire. Sono sicura che il cerchio che ho costruito è tangente perché AKB e CHB sono allineati e AK+KB=AB e CH+HB=CB Costruzione geometrica giustificata utilizzando proprietà note. Metodo Giustificazione Soluzione

23 23paderno- VIII ° Stralcio di discussione: i tentativi 1.P- Sono stati utilizzati metodi diversi ad esempio Canio ha usato un metodo…vuoi parlarne? 2.Canio- Io non ho usato un metodo, lho fatto a caso 3. P- sei sicuro? 4.Canio- proprio a caso no, sono andato per tentativi sempre più vicino 5. Simone- ma quello non è un metodo, perché non dice esattamente cosa fare 6. Francesco- anchio ho fatto per tentativi, ho aperto il compasso della somma dei raggi e spostavo le linee finchè non si toccavano. Quando si toccavano quello era il centro del cerchio tangente 7. P- Anche Canio apriva il compasso della somma dei raggi? 8. Canio- No, io non ci ho neanche pensato 9. Annalisa - Francesco va per tentativi perché muove i raggi finchè non si incontrano, però è diverso da Canio… […]...

24 26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio? 27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi 28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi. 29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto dincontro.. 2° Stralcio di discussione: lemergere della teoria Teoria 24paderno- VIII 2009

25 26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio? 27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi 28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi. 29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto dincontro.. 2° Stralcio di discussione: lemergere della teoria Teoria 25paderno- VIII 2009

26 3° Stralcio di discussione: labduzione 40- Giulio- io subito ho fatto come Canio, per tentativi poi, una volta disegnato ho trovato il metodo. 41- Voci- Anchio, anchio… 42-P- Spiegate meglio 43- Giulio- Ho fatto per tentativi, quando lho disegnato [il cerchio] ho collegato i tre centri e ho lavorato sulla lunghezza dei raggi.Giulio- 44- P- Cosa vuol dire? 45- Giulio- Ho misurato e ho visto che erano 4+2 e 4+3, allora ho capito che centrava la somma dei raggi 46- Annalisa- Io ho fatto uguale, però io ho usato il compasso 47- P- In che senso? 48 Annalisa- Prima lho disegnato a mano poi ho aperto il compasso tra i centri e ho misurato e ho visto che era la somma dei raggi e poi mi sono accorta che il punto nuovo doveva essere distante 7 dal primo centro e 6 cm dal secondo e allora ho pensato di usare il compasso prima da una parte e poi dallaltra per trovare quel punto Abduzione 26paderno- VIII 2009

27 52-P- Francesco ti dice niente, questo? 53- Francesco- Ecco come dare la giusta inclinazione ai due segmenti, col compasso! 4° Stralcio di discussione: lo strumento 27paderno- VIII 2009 Strumento

28 88- Federico- Io ho fatto come Sara e Annalisa però poi ho notato una cosa diversa.. posso venire alla lavagna? … 89.- Federico- ho tracciato questa linea che va dal centro del cerchio dato al centro di quellaltro dato, poi ho cercato di trovare con le perpendicolari la metà, ma non andava bene, allora ho pensato che in Tecnica ci aveva fatto fare la costruzione dei triangoli con il compasso e allora ho visto che con i tre cerchi ho tre linee e che quindi si tratta di un triangolo. 89-P- In altre parole tu hai ricondotto il nostro problema a un altro problema: come trovare il terzo vertice di un triangolo avendo due lati e la misura del terzo lato. 4°Stralcio di discussione: trasformazione Abduzione 28paderno- VIII 2009

29 29paderno- VIII 2009 METODO 1 Apri il compasso di r+r1 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del primo cerchio; 2 Apri il compasso di r+r2 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del secondo cerchio, 3 il punto di incontro è il cerchi del centro tangente GIUSTIFICAZIONE Il metodo funziona perché il centro del cerchio tangente ha una distanza dagli altri due centri uguale alla somma dei raggi (condizione di tangenza) ENUNCIATO Se il centro del cerchio disegnato è distante dal primo cerchio come la somma dei loro raggi e dal centro del secondo cerchio come la somma dei loro raggi, allora il cerchio disegnato è tangente agli altri due. Testo collettivo

30 Convegno UMI-CIIM Garuti30 Es. DISCUSSIONE DI SOLUZIONE Prima elementare 24 settembre F. Ferri

31 Convegno UMI-CIIM Garuti31 …continua

32 11 novembre 2013Autori: R. Garuti 1.ANALISI A PRIORI 2.PREDISPOSIZIONE DELLA DISCUSSIONE - SCELTA DEI PROTOCOLLI SE DISCUSSIONE DI BILANCIO - SCELTA DEL PROBLEMA SE DISCUSSIONE DI SOLUZIONE - SCELTA DEL CONCETTO SE DI CONCETTUALIZZAZIONE 3.GESTIONE DELLA DISCUSSIONE (regole, rispecchiamento,..) 4.ISTITUZIONALIZZAZIONE FASI

33 11 novembre 2013Autori: R. Garuti

34 11 novembre 2013Autori: R. Garuti

35 11 novembre 2013Autori: R. Garuti


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