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La discussione matematica

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Presentazione sul tema: "La discussione matematica"— Transcript della presentazione:

1 La discussione matematica
Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche La discussione matematica Una macchina nuova 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

2 Progetto regionale Scienze e tecnologie
Laboratorio delle macchine matematiche 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

3 Orchestrare una discussione matematica
SCOPO: Riflettere sui propri processi di pensiero al fine di produrre una analisi a priori del problema che si propone agli studenti Individuare, per quanto possibile, i nodi cognitivi del problema proposto Orchestrare una discussione matematica 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

4 L’analisi a priori È L’ANALISI CHE, A PRIORI, L’INSEGNANTE DEVE FARE DEL PROBLEMA CHE PONE AGLI STUDENTI. Non sempre è completa, ma serve per avere elementi per guidare la discussione collettiva 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

5 DISCUSSIONE MATEMATICA
Una discussione matematica è una polifonia di voci articolate su un oggetto matematica (concetto, problema, procedura, ecc) che costituisce un motivo dell’attività di insegnamento apprendimento (Bartolini Bussi, 1995) 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

6 DISCUSSIONE MATEMATICA
25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

7 Le tre fasi dell’esplorazione
Come è fatta la macchina? Cosa fa la macchina? Perché lo fa? 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

8 Lo sforzo è quello di descrivere i nostri processi esplorativi
Parte pubblica Parte privata 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

9 AL LAVORO ( 20’) 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

10 Simulazione della discussione
1 Come è fatta la macchina? - due punti fissi - due aste di uguale lunghezza - la distanza fra i due punti fissi è uguale alla lunghezza dell’asta che congiunge le due aste che si incrociano - …… -…….. 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

11 2. Cosa fa la macchina? - dove si mettono le mine?
- esploro una configurazione particolare (rettangolo) - esploro diverse configurazioni - sembra una ellisse (metodo giardiniere) - Ci sono anche due crf (compasso piano) - la macchina ha 1 solo grado di libertà, disegna una curva stabilita -……. 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

12 3. Perché lo fa? la caratteristiche dell’ellisse è: la somma delle distanze dai fuochi è costante. AP+PB è costante - come sono PD e PB? 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

13 4. Cosa succederebbe se …? Se sposto i due punti fissi ottengo sempre una ellisse? -se le aste non fossero uguali…? 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

14 ISTITUZIONALIZZAZIONE
Come si costruisce un antiparallelogramma Compasso di Van Schooten 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

15 Parallelogramma e antiparallelogramma
25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

16 2. Cosa fa Disegna una ellisse di fuochi O e A 25 marzo 2017
Autori: R. Garuti

17 3. Perché lo fa? Dimostrare che AP+PD è costante
I triangoli ABC e ADC sono congruenti perché hanno tre lati congruenti (AC in comune e CB=AD perché aste congruenti e lo stesso per AB e CD congruenti per costruzione). Allora gli angoli ACB e DAC sono congruenti (corrispondenti nei due triangoli ) e quindi CPA è un triangolo isoscele. Quindi si può dire che PD e PB sono congruenti perché differenza di lati congruenti. Quindi AP+ PB= lunghezza asta AD che è costante. 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

18 Diversi tipi di discussione
Discussione di un problema A1. Discussione di soluzione (vedi semini A2 Discussione di bilancio (vedi tre cerchi) B. Discussione di concettualizzazione: cos’è un numero pari, cosa è un grafico? 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

19 Es. DISCUSSIONE DI BILANCIO
1. Un problema di costruzione geometrica Disegna un cerchio di raggio 4 cm tangente ai cerchi dati [sono disegnati due cerchi di raggi 2 cm e 3 cm, con distanza tra i centri di 7 cm]. Spiega chiaramente il metodo che utilizzi in modo che altri possano usarlo. Spiega con cura perché il metodo funziona. Soluzione Metodo Giustificazione paderno- VIII 2009

20 Testi individuali utilizzati per il confronto durante la discussione matematica
[Canio] Ho aperto il compasso di 4 cm e ho cercato il punto adatto per poter combaciare i due cerchi con quello costruito dal sottoscritto. Ho unito i tre punti e ho trovato un triangolo. Il mio metodo funziona perché è stato fatto regolarmente, con tutti e tre i punti esatti. Procedimento per tentativi giustificato empiricamente. Soluzione paderno- VIII 2009

21 Metodo Giustificazione [Francesco]
Procedimento:traccio una riga che passi da A e B partendo da A traccio un raggio che si prolunga al di fuori della circonferenza lungo 7 cm (somma dei raggi) . Partendo da b traccio un raggio che oltrepassa la circonferenza che sia di 6 cm (somma dei due raggi). Sposto i raggi fino a trovare il loro punto di incontro che poi sarà il centro del cerchio tangente. Il mio metodo funziona perché la misura dei due segmenti è uguale alla somma dei due raggi e i punti di tangenza sono allineati con i centri. Il metodo si basa su considerazioni teoriche che però non si concretizzano nella soluzione con il compasso Metodo Giustificazione paderno- VIII 2009

22 Metodo Soluzione Giustificazione [Annalisa]
Per disegnare un cerchio di raggio 4 tangente agli altri due ho proceduto in questo modo ho unito con una retta A e C punto in C e apro il compasso della lunghezza della somma dei raggi (2+4=6) e traccio un archetto; punto in C e apro il compasso della somma dei raggi (4+3=7) e traccio un arco che si incroci con quello di prima; trovo così il punto B che sarà il centro del cerchio che devo costruire. Sono sicura che il cerchio che ho costruito è tangente perché AKB e CHB sono allineati e AK+KB=AB e CH+HB=CB Costruzione geometrica giustificata utilizzando proprietà note. Metodo Soluzione Giustificazione paderno- VIII 2009

23 1° Stralcio di discussione: i tentativi
1.P- Sono stati utilizzati metodi diversi ad esempio Canio ha usato un metodo…vuoi parlarne? 2.Canio- Io non ho usato un metodo, l’ho fatto a caso 3. P- sei sicuro? 4.Canio- proprio a caso no, sono andato per tentativi sempre più vicino 5. Simone- ma quello non è un metodo, perché non dice esattamente cosa fare 6. Francesco- anch’io ho fatto per tentativi, ho aperto il compasso della somma dei raggi e spostavo le linee finchè non si toccavano . Quando si toccavano quello era il centro del cerchio tangente 7. P- Anche Canio apriva il compasso della somma dei raggi? 8. Canio- No, io non ci ho neanche pensato 9. Annalisa - Francesco va per tentativi perché muove i raggi finchè non si incontrano, però è diverso da Canio… […]... paderno- VIII 2009

24 2° Stralcio di discussione: l’emergere della teoria
26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio? 27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi 28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi. 29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto d’incontro.. Teoria paderno- VIII 2009

25 2° Stralcio di discussione: l’emergere della teoria
26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio? 27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi 28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi. 29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto d’incontro.. Teoria paderno- VIII 2009

26 3° Stralcio di discussione: l’abduzione
40- Giulio- io subito ho fatto come Canio, per tentativi poi, una volta disegnato ho trovato il metodo. 41- Voci- Anch’io, anch’io… 42-P- Spiegate meglio 43- Giulio- Ho fatto per tentativi, quando l’ho disegnato [il cerchio] ho collegato i tre centri e ho lavorato sulla lunghezza dei raggi. 44- P- Cosa vuol dire? 45- Giulio- Ho misurato e ho visto che erano 4+2 e 4+3, allora ho capito che c’entrava la somma dei raggi 46- Annalisa- Io ho fatto uguale, però io ho usato il compasso 47- P- In che senso? 48 — Annalisa- Prima l’ho disegnato a mano poi ho aperto il compasso tra i centri e ho misurato e ho visto che era la somma dei raggi e poi mi sono accorta che il punto nuovo doveva essere distante 7 dal primo centro e 6 cm dal secondo e allora ho pensato di usare il compasso prima da una parte e poi dall’altra per trovare quel punto Abduzione paderno- VIII 2009

27 4° Stralcio di discussione: lo strumento
52-P- Francesco ti dice niente, questo? 53- Francesco- Ecco come dare la giusta inclinazione ai due segmenti, col compasso! Strumento paderno- VIII 2009

28 4°Stralcio di discussione: trasformazione
88- Federico- Io ho fatto come Sara e Annalisa però poi ho notato una cosa diversa.. posso venire alla lavagna? 89.- Federico- ho tracciato questa linea che va dal centro del cerchio dato al centro di quell’altro dato, poi ho cercato di trovare con le perpendicolari la metà, ma non andava bene, allora ho pensato che in Tecnica ci aveva fatto fare la costruzione dei triangoli con il compasso e allora ho visto che con i tre cerchi ho tre linee e che quindi si tratta di un triangolo. 89-P- In altre parole tu hai ricondotto il nostro problema a un altro problema: come trovare il terzo vertice di un triangolo avendo due lati e la misura del terzo lato. Abduzione paderno- VIII 2009

29 Testo collettivo METODO
1 Apri il compasso di r+r1 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del primo cerchio; 2 Apri il compasso di r+r2 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del secondo cerchio, 3 il punto di incontro è il cerchi del centro tangente GIUSTIFICAZIONE Il metodo funziona perché il centro del cerchio tangente ha una distanza dagli altri due centri uguale alla somma dei raggi (condizione di tangenza) ENUNCIATO Se il centro del cerchio disegnato è distante dal primo cerchio come la somma dei loro raggi e dal centro del secondo cerchio come la somma dei loro raggi, allora il cerchio disegnato è tangente agli altri due. paderno- VIII 2009

30 Convegno UMI-CIIM 23.10.2008 Garuti
Es. DISCUSSIONE DI SOLUZIONE Prima elementare 24 settembre F. Ferri Convegno UMI-CIIM Garuti

31 Convegno UMI-CIIM 23.10.2008 Garuti
…continua Convegno UMI-CIIM Garuti

32 FASI ANALISI A PRIORI PREDISPOSIZIONE DELLA DISCUSSIONE
- SCELTA DEI PROTOCOLLI SE DISCUSSIONE DI BILANCIO - SCELTA DEL PROBLEMA SE DISCUSSIONE DI SOLUZIONE - SCELTA DEL CONCETTO SE DI CONCETTUALIZZAZIONE GESTIONE DELLA DISCUSSIONE (regole, rispecchiamento,..) ISTITUZIONALIZZAZIONE 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

33 GRAZIE E BUON LAVORO! 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

34 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti

35 25 marzo 2017 Autori: R. Garuti


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