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MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni

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Presentazione sul tema: "MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni"— Transcript della presentazione:

1 MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni

2 Principali regimi finanziari Interesse semplice (sconto razionale) Sconto commerciale (capitalizzazione iperbolica) Interesse (e sconto) composto

3 Interesse semplice Nel regime dellinteresse semplice linteresse prodotto è proporzionale al capitale investito ed alla durata dellinvestimento => I(t)=αCt dove α è una costante >0 Posti C=1 e t=1 => I(1)= α, quindi α è linteresse prodotto nellunità di tempo da un capitale unitario => è un tasso dinteresse e quindi lo indicheremo con i => I(t)=iCt Dove i è il tasso dinteresse periodale riferito allunità di misura usata per t

4 Interesse semplice In funzione del tasso dinteresse periodale il tasso dinteresse corrispondente ad una operazione di durata t sarà i(t) = i t La legge di formazione del montante sarà M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it) E quindi il fattore di capitalizzazione r(t)=1+it

5 Interesse semplice Nel regime dellinteresse semplice interesse I e montante M hanno un andamento lineare rispetto al tempo => M=M(t)=C(1+it) I=I(t)=Cit C t 0

6 Interesse semplice Linteresse I(t) risulta non soltanto proporzionale al capitale impiegato C ma e anche funzione lineare di t e del tasso periodale I(i,C,t 1 +t 2 ) = iC(t 1 +t 2 ) = iCt 1 + iCt 2 = I(i,C,t 1 )+I(i,C,t 2 ) In generale I(i,C,kt)= k I(i,C,t) I(i 1 +i 2,C,t) = (i 1 +i 2 )Ct = i 1 Ct + i 2 Ct= I(i 1,C,t)+I(i 2,C,t) In generale I(ki,C,t)= k I(i,C,t)

7 Interesse semplice Tassi dinteresse equivalenti nel regime dellinteresse semplice: – Se si cambia lunità di misura del tempo cambia anche la determinazione del tasso periodale dinteresse i=it – Tassi periodali relativi alla stessa legge ma con riferimento a periodi diversi vengono detti equivalenti – Se tassi equivalenti vengono applicati allo stesso C per lo stesso tempo t danno luogo allo stesso interesse I – Es. i s =i a /2

8 Interesse semplice Tasso di sconto e fattore di attualizzazione – Il tasso di sconto d per una operazione di durata t sarà: – Possiamo scriverlo in termini del tasso periodale:

9 Interesse semplice Posto K il capitale disponibile al tempo t possiamo scrivere le relazioni per lo sconto D(t) ed il valore attuale P(t)

10 Interesse semplice Nel regime dellinteresse semplice lo sconto non ha un andamento lineare ma va come il rapporto tra due funzioni lineari => è detto sconto razionale D=D(t) P=P(t) K t

11 Interesse semplice Anche per il tasso di sconto d come per il tasso di interesse i, il valore dipende dallunità di misura utilizzata per il tempo => d relativi ad unità di tempo diverse si ottengono da:

12 Interesse semplice Capitalizzazione degli interessi – Nella pratica linteresse semplice si applica solo per brevi periodi – Linvestitore ha interesse a ridurre al minimo la durata dellinvestimento e reinvesti gli interessi maturati – Unoperazione di questo tipo prende il nome di capitalizzazione degli interessi => gli interessi vengono trasformati in capitale

13 Interesse semplice Abbiamo visto che per una operazione di durata t il montante prodotto è dato da C(1+it) Supponiamo di interrompere loperazione in un istante s

14 Interesse semplice C M st Capitalizzazione degli interessi nel punto s

15 Interesse semplice E quindi conviene fermare loperazione e reinvestire il nuovo capitale a disposizione Possiamo verificare che conviene dividere il tempo in intervalli uguali s=t/2 trovando il massimo della funzione

16 Interesse semplice Se è possibile dividere lintervallo di tempo n- 1 volte il vantaggio maggiore si ha per n intervalli uguali =>

17 Interesse semplice Se considero n molto grande fino a prendere il limite per n che tende ad infinito ottengo: Quando n tende ad infinito il montante M(t)=e it => cresce esponenzialmente. Prende il nome di capitalizzazione continua

18 Sconto commerciale Consideriamo il regime finanziario in cui d(t) = d t Con d(1) tasso di sconto periodale costante D(t)=K d t v(t) = 1 – dt P(t)= K v(t) = K (1-dt) In analogia con il caso precedente questo regime finanziario è anche detto dello sconto semplice o interesse anticipato semplice o sconto commerciale

19 Sconto commerciale Notiamo che in questo caso è lo sconto ad avere un andamento lineare con il tempo D=D(t)=Kdt P=P(t)=K(1-dt) K t 0 Avendo posto P(t)>0 esite un limite di applicabilità di questo regime => t1/d

20 Sconto commerciale Dalle definizioni appena date possiamo trovare il fattore di capitalizzazione r, il tasso dinteresse i =>

21 Sconto commerciale Allo stesso modo troviamo montante M(t) e interesse I(t) => Situazione simmetrica rispetto a quella dellinteresse semplice => legge di capitalizzazione iperbolica

22 Sconto commerciale M=M(t) I=I(t) C t 0 1/d

23 Sconto commerciale Capitalizzazione degli interessi – In questo caso la capitalizzazione degli interessi maturati è svantaggiosa per linvestitore, vediamo perché: – Questa volta la seconda equazione è minore della prima, infatti invertendo

24 Sconto commerciale I tassi equivalenti si ottengono da d(t)= d t esattamente come nel caso dellinteresse semplice


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