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Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris.

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Presentazione sul tema: "Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris."— Transcript della presentazione:

1 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris

2 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 2 Guido Buzzi-Ferraris Soluzione di sistemi non lineari

3 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 3 Guido Buzzi-Ferraris In che cosa consiste il problema della soluzione di sistemi non lineari? Esempio Trovare il valore di x, x s, che azzeri le due equazioni: Si supponga di avere un sistema di funzioni f(x) che dipendano da più variabili, x. Il problema della soluzione del sistema consiste nel trovare un valore di x, x s, che soddisfi il sistema: partendo dal punto di primo tentativo x 1 = 0, x 2 = 1

4 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 4 Guido Buzzi-Ferraris Quali e quanti programmi servono? Una sola equazione Più di unequazione Una sola soluzione, funzione continua ecc. Più soluzioni, funzione discontinua ecc. Una sola soluzione, funzione continua ecc. Moltissime equazioni Più soluzioni, funzione discontinua ecc. Programmi generali che sfruttano la struttura del sistema Metodi ad hoc

5 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 5 Guido Buzzi-Ferraris Programma basato sul teorema di Bolzano Il teorema di Bolzano afferma che per funzioni continue esiste almeno un punto di zero entro un intervallo t A t B ai cui estremi la funzione assume valori di segno opposto. tAtA tBtB y(t A ) < 0 y(t B ) > 0 y(t) t

6 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 6 Guido Buzzi-Ferraris Un intervallo t A t B ai cui estremi la funzione assume valori di segno opposto viene chiamato intervallo di incertezza. tAtA tBtB y(t A ) > 0 y(t B ) < 0 tAtA tBtB y(t B ) > 0 y(t A ) < 0 Quando si conosce un intervallo di incertezza può essere utilizzato un programma costituito da un algoritmo estremamente robusto (metodo del dimezzamento) e da vari algoritmi estremamente efficienti e anchessi implementati in modo da essere robusti (interpolazione).

7 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 7 Guido Buzzi-Ferraris Il metodo del dimezzamento è basato sul seguente fatto che deriva dal teorema di Bolzano: se si sa che t A t B è un intervallo di incertezza e la funzione viene calcolata in un punto t i interno a tale intervallo il nuovo intervallo di incertezza sarà t i t B quando y(t i ) ha lo stesso segno di y(t A ) oppure sarà t A t i quando y(t i ) ha lo stesso segno di y(t B ). tAtA titi tBtB tAtA y(t i ) ha lo stesso segno di y(t A ) perciò il nuovo intervallo di incertezza sarà t i t B. Sposto quindi t A in t i. titi y(t i ) ha lo stesso segno di y(t B ) perciò il nuovo intervallo di incertezza sarà t A t i. Sposto quindi t B in t i. tBtB

8 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 8 Guido Buzzi-Ferraris Il metodo del dimezzamento ottimizza la scelta del nuovo punto t i. Infatti se si sceglie il punto di mezzo dellintervallo di incertezza si rende minimo il massimo intervallo finale. Una scelta diversa potrebbe risultare migliore in alcune circostanze, ma peggiore in altre e perciò non sarebbe quella che minimizza il massimo intervallo finale.

9 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 9 Guido Buzzi-Ferraris Vantaggi del metodo del dimezzamento Svantaggi del metodo del dimezzamento Il metodo converge sempre alla soluzione. E il metodo più efficiente per funzioni non monotone ossia aventi massimi e minimi nellintervallo. Richiede la conoscenza di un intervallo di incertezza. Ha sempre la stessa efficienza indipendentemente dalla funzione considerata. Mentre ciò è un pregio per funzioni molto complicate risulta viceversa uno svantaggio con funzioni molto semplici. In particolare quando lintervallo di incertezza è molto piccolo spesso la funzione può essere ragionevolmente approssimata con una retta. E possibile sapere a priori il numero di iterazioni necessarie per ridurre di una assegnata percentuale lintervallo iniziale.

10 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 10 Guido Buzzi-Ferraris Metodi che approssimano la funzione con una più semplice Questi metodi utilizzano alcuni punti della funzione già calcolati per effettuare uninterpolazione esatta. Viene poi usato il modello che interpola esattamente la funzione per stimare il valore di t per cui essa si azzera.

11 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 11 Guido Buzzi-Ferraris I seguenti modelli sono possibili candidati Polinomio di primo grado: Polinomio di secondo grado: Funzione razionale di grado 1,1: Polinomio inverso di grado n: Funzione razionale inversa di grado n,m:

12 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 12 Guido Buzzi-Ferraris Metodo delle secanti Nel metodo delle secanti i due parametri del polinomio: vengono calcolati ad ogni iterazione i-esima utilizzando le ordinate di supporto y i e y i-1 nei punti t i e t i-1. Il polinomio nel punto t i diventa: Il polinomio rappresenta la secante fra i due punti t i-1 e t i. Esso si azzera per: che rappresenta la formula iterativa del metodo delle secanti.

13 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 13 Guido Buzzi-Ferraris titi t i+1 yiyi t i-1 y i-1

14 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 14 Guido Buzzi-Ferraris Metodo della regula falsi Nel metodo della regula falsi i due parametri del polinomio: vengono calcolati ad ogni iterazione i-esima utilizzando le ordinate di supporto y A e y B nei punti estremi dellintervallo di incertezza t A t B. Il polinomio diventa: Il polinomio rappresenta la secante fra i due punti t A e t B. Esso si azzera per: Se la funzione nel punto t i ha lo stesso segno che ha in t A il punto t A viene spostato in t i. Se viceversa la funzione nel punto t i ha lo stesso segno che ha in t B il punto t B viene spostato in t i.

15 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 15 Guido Buzzi-Ferraris tAtA titi yAyA tBtB yByB

16 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 16 Guido Buzzi-Ferraris Vantaggi del metodo della regula falsi Svantaggi del metodo della regula falsi La velocità di convergenza è minore di quella del metodo delle secanti. Il metodo della reguala falsi garantisce la convergenza alla soluzione. La velocità di convergenza è abbastanza buona (è anche in questo caso superlineare).

17 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 17 Guido Buzzi-Ferraris Un programma robusto è richiesto quando: 1. Non si conoscono due punti per cui y(tA)y(tB) < 0 2. Il problema ammette più soluzioni 3. La funzione non è calcolabile in qualche punto 4. La funzione non cambia segno nellintervallo.

18 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 18 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Si desidera trovare gli zeri della funzione: Nellintervalol t Min = 0 t Max = 7 La funzione non può essere calcolata qunado 720.+t*(-720.+(t-1.) *(360.+(t- 2.) * ( (t-3.)*(30.+(t-4.)*(-11.+t))))) è minore o uguale a 0 La funzione ha sei soluzioni entro lintervallo

19 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 19 Guido Buzzi-Ferraris

20 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 20 Guido Buzzi-Ferraris Anche in questo caso si deve trovare un metodo robusto ed uno efficiente e integrarli in modo opportuno.

21 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 21 Guido Buzzi-Ferraris


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