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CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R2 E R3.

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Presentazione sul tema: "CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R2 E R3."— Transcript della presentazione:

1 CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R2 E R3

2 Argomenti della lezione
Curve e loro lunghezza Integrali curvilinei.

3 CURVE E LORO LUNGHEZZA

4 Abbiamo già accennato alla nozione
di curva o arco di curva continua. Saremo ora un po’ più completi. Un’applicazione f: I  Rm , dove I è un intervallo di R e m = 2 o 3, si dice una curva continua se f è continua. Diremo che la curva è regolare se la funzione f è derivabile su I e se la norma del vettore derivata non è nulla in alcun punto di I.

5 D’ora in avanti useremo la lettera 
per indicare una curva. Dunque,  è una curva regolare se (t) è continua e |’(t)| > 0 per ogni t  I. (I) si dice il sostegno della curva. Dunque la nozione di curva o cammino è una nozione non solo geometrica, ma anche cinematica. Cioè teniamo conto della legge oraria con la quale si percorre un certo cammino.

6 Due curve o cammini possono
avere lo stesso sostegno, ma essere diverse: 1(t) = (cos t, sen t)T, t  I = [0,2π] e 2(t) = (cos2t, sen2t)T, t  I = [0,2π] hanno lo stesso sostegno, la circonferenza di centro l’origine e raggio 1, ma la seconda è percorsa due volte (a velocità doppia) nello stesso tempo.

7 Una curva si dice chiusa se, detto
I = [a,b], (a) =  (b); è detta semplice se da t1≠ t2 segue (t1) ≠  (t2) a meno che t1 e t2 non siano a e b. La restrizione di una curva ad un sottointervallo J di I si dice un arco di curva. Due archi sono consecutivi se sono esprimibili come due archi di curva definiti su intervalli con un estremo in comune. 1 e 2 sono consecutivi se 1 è definito

8 su [a,c] e 2 su [c,b] (o si possono
riparametrizzare in modo che ciò accada) e 1(c) = 2(c). 1 2 1(c) = 2(c) 1(a) 2(b)

9 Una curva è generalmente regolare
se esiste una decomposizione di I in un numero finito di punti t0 = a < t1 < .. < tn = b tale che la restrizione a ogni sottointervallo [tk-1, tk] è regolare. Diremo che due curve 1(t) e 2(t) definite sugli intervalli I1 e I2 rispettivamente, sono equivalenti se esiste un’applicazione h: I1  I2 tale che: (1) h(I1) = I2 ; (2) h è di

10 classe C1(I) e h’(t) > 0; (3) 1= 2  h.
Due curve equivalenti si dice che differiscono per la rappresentazione parametrica. Ogni intervallo ha due versi naturali d’orientazione e così ogni curva. Se  : [a,b]  Rm è una curva assegnata - : [-b,-a]  Rm è la curva orientata in verso opposto. Fra i vari tipi di curve considereremo, in particolare, i segmenti di retta

11 congiungenti due punti x e y di Rm.
(t) = (x1 + (y1 - x1)t, x2 + (y2 - x2)t)T, t  I = [0,1], se m = 2. Diciamo ora che cosa intendiamo per lunghezza di una curva. Data  : [a,b]  Rm , consideriamo la decomposizione  = {t0 = a < t1 < .. < tn = b} di [a,b]. Consideriamo la poligonale P data dall’unione dei segmenti di retta congiungenti i

12 punti (t0) = (a) e (t1); (t1) e (t2);
… ; (tn-1) e (tn) = (b). La lunghezza della poligonale P è data da n ( P ) ( t ) ( t ) l = å g - g k k - 1 k = 1 Nel caso m = 3, osserviamo che

13 Diremo lunghezza della curva  l’ estremo superiore delle lunghezze
| g ( t k ) - 1 = i 3 å x 2 Diremo lunghezza della curva  l’ estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte alla curva stessa se tale estremo è finito. In tale caso la curva si dice rettificabile l ( g ) = sup{ P : d e o t a }

14

15 La figura precedente rappresenta una
curva di R3 e una poligonale ad essa inscritta. Può accadere che sia l( )= +∞ anche per curve aventi sostegno limitato in R3. 0 se t = 0, Se y(t) = tsen(1/t) se t≠ 0 Allora (t)=(t,y(t))T è un esempio in cui l( )= +∞.

16 Il seno del topologo

17 Si può dimostrare che se  = 1 + 2
ossia se l’arco  è ottenuto dall’unione degli archi consecutivi 1 e 2 , allora l() = l(1) + l(2). Inoltre la lunghezza non dipende dalla rappresentazione parametrica. Per trattare in modo preciso il problema della lunghezza delle curve e, in generale, l’integrale di funzioni a valori vettoriali, conviene ricordare che l’integrale di Riemann si può

18 å f m ( I ) , l £ L presentare come limite di somme
(essendo la nozione di limite intesa in modo opportuno). Precisamente, accanto alla somme integrali inferiori e superiori si possono considerare le somme che diremo di Riemann f a m ( I ) å , l L Si può dimostrare che f: I  R è R- integrabile se e solo se   ,    tale che se diam() <  allora

19 ò å ò å l i m f I = | f d m - ( ) < e
a ( ) < e å Questo fatto si esprime dicendo che l i m d a ( ) f I = ò å Vale un risultato più generale, che ci sarà utile nel calcolo della lunghezza degli archi di curva generalmente regolari

20 ò å l i m f + e I = Supponiamo che, in corrispondenza
ad ogni multi indice  sia dato un numero a in modo da essere uniformemente limitato:   ,    tale che se diam() <  allora |a| <  . Allora si ha l i m d a ( ) f + e I = ò å “Principio di Duhamel”

21 (Rettificazione delle curve regolari)
Teorema (Rettificazione delle curve regolari) Se  : [a,b]  Rm è regolare, allora l ( g ) = | t d a b ò

22 å å = [ ¢ x ( t )] - ) = [ ¢ x ( t )] - ) +eik
Infatti ogni singolo lato della poligonale misura | g ( t k ) - 1 = i 3 å x 2 = [ x i 1 3 å ( t ik )] 2 k - ) = [ x i 1 3 å ( t k )] 2 - ) + +eik

23 ò | ¢ g ( t ) d Ciò vale per l’uniforme continuità di
xk’(t) su [a,b], avendo tenuto conto del teorema di Lagrange su ogni intervallo [tk-1,tk]. Allora, per il principio di Duhamel: l ( g ) = i m d a x t k 2 1 3 å + e )( - n | g a b ò ( t ) d =

24 Una formula analoga vale per le curve generalmente regolari
Esempi 1) Lunghezza dell’arco di circonferenza: x = r cos t, y = r sen t ; s() = ∫√(x’2 + y’2) du = r , 0≤  ≤ 2π

25 ò ( r p ) d t r p t + = + 2) Lunghezza dell’arco di elica
cilindrica: x = r cos t, y = r sen t, z = p t; s ( t ) = x 2 u + y z ò d t ò ( r p ) d t r p t 2 + 2 = 2 + 2

26 Se la curva è data in forma cartesiana y = f(x), con f e f’ continue
s(x) = ∫√(1 + f’2(t))dt a x La lunghezza d’arco è un parametro molto conveniente per la rappresentazione delle curve

27 d s x ( t ) y ( t ) z ( t ) = ¢ + ¢ + ¢ d t Infatti e quindi, poiché d
2 2 2 = + + d t e quindi, poiché d x s = t × , y z

28 ¢ x ( s ) + y z = 1 Cioè ’(s) è il versore tangente alla
2 ( s ) + y z = 1 Cioè ’(s) è il versore tangente alla curva nel punto di coordinata lunghezza d’arco s.

29 INTEGRALI CURVILINEI.

30 Se  : I = [a,b]  Rm è una curva regolare, f: A  Rm  R è una
funzione continua definita su un aperto A che contiene il sostegno della curva e w(t): I  R è una funzione di classe C1(I), definiremo f d w = ( x t ), y z )) ) a b ò g

31 ò ò si dice l’integrale curvilineo esteso
f d w g ò si dice l’integrale curvilineo esteso alla curva  di f rispetto al peso w. In particolare f d s = ( x t ), y z )) | g ) a b ò f d x = ( t ), y z )) ) a b ò g ed espressioni simili in dy e dz

32 ò f , d g = ( t )), ¢ ) Si definiranno anche ò e dove f = (f1,f2,f3)T
x + g ò 2 y 3 z ) = e f , d g = ( t )), ) a b ò dove f = (f1,f2,f3)T

33 ò f , d g = ( t )), ¢ ) L’integrale di linea
b ò permette di calcolare il lavoro di una forza f, lungo un cammino  Invece l’integrale f d s = ( x t ), y z )) | g ) a b ò

34 permette di calcolare l’area del
cilindro delimitato dalla curva  sul piano x y e dalla superficie z = f(x,y) z = f(x,y)

35 Si verifica facilmente che l’integrale
curvilineo è lineare rispetto alla funzione f e al peso w; che cambia segno invertendo il verso del cammino e che è additivo su archi consecutivi Esempi 1) Si calcoli l’area del cilindro delimitato da f(x,y) = y2 e dalla semicirconferenza x = cos t, y = sen t, π ≤ t ≤ 2π (π/2)

36 ò f , d g = ( t )), ¢ ) 2) Si calcoli il lavoro
b ò dove f(x,y) = (x exp(y) +log x, arctg y + x2/2 exp(y) )T per x > 0 e (t) = (2 + sen t, t)T per 0 ≤ t ≤ 2π (0)


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