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CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R 2 E R 3. Argomenti della lezione Curve e loro lunghezza Curve e loro lunghezza Integrali curvilinei. Integrali curvilinei.

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1 CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R 2 E R 3

2 Argomenti della lezione Curve e loro lunghezza Curve e loro lunghezza Integrali curvilinei. Integrali curvilinei.

3 CURVE E LORO LUNGHEZZA

4 Abbiamo già accennato alla nozione di curva o arco di curva continua. Saremo ora un po più completi. Unapplicazione f: I R m, dove I è un intervallo di R e m = 2 o 3, si dice una curva continua se f è continua. Diremo che la curva è regolare se la funzione f è derivabile su I e se la norma del vettore derivata non è nulla in alcun punto di I.

5 Dora in avanti useremo la lettera Dora in avanti useremo la lettera per indicare una curva. Dunque, per indicare una curva. Dunque, è una curva regolare se (t) è continua e |(t)| > 0 per ogni t I. (I) si dice il sostegno della curva.(I) si dice il sostegno della curva. Dunque la nozione di curva o cammino è una nozione non solo geometrica, ma anche cinematica. Cioè teniamo conto della legge oraria con la quale si percorre un certo cammino.

6 Due curve o cammini possono avere lo stesso sostegno, ma essere diverse: 1 (t) = (cos t, sen t) T, t I = [0,2π] 1 (t) = (cos t, sen t) T, t I = [0,2π] e 2 (t) = (cos2t, sen2t) T, t I = [0,2π] 2 (t) = (cos2t, sen2t) T, t I = [0,2π] hanno lo stesso sostegno, la circonferenza di centro lorigine e raggio 1, ma la seconda è percorsa due volte (a velocità doppia) nello stesso tempo.

7 Una curva si dice chiusa se, detto I = [a,b], (a) = (b); è detta semplice se da t 1 t 2 segue (t 1 ) (t 2 ) a meno che t 1 e t 2 non(t 1 ) (t 2 ) a meno che t 1 e t 2 non siano a e b. La restrizione di una curva ad un sottointervallo J di I si dice un arco di curva. Due archi sono consecutivi se sono esprimibili come due archi di curva definiti su intervalli con un estremo in comune. 1 e 2 sono consecutivi se 1 è definito 1 e 2 sono consecutivi se 1 è definito

8 su [a,c] e 2 su [c,b] (o si possono riparametrizzare in modo che ciò accada) e 1 (c) = 2 (c) (c) = 2 (c) 1 (c) = 2 (c) 1 (a) 1 (a) 2 (b) 2 (b)

9 Una curva è generalmente regolare se esiste una decomposizione di I in un numero finito di punti t 0 = a < t 1 <.. < t n = b tale che la restrizione a ogni sottointervallo [t k-1, t k ] è regolare. Diremo che due curve 1 (t) e 2 (t) definite sugli intervalli I 1 e I 2 rispettivamente, sono equivalenti se esiste unapplicazione h: I 1 I 2 tale che: (1) h(I 1 ) = I 2 ; (2) h è di

10 classe h(t) > 0 1 = 2 h. classe C 1 (I) e h(t) > 0; (3) 1 = 2 h. Due curve equivalenti si dice che differiscono per la rappresentazione parametrica. Ogni intervallo ha due versi naturali dorientazione e così ogni curva. Se : [a,b] R m è una curva assegnata - : [-b,-a] R m è la curva orientata in verso opposto. Fra i vari tipi di curve considereremo, in particolare, i segmenti di retta

11 congiungenti due punti x e y di R m. (t) = (x 1 + (y 1 - x 1 )t, x 2 + (y 2 - x 2 )t) T,(t) = (x 1 + (y 1 - x 1 )t, x 2 + (y 2 - x 2 )t) T, t I = [0,1], se m = 2. Diciamo ora che cosa intendiamo per lunghezza di una curva. Data : [a,b] R m, consideriamo la decomposizione = {t 0 = a < t 1 <.. < t n = b} di [a,b]. Consideriamo la poligonale P data dallunione dei segmenti di retta congiungenti i

12 punti (t 0 ) = (a) e (t 1 ); (t 1 ) e (t 2 ); … ; (t n-1 ) e (t n ) = (b). La lunghezza della poligonale P è data da n (P) (t k ) (t k 1 ) k 1 Nel caso m = 3, osserviamo che

13 | (t k ) (t k 1 )| i 1 3 (x i (t k ) x i (t k 1 )) 2 Diremo lunghezza della curva l estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte alla curva stessa se tale estremo è finito. In tale caso la curva si dice rettificabile ( ) sup{ (P):Pdedottada }

14

15 La figura precedente rappresenta una curva di R 3 e una poligonale ad essa inscritta. Può accadere che sia l( )= + anche per curve aventi sostegno limitato in R 3. Se y(t) = 0 se t = 0, tsen(1/t) se t 0 Allora (t)=(t,y(t)) T è un esempio in cui l( )= +.

16 Il seno del topologo

17 Si può dimostrare che se = ossia se larco è ottenuto dallunione degli archi consecutivi 1 e 2, allora l() = l( 1 ) + l( 2 ). Inoltre la lunghezza non dipende dalla rappresentazione parametrica. Per trattare in modo preciso il problema della lunghezza delle curve e, in generale, lintegrale di funzioni a valori vettoriali, conviene ricordare che lintegrale di Riemann si può

18 presentare come limite di somme (essendo la nozione di limite intesa in modo opportuno). Precisamente, accanto alla somme integrali inferiori e superiori si possono considerare le somme che diremo di Riemann f m(I ),l f L Si può dimostrare che f: I R è R- integrabile se e solo se, integrabile se e solo se, tale che se diam() < allora

19 |fdm I f m(I )| Questo fatto si esprime dicendo che lim diam( ) 0 f m(I ) fdm I Vale un risultato più generale, che ci sarà utile nel calcolo della lunghezza degli archi di curva generalmente regolari

20 Supponiamo che, in corrispondenza ad ogni multi indice sia dato un numero in modo da essere uniformemente limitato:, tale che se diam() <, tale che se diam() < allora | | <. Allora si ha lim diam( ) 0 (f )m(I ) fdm I Principio di Duhamel

21 Teorema (Rettificazione delle curve regolari) ( ) | (t)|dt a b Se : [a,b] R m è regolare, allora

22 Infatti ogni singolo lato della poligonale misura | (t k ) (t k 1 )| i 1 3 (x i (t k ) x i (t k 1 )) 2 [ x i i 1 3 ( ik )] 2 (t k t k 1 ) 2 [ x i i 1 3 ( t k )] 2 (t k t k 1 ) + + ik ( )

23 Ciò vale per luniforme continuità di x k (t) su [a,b], avendo tenuto conto del teorema di Lagrange su ogni intervallo [t k-1,t k ]. Allora, per il principio di Duhamel: ( ) lim diam( ) 0 ( x i (t ik ) 2 i 1 3 ik )(t k k 1 n t k 1 ) | a b (t)|dt

24 Una formula analoga vale per le curve generalmente regolari Esempi 1) Lunghezza dellarco di circonferenza: x = r cos t, y = r sen t ; s() = (x 2 + y 2 ) du = r, 0 2π 0

25 2) Lunghezza dellarco di elica cilindrica: x = r cos t, y = r sen t, z = p t; s(t) ( x 2 (u) y 2 (u) z 2 (u) 0 t du (r 2 p 2 ) 0 t dt r 2 p 2 t

26 Se la curva è data in forma cartesiana y = f(x), con f e f continue s(x) = (1 + f 2 (t))dt a x La lunghezza darco è un parametro molto conveniente per la rappresentazione delle curve

27 Infatti ds dt x 2 (t) y 2 (t) z 2 (t) e quindi, poiché dx ds dx dt dt ds, dy ds dy dt dt ds, dz ds dz dt dt ds

28 x 2 (s) y 2 (s) z 2 (s) 1 (s) Cioè (s) è il versore tangente alla curva nel punto di coordinata lunghezza darco s.

29 INTEGRALICURVILINEI.

30 Se : I = [a,b] R m è una curva regolare, f: A R m R è una funzione continua definita su un aperto A che contiene il sostegno della curva e w(t): I R è una funzione di classe definiremo funzione di classe C 1 (I), definiremo fdw f(x(t),y(t z(t)) w(t)dt a b

31 fdw si dice lintegrale curvilineo esteso alla curva di f rispetto al peso w. In particolare fds f(x(t),y(t z(t))| (t)|dt a b fdx f(x(t),y(t z(t)) x(t)dt a b ed espressioni simili in dy e dz

32 Si definiranno anche (f 1 dx f 2 dy f 3 dz) f 1 dx f 2 dy f 3 dz e dove f = (f 1,f 2,f 3 ) T f,d f( (t)), (t) a b dt

33 f,d f( (t)), (t) a b dt Lintegrale di linea permette di calcolare il lavoro di una forza f, lungo un cammino di una forza f, lungo un cammino Invece lintegrale fds f(x(t),y(t z(t))| (t)|dt a b

34 permette di calcolare larea del cilindro delimitato dalla curva cilindro delimitato dalla curva sul piano x y e dalla superficie z = f(x,y)

35 Si verifica facilmente che lintegrale curvilineo è lineare rispetto alla funzione f e al peso w; che cambia segno invertendo il verso del cammino e che è additivo su archi consecutivi Esempi 1) Si calcoli larea del cilindro delimitato da f(x,y) = y 2 e dalla semicirconferenza x = cos t, y = sen t, π t 2π (π/2)

36 2) Si calcoli il lavoro f,d f( (t)), (t) a b dt dove f(x,y) = (x exp(y) +log x, arctg y + x 2 /2 exp(y) ) T per x > 0 e (t) = (2 + sen t, t) T per 0 e (t) = (2 + sen t, t) T per 0 t 2π (0)


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