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DETERMINISMO E CAOS 1 Stava piovendo, una mattinata uggiosa, nordeuropea. Venivano giù con la macchina, lei e Michele, per la via Gregorio VII. La cupola.

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1 DETERMINISMO E CAOS 1 Stava piovendo, una mattinata uggiosa, nordeuropea. Venivano giù con la macchina, lei e Michele, per la via Gregorio VII. La cupola di San Pietro si fece visibile appena passato il ponte di porta Cavalleggeri. Hai mai visto, domandò Sara, secchi accanto al baldacchino di Gian Lorenzo Bernini, o bagnato sul pavimento, sotto la cupola?. Non sono un campione significativo, perché la statistica delle mie visite alle chiese è bassa. Però, ti devo dire che non mi sembra.

2 DETERMINISMO E CAOS 2 La rue de Rivoli, le venne in mente, e il rituale delle visite al Louvre. Giornate quasi sempre piovose. Hai presente, al Luovre, lingresso nuovo al museo? domandò. La biglietteria è sotto al cortile, dove sono le piramidi di Jeoh Ming Pei, si affrettò a precisare lui. Perfetto, aggiunse Sara, È lì, sotto le piramidi, che ho visto secchi dacqua poggiati per terra a raccogliere copiosa acqua piovana … Eppure, continuò Sara, le maestranze della Fabbrica di San Pietro non possedevano i mezzi tecnici del gruppo di Jeoh Ming Pei, che ha realizzato quelle piramidi, né avevano conoscenza dei modelli matematici per sostenere la progettazione. A rigore, in tal senso … Mi vuoi dire che le piramidi di cristallo dovrebbero resistere allacqua meglio che non le finestre sulla cupola Ti volevo dire …

3 DETERMINISMO E CAOS 3 Eh, ma lo sai come la penso, no? Sosteneva Michele, che le formule delle leggi fisiche o i modelli matematici di alcuni fenomeni, che spesso sono frutto di pregevoli intuizioni, e si prestano spesso a dare supporto alla comprensione del mondo, talvolta possono fallire. Perché qualcuno, nel modellizzare, dimentica che la natura non ha nessun obbligo di seguire formule o modelli, e non tiene nel dovuto conto i segni nelle cose, per scoprire meglio i principi che le regolano. È una iattura, continuò Michele a sostegno della sua tesi, che il modello matematico dei moti pendolari, produca soluzioni che forniscono comunque il comportamento delloscillatore, qualunque sia la scelta dei valori dei parametri da cui dipende Sarebbe a dire? … A priori non cè nessuna necessità che la stessa legge, spieghi tutti i casi. Potrebbe succedere che, scegliendo un caso specifico, si dovesse prendere un modello particolare, legato a quella scelta

4 DETERMINISMO E CAOS 4 Ma non è che una legge è tale, quando spiega un fenomeno nella sua globalità? Si, finché il gioco vale la candela. Stressando questo concetto, allora, si dovrebbe avere ununica legge per tutta la natura Ah … E allora? Meglio due leggi semplici per due casi differenti, che una legge complicata per tutte due i casi … È bello sentirti dire, continuò Sara entrando, che conoscere le formule non ti dà nessun senso di potere, ma ti crea, piuttosto, limbarazzo di far attenzione a usare quella giusta … Mi spieghi?

5 Fig. 1 Tracciati delle soluzioni del problema lineare y(t) = y(t), y(t) =h e t -1 0 t 1 y = 3 e t Linea nulla, evoluzione statica Linee esponenziali, evoluzione a trend positivo

6 DETERMINISMO E CAOS 5 Riferendosi alla figura appena mostrata, Questo è il tracciato delle soluzioni di un modello lineare. … disse Michele. La legge di Malthus …, continuò, che descrivere levoluzione di un campione di popolazione, basandosi sul principio che il suo accrescimento sia proporzionale alla sua numerosità …. E questi?, interrogò Sara. Si trattava di numerose curve flessuose ascendenti, e, sotto, il disegno con altre curve. Una selezione, si sarebbe detto, di quelle di sopra. In più cerano aree retinate. Sono i tracciati delle soluzioni di un modello non lineare …, rispose lui. Quelle mostrate nella pagina che segue.

7 Fig. 2 Tracciati delle soluzioni del modello non lineare y(t) = y(t) 2/3, y(t) = (t+c) 3 sono evidenziate col celeste le aree degli scenari ammissibili del ritorno al passato o dellevoluzione (o ritorno) al futuro, Soluzione statica (nulla): interseca tutti gli altri tracciati Asse del tempo Soluzioni con trend positivo

8 DETERMINISMO E CAOS 6 Mi sembra, a guardare, tutta unaltra cosa … Eh no. Il modello lineare si scrive y(t) = y(t), e si legge, laccrescimento al tempo t, cioè la derivata, è proporzionale alla popolazione in quello stesso momento. Quello non lineare si scrive dando alla y(t) un esponente frazionario, uguale ad un numero pari diviso per il suo successivo; 2/3, 4/5. Capisci. Se prendi un milione diviso per un milione e uno, è praticamente uguale ad uno …

9 DETERMINISMO E CAOS 7 Ma i tracciati delle soluzioni sembrano molto diversi … Si, lo sono. E, di più, cè una particolarità che dà la differenza concettuale Sarebbe? I tracciati delle soluzioni del modello lineare, compresa la funzione nulla, ossia lasse orizzontale, non hanno alcuna intersezione tra di loro. Nel caso non lineare, invece, tutte le curve incontrano la soluzione nulla E questo fa la differenza? … Certamente … E allora, la differenza? Per esempio, il modello lineare non prevede né il caso di una popolazione che si formi da zero, né quello di una che si estingua. Casi che esistono in natura. Il modello non lineare li contempla entrambi. E poi, cè un altro fatto …, e Michele si fermò. Poi passò a unaltra pagina, doverano disegnati dei tridenti, così poteva sembrare, con alcun annotazioni.

10 Fig. 3 Punti di biforcazione numerosità ammissibili nel passato, tempo decrescente numerosità ammissibili nel futuro, tempo crescente biforcazione

11 DETERMINISMO E CAOS 8 Tridenti? chiese infatti lei. Punti di biforcazione …, precisò lui È vero, cè scritto … Lui continuò, Come vedi, in ognuna delle intersezioni, il modello può scegliere tra due cammini: continuare a esser nullo o decollare in su. E così, se vuoi fare unestrapolazione al passato, salvo il problema formale di dare significato alla parte negativa delle curve, non potresti decidere se la popolazione sia stata sempre nulla o se provenga invece da una quantità significativa, diversa da zero. … E poi …. Qui Michele si fermò.

12 DETERMINISMO E CAOS 9 E poi? E poi, allora, se si potesse andare indietro nel tempo … Come, indietro nel tempo? … Michele tornò al foglio con i tracciati del modello lineare. Vedi?, e cominciò a fare segni con le dita, se torni indietro nel tempo, puoi conoscere la consistenza numerica della popolazione in ogni istante del passato. E se poi si ritorna al futuro fino al momento da cui si è partiti, si ritrova la stessa popolazione lasciata. Cioè la stessa consistenza numerica. Michele ebbe qualche attimo di perplessità, ma continuò, Questo è forse quanto ci si aspetterebbe da un viaggio nel tempo. Che si potesse, con qualche mezzo o supporto, riandare a qualche episodio del proprio passato o a verificare la veridicità della storia scritta, e che poi, soddisfatti o no, si potesse tornare nella situazione di partenza. Ritornò alla seconda pagina delle figure, quella con le aree retinate, e cominciò anche qui a fare segni con le dita.

13 DETERMINISMO E CAOS 10 Qui, se torni indietro, quando incontri il primo punto di biforcazione, puoi scegliere se scendere o no. Insomma, puoi raggiungere un punto qualunque dellarea retinata. E così quando ritorni in avanti, dopo la prima biforcazione, puoi scegliere se salire o no. In somma puoi raggiungere ogni punto dellarea retinata, qui, nella figura di destra. E se metti insieme le due cose … Zitto. Non me lo dire. Forse ho capito. Con opportuni viaggi nel tempo puoi passare da un qualunque punto del passato a un qualunque punto del futuro. È così? Proprio così. Questo, capisci, è lo scenario che il viaggio nel tempo potrebbe offrire nella realtà, e che verosimilmente contrasta con i desideri dei più. La conclusione, così era stata in grado di esporre Sara, era dunque che a un certo momento si potrebbe, attraverso un viaggio nel tempo, raggiungere, secondo regole a lei sconosciute, un qualunque altro momento. E però, il modello non garantirebbe né che si ritroverebbero nel passato passaggi noti, né che, ritornando al futuro, si ritroverebbe la situazione lasciata.

14 DETERMINISMO E CAOS 11 Messa così …, concluse Michele, quale dei due modelli è, secondo te, quello più aderente alla realtà del fenomeno dellevoluzione? Te lo devo dire proprio io? No. Dimmi invece sotto lipotesi di quale modello, saresti disposta a tentare lavventura di un viaggio nel tempo ….

15 DETERMINISMO E CAOS 12 U n modello caotico, avrebbe dire Michele. Cioè che non esprime una legge deterministica. Ma anche qui, ma se lo tenne per sé, si potrebbe migliorare. Introducendo altre variabili, cioè modellizzando il fenomeno dando evidenza ad altre circostanze, si potrebbe arrivare a una legge. Ad un fenomeno deterministico. E dunque si potrebbe fare avanti e indietro nel tempo, come su unautostrada.

16 Fig. 4 Interpretazione della soluzione ponendo c = x come ulteriore variabile di sistema La soluzione si scrive y(x,t) = (x + t) 3 e il modello diventa oppure

17 Fig. 5 Il grafico della soluzione in due variabili Diventa la superficie riportata (proiettata sul piano ty fornisce le cubiche rappresentate a pag. 3, ed è unica, sotto opportune condizioni per i dati). Essa rappresenta un sistema deterministico

18 Fig. 6 I contenuti esposti costituiscono sostanzialmente un capitolo di un mio romanzo pubblicato nel 2004 Manni Fulvio Bongiorno Universi Paralleli


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