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FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO. CAMPI VETTORIALI.

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Presentazione sul tema: "FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO. CAMPI VETTORIALI."— Transcript della presentazione:

1 FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO. CAMPI VETTORIALI

2 Argomenti della lezione Formule di Gauss- Green nel piano Formule di Gauss- Green nel piano Campi vettoriali (forme differenziali) Campi vettoriali (forme differenziali)

3 FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO

4 Un teorema di topologia piana fortemente intuitivo, ma difficile da dimostrare, è il famoso teorema di Jordan (Marie Ennemond Camille) (1887): Se (t) è una curva continua semplice chiusa in R 2, il suo sostegno divide il piano in due aperti: uno limitato, detto dei punti interni alla curva; laltro illimitato dei punti esterni

5 La prima dimostrazione rigorosa del teorema si deve al matematico americano Oswald Veblen (1905) punti interni punti esterni

6 Un aperto connesso che ha come frontiera una curva generalmente regolare, semplice, chiusa si dice semplicemente connesso. Se la frontiera del dominio aperto è costituita da più curve generalmente regolari semplici e chiuse i sostegni delle quali sono contenuti nei punti interni di ununica curva e che hanno le chiusure dei punti interni a due a due disgiunte, diremo che il dominio è molteplicemente connesso

7 Una situazione tipica è la seguente t n

8 Evidentemente la frontiera del dominio A è trascurabile e quindi il dominio è misurabile secondo PJ. Infatti la frontiera è lunione di un numero finito di grafici di funzioni continue. Un tale dominio si dirà un dominio regolare. Una curva chiusa generalmente regolare ha unorientazione intrinseca: siano t il versore tangente e n un versore normale.

9 Diremo che lorientazione della curva è positiva se, essendo la coppia t n è positiva se, essendo la coppia t n congruente ai versori degli assi (i e j o e 1 ed e 2 ), la normale n punta verso linterno di. Tale orientazione si dice anche antioraria. Se il bordo di A è dato da più curve chiuse, lorientazione positiva della curva esterna è antioraria mentre quella delle curve interne è oraria

10 Teorema (Formule di Gauss-Green o di Green-Riemann) Sia A un dominio regolare, di frontiera A = = k positivamente orientata e siano X(x,y) e Y(x,y)

11 continue su A A insieme con le loro derivate X y (x,y) e Y y (x,y). Allora si ha X (x,y)dxdy Xdx Xdx i i 0 k A A y Y(x,y)dxdy Ydy Ydy i i 0 k A A x

12 (Y x X y )dxdy (Xdx Ydy) A A Dimostreremo la formula in un caso semplificato, nel quale A è un dominio normale rispetto allasse x Sia dunque A = {(x,y) : a x b, h(x) y k(x)} con h(x) e k(x) di classe C 1 ([a,b])

13 Allora X y (x,y)dxdy dxX y dy h(x) k(x) a b A X(x,k(x)) X(x,h(x)) dx a b Xdx A Si è tenuto conto che dx è nullo lungo i lati verticali

14 A h(x) k(x) a b

15 In modo analogo si dimostra la seconda formula; la terza è la somma delle due precedenti e una simmetrizzazione delle stesse. Osserviamo che quanto abbiamo dimostrato è il primo passo per una dimostrazione completa del teorema come labbiamo enunciato. Tuttavia i metodi per giungere a una dimostrazione rigorosa della formula travalicano le nostre possibilità e gli scopi di questo corso

16 È interessante lapplicazione della formula precedente al calcolo di aree piane. una Sia una curva piana generalmente regolare semplice chiusa che forma il bordo del dominio A. Poiché la costante 1 è la derivata rispetto a x di x o rispetto a y di y

17 m(A) dxdy xdy ydx A A A 1 2 (xdy ydx) A La formula è particolarmente utile quando si conoscono le equazioni = +A. parametriche di = +A.

18 Esempi 1) Si calcoli larea dellellisse di semiassi a e b Lequazione parametrica dellellisse è x= a cos t, y = b sen t 0 t 2π m(A) dxdy xdy abcos 2 tdt 0 2 A A = πab

19 2) Si calcoli larea racchiusa dal cappio del folium Cartesii, dequazioni x t(t 1 ) y t(t 1 )( 2 t 1 ) t R Il cappio si ottiene prendendo 0 t 1

20 Si vuole calcolare x(t) y(t)dt ( 6 t 4 12 t 3 7 t 2 t)dt

21 Il foglio di Cartesio

22 CAMPI VETTORIALI (FORME DIFFERENZIALI)

23 Supponiamo che ad ogni punto di un aperto A contenuto in R 3 (R 2 ) sia assegnato un vettore F di R 3 (R 2 ). Diremo che in A è assegnato un campo vettoriale: F = (F 1,F 2,F 3 ) T Se invece, in ogni punto di A è assegnato il valore di una funzione f(x,y,z) diremo che abbiamo a che fare con un campo scalare

24 Nella Fisica abbondano gli esempi di campi vettoriali (campo di velocità in un fluido, campo elettrico o magnetico o campo gravitazionale nel piano o nello spazio) e di campi scalari (pressione, densità o temperatura in un fluido o in un corpo piano o solido) In Matematica si preferisce parlare invece di forme differenziali lineari in R 2 o in R 3 o semplicemente di funzioni (forme di grado 0)

25 Useremo il linguaggio della Fisica, formalmente più semplice. Dato il campo vettoriale F in R 3 sappiamo che cosa significa F, ds F( (t)), (t) 0 1 dt che, nel caso F sia una forza, dà il lavoro di F per lo spostamento lungo.

26 Un campo vettoriale F su A si dice conservativo se esiste una funzione U(x,y,z) definita sullaperto A, tale che F = grad U = U La funzione U(x,y,z) si dice un potenziale di F. Si noti che se U(x,y,z) è un potenziale, anche U(x,y,z) + costante è un potenziale

27 Teorema Sia F un campo conservativo continuo su un aperto A R m e : [a,b] R m una curva regolare con (I) A, allora per ogni x, y A lintegrale di linea

28 F, ds U(y) - U(x) Infatti F, ds F 1 x 1 (t) F 2 x 2 (t) F 3 x 3 (t) 0 1 dt dipende solo da x e y

29 U x 1 (x 1 (t),x 2,x 3 ) x 1 (t) U x 2 x 2 (t) U x 3 x 3 (t) 0 1 dt d dt 0 1 U(x 1 (t),x 2 (t x 3 (t) dt U( ( 1 )) U( ( 0 )) = U(y) - U(x), come si doveva dimostrare

30 Teorema Sia F un campo vettoriale continuo su un aperto connesso A R m. Allora F è conservativo se e solo se, per ogni 1 e 2 per ogni x, y A e per ogni 1 e 2

31 congiungenti x con y è F, ds F, ds 2 1 Se F è conservativo, per il teorema precedente la proprietà vale. Mostriamo che vale il viceversa; per semplicità ci ambientiamo in R 2

32 Se x 0 è un punto arbitrario di A, definiamo U(x 1,x 2 ) F, ds essendo un qualsiasi cammino congiungente x 0 con x. Se x = (x 1 +h, x 2 ) T e è il segmento congiungente x con x, si ha

33 U(x 1 h,x 2 ) U(x 1,x 2 ) h F, ds h 1 h F (x 1 th,x 2 )hdt F 1 (x 1 h,x 2 ) con 0 1. Per la continuità del campo, se h 0 U x 1 F 1 (x 1,x 2 )

34 Analogamente si valuta la derivata rispetto a x 2 Si trova poi che

35 Corollario Sia F un campo vettoriale continuo su un aperto connesso A R m. Allora F è conservativo se e solo se, per ogni curva gen. regolare chiusa è

36 F, ds Se F è un campo vettoriale di classe F C 1 (A) diremo rotore di F, rot F = F il seguente vettore

37 rotF e 1 e 2 e 3 x 1 x 2 x 3 F 1 F 2 F 3 e 1 ( F 3 x 2 F 2 x 3 ) e 2 ( F 1 x 3 F 3 x 1 ) e 3 ( F 2 x 1 F 1 x 2 )

38 Un campo vettoriale F di classe C 1 (A) si dice irrotazionale se rot F = 0 È banale osservare che ogni campo conservativo di classe C 1 (A) è irrotazionale Se A è connesso e semplicemente connesso, si può dimostrare che la condizione di irrotazionalità è anche sufficiente.


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