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Termodinamica Chimica Teoria Cinetica dei Gas Universita degli Studi dellInsubria

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Presentazione sul tema: "Termodinamica Chimica Teoria Cinetica dei Gas Universita degli Studi dellInsubria"— Transcript della presentazione:

1 Termodinamica Chimica Teoria Cinetica dei Gas Universita degli Studi dellInsubria

2 © Dario Bressanini 2 I Padri della Teoria Cinetica Boltzmann e Maxwell, nel XIX secolo, spiegano le proprietà fisiche dei gas a partire dal moto molecolare La teoria cinetica dei gas fu sviluppata da James Clerk Maxwell e da Ludwig Boltzmann. Nel 1859 Maxwell deriva la funzione di distribuzione delle velocità molecolari in equilibrio termico. Questo è linizio della meccanica statistica Ludwig Boltzmann James Clerk Maxwell Per la prima volta un concetto termodinamico macroscopico, quale la temperatura, viene collegato quantitativamente alla dinamica microscopica delle molecole. I lavori successivi di Boltzmann posero le fondamenta alla termodinamica statistica, con lanalisi microscopica dellirreversibilità e dellapproccio allequilibrio.

3 © Dario Bressanini 3 Teoria Cinetica dei Gas Assunzioni della teoria cinetica dei gas Assunzioni della teoria cinetica dei gas Il volume occupato dalle molecole e trascurabile rispetto al volume occupato dal gas. Il volume occupato dalle molecole e trascurabile rispetto al volume occupato dal gas. Le molecole si muovono velocemente in linea retta Le molecole si muovono velocemente in linea retta Le molecole non si attraggono o respingono Le molecole non si attraggono o respingono Le molecole sono in costante moto casuale. Urtano elasticamente le pareti del recipiente o le altre molecole Le molecole sono in costante moto casuale. Urtano elasticamente le pareti del recipiente o le altre molecole La Pressione e dovuta agli urti delle molecole sulle pareti del contenitore La Pressione e dovuta agli urti delle molecole sulle pareti del contenitore

4 © Dario Bressanini 4 vxvx vyvy v vxvx vyvy v Teoria Cinetica dei Gas La variazione del momento e La variazione del momento e p in meccanica e il momento!! (non la pressione) Ci serve la variazione del momento perche: Ogni collisione elastica esercita un impulso sulla parete Ogni collisione elastica esercita un impulso sulla parete Solo la componente x cambia Solo la componente x cambia

5 © Dario Bressanini 5 Una molecola con velocita v x lungo lasse x viaggia per una distanza v x t nellintervallo di tempo t Una molecola con velocita v x lungo lasse x viaggia per una distanza v x t nellintervallo di tempo t Una molecola colpisce la parete, nellintervallo t solo se e ad una distanza minore di v x t dalla parete. Una molecola colpisce la parete, nellintervallo t solo se e ad una distanza minore di v x t dalla parete. A v x dt Teoria Cinetica dei Gas Dobbiamo calcolare la variazione totale del momento nellintervallo di tempo t Dobbiamo calcolare la variazione totale del momento nellintervallo di tempo t

6 © Dario Bressanini 6 Pressione del Gas In questo urto varia solo la componente x

7 © Dario Bressanini 7 Pressione del gas Vi sono nN A /V molecole per unita di volume Vi sono nN A /V molecole per unita di volume Il numero totale di molecole nel volume Av x t e A v x t n N A /V Il numero totale di molecole nel volume Av x t e A v x t n N A /V Solo la meta urta la parete nellintervallo t. (Laltra meta viaggia nella direzione opposta) Solo la meta urta la parete nellintervallo t. (Laltra meta viaggia nella direzione opposta)

8 © Dario Bressanini 8 Variazione totale del Momento La variazione totale del momento nellintervallo t e pari al numero totale di collisioni moltiplicati per la variazione del momento di un singolo urto La variazione totale del momento nellintervallo t e pari al numero totale di collisioni moltiplicati per la variazione del momento di un singolo urto Possiamo ora calcolare la pressione esercitata sulla parete Possiamo ora calcolare la pressione esercitata sulla parete

9 © Dario Bressanini 9 Moto in 3 Dimensioni Non tutte le molecole hanno la stessa velocita, e quindi, invece di v x 2 dovremmo usare il valore medio, Non tutte le molecole hanno la stessa velocita, e quindi, invece di v x 2 dovremmo usare il valore medio, Consideriamo ora il moto nelle tre coordinate. Per la isotropia dello spazio = = = /3 Consideriamo ora il moto nelle tre coordinate. Per la isotropia dello spazio = = = /3 Chiamiamo c 2 = quindi = c 2 /3 Chiamiamo c 2 = quindi = c 2 /3 Sostituiamo…. Sostituiamo….

10 © Dario Bressanini 10 Equazione di stato Abbiamo ricavato la legge di Boyle pV = costante Abbiamo ricavato la legge di Boyle pV = costante Pero pV = nRT (gas ideale) Pero pV = nRT (gas ideale)

11 © Dario Bressanini 11 Velocita Quadratica Media La velocità aumenta con T La velocità aumenta con T La velocità diminuisce con M La velocità diminuisce con M Equazione di Maxwell Massa molare

12 © Dario Bressanini 12 Energia Cinetica Media Le molecole in moto hanno una energia cinetica Lenergia cinetica media di molecole diverse è la stessa alla stessa temperatura Costante di Boltzmann

13 © Dario Bressanini 13 Energia Cinetica Media Consideriamo una miscela di due gas. Lenergia cinetica media delle molecole dei due gas è la stessa Consideriamo una miscela di due gas. Lenergia cinetica media delle molecole dei due gas è la stessa Quindi

14 © Dario Bressanini 14 Gas Monoatomico Per un gas ideale monoatomico, lenergia cinetica è lunica forma di energia disponibile Energia media per molecola Energia media per mole

15 © Dario Bressanini 15 Equazione di Stato Un modo alternativo di esprimere lequazione di stato dei gas ideali è Un modo alternativo di esprimere lequazione di stato dei gas ideali è

16 © Dario Bressanini 16 Teoria Cinetica: conclusioni Usando la meccanica Newtoniana abbiamo dimostrato Usando la meccanica Newtoniana abbiamo dimostrato La relazione tra p, V e T; La relazione tra p, V e T; Luniversalità della costante dei gas; Luniversalità della costante dei gas; La relazione tra temperatura ed energia cinetica La relazione tra temperatura ed energia cinetica Lenergia interna di un gas monoatomico Lenergia interna di un gas monoatomico

17 © Dario Bressanini 17 Calcolare la velocita molecolare media di Azoto a 20 C = K Esempio: N 2 N 2 : M = g/mol

18 © Dario Bressanini 18 Esempio: He He: M = g/mol = K Calcolare la velocita molecolare media dellElio a 20 C

19 © Dario Bressanini 19 Mistero Se la Temperatura di un gas è correlata alla velocita media delle molecole, dovremmo aspettarci che una folata di vento forte sia più calda di un vento lento. Addirittura, non ci dovremmo aspettare vento freddo ma solo vento caldo, e tanto più caldo quanto soffia più forte. Watson: Sherlock Holmes: Non è così! Dovè lerrore mio caro Watson?

20 © Dario Bressanini 20 Derivazione alternativa Forza dovuta alla collisione Forza dovuta alla collisione x v v y v collisione 1: t = 0 collisione 2: t = 2L/v x L

21 © Dario Bressanini 21 CO 2 25°C1atm 50 L He25°C 2 atm 50 L Quale bombola ha le molecole che si muovono piu velocemente? Quale bombola ha le molecole che si muovono piu velocemente? He, perche ha una massa minore He, perche ha una massa minore Quale bombola ha le molecole con una energia cinetica maggiore? Quale bombola ha le molecole con una energia cinetica maggiore? Nessuna: la temperatura e la stessa Nessuna: la temperatura e la stessa Quiz

22 © Dario Bressanini 22 CO 2 25°C1atmHe25°C 2 atm Quale bombola ha piu molecole? Quale bombola ha piu molecole? He, perche la pressione piu alta deve essere causata da un maggior numero di molecole, perche il volume e la temperatura sono gli stessi He, perche la pressione piu alta deve essere causata da un maggior numero di molecole, perche il volume e la temperatura sono gli stessi Quiz

23 © Dario Bressanini 23 Distribuzione di Velocita Sinora abbiano preso in considerazione solamente la velocita media delle molecole di un gas Sinora abbiano preso in considerazione solamente la velocita media delle molecole di un gas Le molecole pero avranno una distribuzione di velocita, e quindi di energia cinetica Le molecole pero avranno una distribuzione di velocita, e quindi di energia cinetica Maxwell, nel 1859, attacco il problema di derivare la funzione di distribuzione delle velocita Maxwell, nel 1859, attacco il problema di derivare la funzione di distribuzione delle velocita

24 © Dario Bressanini 24 Funzione di Distribuzione Una funzione di distribuzione F(x), fornisce la frazione di oggetti che hanno la proprieta x Una funzione di distribuzione F(x), fornisce la frazione di oggetti che hanno la proprieta x Supponiamo che h(x) rappresenti la distribuzione del peso, in Kilogrammi, della popolazione italiana. Supponiamo che h(x) rappresenti la distribuzione del peso, in Kilogrammi, della popolazione italiana. allora allora è la frazione di popolazione con un peso compreso tra 50 e 70 Kg ovviamente ovviamente

25 © Dario Bressanini 25 Funzione di distribuzione

26 © Dario Bressanini 26 Distribuzione delle Velocita Consideriamo un gas di N particelle. Consideriamo un gas di N particelle. Vogliamo conoscere la distribuzione delle velocità molecolari F(v x,v y,v z ) Vogliamo conoscere la distribuzione delle velocità molecolari F(v x,v y,v z ) La funzione F(v x,v y,v z ) fornisce la frazione di particelle con componenti della velocita v x, v y e v z La funzione F(v x,v y,v z ) fornisce la frazione di particelle con componenti della velocita v x, v y e v z James Clerk Maxwell, nel 1859, ricava F(v x,v y,v z ) con un ragionamento estremamente ingegnoso James Clerk Maxwell, nel 1859, ricava F(v x,v y,v z ) con un ragionamento estremamente ingegnoso

27 © Dario Bressanini 27 Derivazione di Maxwell Possiamo anche considerare la distribuzione della velocita nella direzione x, che chiamiamo f(v x )dx Possiamo anche considerare la distribuzione della velocita nella direzione x, che chiamiamo f(v x )dx La frazione di particelle con velocita nella direzione x compresa tra v x e v x +dx ef(v x )dx La frazione di particelle con velocita nella direzione x compresa tra v x e v x +dx ef(v x )dx OSSERVAZIONE 1 :poiche lo spazio e isotropo, non vi e nulla di speciale nella direzione x, e la stessa funzione f() deve descrivere la distribuzione di velocita nelle direzioni y e z OSSERVAZIONE 1 :poiche lo spazio e isotropo, non vi e nulla di speciale nella direzione x, e la stessa funzione f() deve descrivere la distribuzione di velocita nelle direzioni y e z

28 © Dario Bressanini 28 Derivazione di Maxwell OSSERVAZIONE 2 : in un gas allequilibrio, ci aspettiamo che le velocità nelle tre direzioni siano indipendenti (in altre parole anche conoscendo due componenti, non è possibile dire nulla sulla terza componente) OSSERVAZIONE 2 : in un gas allequilibrio, ci aspettiamo che le velocità nelle tre direzioni siano indipendenti (in altre parole anche conoscendo due componenti, non è possibile dire nulla sulla terza componente) Cosa ci dicono le due precedenti osservazioni sulla forma di F(v x,v y,v z ) ? Cosa ci dicono le due precedenti osservazioni sulla forma di F(v x,v y,v z ) ?

29 © Dario Bressanini 29 Derivazione di Maxwell Consideriamo un mazzo di carte da gioco {1,2,3,...9,10,J,Q,K}, la funzione di distribuzione F(seme, valore) e le due distribuzioni f(seme) e g(valore). Notiamo che il seme e il valore sono indipendenti. Ad esempio f( ) = 1/4 e g(Q) = 1/13 mentre F(, Q) = 1/4 * 1/13 = 1/52 = f( ) * g(Q) Consideriamo un mazzo di carte da gioco {1,2,3,...9,10,J,Q,K}, la funzione di distribuzione F(seme, valore) e le due distribuzioni f(seme) e g(valore). Notiamo che il seme e il valore sono indipendenti. Ad esempio f( ) = 1/4 e g(Q) = 1/13 mentre F(, Q) = 1/4 * 1/13 = 1/52 = f( ) * g(Q) Dato che seme e valore sono indipendenti, vale Dato che seme e valore sono indipendenti, vale F(seme, valore) = f(seme)g(valore)

30 © Dario Bressanini 30 F(v x,v y,v z ) = f(v x ) f(v y ) f(v z ) Derivazione di Maxwell Poichè abbiamo assunto che v x,v y e v z siano indipendenti, questo implica Poichè abbiamo assunto che v x,v y e v z siano indipendenti, questo implica OSSERVAZIONE 3 : non vi è nulla di speciale nelle direzioni x, y e z. Usando un nuovo sistema di riferimento x, y e z la distribuzione della velocità non deve cambiare. La grandezza fisica significativa infatti è il modulo della velocità. In altre parole, F deve essere una funzione di v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 OSSERVAZIONE 3 : non vi è nulla di speciale nelle direzioni x, y e z. Usando un nuovo sistema di riferimento x, y e z la distribuzione della velocità non deve cambiare. La grandezza fisica significativa infatti è il modulo della velocità. In altre parole, F deve essere una funzione di v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2

31 © Dario Bressanini 31 Derivazione di Maxwell Questa equazione è sufficiente per ricavare f(). Si deve notare infatti come il prodotto di funzioni sia uguale ad una funzione della somma di variabili Questa equazione è sufficiente per ricavare f(). Si deve notare infatti come il prodotto di funzioni sia uguale ad una funzione della somma di variabili La funzione f(v x ) che soddisfa questa equazione è: La funzione f(v x ) che soddisfa questa equazione è: F(v x 2 + v y 2 + v z 2 ) = f(v x ) f(v y ) f(v z ) E quindi

32 © Dario Bressanini 32 Distribuzione di Maxwell Le costanti A e B si ricavano imponendo che la distribuzione sia normalizzata Le costanti A e B si ricavano imponendo che la distribuzione sia normalizzata e che lenergia cinetica media sia pari a 3/2 kT e che lenergia cinetica media sia pari a 3/2 kT ottenendo ottenendo

33 © Dario Bressanini 33 Aumentando la temperatura, il massimo si sposta verso destra Distribuzione delle Velocità Molecolari

34 © Dario Bressanini 34 Aumentando la massa, il massimo si sposta verso sinistra Distribuzione delle Velocità Molecolari


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