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EQUAZIONI, MODELLO MATEMATICO DELLA REALTÀ. La matematica è un linguaggio, un linguaggio molto conciso. Come tutti i linguaggi richiede lapplicazione di.

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Presentazione sul tema: "EQUAZIONI, MODELLO MATEMATICO DELLA REALTÀ. La matematica è un linguaggio, un linguaggio molto conciso. Come tutti i linguaggi richiede lapplicazione di."— Transcript della presentazione:

1 EQUAZIONI, MODELLO MATEMATICO DELLA REALTÀ. La matematica è un linguaggio, un linguaggio molto conciso. Come tutti i linguaggi richiede lapplicazione di una pratica intelligente per essere appreso.. ( Sheila Tobias in Come vincere la paura della matematica)

2 A cura del docente: ERNESTINA MAZZEI Liceo Socio-Psico-Pedagogico V. Gambara Destinatari: Alunni della classe seconda B S.p.p. La comunicazione essenziale ed efficace Progetto Lauree Scientifiche a.s

3 SintesiVerifiche Matematica e cinemaBlog Equazioni: un modello della realtà Breve introduzione storica Dal problema reale allequazione Presentazione dei contenuti Introduzione alla geometria analitica Risorse multimediali Rappresentazione grafica con Derive Rappresentazione grafica con Excel

4 Bene ragazzi, siamo pronti, a questo punto, a comprendere il legame tra algebra e geometria, tra equazioni e rappresentazioni grafiche, tra funzione e ricerca dei suoi zeri. Sapete già che un sistema di assi cartesiani ortogonali permette di rappresentare nel piano i punti,se sono noti due numeri reali che rappresentano,nell ordine,lascissa e lordinata

5 Prendete, quindi, carta e penna e completate le seguenti tabelle sostituendo alla variabile x i valori indicati

6 xy xy Per ciascuna delle seguenti funzioni, trova il valore di y e completa la tabella: y=3-x y=4+2x

7 xY xy y=4+2xy=3-x Controlla i risultati ottenuti:

8 Rappresenta graficamente i punti (x;y) cosi ottenuti. Determina la soluzione dell equazione: 0=4+2x. E un elemento della tabella relativo alla funzione: y=4+2x ? In caso affermativo, cosa rappresenta nel grafico ? Determina, ora, la soluzione dellequazione:0=3-x E ripeti il ragionamento precedente per la formula y=3-x

9 y=4+2x -2 Questo è il grafico della prima retta x y O Il valore-2,ascissa del punto di intersezione della retta con lasse x, è la soluzione della equazione: 0=4+2x

10 Questo è il grafico della seconda retta y=3-x 3 x y O Il valore 3, ascissa del punto di intersezione della retta con lasse x, è la soluzione della equazione: 0=3-x

11 A questo punto hai compreso che: una equazione di primo grado in due incognite rappresenta una retta la soluzione di una equazione lineare è lascissa del punto di intersezione della retta con l asse delle ascisse. risolvere un equazione significa determinare gli zeri di una funzione. Ma se hai ancora qualche dubbio, non preoccuparti, il lavoro in laboratorio con Derive e Excel ti permetterà di comprendere, pienamente, il legame tra algebra e geometria.

12 1. Presentare le equazioni non come un concetto astratto, ma collegate alla risoluzione di problemi. 2. Spiegare come la traduzione di un problema in equazioni matematiche è unoperazione fondamentale in tutte le discipline scientifiche. 3. Riuscire a scrivere un equazione vuol dire, infatti, trovare le relazioni tra le grandezze significative di un problema e, quindi, pervenire a una comprensione più significativa della realtà.

13 Le conoscenze matematiche si sono sviluppate nel tempo sotto la spinta di necessità pratiche: prima il bisogno dei commercianti di eseguire i calcoli, poi la necessità di strumenti matematici adeguati a risolvere problemi più complessi, come quelli creati dallo sviluppo tecnologico. Da … a… abaco

14 Nel corso della storia della matematica, si è passati da semplici problemi di numerazione ad altri più completi ed efficaci, dalla risoluzione di problemi esclusivamente per via geometrica, praticata dai Greci, allo sviluppo del problema algebrico, che ha permesso di risolvere intere classi di problemi e di semplificare i relativi procedimenti. Da… a… Pitagora

15 Il primo passo da compiere per risolvere un problema, di qualsiasi natura, è costruire un modello che ci possa aiutare a trovare la sua soluzione. Spesso, in questo caso, è di aiuto il linguaggio dellalgebra. Consideriamo i seguenti problemi :

16 Un treno, dopo aver percorso un quarto del suo tragitto deve coprire ancora una distanza di 270 Km per giungere a destinazione. Quanto è lungo tutto il percorso? Un piccolo computer viene venduto, con lo sconto del 25% sul prezzo di listino, per 270. Qual è il prezzo di listino? Il compenso per una conferenza, al netto delle trattenute del 25% è di 270. Qual è il compenso lordo?

17 Lequazione 1 x = x 4 Rappresenta tutti e tre i problemi, di origine assai diversa luno dallaltro. o più precisamente il modello matematico. Osservazione Dopo aver scritto lequazione, la fase risolutiva dellequazione stessa si svolge ignorando lorigine del problema e applicando soltanto le regole del calcolo.

18 La formalizzazione di un problema presenta notevoli analogie con il processo di traduzione da una lingua ad un altra. In particolare, scrivere unequazione relativa ad un certo problema vuol dire esprimere in termini algebrici una condizione espressa a parole, cioè sostituire le parole con simboli, numeri, segni di operazioni, ecc. ecc.

19 Il procedimento di traduzione in forma matematica viene detto formalizzazione del problema e può essere così schematizzato: Relazioni tra dati e incognita Equazione Traduzione in simboli L incognita del problema viene indicata con la lettera x, lettera per noi italiani inconsueta, che sta ad indicare un numero incognito che si determina applicando le regole di calcolo.

20 Trova il numero che aggiunto a due sia uguale al doppio del numero stesso sommato a cinque La scrittura: x+2=2x+5 è la formalizzazione in linguaggio algebrico, cioè il modello matematico, del problema dato. Clicca qui per trovare i metodi per risolverla. qui

21 Unequazione è unuguaglianza fra due espressioni letterali che risulta verificata per particolari valori attribuiti alle lettere. Esempio: 2x+1=7 è unequazione e risulta verificata solo per il valore di x=3 Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri dellequazione.

22 I valori che rendono vera luguaglianza si chiamano soluzioni o radici dellequazione. Si può anche dire che tali valori verificano lequazione. Esempio: y-9=1 Ha come soluzione il valore 10, perché 10-9=1. Diciamo che la soluzione è y=10. Risolvere unequazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che verificano luguaglianza.

23 Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Lequivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nellinsieme delle equazioni, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

24 Il primo principio di equivalenza afferma che aggiungendo o sottraendo una stessa espressione ai due membri dellequazione, si ottiene unequazione equivalente,cioè con lo stesso insieme di soluzioni. Il secondo principio di equivalenza afferma che moltiplicando o dividendo per una stessa espressione, diversa da zero, i due membri dellequazione, si ottiene unequazione equivalente. Si utilizzano per trasformare unequazione in una equivalente, di solito più semplice

25 Le equazioni si classificano in base: alla posizione dellincognita intere fratte ai coefficienti numeriche letterali all esistenza di soluzioni determinate indeterminate impossibili

26 Si dice che unequazione è intera se lincognita è presente soltanto nei numeratori. Lincognita è solo al numeratore.

27 Unequazione fratta si ha quando unincognita è presente anche al denominatore. Lincognita è presente anche al denominatore.

28 Abbiamo delle equazioni numeriche quando tutti i coefficienti sono numeri. Sono tutti numeri

29 In unequazione letterale nei coefficienti sono presenti anche le lettere Contiene delle lettere

30 È determinata in quanto ha una sola soluzione: Unequazione è determinata se ha un numero finito di soluzioni

31 Se unequazione ha infinite soluzioni è detta indeterminata È indeterminata perché possiede infiniti valori di x, al variare di y e viceversa: Se y=0 allora x=1; Se y =1 allora x=0; Se x=3 allora y=-2..ecc. Esempi:

32 Questo è un altro caso di equazione indeterminata in quanto NB: la soluzione di questa equazione è data da qualsiasi numero reale, quindi tale equazione ha infinite soluzioni: tutti i numeri reali.

33 Unequazione che non ha soluzioni si chiama impossibile. Non esiste alcun valore di x che renda vera luguaglianza, per questo si dice che è una equazione impossibile.

34 Il termine equazione, dal latino aequatio, è citato per la prima volta da L. Fibonacci (1202) nellopera Liber abaci.aequatioFibonacci La simbologia matematica utilizzata nel corso dei secoli per esprimere unequazione è molto cambiata, diventando sempre più sintetica ed efficace. Oggi: 2x 2 -5x = 27 In passato la stessa: Trovami un numero di cui il doppio del quadrato diminuito di cinque volte lo stesso fa ventisette (Tartaglia nel1556)Tartaglia 2 zz – 5 z 27 (Cartesio nel 1635)Cartesio

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36 si libera l equazione dagli eventuali denominatori facendo il m.c.d. si eliminano le parentesi effettuando i calcoli si spostano i termini in modo da avere al 1° membro solo quelle che contengono lincognita si riducono i termini simili, portando lequazione in forma normale (ax=b) si stabilisce se lequazione è determinata (e si trova la soluzione x=b/a) indeterminata o impossibile clicca qui per la verifica

37 Definizione: chiamiamo soluzioni di un equazione tutti i valori che, sostituiti allincognita, rendono il primo membro uguale al secondo. sostituire la soluzione trovata allincognita controllare che i due membri delluguaglianza assumano lo stesso valore. Esempio: Vogliamo verificare che x=1 è soluzione dellequazione 3x+4x 2 = x (2x+5) sostituiamo nel primo membro il valore 1 allincognita; otteniamo: 3(1)+4(1) 2 = 3+4 = 7 sostituiamo ora nel secondo membro il valore 1 allincognita; otteniamo: 1[2(1)+5)] = 1(7) = 7

38 Verifiche 1^ 2^ 1^ 2^

39 Aula Multimediale Aula Multimediale Excel Derive Excel Derive Geogebra Geogebra Ricerca storica Wikipedia Ricerca storica Wikipedia

40 Un tassista chiede ad un cliente 2.00 per ogni kilometro percorso, più una spesa iniziale ( indipendente dal percorso ) di Un secondo tassista chiede al cliente 2.50 per ogni kilometro percorso senza alcuna aggiunta iniziale. Sotto quali condizioni è più vantaggiosa per il cliente la proposta del primo tassista? Se indichiamo con x il numero dei kilometri che il cliente deve percorrere, con y e Y le cifre richieste dai due tassisti, abbiamo le due funzioni : y =2x+3 e Y=2.50x I cui grafici sono rappresentati nel piano cartesiano della figura 1. Perché è importante la retta?

41 Dallesame della figura risulta evidente che per le ascisse >6 le ordinate dei punti della retta che rappresenta la spesa relativa alla richiesta del primo tassista sono inferiori alle ordinate dei punti della retta che rappresenta la seconda proposta. Per x>6 la richiesta del primo tassista è più vantaggiosa per il cliente perché comporta una spesa minore.

42 saper interpretare graficamente un'equazione lineare in due incognite comprendere l' importanza della corrispondenza esistente tra relazioni algebriche ed enti geometrici saper utilizzare excel per la rappresentazione di una retta Metodologia: introdurre i concetti fondamentali relativi al piano cartesiano spiegare, come, data una funzione in forma algebrica, si possa disegnare il suo grafico e viceversa introdurre i concetti con esempi graduati in ordine di difficoltà crescente da cui ricavare la regola generale

43 Prerequisiti: calcolo letterale, risoluzione di equazioni lineari,piano cartesiano Strumenti: libri di testo appunti, fotocopie mappa concettuale ricerca con internet blog didattico

44 Durata: 15 ore 10 ore in classe per risolvere equazioni e problemi 4 ore nel laboratorio di informatica per utilizzo di Derive e Excel 1 ora in laboratorio per la presentazione,del lavoro prodotto dai vari gruppi Prodotto atteso Documento in Powerpoint in cui si evidenzia l importanza della retta per rappresentare situazioni reali, confrontarle ed operare delle scelte.

45 Tra i film dedicati ai Matematici abbiamo scelto: A beautiful mind che narra,romanzandola, la vita incredibile del geniale matematico John Nash, premio Nobel per l economia. Il film è stato proiettato il 22/01/2009 nellora di matematica e nellora di Elementi di Psicologia.

46 Filo diretto con gli allievi Dal linguaggio naturale al linguaggio dell'algebra

47 Si consiglia di leggere il progetto iniziando da breve introduzione storica e di seguire le indicazioni dei tasti a fine pagina. Si precisa, inoltre, che, sia nella mappa iniziale che nelle slides successive, ci sono alcuni collegamenti a documenti word e a pagine web.


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